Sbírka příkladů k přednášce Matematická analýza I a II Luboš Piek Obsah Kapitola 1. Opakování středoškolské látky, logika, axiomy reálných čísel 1 1. Opakování středoškolské látky, logika, matematická indukce 1 Výsledky 3 2. Axiomy reálných čísel 3 Výsledky 4 Kapitola 2. Posloupnosti 5 3. Vlastní limita posloupnosti 5 Výsledky 6 4. Věty o limitách 7 Výsledky 8 5. Monotónní posloupnosti, nerovnosti s logaritmy, číslo e 8 Výsledky 11 Příklady písemkové obtížnosti 11 Kapitola 3. Řady 12 6. Konvergence řad - úvod 12 Výsledky 12 7. Rady s nezápornými členy 12 Výsledky 15 8. Rady s reálnými členy 15 Výsledky 16 Kapitola 4. Limity funkcí 17 9. Limity funkcí 17 Výsledky 18 10. Derivace funkce, 1'Hospitalovo pravidlo 18 Výsledky 19 11. Průběh funkce 20 Kapitola 5. Taylorův polynom 21 12. Taylorův polynom 21 Kapitola 6. Primitivní funkce 23 13. Snadné úpravy 23 14. Integrace trigonometrických funkcí 23 15. Metoda integrování per partes 24 IV OBSAH 16. Substituce 24 17. Lepení 24 18. Integrace racionálních funkcí 24 19. Integrace iracionálních funkcí 25 20. Eulerovy substituce 25 Kapitola 7. Funkce více proměnných 26 21. Základní pojmy 26 Výsledky 27 22. Limita a spojitost 27 Výsledky 30 23. Derivace a totální diferenciál 30 Výsledky 32 24. Řetízkové pravidlo 32 Výsledky 33 25. Implicitní funkce 33 Výsledky 34 Kapitola 8. Metrické prostory II 35 26. Úplné metrické prostory 35 27. Banachova věta o kontrakci 36 28. Souvislé prostory 37 Kapitola 9. Obyčejné diferenciální rovnice 39 20. Základní rovnice, separace proměnných 39 21. Homogenní rovnice 41 22. Exaktní rovnice 42 23. Lineární rovnice 1. řádu 43 24. Lineární rovnice vyššího řádu 43 25. Systémy lineárních rovnic 1. řádu 44 Kapitola 10. Lebesgueův integrál v Era 46 35. Konvergence Lebesgueova integrálu 47 Výsledky 48 36. Záměna řady a integrálu 49 Výsledky 50 37. Záměna limity a integrálu 51 38. Integrál závislý na parametru 51 Výsledky 53 Kapitola 11. Křivkový a plošný integrál v W1 54 39. Křivkový integrál 1. druhu 54 Výsledky 56 40. Křivkový integrál 2. druhu 56 Výsledky 58 OBSAH 41. Greenova věta Výsledky 42. Plošný integrál 1. druhu Výsledky 43. Plošný integrál 2. druhu Výsledky 58 59 59 60 61 62 KAPITOLA 1 Opakování středoškolské látky, logika, axiomy reálných čísel 1. Opakování středoškolské látky, logika, matematická indukce 1.1. V oboru reálných čísel řešte nerovnost logi (x2 - 3x + 3) > 0. 1.2. Nakreslete graf funkce fix) = \\\\x\ — 11 — 11 — 11. O J \ / MNI I I I 1.3. Určete definiční obor a obor hodnot funkce f(x) = x — \Jx2 — 1. 1.4. Rozhodněte o správnosti následujících výroků a napište jejich negace. Vx G N 3y G N : (z > x => y < z) Ma G E 3e > 0 3a G E \/x G E : (x G (a, a + e) & \x - a\ < 1); 3a G E Ve > 0 Va G E 3x G E : (x G (a, a + e) <* \x - a\ < 1). 1.5. Hádanky z ostrova poctivců a padouchů (podle R. SmuUyana): (i) Jdete kolem tří obyvatel ostrova a zeptáte se: Kolik je mezi vámi poctivců? A odpoví nezřetelně, tak se zeptáte B: Co říkal A? B odpoví: A říkal, že je mezi námi jediný poctivec. Nato řekne C: Nevěřte B, ten lže! Co jsou B a C? (ii) A řekne: Buď jsem já padouch a nebo B je poctivec. Co jsou A a B? (iii) A řekne: Já jsem padouch, ale B je poctivec. Co jsou A a B? (iv) A řekne: B a C mají stejnou povahu. Nato se zeptáte C: Mají A a B stejnou povahu? Co odpoví C? 1.6. (i) Dokažte, že (v^2 + VŠ) £ Q-(ii) Pro která n G N platí: V^ G Q? (iii) Dokažte pomocí vhodného protipříkladu, že neplatí výrok VjigN: n2 + n + 41 je prvočíslo. (iv) Nyní dokažte, že neplatí ani výrok \/n G N, n < 41 : n2 + n + 41 je prvočíslo. i 1. OPAKOVANÍ STŘEDOŠKOLSKÉ LÁTKY, LOGIKA, AXIOMY REÁLNÝCH ČÍSEL 1.7. Dokažte, že následující vztahy platí pro všechna nGl n + l\ ín\ í n k + lj = \k) + U + l SI fc=0 v n ^kln)=n2n-1 ^ \k fc=0 v 1.8. Dokažte zobecněnou Bernoulliovu nerovnost: VneNVx>-2: (1 + x)n > 1 + nx. (Návod: použijte matematickou indukci s krokem n —► n + 2.) 1.9. Spočtěte E fc= ^k(k + l)' 1.10. Nechť ai,... ,an jsou kladná reálná čísla. Označme postupně An, Gri Hn aritmetický, geometrický a harmonický průměr čísel Cíl, ... , Q>ni tedy An — ai + ■ ■ • + an n Gn = ýaia2 ...ar. Dokažte nerovnost Í + ... + Í- «i a„ 11 n j^ ^n _ ^±n • Druhá z těchto nerovností se často označuje jako tzv. AG nerovnost. (Návod: použijte matematickou indukci s krokem n^2na potom znovu se zpětným krokem n —► n — 1 k důkazu druhé nerovnosti. První nerovnost pak dokažte použitím druhé nerovnosti na převrácené hodnoty čísel a±,..., an.) 1.11. Dokažte nerovnost 11 12 n n +1 2n 3 1.12. Dokažte nerovnost VneN: Í1 + —!—- ) < ( 1 + -\ n — 1J \ n (Návod: použijte AG nerovnost pro čísla ai = oq = • • • = an-\ = ^zj, an = 1.) 2. AXIOMY REÁLNÝCH ČÍSEL Výsledky Cvičení 1.4: Všechny výroky jsou pravdivé. Cvičení 1.5: (i) B je padouch a C je poctivec; (ii) oba jsou poctivci; (iii) oba jsou padouši; (iv) ano. Cvičení 1.6: (ii) n = k2, k E N; (iii) n = 41; (iv) n = 40. Cvičení 1.9: 1. 2. Axiomy reálnych čísel Axiomy tělesa. 2.1. Dokazte následující tvrzení: (i) Jestliže pro nějaké x, y, z E R platí x + y = x + z, pak y = z. (ii) Nechť x E R, x ^ 0. Pak opačný prvek (—x) a inverzní prvek ^ jsou jednoznačně definovány. (iii) Platí: (iv) Platí: ViGR: x ■ 0 = 0. Wx,y E E : (—x)(—y) = xy. 2.2. Nechť a. ,bER. Dokazte následuj: ící7 vztahy: (2.1) -0 = 0; (2.2) — (—a) = a; (2.3) -a = (-l) • a; (2.4) (—a) • b = —(a ■ b) = a ■ (- -b). 4 1. OPAKOVÁNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ LÁTKY, LOGIKA, AXIOMY REÁLNÝCH ČÍSEL Axiomy uspořádání. 2.3. Nechť i,|/GR. Dokažte následující vztahy: (2.5) 0 < 1; (2.6) 1 0 < x =>- 0 < -; X (2.7) x + y x < y =>- x < ------- y 2 (2.8) 0 < x lim ara+i = A; n—>oo n—>oo (3.2) lim an+i = A n—>oo => lim ara = A; TI—>00 (3.3) lim an = A n—>oo => lim a2n = A; n—>oo (3.4) lim a2n = A n—>oo => lim ara = A; n—>oo (3.5) Ctn \ Ofi =^ lim ara < lim 6ra; n—>oo n—>oo (3.6) Ctfi \ Ofi =^ lim ara < lim 6ra. TI—>00 TI—>00 3.2. Nalezněte příklad posloupnosti an takové, že \an\ konverguje, ale an diverguje. 3.3. Mějme dánu posloupnost {an}. Zkonstruujeme z ní novou posloupnost {bn} pomocí jedné z následujících úprav: vyhodíme z {an} konečně mnoho členů; přidáme do {an} konečně mnoho členů; vyhodíme z {an} nekonečně mnoho členů; přidáme do {an} nekonečně mnoho členů; vyhodíme z {an} každý sudý člen; přidáme do {an} číslo 0 mezi každé dva členy; zpřeházíme konečné množství členů. Rozhodněte, která z těchto operací bude mít vliv na konvergenci {bn} v závislosti na konvergenci {an}. 3.4. Pomocí definice limity posloupnosti určete, která z následujících posloupností má a která nemá limitu. V případech, kdy limita existuje, ji určete. 5 6 2. POSLOUPNOSTI (3-7) (-iril--), Ä (-D- 7b" 10 n/ 1 — 5n2' 7i + 2tí2 — 4tí4 ' (3.8) ^^, V^ + 3 - v^, ^71 + 2-^71-1; (3.9) £, £ *. y J n\ 2n nn 3.5. Spočítejte následující limity: /o-,^ v v^+I-^TTT v (n + 4)100-(7i + 3)100 (3.10) lim -----. ------——, lim ----;--------—r------—----; V } n^oo 13/T^3_13^- > „^ (n+ 2)100 _n100 ' (3.12) lim - - - + - - • • • + ( 1)n~ln, lim v^V^V^... % \Tl—1„ ra^oo n n n n n 1 3 /— (3.13) lim V —1—, lim (-1)" ? ^ . 