Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z M A I
I. Reálná a komplexní čísla.
1.  Udejte příklad množiny ACR takové, že supA = 1, inf A = — 1, přičemž 1 ^ A, -l e A.
2.  Určete supremum množiny A = {0, 5; 0, 55; 0, 555; 0, 5555;... }.
2
3.  Určete supremum a infimum množiny A = {n2+1 sin(^ + f), n G N}.
4.  Řešte nerovnost (^1)('ff 3j'r5) < 0
(x — l)Ä{x-\-í)         —
5.  Řešte nerovnost \x + 1| + \x — 2| < 5.
II.  Mnohočleny a racionální lomené funkce.
1.  Určete mnohočlen s reálnými koeficienty, jehož kořeny jsou «i = 1, oti = 1 — i, přičemž kořen ct\ je dvojnásobný.
2.  Proveďte dělení mnohočlenů (x4 + x3 + Ax2 + Ax + 1) : (x2 — x + 1).
3.  Napište tvar rozkladu na parciální zlomky racionální lomené funkce x6+2x4+x2 (neurčité koeficienty nepočítejte).
4.  Rozhodněte, zda a = — 1 je kořenem mnohočlenu P(x) = x6 — 2x5 + 5x4 — 8x3 + 5x2 — 2^ + 1, pokud ano, určete jeho násobnost.
5.  Pomocí Hordnerova schématu vypočtěte P(2), je-li P(x) = x5+Ax4 — 2x2 — 3x+l. Popište postup výpočtu a tento postup zdůvodněte.
6.  Určete kořeny polynomu z6 — z3 — 2.
III.  Limita a spojitost.
1.  Udejte příklad funkce / : R —y R, pro níž lima;-,.!.)- f (x) = oo, lim^^i- f (x) = -1.
2.  Vypočtěte limity a) limx^._i± arctgj-r^:, b) lim^^ü ex'2-3*+2.
{ 2 cos x,        x > 0,
3.  Rozhodněte, zda funkce f (x) = <   x+sinx                    je spojitá v bodě x = 0.
L      x     j        x K v
4.  Udejte příklad funkce / : R —>■ R, která má limitu v bodě x = 1 a v žádném jiném bodě limitu nemá.
5.  Udejte příklad funkcí /, g takových, že lim-^oo f(x) = oo, lim^^oo g(x) = oo a lima:_^00(/(a;) - g(x)) neexistuje.
6.  Udejte příklad funkce / : R —>■ R, která je spojitá v bodech x = 1 a x — z a v žádném jiném bodě není spojitá.
7.  Vypočtěte rinx^oo (y/x2 + 5x + 5 — \Jx2 + 3x — 2).
8.  Určete body nespojitosti a jejich druh pro funkce a) arctg-, b) xcotgx.
9.  Formulujte první Bolzanovu větu a pomocí této věty rozhodněte, ve kterém z intervalů a) [—2,-1] b) [—1,1], c) [1,3] leží (jediný) reálný kořen polynomu x3 + 2x + 2. Odpověď zdůvodněte.
10.  Rozhodněte, zda platí toto tvrzení:  Každý polynom lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen. Pokud ano, tvrzení dokažte, pokud ne, uveďte protipříklad.
