Obsah I. Určitý integrál 5 1.1. Existence určitých integrálů................................ 5 1.2. Výpočet integrálu podle definice............................. 5 1.3. Newtonova-Leibnizova formule.............................. 6 1.4. Věta o střední hodnotě integrálů.............................. 8 1.5. Metoda per partes...................................... 8 1.6. Substituční metoda...................................... 10 1.7. Nevlastní integrál....................................... 11 1.8. Funkce definované Riemannovým integrálem...................... 13 1.9. Plošný obsah rovinných obrazců............................. 14 1.10. Objem a povrch rotačních těles ............................. 15 II. Diferencální počet funkcí více proměnných 18 11.1. Definiční obor funkce dvou proměnných........................ 18 11.2. Limita funkce......................................... 19 11.3. Spojitost funkce....................................... 20 11.4. Parciální derivace...................................... 21 11.5. Totální diferenciál a tečná rovina............................ 22 11.6. Derivace a diferenciály vyšších řádů.......................... 24 11.7. Gradient. Derivace ve směru............................... 27 11.8. Derivace složené funkce.................................. 31 11.9. Funkce definované implicitně............................... 33 11.10. Transformace diferenciálních výrazů.......................... 36 11.11. Extrémy funkcí ....................................... 39 11.12. Rotační plochy........................................ 46 III. Dvojný a trojný integrál 50 111.1. Existence........................................... 50 111.2. Fubiniova věta pro dvojný integrál.......................... 51 111.3. Fubiniova věta pro trojný integrál........................... 58 111.4. Substituční metoda pro dvojný integrál....................... 60 111.5. Substituční metoda pro trojný integrál........................ 62 111.6. Aplikace dvojných a trojných integrálů....................... 65 IV. Křivkový integrál 78 IV. 1. Parametrizace křivek ................................... 78 IV.2. Křivkový integrál skalární funkce (křivkový integrál prvního druhu)..... 82 I V. 3. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu.................... 84 IV.4. Křivkový integrál vektorové funkce (křivkový integrál druhého druhu) ... 90 IV.5. Práce síly podél křivky.................................. 92 IV.6. Potenciální vektorové pole................................ 94 IV.7. Greenova věta........................................ 99 V. Plošný integrál 103 V.l. Parametrizace ploch.................................... 103 V.2. Plošný integrál skalární funkce (plošný integrál prvního druhu)........ 106 V.3. Aplikace plošného integrálu skalární funkce..................... 109 V.4. Plošný integrál vektorové funkce (plošný integrál druhého druhu)....... 113 V.5. Gaussova-Ostrogradského věta.............................. 117 V.6. Stokesova věta........................................ 121 Přehled použití integrálů 124 I. Určitý integrál LI. Existence určitých integrálů • Zjistěte, zda existují určité integrály : Příklad 1. í 4^" dx x + 3 Řešení : Ano existuje, protože funkce /(x) = —-----je spojitá na intervalu (0,1) f10 x2 + 3 Jl x3 - 3x2 - '10 2 Přiklad 2. / ——^^-----dx Ax Řešení: Neexistuje, protože funkce f(x) = —---------------= —;-------—-------- není spojitá xA — Zxl — Ax x{x + l)(x — 4) v bodě x = 4 (x € (1,10)) a lim fix) = ±oo. \ / x->4± ľ e2a~1 ' 7-1 x •1 e2x Příklad 3. /--------- dx e2x - 1 Řešení : Integrál existuje. Funkce f(x) = —------ sice není spojitá v bodě x = 0 x (\ g21 _ \ x € (—1,1)), avšak lim f(x) = lim---------= 2. ■ / x—^U x—y\j 3C A ľ1 sin x2 , Sinx2 f2 2 4. / -------- Cfe [ano , lim -------=0] 5. / xe dx [ano] Jo a: L x^o x J y0 r/2 i ! 