3.6. Udejte příklad posloupnosti racionálních čísel, která konverguje k iracionálnímu číslu. Udejte příklad posloupnosti iracionálních čísel, která konverguje k racionálnímu číslu. 3.7. Jestliže se reálné číslo b opakuje nekonečně mnohokrát jako člen konvergentní posloupnosti {an}, pak liix^oo an = b. Dokažte! Výsledky Cvičení 3.1: Všechny výroky jsou platné kromě (3.4) a (3.6). Cvičení 3.2: (-l)ra. Cvičení 3.4: (3.7) neexistuje, — |, 0. Všechny ostatní limity jsou rovny 0. Cvičení 3.6: (1 + ±)n, z. 4. VĚTY O LIMITÁCH 7 4. Věty o limitách 4.1. Vyberte konvergentní podposloupnost divergentní posloupnosti on = (-ir(i-^). 4.2. Nechť ara konverguje k 0 a nechť bn je omezená. Potom lim anbn = 0. n—>oo Dokažte! 4.3. Vyšetřete konvergenci posloupnosti v^! 4.4. Rozhodněte, která z následujících posloupností je (i) omezená, (ii) monotónní, (iii) konvergentní. Pokud existuje limita, určete ji. (4.1) n--, n1-*1, v^TT-v^, n2 + (-l)n, 31/n, sin—. n 2n 4.5. Dokažte následující Stolzovu větu: Nechť {an}, {bn} jsou dvě posloupnosti, {bn} je rostoucí a neomezená a platí: nm °;n+1 ~ °;n = a. n^oo bn+i - bn Potom také lim —- = A. n^oo bn 4.6. Vypočítejte pro pevné p G N (4.2) hm ----------—---------; lim n—>oo yT,p+1 »woo y np p + 1 (Návod: použijte Stolzovu větu.) Rekurentně zadané posloupnosti. 4.7. Spočítejte limitu následující rekurentně zadané posloupnosti: ai = k, k > 0, ara+i = \Jk + an. 4.8. Nechť x,y jsou kladná reálná čísla. Definujeme 1 / x ao = y, an =------------h ara_i ^ \ara-l Dokažte, že an je klesající a konverguje k ^/x, a to bez ohledu na volbu y. Použijte (í4 k přibližnému výpočtu \[2. 4.9. Spočítejte limitu následující rekurentně zadané posloupnosti: d\ =0, Ü2 = 1, an = 2\an-2 + tt-n-l)- 4.10. Spočítejte limitu následující rekurentně zadané posloupnosti: a\ = d, ß2 = b, an = \Jdn-2 ■ cin-i, d, b > 0. 2. POSLOUPNOSTI Výsledky Cvičení 4.1: (± - £). Cvičení 4.3: diverguje k +oo. Cvičení 4.6: —\-r, 1 — ^-. Cvičení 4.7: § + aA + í-Cvičení 4.9: §. 5. Monotónní posloupnosti, nerovnosti s logaritmy, číslo e 5.1. Nechť {an} a {&„} jsou posloupnosti reálných čísel, splňující an+i > an-bn, ne N, a lim bn = 0. TI—>00 Dokažte, že potom {an} má limitu. 5.2. Dokažte, že posloupnost (1 + -)n je rostoucí a že posloupnost (1 + !)ra+1 je klesající. Odtud vyvoďte, že obě tyto posloupnosti mají společnou limitu. Tuto limitu označíme symbolem e. Pro každé n G N tedy platí (5.1) 1 + - 00 lim í n—>oo \ / 2 \ a" 1 + — =e lim n—>oo 5. MONOTÓNNÍ POSLOUPNOSTI, NEROVNOSTI S LOGARITMY, ČÍSLO 5.4. Nalezněte následující limity: (5.2) lim(l + -j , lim (1 + -J , lim ( 1 -- n->oo y n J n->oo y n J n->oo \ n , (5.3) lim (l + —\ lim f 1 +— V ' ra^oo y n2 J n^oo \ 2" / 1 \n í 99 5 (5.4) lim 1----------------, lim-------h - v ' l 100 + 2^7 ' n^oo^lOO n n—>oo n 5.5. Dokažte nerovnost 2 < ( 1 + - J < e. n (Návod: použijte Bernoulliovu nerovnost a příklad 5.2.) 5.6. Dokažte nerovnost 1 / 1\ 1 < log 1 + - < -, fceN. fc + 1 V kJ k' (Návod: použijte nerovnost log(l + x) < x, která platí pro všechna x > — 1 (a pro všechna x ^ 0 je ostrá), a vztah 1 + | = (1 — -^rrj-)-1.) 5.7. Dokažte nerovnost 11 1 , 11 1 2 + g + ••• + - < log n < 1 + g + ä + ''' + ^3Y' n G N, n > 2. (Návod: posčítejte nerovnosti v příkladu 5.6 pro k = 1,... ,n — 1.) 5.8. Dokažte, že konverguje posloupnost -, 11 In a« = 1 + ö + ô -^--------1-------loS n- 2 3 n (Návod: dokažte, že posloupnost je monotónní a omezená.) 5.9. Spočtěte limitu ,. / 1 1 1 1 lim----------1------------1------------1--------1------ n^yn-\-l n + 2 n + 3 2n 5.10. Dokažte nerovnosti fn + l\n , fn\n n\< I —— j , nlKe^-J , n>2 (Návod: použijte matematickou indukci, Bernoulliovu nerovnost a definici čísla e.) 5.11. Dokažte nerovnost (5.5) (-)" < n\ < e2 (-)™+1 , n > 2. (Návod: použijte matematickou indukci a elementární nerovnosti (5.1).) 10 2. POSLOUPNOSTI 5.12. Dokažte následující větu: Nechť {an} je posloupnost s kladnými členy, splňující podmínku lim 2=±I = A. Potom také lim ^/E^ = A. n—>oo 5.13. Dokažte, že vn! 1 lim -------= -. ra^oo n e (Návod: použijte větu z příkladu 5.12. Elementární důkaz plyne z odhadů (5.5) a věty o dvou policajtech.) 5.14. Dokažte, že věta z příkladu 5.12 neplatí obráceně. (Návod: an = 3+2{~+T .) Příklady pro koumáky. 5.15. Spočtěte limitu lim n (\/x — l) , x > 0. 5.16. Nechť 6i = VŽ, bn+1 = V2 + bn, neN. Spočtěte limitu lim 2rav/2 - bn. n—>oo Návod: Položte bn = 2 cos /3ra pro vhodné /3ra. 5.17. Buďte an, bn posloupnosti, lim an = A, lim bn = B. Položme 1 n n *■—' -'n—k- n fc=l Dokažte, že posloupnost tn konverguje a najděte její limitu. Co by se stalo, kdybychom vynechali faktor -? Příklad pro extrémní koumáky. 5.18. Nechť posloupnost {an} splňuje podmínku 0 < dm+n 0, 6 > 0, lim (V2ra + a- ^2n + b) ■ y/(n + l)(3n + 2). n—>oo \ / 5.21. Pro která a G E je posloupnost {an} (i) omezená, (ii) konvergentní: an = (log(era2 + 1))" • arcsin (j^j ■ (-l)n- 5.22. Spočtěte limitu posloupnosti pro a G E lim n((l + -Y -ea). 5.23. Spočtěte limitu posloupnosti lim f 1 + log f 1 + - ] ] n->oo y \ n J J 5.24. Spočtěte limitu posloupnosti lim \J'v? + 1 • (— — arctg n n—>oo \ 2 KAPITOLA 3 Rady 6. Konvergence řad — úvod 6.1. Zjistěte, zda následující řady konvergují a pokud ano, určete jejich součet. A 1 A, n2 + 3n + 4 1 1 1 { ' ^n(n + lY ^[ } 2n2 + 5 ' 1 • 3 + 3 • 5 + 5 • 7 + """! n=l v ' n=l (6.2) 1-1 + 0 + 1-1 + 0 + 1-1 + 0 + ...; , , 111111 , ,. x^ , , í — - jestliže n je dělitelné třemi; (6.4) ^o», kdean=\1n '. '. ■'—f - íestlize n nem dělitelné třemi. 6.2. Mějme dánu řadu Yľ^=i an- Provedeme jednu z následujících úprav: vyhodíme konečně mnoho členů; přidáme konečně mnoho členů; vyhodíme nekonečně mnoho členů; přidáme nekonečně mnoho členů. Rozhodněte, která z těchto operací může mít vliv na konvergenci. Výsledky Cvičení 6.1: (6.1) konverguje k součtu 1, diverguje, konverguje k součtu |. (6.2) diverguje. (6.3) konverguje k součtu 0. (6.4) diverguje. 7. Rady s nezápornými členy Srovnávací kritérium. 12 7. ŘADY S NEZÁPORNÝMI CLENY 13 7.1. Pomocí srovnávacího kritéria zjistěte, zda následující řady konvergují či divergují. (7 x v^ nz + 3n + 4 ^ n V^ l {-] ^ (2ra2 + 5)2 ' ^#TT' Z^^š + WŠ^T ra=l v ' n=l n=l v v ._ ^v^ + i-y^ + T Tl=l v 7.2. Dokažte následující větu: Řada Yľ^Ĺi ~^i a G R, je konvergentní právě tehdy, když a > 1. (Návod: dokažte, že pro a > 1 lze řadu 5ľ^L:L ^ odhadnout shora konvergentní geometrickou řadou Yľ^=i (2°^") ' a ^e Pro a - : lze řadu Y^Li ^ °d-hadnout zdola divergentní harmonickou řadou.) Cauchyovo, ďAlembertovo a Raabeovo kritérium. 7.3. Zjistěte, zda následující řady konvergují či divergují. Použijte buď srovnávací nebo Cauchyovo nebo ďAlembertovo nebo Raabeovo kritérium. 2« °° (n\\2 °° n\ , ni *—! viny. ^—' n" n=l n=l v ' n=l 00 , 00 (7-4) £^r, E (v/2 - v/2) (v^-^)...