Vektorové prostory
Petr Pupík
8.4.2009
□        S         -         =         -š      -O^o
)bsah
O Souřadnice Q Lineární zob O Lineární trar
□        S         -         =         -š      -O^o
Souřadnice vektoru
Nechť V je vektorový prostor. Potom vektory u^,...,un e V tvoří bázi vektorového prostoru V právě tehdy, když každý vektor x e V lze jediným způsobem vyjádřit ve tvaru
X= řiUi +--- + tnUn.
Důkaz                                                                                        ^					
	„=>'	Sporem. Nechť existují dvě taková vyjádření:			
		K =	ři"i +	• • • + tnUn	= Uu±+■ ■ ■ + tnUn.
		Potom o	= (ři-	ü)u: + • •	■ + {tn-Tn)Un. Potom
		ti = ti.			
	„<*='	Zřejmé.			
Souřadnice vektoru
Definice
Koeficienty (ři,..., tn) z předchozí věty nazýváme souřadnice vektoru x.
Poznámka
•  Podle předchozí věty jsou koeficienty určeny jednoznačně.
•  V jiné bázi bude mít tentýž vektor jiné souřadnice.
□        S         -         =         ^     -00*0
Souřadnice vektoru
Příklad
Vektor w = (3,2,1) má ve standardní bázi (e^, e^, 63) prostoru R3 souřadnice
j/v = (3,2,1),
zatímco v bázi ((1,1,1), (1,1,0), (1,0,0))máw souřadnice
w = (1,1,1) protože w = (3,2,1) = 1 -(1,1,1) +1 -(1,1,0) +1 -(1,0,0).
Všimněme si, že když říkáme vektor w = (3,2,1), tak tím vlastně automaticky myslíme tento vektor vztažený ke standardní bázi (e^, e^ 63).
□           r5"             -             =
■f)<\(y
)bsah
0 Souřadnice
Q Lineární zobrazení
O Lineární transform!
□        S         -         =         -š      -O^o
ineární zobrazení
Definice
Nechť 1/, V jsou dva vektorové prostory. Zobrazení tp -. U -► V splňující vztahy:
•  <p{u + v) = <p{u) + <p{v),
•  p(t ■ u) = t ■ ip(u) pro libovolné u, v e V, t e R, se nazývá lineární zobrazení. Je-li navíc p bijekce, nazývá se izomorfismus.
□     s
-f)(\o
ineární zobrazení
Příklad
•  Nechť V, V jsou dva vektorové prostory. Potom zobrazení p : V —► V definované vztahem p(u) = o je lineární zobrazení.
•  Nechť V = R3, V = R2. Potom zobrazení p : V -> V definované vztahem
ip((x-[, x2, x3)) = (2xi + x3, x, - x2 - x3) je lineární zobrazení.
•  Nechť V = R3, V = R3. Potom zobrazení p : V -> V definované vztahem
p((xi, x2, x3)) = (2x< + x3 + 1, Xi - x2 - x3, x3) není lineární zobrazení.
□   ►   ^@  ŕ   <  ■=  ►   4  ■=  *
ineární zobrazení
F75E1		
Nechť íp : V —► V je lineární zobrazení		Potom platí:
• ^(o) = ď,		
• <p(-u) = -<p(u),		
• Jsou-li vektory u-\,..	.,Uk e V lineárně závislé vektory,	
potom jsou i <p(u-\),.	..,<p(Uk)eV	lineárně závislé.
□           r5"
■f)<\(y
ineární zobrazení
Nechť ip : V —> V je lineární zobrazení, U podprostor V. Potom platí:
•  ip(U) je podprostor V,
•  Jsou-li vektory u±,...,Uk_e V generátory podprostoru U, potom jsou vektory íp(uy),..., p{Uk) g V generátory podprostoru ip(U).
•  dim U > dim U.
□  ►   <i5 ►   < -e ►   ■<-=►
-Oc\o
ineární zobrazení
Nechť íp : V —> Vf, íp : Vf —> V" jsou lineární zobrazení, potom zobrazení tp o tp je také lineární zobrazení.