6. /---------------- dx [ne , lim -—--------= ±oo] J0 1-2C0SX *-f±l-2cosx 1.2. Výpočet integrálu podle definice Přímo z definice integrálu vypočtěte : / Ja Příklad 7. I ex dx Řešení : Zvolíme dělení intervalu a = x0 < x\ < xi < ... < xn = b, na n stejných dílů délky Axi = Ax =-------, takže X\ = a+Ax, ...Xj = a+iAx,xn = a+nAx = b. Za& n zvolíme levé koncové body částečných intervalů (xj_i, Xj), tj. & = Xj_i = a+(i—1)Ax. Vyšetřujeme funkci f(x) = ef. f* II lil Potom pro integrální součet platí sn = ]P/(&)Axť = ^V'Axj = ^V+(i~1)AlAx i=l i=l i=l n J2 ea • e*'"1*** • Ax = e° • Ax(l + eAx + e2Ax + ... + e(n~VAx) = (v závorce je součet i=l gíiAi _ j eá+nAi _ ea eb — ea íb geometrické řady) e° • Ax-^-y- = Ax-^-^- = Ax^—y . Nyní ^ e* dx = Ax fb r i6 = lim sn = lim —r-------(e6 - ea) = e6 - ea, což je hodnota / ex dx = \ex\ = n-foo " Ax-40 eAl -1v ' - j ya L j o = eb - e°. ■ Poznámka : Vzhledem k tomu, že integrál existuje, nemůže jiný způsob dělení intervalu vést k jinému výsledku. POZNÁMKA : Použili jsme vzorce : 1 + q + q2 + ... + on_1 = q a lim e ~ = 1 . q — 1 X-+0 x Příklad 8. f xdx Ja Řešení: Hodnoty Ax< a & zvolíme jako v předcházejícím příkladě. Pak je f(x) = x, a n n n tedy sn = ]P /(&) • Axť = ^ & • Axj = J^(a + (i - 1) Ax) • Ax = (a + (a + Ax)+ i i i +(o + 2Ax) + ... + (a-<-(n-l)Ax))-Ax=a + (a + ^~1)Aa:)-n-Ax = a + b b-a b2 - a2 . b2 - a2 , = —-— • n •-------= —-—; Um sn = —-—. Muzeme to porovnat s výsledkem 2 n 2 n-too 2 x2!6 b2 - a2 x dx = \ — \ = POZNÁMKA : Použili jsme vzorec pro součet aritmetické řady oi + 02 + ... + an = —5—- • n. 1.3. Newtonova-Leibnizova formule • Pomocí Newtonovy-Leibnizovy formule vypočtěte integrály : »*». -.« r/4l + sin2x _, Příklad 9. / ------5-----dx J0 cos2 x /■*/* 1 4-1 _fiřw2.r f*/4 /■ 2 \ r 2 tg x — x ö. , - r/4i + i-cos2x , r/4/ 2 /těsen« y0 cos2x J0 \cos2x / tt/4 O _ 7T 7T _ 7T = 2 tg--------= 2-----. Prifc/ad 10. / vT+xdx Äeiem': 7 = Al + x)1'2 dx = | [(1 + x)3/2] | = | • (9>/5 - 4>/i) = y. u./ ./o Pttfcfcxfll. / ^-Adx x2 + 4 1 f2 2x ľ2 1 Ír Řešení : I = - I —------ dx — 3 / —------ dx = - ln(x2 + 4) 2J0 x2 + 4 J0 x2 + 4 2 L v ; 1 Q 1 Q = - • (In8 - In4) - - • arctgl = - • In2 - y. ■2_ 3 .o 2 x arctg - Príklad 12 ŕ 5x + 1 J2 X2 + X - dx Řešení: Integrovanou funkci nejdříve rozložíme na parciálni zlomky a integrál vypočteme r \ =^Lr + -^» 5x + l = A(x + 2) + B(x-l) x2 + x-lx-lx + 2 v x = 1 : 6 = 3.4 —> A = 2 ; x = -2 : -9 = -3B —► B = 3 1= f (—^T + ~^) ^x = Í21n|x-l| + 31n|x + 2 J2 \x ~ 1 X + 2J L 343 = 21n4 + 31n7-21nl-31n4 = 31n7-ln4 = ln-—. 4 POZOR ! Tentýž integrál na jiném intervalu (a, ft) nemusí existovat, bude-li (o, b) obsahovat aspoň jedno z čísel x = — 2 nebo x = 1. Príklad 13 /•t/2 J-n/2 cos2 — dx 2 Řešení : Zde využijeme, že funkce /(z) = cos2 - je sudá, tj. / f(x) dx = 2 / /(x) do;. 