^-2^); Tl=l Tl=l OO 1 \ra' 1 •. —t- — 1 --------- \ í 11 1 v 11. --------- 1 11 -t- ■ Tl=l 00 JÍ./Ô 1 / -nra^"- °° /i 1 „„„„\ 2ra-logra nJ n=l v ° n=l V ra> (,6) EÄÍL, f+- . 2 + cos n n=l n=l N 7.4. Určete, pro které hodnoty a > 0 konvergují následující řady. (7 7) fJ?=ÍL Tl=l v ' OO (7-8) £ Tl=l OO (7.9) J>a(log(n + l)-logn)4; ra=2 00 (7.10) Y, a ni n 1 n Tl=l n!e Tl=l n n+a 14 3. ŘADY (Návod: pro (7.9) použijte nerovnosti v příkladu 5.6 a pro (7.10) použijte Raabeovo kritérium.) 8. ŘADY S REÁLNÝMI CLENY 15 Výsledky Cvičení 7.1: (7.1) konverguje, diverguje, diverguje. (7.2) konverguje. Cvičení 7.3: (7.3) konverguje (Cauchy & Cvičení 3.4), konverguje (ďAlembert), konverguje (Cauchy & Cvičení 5.13). (7.4) konverguje (Cauchy, Cvičení 4.3 & (3.9)), konverguje (ďAlembert). (7.5) konverguje (Cauchy), diverguje (není splněna nutná podmínka konvergence), diverguje (není splněna nutná podmínka konvergence). (7.6) konverguje (Cauchy), konverguje (funkce ^| je rostoucí na intervalu [—1,1], a tedy řadu lze shora odhadnout konvergentní řadou Yľ^=i (f) °gn ■ Cvičení 7.4: (7.7) konverguje právě když a G (4,oo) (ďAlembert a Raabe), (7.8) konverguje právě když a G (0, e) (ďAlembert a první nerovnost ve Cvičení 5.11), (7.9) konverguje právě když a G (0, 3) (základní limita linx^o = 1 a věta z Cvičení 7.2) (7.10) konverguje právě když a G (|,oo) (Raabe). 8. Rady s reálnými členy Dirichletovo, Ábelovo a Leibnizovo kritérium. 8.1. Vyšetřete konvergenci řad «"> Ě<-«-(*-0. ±3W^-< n=l n=l ' (8.2) ysin^/3)^ ^(cos^fv^T^-n3). n=l y n=l 16 3. ŘADY Různá kritéria pro konvergenci řad. 8.2. Určete, pro která z G E konvergují následující řady 00 on °° ora °° ^3 ___ ___ on ^ on ^ „a <«> £»'*"• El*"- E^. E^ Tl=l Tl=l Tl=l Tl=l 00 /_l\)i+l~n °° n °° /_i^ra+l 2ra+l (8'4) ^ ň ' ^^' ^ 2^+í ' Tl=l Tl=l Tl=0 8.3. Přesvědčte se, že pro vyšetření konvergence řady l-3-5...(2ra-l) Nara, kde a,n 2-4-6...2ra 2 Tl=l nelze použít Cauchyovo, ďAlembertovo ani Raabeovo kritérium. Dokažte, že tato řada diverguje. Výsledky Cvičení 8.1: (8.1) konverguje neabsolutně (Leibniz), konverguje absolutně (řadu lze shora odhadnout konvergentní řadou Yľ^=i (8.2) konverguje neabsolutně (Dirichlet), konverguje absolutně (řadu lze shora odhadnout konvergentní řadou Yln°=i (V^6 + n — n3)). KAPITOLA 4 Limity funkcí 9. Limity funkcí 9.1. Spočtěte následující limity: /r.i\ t sm(ax) x 1 —cosx (9.1) lim----------, a > 0, lim lim------------; *—o x z—otg(f) ^—o ^ .„ _ tgx — sinx 1 —cos3x (9.2) lim--------t-------, lim-----——-. x^o xó x^o xsm(2x) 9.2. Spočtěte následující limity: ,nn, (ŕ — 1 n n. e2x — l logx —1 (9.3) lim---------, a > 0, lim—------ lim------------. x^O X x->0 3x x^e x — e 9.3. Najděte a, b G E tak, aby lim ( Vx2 — x + 1 — ax — 6) =0. IE—> — OO V / 9.4. Spočtěte následující limity: (9.4) lim ----------—-------, lim \\x + \x + \fx — \fx , ^ ,. (1 + mx)n — (1 + nx)m ^ ,. tg3 x — 3tg£ 9.5 lim ^----------^—-i----------'—, m,neN, lim -2—-------1-. *-o x2 x-f cos(x+|) 9.5. Spočtěte následující limity: i (9.6) lim (tg x)«™, H{tTxT*) ' fcalog(l + i)log(3*-l). 9.6. Spočtěte následující limity: (9.7) log(l + sinx) ,. esin^ - eaľcsinx ,. e21 - 2sin(f + x) lim —,------, , lim----------------------, lim X 0 y/2x + l-y/x + ť ^0 tg Z ' *-0 tg Z 9.7. Spočtěte limity následujících posloupností: 1 (9.8) lim 1 + ;________ .______ ™^°° V V^4 + 2n3 - V^4 +1, (9.9) lim n{\/2-l), lim sin(27iVra2 +1). ra—>oo n—>oo 17 18 4. LIMITY FUNKCÍ 9.8. Spočtěte: (9.10) lim arcsm(v^) lim(l + sin(7rx))cot^); X-0+ log(l + i/Ž) ' x^V 2 (9.11) lim X x^° Vl + a^ sin x — i/cosx Výsledky Cvičení 9.1: a, 2, i, i, f. Cvičení 9.2: log a, |, ^. Cvičení 9.3: a = 1, 6 = |. Cvičení 9.4: 1, i, ^f(m-n), -12. Cvičení 9.5: i, |, 4log3. Cvičení 9.6: 2, 1, 1-^3. Cvičení 9.7: e, log2, 0. Cvičení 9.8: 1, ±, 4. ' e' 10. Derivace funkce, I'Hospitalovo pravidlo 10.1. Spočtěte: (10.1) lim x ( f — arctg ÍE^OO y4 " X + 1 10.2. Spočtěte následující limity: (10.2) lim (cosrí/ž))*, lim ---------. ^N 2^0+v vv *-o+1 - cos(i/ž) 10.3. Definujme funkci 1 — \/čosx X lim ^±o Vl - e"212 1 * pro x^0; 1 i pro x = 0. Určete, zda má funkce / derivaci v bodě 0 a pokud ano, spočtěte ji. VÝSLEDKY 19 10.4. Spočtěte následující limity: (10.3) lim ^y 1 , lim(2 - xf^h x^>f 2sin2x — 1' x->i" ,-,« a\ i- /arcsmxV ,. (a + x)x-ax (10.4) lim ---------- , hm--------'--------, a > 0. z—0 \ X J x^O x2 10.5. Najděte asymptotu funkce m (1 + x)x pro x —► +00. 10.6. Spočtěte limity následujících funkcí: SÍTI T* \ 1—cos x p"^ __ p "^ __ 2t* / 7T (10.5) lim ( ------ ) ; lim----------:-------, lim X no^ x J x^o x — sinx íe^oo y 2 arctg x / 10.7. Spočtěte derivace (i jednostranné, pokud oboustranná neexistuje) ná- sledujících funkcí: (10.6) f(x) (10.7) f(x) = max{min{cosx, (1/2)}, (-1/2)}; arctg(tg2 x) pro x ^ | + /ot, k E Z, 71 pro x = f + /c7r, k E Z; e~x2: (10.8) /(x) = x/T (10.9) f(x) = arccos 1 + x2' /.„.„x <./ x í x2 (sin - + cos-) pro x 7^ 0, (10.10) /* Hn V x n I 0 pro x = 0; (10.11) /(z) =x{-xX\ prox>0; (10.12) f(x) = max{x + 4arctg(sinx),x}. Výsledky Cvičení 10.1: \. Cvičení 10.2: e~*, 0, ±1. Cvičení 10.3: f'(x) = ^. Cvičení 10.4: (10.3) e, e*. 20 4. LIMITY FUNKCÍ (10.4) ei, i. Cvičení 10.5: * + f. e 2e 1 2 Cvičení 10.6: e~3, 2, e~. 11. Průběh funkce 11.1. Vyšetřete průběhy následujících funkcí 2x (11.1) fix) = arcsin —-----; v ! Jy ! x2 +1 (11.2) f(x)=x$; (11.3) f(x)=logxe; (11.4) f(x)=\og (11.5) /(z) = (smx)cosx; (11.6) /(x) = x - Vx2 - 1. 11.2. Vyšetřete průběhy funkcí (v prvních dvou příkladech nemusíte vyšetřovat konvexitu) m = -^-, f(x) = (cosx)e^nx, cos 2x ,3 „ , , , „, x .x í x X tg4 f(x) = (log |x|) — 31og|x|, /(x) = (x — 1) exp ,1 + x 11.3. Vyšetřete průběh funkcí sin3 x + cos2 x, \/x2(l — x2), arccos x VT x ľ arctg —-----, arcsin ( — arctg \J\ — x2 ) . X2 — l \7T / KAPITOLA 5 Taylorův polynom 12. Taylorův polynom 12.1. Napište Taylorův polynom funkce f(x) = e2x~x stupně 3 v bodě 0. 12.2. Napište Taylorův polynom funkce f(x) = \fx stupně 3 v bodě 1. 12.3. Spočtěte přibližně \/25Č). 12.4. Řešte přibližně rovnici ex(3 — x) — 3 = 0. Porovnejte s přesným řešením x = 2.822... 