Matematika 1 9. června 2009 A (UCO: ) Hodnocení: Semestr (max. 15b.) 1. 2. 3. 4. 5. 6. E 0 Potřebné minimum (včetně bodů ze semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. 1. (6 bodů) V závislosti na reálném parametru a řešte soustavu lineárních rovnic nad R (a + l)x\ + X2 + X3 = a2 + 3a X\ + [a + l)x2 + x3 = a3 + 3a2 x\ + X2 + (a + 1)^3 = a4 + 3a3 2. (5 bodů) Rozhodněte, zda jsou polynomy 1 + x, 1- lineárně nezávislé ve vektorovém prostoru polynomů s reálnými koeficienty M\x\. Své tvrzení zdůvodněte. 3. (5 bodů) V E4 určete úhel přímky p : [1,2,3,4]+ í(-3,15,1, -5) a roviny p : [0, 0, 0, 0] + r • (1, -5, -2,10) + s • (1,8, -2, -16). 4. (3 body) Uveďte příklad (příp. stručně zdůvodněte neexistenci) relace na množině {a,b,c}, která: (a) je ekvivalencí i uspořádáním; (b) je reflexivní a tranzitivní, ale není úplným uspořádáním; (c) je zobrazením i ekvivalencí. 5. (5 bodů) Uvažte proces testování skupiny obyvatelstva na přítomnost nemoci, kterou trpí 0,1% populace, s využitím testu s následujícími parametry: • je-li testovaná osoba nemocná, test to rozpozná s pravděpodobností 0,99; • je-li testovaná osoba zdravá, test to rozpozná s pravděpodobností 0,95. Určete pravděpodobnost false positive výsledku, tj. výsledku, kdy test ukazuje na onemocnění, přestože byl proveden na zdravém pacientovi a false negative výsledku (výsledek testu je negativní, přestože je pacient nemocný). 6. (6 bodů) Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice M = Určete algebraickou a geometrickou násobnost všech vlastních hodnot a uveďte, je-li matice M podobná nějaké diagonální matici. Pokud ano, uveďte takovou matici a matici podobnosti. Matematika 1 9. června 2009 B (UCO: ) Hodnocení: Semestr (max. 15b.) 1. 2. 3. 4. 5. 6. E 0 Potřebné minimum (včetně bodů ze semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. 1. (5 bodů) Pomocí Cramerova pravidla řešte v E soustavu rovnic 2x + 3y + z = 4 x + 2y + 2z = 6 5x + y + 4z = 21 2. (6 bodů) Nalezněte obě matice přechodu mezi bázemi v prostoru polynomů s reálnými koeficienty stupně nejvýše 3. Určete souřadnice vektoru 5x3 + 3x2 — x + 3 v bázi /. 3. (3 body) Uveďte příklad (příp. stručně zdůvodněte neexistenci) relace na množině {a,b,c}, která: (a) je ekvivalencí, k níž příslušný rozklad má dva prvky; (b) není reflexivní, je symetrická a tranzitivní; (c) je zobrazením i uspořádáním. 4. (5 bodů) Určete ortogonální doplněk podprostoru ((1, —1,1, 0, 0), (1, 0,1, 0,1), (1,1, 0, —1,1)) v R5. 5. (5 bodů) Lineární zobrazení