11.  Vypočtěte lim^^o x sin -.
12.  Vypočtěte limity a) lim^i j^, b) lim^^ fj^f
ix
IV. Posloupnosti.
1. Udejte příklad posloupnosti an takové, že čísla ±1 jsou hromadnými body posloupnosti a an $. {—1,1} pro Vn e N.
Typeset by AmS-TeJÍ
1
2
2.  Vypočtěte limity: a) linin-n» n22"„+33"„    b) lim„_>oo ^2^7.
3.  Udejte příklad posloupnosti an mající nekonečně mnoho hromadných bodů.
4.  Udejte příklad posloupností an, bn takových, že an —y oc, bn —y 0 a limn_).0O (anbn) neexistuje.
5.  Udejte příklad posloupnosti an, pro níž lim sup an = oo, liminf an = 0.
V. Základní vlastnosti funkcí.
1.  Určete intervaly, kde je daná funkce prostá a na těchto intervalech určete funkci inverzní: f(x) = ex +4a:+4.
2.  Určete inverzní funkcí k funkci f(x) = arcsin ^y.
3.  Rozhodněte, zda je daná funkce sudá nebo lichá: f(x) = \x3\ 2 ~22— arcsin J?.x.
4.  Určete nejmenší periodu funkce f(x) = sin3x + tg2x.
5.  Rozhodněte, zda platí toto tvrzení:  Je-li p > 0 periodou funkce f, pak je periodou i číslo np pro Vn e N.
6- fW = Tífe*' FW = /(/(■ • • (/(*)) • • • )• Určete Z10^)-
7.  Udejte příklad nekonstantní funkce / : R —y R takové, že každé kladné racionální číslo je její peroidou.
8.  Načtněte grafy funkcí a) y = ^zf, b) y = —x2 + Ax + 5.
9.  Udejte příklad rostoucích funkcí /, g : R —y R takových, že f — g je periodická s periodoy n.
10. Udejte příklad funkce / : R —y R, která je současně sudá i lichá.
VI. Elementární funkce
\         ___              X-
tt            Q1Y1                          ^     kJ       y    -----    CULV_vO±±±        o
1.  Načrtněte grafy funkcí a) y = sin x~^'   , b) y = arcsin ^^
2.  Určete definiční obor y = warctg^L _ ^,
3.  Určete, pro která x platí log2fqžf < 1-
4.  Rozhodněte, pro která a platí identita cos a; = J 1+c°s2a.
5.  Řešte rovnici 2 arccos(x4 — 3x2 + 2) = n.
6.  Načrtněte grafy funkcí y = arctg (tgx), y = tg (arctgx).
VII. Derivace funkce, ĽHospitalovo pravidlo.
ŕ sinx,   x > 0,
1.  Rozhodněte, zda existuje / (0), je-li f{x) = <
{ x,   x < 0
2.  Udejte příklad funkce / : R —)■ R, která má derivaci v bodě i=-lav žádném jiném bodě derivaci nemá."
3.  Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce y = xx v bodě x = 1.
4.  Udejte příklad funkce / : R —y R, která je spojitá v bodě x = 0, ale /'(0) neexistuje.
5.  Udejte příklad funkce / : R —y R takové, že f (x) existuje pro všechna a; G R, ale f" (2) neexistuje.
6.  Udejte příklad funkce / : R -+ R takové, že f'+(0) = 0, /i(0) = 1.
7- V = t&- Určete?/100).
8.  Určete číslo c e (0,1) z Lagrangeovy věty, je-li [a, b] = [0,1], f (x) = *Jx.
9.  Pomoci vzorce pro derivaci inverzní funkce odvoďte vzorec [arctga;]' = 1}x2 ■
10.  Přímo z definice derivace dokažte vzorec a) (^)' = — ^j. b) (cosx)' = — sítíx.
11.  Vypočtěte a) lim3;_).o+^ b) lima;-».i+ x1^
ó
VIII.  Průběh funkce, extrémy.
1.  Určete počet reálných kořenů kubické rovnice x3 — Ylx + 8 = 0.
2.  Udejte příklad funkce jejíž asymptotou v +oo je přímka j/ = j + la asymptotou v —oo je přímka y = 0.
3.  Určete intervaly, kde je funkce ln^| konvexní a konkávni.
4.  Určete absolutní maximum a minimum funkce f{x) = x — 1 — yfx na intervalu [0,1].
5.  Udejte příklad funkce / : R —> R, pro níž /'(O) = 0, ale v bodě x = 0 nenastává lokální extrém.
6.  Rozhodněte, zda platí tvrzení: Je-li funkce f rostoucí na intervalu (a, b) a v každém bodě (a, b) existuje f, pak f'(x) > 0 pro všechna x G (a, b). Pokud ano dokažte, pokud ne, udejte protipříklad.