12.5. Pomocí Taylorova polynomu spočtěte následující limity. (12.1 (12.2 (12.3 (12.4 (12.5 (12.6 (12.7 (12.8 (12.9 lim x^O lim cos x — e 2 x-^b x4 ' ax + a~x — 2 ÍE^O x2 e^sinx — x(x + 1) lim----------------------------: x^O xá lim sin (sin x) — x\/l — x2 x^Q X° - — cotg X lim--------------; x^O x lim ( \/x% + x5 — tyx6 — xb ) ; lim ( x — x2 log ( 1 + \ x 1 — (cosx)sma; lim x^O x siná; 3 e" lim -JL- x^O X4 21 22 5. TAYLORŮV POLYNOM 12.6. Určete, pro které a G E jsou následující veličiny srovnatelné s xa pro x —► xq. Poté spočtěte linij,^^ ^-. (12.10) f(x) = tg (sin x) — sin(tgx), xq = 0+; (12.11) f(x) = (l + x)x -1, x0 = 0+; (12.12) f(x) = U/x + 1 + Vx - 1 - 2-y/x) , x0 = oo. 12.7. Nechť /(x) = 1 + kx + o(x). Potom lim {f{x))x = e . Dokažte! KAPITOLA 6 Primitivní funkce 13. Snadné úpravy 13.1. Spočtěte následující primitivní funkce: (13.1 (13.2 (13.3 (13.4 7 Vi -x2 ' J 1 + x4 ' J 1 + cosx' 13.2. Pomocí jednoduchých substitucí spočtěte následující primitivní funkce: (13.5 (13.6 (13.7 (14.1 (14.2 (14.3 (14.4 r r (x _|_ \\ (x + 5)3 dx, / sin(2x + 7) dx, / -----j=— dx; jx I X J V2-5x' J V2 - 3x2 ' J 1 + x Varctg x 1 + ar sm (log £ J —, x' y (x + i)i/i' y xv^c2 -1' sin x ľ 2x + 1 ľ x + 1 Vcoi2^ ' 7 x2 + x + l ' 7 x2 + 2x + 9 \JjiAJ / \JjiAJ / \JjiAJ V^TT' 7 v7^^' 7 v/^(1 + ^2)' 14. Integrace trigonometrických funkcí 14.1. Pomocí trigonometrických vzorců určete následující primitivní funkce: sin2;r J (l+x2)n> J arCtS(v^) dx. 15.2. Pomocí metody integrování per partes odvoďte formule pro následující primitivní funkce: (15.3) eaxsinbxdx, axcsmxdx, / sin(logx) dx. 16. Substituce 16.1. Pomocí vhodné substituce spočtěte následující primitivní funkce: (16 1) Í^Ě^dx í^—dx í C0SX • [ } J x **' J x*-2*E> J v/2 + cos(2x)' ,-,,„, ľ x2 , [x2 + i , r log (x+ VTTÖ?) , 16.2) / -------dx, / -------jdx, \ -^---------ô-------dx. y J J 1 + x ' ./ 1 + x4 ' /V í + x2 17. Lepení 17.1. Procvičte si lepení primitivních funkcí na následujících příkladech: (17.1) / \x\ dx, / e~>x> dx, / max{x,x2} dx; dx 1 + sin"* x' (17.2) / 2 ; \2x + l\dx; (\1 + x\ - \1 - x\) dx. 18. Integrace racionálních funkcí 18.1. Pomocí rozkladu na parciální zlomky spočtěte následující primitivní funkce: /-,„-. x ľ x3 +1 , f x x3 — 5x2 + 6x ' J x2 — x — 2 (18.2) /-rr^, ' d" ' X3 — 1 /1 + x6 x3 - [ x4 J x4 + 5x2 + 4' ----------dx. -3x + 2 20. EULEROVY SUBSTITUCE 25 19. Integrace iracionálních funkcí 19.1. Spočtěte následující primitivní funkce: (19.1) fj==**> fyfi^dx, f^jž^ (192) [.[Ujel ľ_____dx_____ ľ x2 rW J yi + xx ' J i + v/^+v/^TT j ví + x + x2 20. Eulerovy substituce 20.1. Pomocí Eulerových substitucí spočtěte následující primitivní funkce: (20.1) ľ dx ľ dx (20.2) x + \Jx2 + x + 1 J \ + \J\ — 2x — x2' f x — \Jx2 + 3x + 2 /" x2 x Vx2 + 3x + 2' y 2 Vi - z2 ' KAPITOLA 7 Funkce více proměnných 21. Základní pojmy 21.1. Načrtněte grafy následujících funkcí: f(x,y) = 3 (l - | - |) , 0 < x < 2,0 < y < 4 - 2x; f(x,y) = \/9 - x2 - y2; f(x,y) = \Jx2 + y2; f(x,y) = x2 + y2. 21.2. Načrtněte graf funkce (jedné proměnné) F(t) = f (cost, siní), kde 21.3. Určete a načrtněte definiční obory následujících funkcí: f {x,y) =x + v/y-l; f [x,y) = y/l - x2 - y2; f (x,y) = — ; \j x1 + y — l f(x,y) = avccosi——I; f (x, y) = log -x - y; f (x, y) = \/sinx2 + y2. \x + yj 21.4. Určete a načrtněte vrstevnice následujících funkcí: f(x,y)=x + y; f(x,y)=x2 + y2; f(x,y) = x2-y2; f {x, y) = (x + y)2 ; f {x, y) = -; f (x, y) = ; x ar + 2y 2a; f(x,y) = y/xy; j{x}y) = e^r^1\ f(x,y) = xy(x>0). 21.5. Spočtěte /(l, f), jestliže /(x, y) - -^- xl-\-yl 21.6. Určete /(ŕ), jestliže / (f) = VZ+Z ^ > 0). 21.7. Nechť z = y/y + f(\/x — 1) a z = x pro y = 1. Určete funkce f a, z. 21.8. Nechť z = x + y + /(x — y) a z = x2 pro y = 0. Určete funkce f a z. 26 22. LIMITA A SPOJITOST 27 21.9. Určete f (x, y), jestliže f (x + y, |) = x2 - y2. Výsledky Cvičení 21.1: trojúhelník, sféra, kužel, paraboloid. Cvičení 21.2: 1 [-|7r + 2fc7r,f+ 2fc7r]; 0 (f + 2kiv,!f + 2kir). Cvičení 21.3: (—oo, oo) x [1, oo); kruh {x2 + y2 < 1}; doplněk téhož kruhu v IR2; plocha ohraničená dvěma tupými úhly vymezenými přímkami y = 0 a y = 2x bez počátku; polorovina {x + y < 0}; sjednocení mezikruží {2kii < x2 + y2 < (2k + l)7T}. Cvičení 21.4: rovnoběžné přímky, soustředné kružnice, hyperboly se společnou asymptotou y = ±x, rovnoběžné přímky, svazek paprsků vycházejících z počátku bez počátečního bodu; soustředné podobné elipsy, hyperboly ležící v kvadrantech I a III s asymptotami blížícími se k souřadným osám; křivky y = ^-^- Cvičení 21.5: /(l, f) = f(x,y). Cvičení 21.6: f(t) = VTTŕ. Cvičení 21.7: f(t) = 2t + t2, z(x, y) = x - 1 + yjy. Cvičení 21.8: f(t) = t2 - ŕ2, z(x, y) = 2y + (x - y)2. Cvičení 21.9: f(x,y)=x2^. 22. Limita a spojitost 22.1. Nechť u \ x~y x + y Dokažte, že lim (lim f(x, y))=l, lim (lim f(x, y)) = -1, a tedy neexistuje. lim f{x,y) [x,y]^[0,0] 28 7. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH 22.2. Nechť 2 2 f( \- X y I \X) V) oo,/ \o • x y + (x — y)z Dokažte, že sice lim (lim f(x,y) ) = lim (lim f(x,yj)=0, ale přesto neexistuje. 22.3. Nechť lim f(x.y) [x,y]^[Q,Q] „.,»,=„.„.,;).(; Dokažte, že sice ani jedna z limit lim (lim/(z, y)) lim (lim f(x,y) x^O \y^0 I y^O \x^v neexistuje, ale přesto lim f(x,y) [x,y]^[Q,Q] ' existuje. Čemu se tato limita rovná? 22.4. Spočtěte lim ( lim/(x, y) ) a lim (lim f (x, y) x—>a \y—*b I y^b Vie—>a kde x2 + y2 f(x> V) = o i v a = b = oo; x2 + y4 xy ttx>y} = i + xy> a = oo, 6 = 0+; f (x, y) = sin ( -------- I , a = b = oo; Jy ,y> \2x + yJ ' 1 / xy \ f{x,y) = — tg —----- , a = 0, b = oo; xy \ 1 + xy J f (x, y) = log,, (x + y), a = 1, b = 0. 22. LIMITA A SPOJITOST 29 22.5. Spočtěte následující limity: lim - X + V ■ [x,y]^>[oo,oo] x2 — xy + y2' sm(xy) lim =---------; [x,y]^[0,a] X lim =(x2 + y2)x2y2; [x,y]—t[0,a] ( l\i+9 lim = 1 + - ; [x,y]^>[oo,a] \ XJ \og(x + ev) lim = — . [*,!/]-> [i,o] ^Jx2 + y2 22.6. Dokažte, že funkce ' 15, (x2 + f í 0); je spojitá jako funkce proměnné x i proměnné y, ale není spojitá jako funkce dvou proměnných. 22.7. Dokažte, že funkce % y je spojitá v bodě [0,0] po všech přímkách x = t cos a, y = t sin a, t G (0,oo), a G [0, 2ir], ale přesto není v bodě [0, 0] spojitá. 22.8. Zjistěte, zda je funkce f(x,y) = arcsin ( — \y spojitá na svém definičním oboru. 22.9. Zjistěte, zda lze funkci ., , x2 + y2-x2y3 J\x,v) =------j——----- x2 + yl dodefinovat v bodě [0, 0] tak, aby byla spojitá na E2. 22.10. Zjistěte, zda lze funkci x6 -yá f(x,y) =-------- x-y dodefinovat na přímce y = x tak, aby byla spojitá na E2. 30 7. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH 22.11. Zjistěte, zda lze funkci sin (V) sin3 (y) f(x,y) - 1 — cos (x2 + y2) dodefinovat v bodě [0, 0] tak, aby byla spojitá na E2. 22.12. Najděte podmínky na konstanty a,b,c, aby existovala limita y XV lim = —TTT-----;—?• [x,y]^>[o,a] axz + bxy + cyz Výsledky Cvičení 22.3: 0 Cvičení 22.4: 0,1; ±,1; 0,1; 0,1; l,oo. Cvičení 22.5: 0; a; 1; e; log 2. Cvičení 22.8: ano Cvičení 22.9: ano, /(0, 0) = 1. Cvičení 22.10: ano, rix« x j — ox . 23. Derivace a totální diferenciál 23.1. Dokažte, že pro funkci dvou proměnných f(x,y) a pro libovolné pevné aeR platí df r \ d f i \ -(x,a) = -f(x,a) 23.2. Spočtěte df f íx — (x,l), jestliže f(x,y)=x + (y-l)axcsmlj- 23.3. Spočtěte df df ^(0,0), ^(0,0), jestliže f(x,y) = ýxy. Má funkce f(x,y) v bodě [0,0] totální diferenciál? 23.4. Má funkce f(x,y) = \/x3 + y3 v bodě [0, 0] totální diferenciál? 23.5. Má funkce i f(x,y) = e x2+y2 v bodě [0, 0] totální diferenciál? 23. DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL 31 23.6. Spočtěte df df d2f d2f d2f dxy dy' dx2 ' dxdy' dy2 pro funkce f(x,y) = x4 + yá -4x2y2; f(x,y) = xy + -; f(x,y) = —; y y2 2 f{x,y) =-------; f{x,y) = xy; f{x,y) = log(x + y2) ; f(x,y) = arctg -; y x f(x,y,z)= í-j ; f{x,y,z)=x^); f{x,y, z) = x{yZ). 