Matematika 1 16. června 2009 A (UCO: ) Hodnocení: Semestr (max. 15b.) 1. 2. 3. 4. 5. 6. E 0 Potřebné minimum (včetně bodů ze semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. 1. (5 bodů) Lineární zobrazení

((2, -1,1)T) = (-4,1, Of, ^((0, 2, -2)T) = (0, 2, 0)T, ^((1,1, 0)T) = (1,0, 2)T. 2. (6 bodů) Mějme vektory «i = (l,t, 2, 0),u2 = (-1,1,0,0), u3 = (1,-2,2,3), u4 = (2,-5,6,3). (a) Určete, pro které hodnoty parametru t G E je U\ lineární kombinací «2,1(3,1(4, (b) pomocí Gram-Schmidtova procesu určete ortogonální bázi («2,1(3,1(4), (c) určete souřadnice U\ (pro hodnotu t určenou v (a)) v bázi určené v (b). 3. (4 body) V klobouku je 6 bílých a 8 černých kuliček. Náhodně postupně vytáhneme 3 kuličky. Určete pravděpodobnost, že jedna je bílá a 2 černé, pokud: (a) každou kuličku po vytažení vrátíme do klobouku; (b) vytažené kuličky již do klobouku nevracíme. 4. (6 bodů) V populačním modelu dravec-kořist je vztah mezi počtem lišek (Lk) a králíků (Kk) v daném a následujícím měsíci dán rovnostmi Lk+l = 0,4Lfc + 0,3Xfc Kk+l = -0,325Lfc + l,2Kk, přitom na počátku je ve zkoumané oblasti 65 lišek a 80 králíků. Pomocí výpočtu vlastních hodnot a vektorů matice systému analyzujte limitní chování tohoto modelu. Popište kolik králíků bude z dlouhodobého hlediska připadat na jednu lišku? 5. (5 bodů) Vypočtěte hodnotu determinantu matice [2 1 0 2 1\ 10 2 12 12 10 2 0 2 2 11 \2 1 1 2 0/ 6. (4 body) Ve vektorovém prostoru E3 jsou dány podprostory W1 = {(x, y, z) I x = 2y + 3z}, W2 = {(r, -2r, -3r) | r G E}. Rozhodněte (a zdůvodněte), zda součet W\ + VF2 je přímým součtem. Matematika 1 16. června 2009 B (UCO: ) Hodnocení: Semestr (max. 15b.) 1. 2. 3. 4. 5. 6. E 0 Potřebné minimum (včetně bodů ze semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. /i i i i\ (l 2 3 4\ 1110 2 3 1 -1 110 0 -1 0 2 1 \l 0 o o) \-l -2 -3 0/ 1. (5 bodů) Vzhledem k neznámé A řešte maticovou rovnici A- 2. (6 bodů) Mějme vektory «i = (1, -1,1, 2),u2 = (-2,1,-2,-5),u3 = (2, 0, 2, 6),u4 = (0,0, 3, ŕ). (a) Určete, pro které hodnoty parametru t G E je tt4 lineární kombinací Ui,U2,u3, (b) pomocí Gram-Schmidtova procesu určete ortogonální bázi (ui,U2,u3), (c) určete souřadnice «4 (pro hodnotu ŕ určenou v (a)) v bázi určené v (b). 3. (4 body) Určete pravděpodobnost, že při náhodném rozdání 7 karet z běžného mariášového balíčku (32 karet 4 barev po osmi hodnotách): (a) jsou mezi nimi aspoň dvě esa; (b) je mezi rozdanými kartami alespoň 6 karet téže barvy. 4. (6 bodů) V populačním modelu dravec-kořist je vztah mezi počtem lišek (Lk) a králíků (Kk) v daném a následujícím měsíci dán rovnostmi Lk+i Kk+i 0,5Lfc + 0,5Xfc -Q,2Lk + l,2Kk, přitom na počátku je ve zkoumané oblasti 65 lišek a 80 králíků. Pomocí výpočtu vlastních hodnot a vektorů matice systému analyzujte limitní chování tohoto modelu. Určete podmínku na úvodní počet králíků a lišek, při jejímž splnění limitní počet králíků převýší jejich úvodní počet. 5. (5 bodů) V rovině jsou dány body A = [0,0], B = [2,1], C = [3, 3], Ľ = [1,4], X = [2,0]. Pomocí výpočtu příslušných determinantů (jiné řešení nebude uznáno!) určete (a) hrany čtyřúhelníku ABCD, které jsou vidět z bodu X. (b) obsah čtyřúhleníku ABCD. 6. (4 body) Ve vektorovém prostoru E3 jsou dány podprostory Wi = {(x, y, z) I x - 2y - 3z = 0}, W2 = {(x, y, z) \ x = z}. Rozhodněte (a zdůvodněte), zda součet W\ + VF2 je přímým součtem.