í   Slil T     T)ľO T ť*-
7.  Rozhodněte, zda funkce f (x) = <          '                2'   má v bodě x = f lokální
t 0, pro x = \
extrém, pokud ano, rozhodněte, zda je to minimum nebo maximum.
8.  Pro funkci / : R -+ R platí f'(x0) = ■■■ = /(4)0o) = 0, /(5)(^o) > 0. Rozhodněte, zda má funkce / v xq lokálni extrém.
9.  Udejte příklad funkce / : R —> R, která má na intervalu (—7r, ir) právě 3 lokální ostrá minima a právě jedno ostré lokálni maximum.
10.  Funkce /, g : R —>• R jsou konvexní a existují f"\g"'.  Udejte dostatečnou podmínku, aby složená funkce f(g(x)) byla konvexní.
11.  Kladné číslo o rozložte na součet dvou sčítanců tak, aby jejich součin byl maximální.
IX.  Diferenciál a Taylorův mnohočlen v R1.
1.  Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně arcsin0,47.
{ 1 — cos x     x > 0,
2.  Rozhodněte, zda funkce f(x) = <        9                        je diferencovatelná v bodě
^ —x,           x<0
x = 0, pokud ano, určete df(0).
3.  Napište Maclaurinův rozvoj funkcí f(x) = ex, f(x) = lg(l + x) (včetně zbytku v Lagrangeově tvaru).
4.  Určete Taylorův mnohočlen 2. stupně funkce f{x) = xx v bodě xq = 1.
5.  Pomocí Taylorova mnohočlenu 2. stupně vypočtěte přibližně arctgl,05.
6.  Určete horní odhad chyby při přibližném vyjádření e_1~^ — | + ^.
7.  Určete rovnici tečny ke křivce dané parametricky x = cost, y = 2 sin ŕ v bodě
ihVš}.
8.  Rozhodněte, zda křivka x = t + sinŕ, y = cos 2í v okolí bodu [1 + f, —1] leží pod tečnou nebo nad tečnou v tomto bodě.
X.  Primitivní funkce.
1.  Určete primitivní funkci k funkci f (x) = \x — 1|.
2.  Udejte příklad funkce / : R —)■ R k níž neexistuje primitivní funkce. Zdůvodněte.
3.  Vypočtěte a) Jarcsinxda;, b) j 1Ť^qSX dx.
4.  Vypočtěte j Vo,2 — x2 dx.
5.  Vypočtěte J 2x2%3x+1 dx.
6.  Vypočtěte j sin 4.x sin
4
7.  Integrál J   _ /1f_   ,    transformujte vhodnou substitucí na integrál z racionálni lomené funkce. (Vzniklý integrál už nepočítejte).
r°+h f(x)dx
8.   / : R —> R je spojitá v bodě xq. Vypočtěte lrnni_í.0 -^—-g-------.
9.  Vypočtěte j x3\/l + x2 dx.
10. Vhodnou substitucí převeďte f sin^~cosx dx na integrál z racionálni lomené funkce.
^                 J   sin^ x cos x                      °
(Vzniklý integrál už nepočítejte).
XI. Riemannův integrál, aplikace.
1.  Udejte příklad funkce, pro níž f f (x) dx = —3, fQf(x) dx = 1.
2.  Udejte příklad funkce /, která není integrovatelná na [0,1], ale |/| je zde inte-grovatelná.
3.   f(x) =  |4 I = [-1,1], Dn = {-1,-n^l,...,-I, o, i,..., 2^1,1}.   Určete s(f,Dn), S(f,_Dn).
4.  Vypočtěte JQe     lg(x + 1) dx.
5.  Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorec pro výpočet objemu koule s poloměrem R.