23.7. Nechť Dokažte, že 23.8. Nechť ^2 „2 0, x2 + y2 = 0. d2f d2f 1 (0,0)^—Uo,0). dxdy ' ôyôx f(x,y)=}x2+y'- 0, x2 + y2 = 0. Dokažte, že neexistuje d2f (0,0). dxdy 23.9. Spočtěte první a druhý diferenciál následujících funckí: x f(x,y) = xmyn, f(x,y) = -, f(x,y) = log(y/x2 + y2; Z f(x,y) = exy, f(x,y)=xy + yz + zx, f{x,y) = 2 . x -\- y 23.10. Odhadněte chybu následujících veličin v závislosti na chybě jednotlivých promněnných: x + y {l+x)m(l + x)n, log(l + aľ)log(l + y), arctg 1 + xy 23.11. Objem válce s podstavou o poloměru r a výšce h je dán vzorcem V = 7vr2h. Je-li výška v = 5 cm změřena s přesností na 0.005 cm a poloměr podstavy r = 3 cm je změřen s přesností na 0.01 cm, určete, s jakou největší možnou chybou je určen objem válce V. 32 7. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH 23.12. Plocha trojúhelníka ABC je dána vzorcem _ be sin a 2 Víme-li, že veličiny b, c, a byly naměřeny s přesností na 1% a úhel a byl změřen na 7r/4, dokažte, že výsledná plocha je určena s maximální chybou menší než 2.8%. Výsledky Cvičení 23.2: 1. Cvičení 23.3: 0, 0, ne. Cvičení 23.4: ne. Cvičení 23.5: ano. Cvičení 23.10: 1 + mx + ny, xy, x + y. Cvičení 23.11: 0,345vr. 24. Retízkové pravidlo 24.1. Spočtěte dT dT dr 89' kde .3 „„. i „,3 24.2. Spočtěte T(x, y) = x — xy + y x = rcos9, y = rsin9. dH "ďř"' H(ť) = sin 3x — y a ŕ x = 2t2-3, y = — -5t+l. 24.3. Poloměr podstavy r rotačního kužele roste o 2 cm za sekundu a výška h roste o 3 cm za sekundu. Spočtěte míru růstu objemu V v okamžiku, kdy r = 5 cm a h = 15 cm. kde 25. IMPLICITNÍ FUNKCE 33 24.4. Lokální atmosférická teplota T závisí na prostorových souřadnicích x,y,z daného bodu a na čase t podle vzorce T(x,y,z,t) = -^(l + t). Teploměr je připevněn k meteorologickému balónu, který se pohybuje atmosférou po křivce dané parametrickými rovnicemi x = t, y = 2t, z = t — t2. Určete míru změny teploty v čase t = 1. Výsledky Cvičení 24.1: dT —- = 3r2 (cos3 9 + sin3 0) - 2r cos 9 sin 8, or dT —- = 3r2 (sin 9 — cos 6) cos 6 sin 6 + r2 (sin2 6 — cos2 9) . Cvičení 24.2: Cvičení 24.3: dH = (lit + 5) cos (ft2 + 5í - 10) . —- = 1257T cmds \ dt Cvičení 24.4: teplota roste o 14 stupňů za hodinu. 25. Implicitní funkce 25.1. Vypočítejte derivaci y'(x) implicitní funkce y = y (x) definované následujícími předpisy: x2 + 2xy — y2 = a2, log í y'x2 + y2 j = arctg í — j ; y — esiny = x (0 < e < 1); xy = yx (x ^ y), y = 2xarctg ŕ — j . 25.2. Vypočítejte parciální derivaci |^ implicitní funkce z = z(x, y) definované předpisem o q Ju Z/ z1 + xyá = —. y 25.3. Vypočítejte parciální derivaci |^ implicitní funkce x = x (y, z) definované předpisem xy3 = y — z. 34 7. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH 25.4. Vypočítejte parciální derivaci ^ implicitní funkce y = y(x, z) definované předpisem eyz — x2z\ogy = 7T. 25.5. Vypočítejte parciální derivaci |^ implicitní funkce z = z(x, y) definované předpisem F(x2 - z2,y2 + xz) =0, kde F je diferencovatelná funkce dvou proměnných. Výsledky Cvičení 25.1: X + y i — X X X + y -y 1 y2(i x2(l -logx) ; y 1 — e cos y' -logy)' i Cvičení 25.2: 3xy4 + xz xy — 2zy2 Cvičení 25.3: 1 — 3xy2 y3 Cvičení 25.4: x2y\ogy — y2e yz yzeyz — x2z Cvičení 25.5: 2x§f ax {x2- -z2, y2 + xz) + z% {x2- z2, y2 + xz) X 2z-k- (x2 — z2,y2 + xz) — x-K- (x2 — z2,y2 + xz) KAPITOLA 8 Metrické prostory II 26. Úplné metrické prostory 26.1. Zopakujte si důležité definice z teorie metrických prostorů: metrika, metrický prostor, koule, otevřená množina, uzavřená množina, vnitřek, uzávěr, konvergentní posloupnost, limita posloupnosti, kompaktní množina, omezená množina, spojité zobrazení. 26.2. Průměrem neprázdné množiny A v metrickém prostoru (P, g) nazveme číslo diam A = sup {g(x,y); x, y G A} . Určete průměr následujících množin: [0,1], (0, 2), {3} U [—1,0), jednotková koule v Era, jednotková krychle v Era, (0, oo), interval (1,5) s diskrétní metrikou. 26.3. Charakterizujte všechny neprázdné podmnožiny metrického prostoru (P, g), které mají nulový průměr. 26.4. Dokažte diam A = diam Ä. 26.5. Nechť (P, g) je metrický prostor a nechť {xn} C P je posloupnost. Řekneme, že {xn} je cauchyovska, jestliže splňuje Bolzanovu-Cauchyovu podmínku, tedy Ve > 0 3n0 Vm, n> no : g(xn, xm) < e. V prostoru reálných čísel s eukleidovskou metrikou platí, že posloupnost je konvergentní právě když je cauchyovska. Dokažte na příkladu, že v obecném metrickém prostoru toto tvrzení neplatí. 26.6. Metrický prostor (P, g) se nazývá úplný, jestliže každá cauchyovska posloupnost {xn} C P je konvergentní. Dokažte, že (i) prostor (a, b) není úplný; (ii) prostor [a, b] je úplný; (iii) prostor C([0,1]) s metrikou QÍf,g) = sup 1/0*0 -g{x)\ íe€[0,1] je úplný. 35 36 8. METRICKÉ PROSTORY II 26.7. Charakterizujte všechny cauchyovská posloupnosti v diskrétním prostoru. Je diskrétní prostor úplný? 26.8. Dokažte následující Cantorovu větu: Metrický prostor (P, g) je úplný právě tehdy, když má následující vlastnost: pro libovolnou posloupnost uzavřených množin P D AiD A2D ■■■ D AnD ... splňující diam An —► 0 je množina f]n&N An jednobodová. Návod: K důkazu nutnosti vezměte pro každé n libovolný bod xn G An a dokažte, že posloupnost {xn} je cauchyovská a tedy konvergentní a že její limita je zároveň jediným bodem v průniku množin An. K důkazu postaěitelnosti definujte pro danou cauchyovskou posloupnost {xn} množiny ■™-n \Xn> Xn+i, Xn+2> ■ ■ ■ S a dokažte, že mají jednobodový průnik, který je zároveň limitou posloupnosti {xn}. 26.9. Ukažte na příkladu, že odstraníme-li z Cantorovy věty předpoklad diam Ar, 0, pak se může stát, že průnik množin An bude prázdný. Shoduje se tento fakt s vaší intuitivní představou? 26.10. Nechť P = E a f i \x\ je-li x^ 0,y = 0; g(x,y) = < 1 \y\ 0 je-li x = 0,y ^0; je-li x = y; i In + i \y\ je-lix^0,y^0,xj£y. Určete, zda (i) (P, q) je metrický prostor; (u) {P, Q) je úplný; (iii) (P, q) je kompaktní. Určete diam P. Najděte všechny otevřené množiny a všechny kompaktní množiny prostoru (P, q). 27. Banachova věta o kontrakci 27.1. Zobrazení T : P —► P se nazývá kontrakcí, jestliže existuje 7 G [0,1) tak, že q(Tx, Ty) < jq(x, y) pro každé x,y G P. Dokažte následující tvrzení: Nechť T je kontrakce na P a x\ G P je libovolný bod. Definujeme posloupnost {xra} předpisem xn+1 = Txn, nel 28. SOUVISLÉ PROSTORY 37 Potom {xn} je cauchyovská. 27.2. Dokažte, že důsledkem tvrzení z příkladu 27.1 je následující Banachova věta o kontrakci: Nechť (P, q) je úplný metrický prostor a nechť T : P —► P je kontrakce. Potom T má na P právě jeden pevný bod, to jest existuje právě jedno x E P takové, že Tx = x. 27.3. Nechť P = N a p(m,n) = 1^— -I. Určete, zda (i) (P, q) je metrický prostor; (u) (P, Q) Je úplný; (iii) (P, q) je kompaktní. Určete diam P. Najděte všechny otevřené množiny a všechny kompaktní množiny prostoru (P, g). Jsou jednobodové množiny otevřené? 27.4. Nechť P = N a p(m,n) = I— — -I. Definujeme zobrazení T : n —► n + 1. Zobrazení T zřejmě nemá pevný bod. Lze odtud usoudit, že T není kontrakce na P? Jestliže ne, dokažte to nějak jinak. 