□           r5"
■f)<\(y
ineární zobrazení
Základní věta o lineárních zobrazeních
Nechť 1/, V jsou vektorové prostory, u±,...,Un\e báze V. Nechť v\,...,v'ne V. Potom existuje právě jedno lineární zobrazení Lp-.V^V takové, že ip(ui) = v\,..., ip(Un)
V'n-
□           r5"
■f)<\(y
ineární zobrazení
Definice
Nechť ip : V —► V je lineární zobrazení. Potom množina Kerip = {u g V \ <p>(u) = o} se nazývá jádro lineárního zobrazení <p>. Množina Im <p> = <p>(V) se nazývá obraz lineárního zobrazení <p>.
Keripje podprostor V, Im^je podprostor V.
□ ►   <S k   < = ►   < -= ►
■f)<\(y
ineární zobrazení
Nechť p : V —> V je lineární zobrazení. Pak p je injektivní právě tehdy, když Ker p = {o}.
Nechť p : V —► V je lineární zobrazení. Potom platí: dim Ker p + dim Im p = dim V.
□        s        -        =        ^     -o^O
ineární zobrazení
Nechť (p : V ^ V\e izomorfismus, u±,...,Uk_e V. Potom platí
•  tvi_,..., Uk jsou lineárně závislé ^ <r>(ui_),..., ^(u/c) jsou lineárně závislé.
•  u±,...,Uk jsou lineárně nezávislé ^ <r>(ui_),...,^(u/c) jsou lineárně nezávislé.
•  u±,...,Uk tvoří bázi 1/^ (/?(ui_),...,<p(Uk) tvoří bázi 1/'.
•  dim V = dim 1/',
□ ►   <i5 ►   < -e ►   < -= ►
■f)<\(y
ineární zobrazení
Věta o izomorfismu vektorových prostorů
Nechť 1/, V jsou vektorové prostory. Potom y g V <=> dim V = dim V.

□         r5"
-ŕ)c\o
0 Souřadnice
£ Lineární zob
O Lineární transformace a její matice
u       &        -        =        =     -O^o
sformace a její matice
ineární transformace
Definice
Nechť V je vektorový prostor. Potom lineární zobrazení íp : V —► V se nazývá lineární transformace vektorového prostoru V. Je-li ip navíc bijektivní, nazývá se automorfismus.
□       S1
■f)<\(y
ineární transformace
Nechť <p je lineární transformace vektorového prostoru V. Potom následující pvýroky jsou ekvivalentní:
O <p je automorfismus,
Q ip je injektivní,
O <p je surjektivní,
O <p zobrazuje libovolnou bázi V opět na bázi V,
O ip zobrazuje libovolné lineárně nezávislé vektory opět na lineárně nezávise vektory.
□     s
-f)(\o
sformace a její matice
ineární transformace
Definice
Nechť íp je lineární transformace vektorového prostoru V. Nechť u-\,...,un\e pevná báze V a nechť platí:
<p(yi)
aiiüi +a2iU2 + --- + an1í7„
ip(Un)     =    a^nUy + a2nU2 H--------ha„„U„
au    3i2    ...   a-\n
Potom matice /\
se nazývá matice
an1     an2     • • •     änn
lineárna transformace <p v bázi u-\,...,un
<)o,0
ineární transformace
Nechť ip, ip jsou lineární transformace vektorového prostoru V, A, B jejich matice, t e R. Potom i zobrazení <p + ip, <p o ip, t<p jsou lineární transformace, jejichž maticemi jsou A + B, A ■ B, tA.
□     s
-f)(\o
ineární transformace
Dvě matice A, B jsou maticemi téže transformace ve stejné bázi právě tehdy, když existuje regulární matice S taková, že B = S~:AS.
Definice
Řekneme, že dvě matice A, B jsou podobné právě tehdy, když existuje regulární matice S taková, že B = S"MS.
Relace podobnost matic je relací ekvivalence na množině všech matic daného řádu.
□ ►  <S k  < -e ►  ■<-=►
■f)<\(y