6.  Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorec pro výpočet obvodu kružnice s poloměrem R.
7.  Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorec pro výpočet povrchu pláště komolého kužele s poloměry podstav R a r a výškou h.
8.  Rozhodněte, zda konverguje nevlastní integrál J^°    dxr-g-
9.  Rozhodněte, pro která a konverguje integrál jQ jj§-
10. Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorec pro výpočet plochy elipsy s poloosami a a b.
Cvičná písemka č. 1 ke zkoušce z MA I
I. část.   (Každý příklad 1 bod).
1.  Napište tvar rozkladu na parciální zlomky funkce xh+zJí\2x2   (neurčité koeficienty neurčujte).
2.  Určete intervaly, kde je daná funkce prostá a zde určete funkce inverzní: y = ln(x2 + 2a; + 2).
3.  Udejte příklad funkce / : IR —> R, pro níž lim^^.i_ f(x) neexistuje a limx^1+ f(x) = 1.
2
4.  Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = -^j v bodě [2,4].
5.  Přímo z definice odvoďte vzorec pro derivaci (-) .
6.  Určete   Taylorův  mnohočlen   druhého   stupně   se   středem  x o    =   0   funkce y = lg(x + Vl + x2).
7.  Udejte příklad funkce / : IR —> R, jejíž asymptoty bez směrnice jsou x = 1, x = — 1 a přímka y = 0 je asymptotou pro x —y oo i x —y —oo.
8.  Vypočtěte j arctg x dx.
9.  Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací křivky y = sinx, x G [0,7r], kolem osy x.
10. Vypočtěte nevlastní integrál J0°° xe~x dx
5
II. část.
1.  (3b.) Derivujte a upravte
,      , 1 + cos x      1 cos x y = ln
2.  (3b.) Vyšetřete průběh funkce
sin x         2 sin2 x
e2(a:+l)
y
3. (4b.) Vypočtěte
-n/2
/
•i IX
2(x + l)
cos x
-------dx.
/6   sin3 x + sin2 x + sin x
Cvičná písemka č.  2 ke zkoušce z MA I
I. Část.   (Každý příklad 1 bod).
1.  Určete kořeny polynomu zA — 7 z2 — 8.
2.  Pomocí A a 5 definujte lim^^i /(x)  = oo.    Udejte konkrétní příklad funkce spňující tento vztah a načrtněte její graf v okolí bodu x = 1.
3.  Udejte příklad posloupnosti an mající právě 3 hromadné body 0,1,3, přičemž an £ {0,1, 3} pro Vn e N.
4.  Načrtněte graf funkce y = arcsin ^£^L
3   •
— ^.3
5.  Určete číslo c z Lagrangeovy věty o střední hodnotě pro funkci f(x) = x   na intervalu [a, b] = [0,1].
6.  Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně i/4, 05.
7.  Určete Maclaurentův rozvoj (včetně zbytku) funkce f{x) = ex.
8.  Integrál Ji      ,dx  2 transformujte vhodou substitucí na integrál z racionální lomené
funkce. (Vzniklý integrál z rac. lomené funkce už nepočítejte).
9.  Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorec pro výpočet objemu kužele s poloměrem podstavy R a výškou h.
10. Udejte příklad funkcí f,g, které nejsou integrovatelné na intervalu [0,1] a jejich součet / + g je zde integrovatelný.
II. Část.
1. Vypočtěte limity (2b. + 2b.)
7TX      \                              1/1
a)   lim  I arctg-------- )   ,     b)    lim
X
x->oo y         Ax + 1/             x->o+ x \sina;      tg a;
2.   (3b.)   Do půlkruhu o poloměru R vepište lichoběžník s maximálním obsahem. Tento obsah určete. (Základna lichoběžníka je totožná s průměrem půlkruhu).
3.   (3b.) Určete v jakém poměru dělí parabola y2 = 2x plochu kruhu x2 + y2 = 8.