27.5. Nechť P = N \ {1} a g(m, n) = \~_ — ~\- Definujeme zobrazení T : n —► n2. Zobrazení T zřejmě nemá pevný bod. Dokažte, že přesto je T kontrakce na P. Jak je to možné? 27.6. Nechť (P, q) je metrický prostor a nechť T : P —► P splňuje q(Tx, Ty) < q(x, y) pro každé x,y G P, x ^ y. Uvědomte si, že T nemusí být kontrakce na P\ Zobrazení mající tuto vlastnost nazýváme neexpanzívní. Najděte příklad metrického prostoru a neexpanzívního zobrazení, které není kontrakcí. 27.7. Platí následující modifikace Banachovy věty (povšimněte si, čím je vyváženo zeslabení předpokladu na zobrazení T): Nechť (P, q) je kompaktní metrický prostor a nechť T : P —► P je neexpanzívní. Potom T má na P právě jeden pevný bod. Dokažte! Návod: Studujte vlastnosti funkce / : P —► E definované předpisem f (x) = q(x,Tx). 28. Souvislé prostory 28.1. V prostoru C([0,1]) se supremovou metrikou definujeme pro dvě dané funkce g, h E C([0,1]) úsečku: /:[0,1]^C([0,1]), f(á)=g + a(h-g). 38 8. METRICKÉ PROSTORY II Dokažte, že: (i) úsečka je oblouk; (ii) / je stejnoměrně spojitá na [0,1]; (iii) C([0,1]) je obloukově souvislý prostor. Všimněte se, že stačí dokázat jen jedno z tvrzení (i)-(iii). Které? 28.2. Zkoumejte, jaké vlastnosti musíme vyžadovat od metrického prostoru, aby v něm bylo možno nějakým rozumným způsobem zadefinovat úsečku a aby platila analogie tvrzení z předcházejícího příkladu. Pro jakou třídu metrických prostorů takto automaticky zajistíme obloukovou souvislost? 28.3. Ukažte na příkladu, že uzávěr obloukově souvislé množiny nemusí být obloukově souvislá množina. Návod: Graf funkce f(x) = sin Q), x G (0,1). 28.4. Ukažte příklad množin A, B takových, že A C B C A, A je obloukově souvislá množina, B není obloukově souvislá množina. Návod: V E2 vezměte všechny úsečky délky 1 vycházející z počátku a mající směrnice -, n G N. To je množina A. Množinu B vytvořte tak, že k A přidáte ještě úsečku {[x,y] G E2; x G [|,l],y = 0}. Je A obloukově souvislá? Co je A? Platí A C B C Al Je B obloukově souvislá? KAPITOLA 9 Obyčejné diferenciální rovnice 20. Základní rovnice, separace proměnných 20.1. Uhodněte nějaká řešení následujících diferenciálních rovnic. Najdete všechna řešení? V1 = °; V' = 5; V' = -3z; v' = sin(2:r); y' = -4y. 20.2. Uhodněte partikulární řešení diferenciálních rovnic, která splňují příslušnou okrajovou podmínku: y' = -3x, y(2) = 4; y' = -4y, y(0) = 7. 20.3. Zkuste najít některé obecné řešení diferenciální rovnice y" + X2y = 0. Nyní najděte partikulární řešení, které splňuje okrajové podmínky y(0) = 4, y'(0) = 3. 20.4. Najděte všechna maximální řešení diferenciálních rovnic 0 y = 0. Načrtněte integrální křivky řešení všech uvedených rovnic! 20.5. Jestliže se potkají dvě řešení rovnice v' = f{x,y), kde / je spojitá funkce dvou proměnných, pak na sebe tato dvě řešení navazují hladce. Dokažte! Rovnici y'x = y\ogy řeší například funkce y = lay = ex,xER. Tato dvě řešení se potkávají v bodě [0,1], ale nenavazují na sebe hladce. Proč to není ve sporu se shora uvedeným tvrzením? 20.6. Najděte maximální partikulární řešení diferenciální rovnice y'smx = y\ogy, procházející bodem [f ,e] a načrtněte jeho graf. Jaký je maximální interval, na který lze toto řešení rozšířit? 39 40 9. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 20.7. Najděte všechna maximální řešení diferenciálních rovnic y' = ltf+y. y'-xy' = b{l + a?y% y(l) = l. Načrtněte integrální křivky řešení! 20.8. Primitivní populační model popisuje vývoj určité populace tak, že růst počtu jedinců P v čase t je přímo úměrný P, takže podle tohoto modelu je vývoj populace řízen diferenciální rovnicí dP íp kde k > 0 je konstanta úměrnosti, závislá na typu populace, kterou studujeme. Dokažte, že pak p(t) = Aekt, kde A je nějaká kladná konstanta daná počátečním stavem populace. Promyslete si sestavení a vyřešení obecné rovnice a pak spočítejte následující příklad. Bakteriální kultura roste v čase t úměrně počtu jednotlivých bakterií P = P if). Na začátku je 500 bakterií, po jednom dni máme 800 bakterií. Bude jich po dalších 12 hodinách více než 1000? Vedla by lineární aproximace ke stejnému závěru? 20.9. Podstatně lepší populační model než ten, který byl popsán v předcházejícím příkladu, bere v potaz tzv. maximální kapacitu životního prostředí. Ta je dána číslem N, což je nejvyšší možný počet členů dané populace, který se ještě v daném životním prostředí uživí. Ověřte si, že podle tohoto modelu je vývoj populace řízen diferenciální rovnicí Dokažte, že vývoj stavu populace je pak dán funkcí kNeNt P{t) = l + keNt} kde k je konstanta úměrnosti. Vyřešte si obecnou rovnici a načrtněte její integrální křivky. Porovnejte s příkladem 20.8! Pak spočítejte následující příklad. Na ostrov, který skýtá pastvu pro nejvýše 120 králíků, dorazilo 30 králíků. Po prvním roce jich zde žije již 80. Bude jich za další rok více než 100? 20.10. Králík roste podle tzv. allometrického zákona - = k-, dv vJ kde , v označují šířku a výšku králíka a k je konstanta úměrnosti. Na začátku má králík šířku 5 cm a výšku 5 cm. Po nějaké době má králík 10 cm výšky a 5-\/2 cm šířky. Králík má k dispozici noru o šířce 12 cm a výšce 24 cm. Určete, zda mu bude dřív úzká nebo nízká. 21. HOMOGENNÍ ROVNICE 41 20.11. Brouk Pytlík nemá rád teplotu nižší než 60 mravenčích stupňů. V 8 hodin ráno mravenci zatopí v peci, na níž Pytlík leží, na 110 stupňů, a odejdou do práce. Ve 13 hodin je teplota v místnosti 80 stupňů. Místnost vychládá rychlostí úměrnou rozdílu okamžité teploty v místnosti a venkovní teploty, která je stabilně rovna 20 stupňům. Vydrží Pytlík do 18 hodin, kdy se mravenci vrátí z práce a zatopí? 20.12. Při pádu s padákem je směrem dolů působící gravitační síla rovna G = mg, kde m je hmotnost parašutisty a g je konstantní gravitační zrychlení. Směrem vzhůru působící síla F způsobená odporem padáku je úměrná kvadrátu okamžité rychlosti, tedy F = kv2, kde k je materiálová konstanta vyjadřující kvalitu padáku. Vývoj okamžité rychlosti směrem dolů v = v(ť) v čase í je tedy řízen diferenciální rovnicí 2 dv mg — kv = m—. at Dokažte, že bez ohledu na počáteční rychlost v(0) se bude rychlost po dost dlouhé době (za předpokladu, že parašutista skáče z dostatečné výšky) blížit konstantní rychlosti v = *^t- k ' 20.13. Popište křivku v rovině, která prochází bodem [2, 3] s následující vlastností: úsečka libovolné její tečny, vymezená průsečíky této tečny se souřadnými osami, se půlí v bodě dotyku. 21. Homogenní rovnice 21.1. Má-li diferenciální rovnice tvar y' = /(-), lze ji převést substitucí z = -na tvar z'(x)x + z{x) = f (z), což je rovnice se separovanými proměnnými. Řešte diferenciální rovnice / • 2 fy\ i y' + xv i y -, i x xy = y + xsm I — , xy =----------, y =-----1, xy = yiog — , x,y > 0. \X/ XX v ř_ -.x/ ' x ' x y 21.2. Řešte diferenciální rovnice xy' = xey^x + y, (x2 + y2) y' = 2xy. 21.3. Řešte diferenciální rovnice / y2 0 , % + y , x y y = — -2, y=-------, y=- + -. xz x — y y x 42 9. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 22. Exaktní rovnice Má-li diferenciální rovnice tvar (22.1) h{x,y)y' + f{x,y) = 0 a existuje-li funkce dvou proměnných u(x^y) taková, že OH Ott (22-2) -^ = h[x,y), dx~ = f{x>y)> pak se taková rovnice nazývá exaktní. Dosud jsme chápali u jako funkci dvou proměnných. Protože ale y = y (x), můžeme chápat u = u(x, y (x)) jako funkci jedné proměnné (x). Pak ji derivujeme neparciálně,tj. ^. Povšimněme si, že exaktní rovnici (22.1) lze přepsat ve tvaru ^ = 0 a že všechna řešení této rovnice jsou implicitně popsána pomocí křivek tvaru u(x, y) = C, C G E. Jak rozpoznat, zda je daná rovnice exaktní? Jsou-li funkce haf spojité, pak k tomu, aby rovnice (22.1) byla exaktní, musí platit dh_df_ dx dy Tento vztah lze považovat za test exaktnosti rovnice. Navíc jej lze snadno ověřit. Jestliže je rovnice exaktní, jak najít funkci u! Můžeme se například pokusit tuto funkci uhodnout. Pokud to nejde, můžeme funkci u získat integrací vztahů (22.2). 22.1. Řešte diferenciální rovnice v 1 (22.3) y'(log(sinz) - 3y2) + ycotgx + 4x = 0, y' + ^- = -; 2x y (22.4) y1 (Sx2y2 + ey) + 2xy3 + 2 = 0; (22.5) y' (x2 sin(xy) — 2y) + cos(xy) — xysin{xy) = 0. Jestliže rovnice není exaktní, můžeme ji někdy převést na exaktní tvar pomocí integračního faktoru. Rovnici (22.1) vynásobíme zatím neznámou funkcí _ 3y» _ 5y' - 2y = 0; yW + 2y>" + y" = 0; y" + V + 13y = 0; y" + y' - 2y = 0. 25. Systémy lineárních rovnic 1. řádu 25.1. Nechť x, y, z jsou diferencovatelné funkce proměnné t G E. Řešte systém diferenciálních rovnic x' = 2x — y — z y' = 2x — y — 2z z' = 2z — x + y. 25.2. Nechť x, y, z jsou diferencovatelné funkce proměnné t G E. Řešte systém diferenciálních rovnic x' = 3x — 2y — z y' = 3x — 4y — 3z z' = 2x - Ay. 25. SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. ŘÁDU 25.3. Nechť x,y, z jsou diferencovatelné funkce proměnné t G diferenciálních rovnic x' = 2x + 2z — y y' = x + 2z z' = y — x — z. 25.4. Nechť x, y, z jsou diferencovatelné funkce proměnné t G diferenciálních rovnic x y x — 2y — z y — x + z z = x — y. 25.5. Nechť x,y, z jsou diferencovatelné funkce proměnné t G diferenciálních rovnic x' = 4x + 5y — 2z y' = —2x — 2y + z z = —x — y + z. 25.6. Nechť x,y, z jsou diferencovatelné funkce proměnné t G diferenciálních rovnic x x — y + z y = x + y — z z' = 2z - y. 25.7. Nechť x,y, z jsou diferencovatelné funkce proměnné t G diferenciálních rovnic x' = 2x + y y' = 2y + Az 45 Řešte systém Řešte systém Řešte systém Řešte systém Řešte systém x — z. KAPITOLA 10 Lebesgueův integrál v IR 46 35. KONVERGENCE LEBESGUEOVA INTEGRÁLU 47 35. Konvergence Lebesgueova integrálu 35.1. Vyšetřete, pro které hodnoty příslušných parametrů konvergují následující Lebesgueovy integrály: (35.1 (35.2 (35.3 (35.4 (35.5 (35.6 (35.7 (35.8 (35.9 /»oo / Xs-1 (log x)ke~xdx, k E Z; Jo xp-l{l-x)q-ldx; o /»oo / xpe~^dx o f°° | logxla o l + xk TT/2 (tgx)a dx; o ,oo xp o l + xi 00 1 — cos ax o xp r log sin ax (ir; o i 0 "°° xa (35.10) / dx; Jo VI + x (35.11) / [ l°l^Ĺ dx; o \J\-x (35.12) / -=—^——rdx; o v^ iogí1 + eX) (35.13) / -------dx; Jo x sinr ľ°° sin x2 <3B14) X ?ŤŤ=?fc 48 10. LEBESGUEŮV INTEGRÁL V R™ 35.2. Vyšetřete, pro které hodnoty příslušných parametrů konvergují následující Lebesgueovy integrály: (35.15) / (ir — 2arctgx)a(ix; Jo (35.16) f1 arccos x A l \o^(l/x)dX-Výsledky Cvičení 35.1: (35.1) s > 0, k > -1; (35.2) p, q > 0; (35.3) p> -i; (35.4) a > —1, k > 1; (35.5) a G (-1,1); (35.6) 0 ~-, (35.12) konverguje; (35.13) nekonverguje pro žádné reálné p; (35.14) nekonverguje. Cvičení 35.2: (35.15) : a < -1; (35.16) : q < | 36. ZÁMĚNA ŘADY A INTEGRÁLU 49 36. Záměna řady a integrálu 36.1. V následujících příkladech rozviňte integrovanou funkci v řadu, ověřte možnost záměny řady a integrálu a vyjádřete integrál jako číselnou řadu. (36.1) Í'M±ÍA; ./n X (36.2) f^^dx; r»00 x (36.3) / -r—^dx; (36.4) / --------dx; (36.6) CO x (36.5) / --------dx; 00 xp~1 /»oo / e~x cos V^ dx; Jo (36.7) r^^dx; 'o 1 — x (36.8) / ^^dx; 'o 1 + x (36.9) / Y^dx; "ľ xplogx 'o (36.10) / logx log(l — x) dx; Jo (36.11) / logx log(l + x) dx. Jo 50 10. LEBESGUEŮV INTEGRÁL V R™ Výsledky Cvičení 36.1: TT2 (36.1) : — v ; 12 7T2 (36.2) : --: 7T2 (36.3) : -: (36.4) : í; (36.5): f>i)fcŕ—^--------T^rrr)' ° <*><«; (36.6): 5>1)* *'• « <2fc>!' 00 / 1 \2 (36-7): -£fe^)'p>-1: (36'8): S^UlTl)' 2 p> -i; \ /; -i- k, -+- i / fc=0 oo _. (36.9) : 5>l)fc+1 2fc+p+l fc=0 ^ TT2 (36.10) : 2 6 (36.11): ^-21og2 38. INTEGRÁL ZÁVISLÝ NA PARAMETRU 51 37. Záměna limity a integrálu 37.1. V následujících příkladech vyšetřete, zda lze zaměnit limitu a integrál, a pokud ano, spočtěte limitu. (37.1) lim / ——TT^dx] n^°° Jo 1 + n x (37.2) lim /o T^dx; n—>oo oo -a r-OO dx <37'3) -«X (1 + f)» xV" oo 38. Integrál závislý na parametru 38.1. Vyšetřete definiční obor funkce F a její spojitost, najděte limity v krajních bodech (nebo se o to aspoň pokuste), vyjádřete derivaci funkce podle věty 52 10. LEBESGUEŮV INTEGRÁL V R™ o derivování integrálů závislých na parametru. (38.1) (38.2) (38.3) (38.4) (38.5) (38.6) (38.7) (38.8) (38.9) (38.10) (38.11) F (a F (a F (a F{a F (a F{a F{a F (a F{a F{a F (a >Aj O \JjlAj <\ 0 "°° xa 1+x2 X l+xa e ax cosxdx; sinax 1+x2 siní Iq 1 + ax2 f1 1 - xa , / —------ax; 10 logx / ---------dx; l0 eax - 1 71 log(l + asinx) x o arcsin ax x = I tgax dx. o VÝSLEDKY 53 38.2. Rozhodněte, pro které hodnoty parametrů konvergují následující Lebe-sgueovy integrály a spočtěte jejich hodnoty pomocí věty o derivování integrálů závislých na parametru. ľ7r log(l + a cos x) (38.12) J(a) = Jo /»oo (38.13) F(a,k)= e-kx—\—> dx. Jo x r°° log(a2 + x2^ cosx _kxsm(ax) (38.14) K(a,b)= -^------^ dx; Jo b2 + xÁ /„„ . ^ ^/ x l2 arctg(asinx) , 38.15 F(a)= / -----^--------Ldx; Jo sm x (38.16) F(p, q) = ľ (1~f)(1~X9) dx; Jo !og^ (38.17) F(a, b) = ľ Mg{ax) - arCtg(6x) dx; Jo x (38.18) F^ = l ^h[dx' ŕ i — xa (38.19) F (a) = / -------dx. Jo !og^ Výsledky Cvičení 38.2: (38.12): J(a) = 7rarcsina, a G [—1,1]; (38.13) : F(a, k) = arctg (|V a G E, fc G (0, oo); (38.14): K(a,b) = £rlog(\a\ + \b\), a, b G E, b ± 0; |6| (38.15): F(a) = ! log (a + vTTč?), a G E; (38.16): F(p,g)=log(" ^+g^ V p > -1, q > -1, p + g > -1; (38.17): F(a,6) = ^log^, a, 6 > 0 nebo a = b G E; (38.18) : F(a) = ^; (38.19) : F (a) = log a + 1 KAPITOLA 11 Křivkový a plošný integrál v M.n 39. Křivkový integrál 1. druhu 39.1. Spočtěte délku oblouku C={[x,y,z] Gl3; x = 3í, y = St2, z = 2í3} mezi body [0,0,0] a [3,3,2]. 39.2. Spočtěte délku křivky C={[r,^]GE2; r = asin3(|), ^g[0,3tt]} kde a > 0. 39.3. Spočtěte délku prostorové křivky C, zadané rovnicemi y = a arcsm —, z = — log------- a 4 a + x od bodu [0,0,0] do bodu [xo, yo, zq], kde a > 0. 39.4. Určete, která křivka má větší délku, zda kružnice o poloměru a nebo elipsa s poloosami |, 2a, kde a > 0. 39.5. Spočtěte křivkový integrál Je kde C je kružnice se středem v bodě [|, 0] o poloměru |. 39.6. Spočtěte křivkový integrál >c kde C je konvexní uzavřená křivka složená ze tří oblouků, zadaných v polárních souřadnicích pomocí následujících parametrizací: ^ = 0, re [0,a]; 71" r = a, (p E [0,-]; 71"

0. 54 39. KRIVKOVÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 55 39.7. Spočtěte křivkový integrál / (x2 + y2 + z2) ds, JG kde C je oblouk šroubovice, zadaný parametricky x = acost, y = a sin t, z = bt, íG[0,27r]. 39.8. Spočtěte křivkový integrál is + y3 J ds, 2 2 4 C kde C je obvod astroidy, C = {[x,y] G R2; x^ +yž = cß, kde a > 0. 39.9. Těžiště drátu tvaru rovinné křivky C, jehož lineární hustota je dána f (x,y), má souřadnice T = [xo,yo], kde xo = jjxf{x,y)ds, Vo = jj yf{x,y)ds, přičemž M = fc f (x, y) ds je hmotnost drátu. Určete souřadnice těžiště oblouku homogenní cykloidy, zadané parametricky x = a(t — siní), y = a(l — cost), íg[0,7t], kde a > 0. 39.10. Dokažte, že je-li křivka zadána v polárních souřadnicích v E2 tak, že r = r (ip) (kde jako obvykle x = r cost, y = r siní), pak platí vztah (39.1) ds = y/r((p)2 + r'((p)2d(p. 39.11. S pomoci (39.1) spočtěte křivkový integrál i=l \y\ds, Je kde C je Bernoulliova lemniskáta, zadaná rovnici (x2 + y2f = a2(x2-y2), kde a > 0. 39.12. S pomoci (39.1) spočtěte délku kardioidy (srdcovky), zadané rovnici 2 „2 , „2 xA + yz = 1 + x \Jx2 + y2 56 11. KRIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL V R" Výsledky Cvičení 39.1: 5 Cvičení 39.2: 3 -vra Cvičení 39.3: Fo + \zo\ Cvičení 39.4: elipsa Cvičení 39.5: 2 Cvičení 39.6: — + V2{ea - 1) 4a Cvičení 39.7: / 2 (2tt)3;2 Va2 + b2 12 Cvičení 39.8: v 4aš Cvičení 39.9: T = "4a 4a" Y'T Cvičení 39.11: 2a2 (2 - y/2) Cvičení 39.11: 8 40. Křivkový integrál 2. druhu 40.1. Spočtěte křivkový integrál / (x2 — 2xy) dx + (y2 — 2xy) dy, J{C) kde C je část oblouku paraboly y = x2 s počátečním bodem [—1,1] a koncovým bodem [1,1]. 40.2. Spočtěte křivkový integrál ľ (x + y) dx — (x — y) dy J(c) {x2 + y2) kde C je kladně orientovaná kružnice o poloměru a se středem v počátku. 40. KRIVKOVÝ INTEGRÁL 2. DRUHU 57 40.3. Spočtěte křivkový integrál / (2a — y,x)ds, J (C) kde C je cykloida, zadaná parametricky x = a(t — siní), y = a(l — cost), íg[0,27t], jejíž orientace je dána touto paramaterizací, a kde a > 0. 40.4. Spočtěte křivkový integrál —y2 dx + x2 dy i(c) X3 + y 3 kde C je část oblouku asteroidy, zadané rovnicí 2 2 2 £3 -f yZ = Q3. kde a > 0, z bodu [0, a] do bodu [a, 0]. 40.5. Spočtěte křivkový integrál y z dx + xz dy + xy dz, '(C) kde C je jeden závit šroubovice, zadané parametricky ( b \ 0. 40.6. Spočtěte křivkový integrál / ydx + zdy + xdz, J{C) kde C je průsečnice ploch, zadaných rovnicemi z = xy, x2 + y2 = 1, jejíž orientace je dána kladnou orientací průmětu této křivky do roviny xy. 40.7. Vypočtěte práci silového pole F(x,y,z) = (x,y,xz — y) po obvodu křivky {[t2,2t,4t\ í G [0,1]}, jejíž orientace je dána touto paramaterizací. 40.8. Vypočtěte práci silového pole, které působí v každém bodě [x,y,z], [x, y] t^ [0, 0] (mimo osu z) silou nepřímo úměrnou druhé mocnině vzdálenosti od osy z a míří kolmo k ose z. jaká práce se vykoná při pohybu hmotného bodu po čtvrtkružnici C= {[cosi, 1,siní], t E [0,-]}? 58 11. KRIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL V R" 40.9. Kapalina proudí rychlostí V (x, y) = (x, 2y). Určete množství kapaliny, která proteče za jednotku času elipsou, zadanou rovnicí Cvičení 40.1: Cvičení 40.2: Cvičení 40.3: Cvičení 40.4: Cvičení 40.5: Cvičení 40.6: Cvičení 40.7: Cvičení 40.8: kde k je konstanta úměrnosti. Cvičení 40.9: 2 2 ar yz ------h — = 1. 4 9 Výsledky 14 ~15 -2vr -2vra2 3 4 16™' -7T 5 2 *i.-£ 18vr 41. Greenova věta 41.1. Pomocí Greenovy věty vypočítejte křivkový integrál / (-y3 + logx) dx + (x3 + y2) dy, J{C) kde (C) je kladně orientovaná hranice oblasti G= Ux,y]eR2, l 0. 41.3. Pomoci Greenovy věty vypočítejte křivkový integrál (x + y) dx — (x — y) dy, (C) 2 2 kde (C) je kladně orientovaná elipsa ^ + ^ = 1, a,b > 0. 41.4. Pomoci Greenovy věty vypočítejte křivkový integrál 1= ex((l — cosy) dx — (y — siny) dy), J{C) kde (C) je kladně orientovaná hranice oblasti G = {[x, y] E R2, 0 < x < n, 0 0. 42.2. Spočtěte obsah rovinné plochy M = {[x,y, z] e R3, z = ax + by, x2+y20. 42.3. Spočtěte obsah části povrchu rotačního hyperboloidu M= {[x, y, z] E R3, z = xy, x2 + y2 R2. 42.6. Spočtěte plošný integrál 1. druhu zdS, M kde M je helikoid, zadaný parametrizací M = {[tcoss,tsms,s] Gl3, t E [0,a],s E [0,2vr]}. 42.7. Těžiště plochy M je dáno vzorcem T = [xt,yt,zt] = .... dS / / xdS, / / ydS, / / zdS | . M V M M M Vypočítejte těžiště homogenního rotačního paraboloidu M = {[x,y,z] Gl3, x2 + y2 = 2z, 0 < z < 2}. 42.8. Podle Pascalova zákona je hydrostatická síla působící v daném bodě povrchu tělesa dána výrazem Fí = Q9 ji hni dS, z = l,2,3, M kde n je hloubka v daném bodě, rii je z-tá složka vnější jednotkové normály plochy M. Dokažte, že (v souladu s Archimedovým zákonem), hydrostatická síla, která působí na stěny nádoby tvaru rotačního paraboloidu M= {[x,y,z] Gl3, x2 + y2 = z, 0 < z < 1}, je rovna F(0,0,-íf). Cvičení 42.1: Cvičení 42.2: Cvičení 42.3: Cvičení 42.4: Výsledky 4nr2 vrVl + a2 + b2 |tt(2V^-1 (2-V/2-1 3 2* 43. PLOŠNÝ INTEGRÁL 2. DRUHU 61 Cvičení 42.5: 47^1^2 Cvičení 42.6: vr2 (aVl + a2 + log (a + Vi + a2 Cvičení 42.8: 50^+2 T 0,0, 50^-10 43. Plošný integrál 2. druhu 43.1. Spočtěte integrál / zdxdy, J{M) kde (M) je kladně orientovaná plocha sféry M = {[x, y, z] e R3, x2 + y2 + z2 = 1}. 43.2. Spočtěte integrál / (y — z) dy dz + (z — x) dz dx + (x — y) dx dy, J(M) kde (M) je kuželová plocha M= {[x,y,z] e R3, x2 + y2z2, ze[0,h]}. s vnější orientací. 43.3. Spočtěte integrál / x2 dy dz + y2 dzdx + z2 dxdy, J{M) kde (M) je vnější povrch sféry M= {[x,y, z] e R3, (x-a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2, a,b,c,R>0}. 43.4. Spočtěte integrál / xdydz + y dzdx + zdxdy, J{M) kde (M) je vnější povrch sféry M = {[x, y, z] E R3, x2 + y2 + z2 = a2, a > 0}. 62 11. KRIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL V Rn 43.5. Spočtěte integrál ľ dydz dzdx dxdy J(M) % V Z kde (M) je vnější povrch elipsoidu 2 2 2 M = {[x,y,z]eR3, ^ + ^ + ^ = 1, a,b,c>0}. 43.6. Spočtěte integrál / xzdy dz + xy dzdx + yz dxdy, J{M) kde (M) je vnitřně orientovaný povrch jehlanu ohraničeného rovinami x = 0, y = 0, z = 0ax + y + z = l. 43.7. Spočtěte tok vektorového pole F(x,y,z) = (x, y, z) ven z válce P= {[x, y, z] G E3, x2 + y2 < a2, z G [-h, h]}, a,h>0. 43.8. Spočtěte tok vektorového pole F(x,y,z) = (z,0,x2) nahoru parabolickou střechou M={[x,y,z]eR3, x2 + y2 = z, x,y G [-1,1]}. 43.9. Spočtěte tok vektorového pole F(x,y,z) = (yz, —xz,x2 + y2) nahoru plochou zadanou parametricky $(r, t) = (er cos t, er sin t, r). Výsledky Cvičení 43.1: Cvičení 43.2: Cvičení 43.3: Cvičení 43.4: Cvičení 43.5: Cvičení 43.6: š7" 0 8ivaR3 3 47TÄ3 , ,'bc ac ab 4vr ( — + — + — a b c VÝSLEDKY 63 Cvičení 43.7: Gnha2 Cvičení 43.8: 4 3 Cvičení 43.9: 7r(e4 - 1) 3