2 y_a y0 /•t/2 /-7r/2 j = 2 / cos2 - dx = 2 / Jo 2 y0 + COSX do; = */2 7T , x + sin z I = — + 1. I*/2 TT Í =2 •*/2 Příklad 14. /x2 sin x dx -tt/2 Řešení : Nyní využijeme to, že funkce /(x) = x2sinx je lichá, tj. / f(x) dx = 0. J— a Příklad 15 ri-- cosx dx 1 7T Řešení: Odstraníme absolutní hodnotu: - — cosx > 0 pro x € (—,tt) Ĺ O 1 7T a-----cosx < 0 pro x G (O, —), takže pro daný integrál platí: L o 1=1 -í--co§x) dx + / f--cosxjdx = sinx--x '0 v^ ' Jnß y/3 7T 7T ľ" >/3 _ AT *" 2 62 62 6' */ 3 rl 1 + -.x~ -sinx 0 L2 . tt/3 ŕ____i J-4 v/x5" ľ1 ex Jo ex + + 9 dx dx _ f sin x [2 In 3] 17. /------------ JQ 2 + cos x -i 2 [-ÍTíl 19/_ T** — T" 2 x x dx dx (In 3] KÍ 7 1.4. Věta o střední hodnotě integrálů • Pomocí věty o střední hodnotě odhadněte hodnoty integrálů : /*1 9 Příklad 20. / , X dx Jo VTT x° Řešení: Použijeme Větu o střední hodnotě : Nechí funkce f(x) a g(x) jsou spojité v (a, b) a nechť g(x) má stále stejné znaménko pro všechna x 6 (a, b). Potom existuje číslo fb rb c G (a, b) takové, že / f(x)g(x) dx — f (c) / g(x) dx. Ja Ja V našem případě / = / , dx = , / x9 dx = . • —, kde c € (0,1), což nám umožňuje odhadnout -----■= <-----. < —; a tedy x ' 10V2 íoVTTc^ io' y -LBoo 1 + C Ln+lJo n->oo 1 + c n + 1 ■l -d* [ / / dx [ t 1 3 je 7n = / sin"-2x • sin2xdx = sinn_2x(l — cos2x) dx = Jo Jo /•t/2 /• = / sin"-2 x dx -Jo Jo x -sinn_1 an*/2 I *ľ* _ TT Jo ~4; t/2 I w = cosx, v' = sin" 2-cosx sin"- xdx— / sinn~ a:• cos x• cos a; dx = , i . n-i u =— sinx, v =-------srn x n — 1 = In-2 — r-sin^xi*/2 i r n — 1 Jo n — lj0 sinn x dx. Dostaneme rovnici 7n = 7n_2 — 0----------i„,ze které vypočteme 7n =-------in-2- n — 1 n Provedeme diskuzi : n-lT 2fc — 1 2A; - 3 n = 2k je 7n =-------7n_2 = Pro n ____ ______ 1 _ (2fc-l)!! tt 2ÄT- " 2/fe-2 ' "'' 2 ° ~ (2*)!! ' 2; n-lr 2k 2k-2 n = 2k + 1 je 7n = ——7n_2 = 2 (2fc)!! • -Jl = Tľ^:-------TTľT • I. n 2k + l 2k-l '" 3 (2Jfc +1)!! Tím jsme odvodili tzv. Wallisovy formule. /»7ľ/2 /.jr/2 /.7ľ/2 Tentýž výsledek platí i pro / cos" x dx, jelikož / sin" x dx = / cosn x dx. Jo Jo Jo /•t/2 30. / sin7 a; da; Jo m /•t/2 31. / sin8 x da: J-n/2 r357r-i L128 J 32. / cos6xda: Jo m /•t/2 33. / sm9xdx J-w/2 [0] ŕVž 34. / x • arctg x dx Jo r27T L 3 -f] 35. / |lni|dx J l/e [-Í1 36. / y • ln(x + y) dx, Jo (l/>0) [»(»+l)ln(y + l)- -y2 In y -y] 1.6. Substituční metoda Vypočtěte integrály substituční metodou Přiklad 37 r3 i 7i x\/l + ln: da: Řešení: Použijeme substituci l + lnx = t d^=dt x X\ = 1 ----> ti = 1 X2 = e3 —^ (2 = 4 a dostaneme Přiklad 38. / = /" -^ dt = 2[y/t]A = 2 • (2 - 1) = 2. /•2/,r 1.1, / —r • sin — dx Ji/* x x Řešeni: Po substituci »■k/2 i=t x dx Xl = dt Xl = sin t dt = j sin t dt = li Přiklad 39 = — / sin t dt = Jo 1 + *4 —►*! = 7T ___. , _ T -+í2~2 J r -j TT — cosř tt/2 obdržíme = 1 xl =t xi =0 —>ti =0 Äeáerrf ; Po substituci I ^^ Ä | £ = ][ _> ^ = j T 1 f1 dt li" 11 1 TT TT /==2./0 TT^ = 2ÍarCtgl=2-4 = 8-./o získáme PríJUad 40 x2dx Řešení: Použijeme substituci m/2 x = 2 sin t dx = 2 cos t dt Xl = 0 —►«! =0 X2 = 2 ----► t2 = 7r/2 = / V4 - 4sin21 • 2cosť dí = 4 / cos21 dt = 4 Jo Jo Jo rtr, sin 2*1^/2 ^ 7T = 2ť+—— =2--=7T. L 2 Jo 2 / (x2 + 4)2dX a dostaneme ,r/2l+cos2ť _, -----ať = Příklad 41 Řešení: Zvolíme substituci x2 + 4 = t 2x dx = dť xi = 1 —► íi = 5 X2 = 2 ----► Í2 = 8 2 J5 í2 2 UJ5 2 V8 5/ a potom 80' cos x Vsin2 x + 3 dx 1/2 arcsin x yr^ dx x" •r r/3 ■, 46. / sin xdx Jo 48. / . *-----dx 7o \/2x + 1 + 1 [lnv/3] [Ŕ] lál [2(2 - ln 2)] 43 /: dx 2 x2 + 4x + 5 »r/4 45. / sin5 x • cos x dx ./o 47. / xVl-4x2dx jo "Z2 dx 49 /•TI ^0 2 + cos x El L128J 1.7. Nevlastní integrál Nechť pro každé t e (a; ď) existuje integrál F (t) = f (x) dx. Potom symbol Ja (1) / f (x) dx, resp. (2) / /(x) dx, fcde lim /(x) = ±00, Ja Ja x-*b~ nazýváme nevlastni integrál vlivem meze, resp. nevlastní integrál vlivem funkce. Integrál (1), rěsp. (2) nazýváme konvergentní, jestliže lim / fix ) dx, resp. lim t-46- / f(x)dx, Ja je vlastní. Je-li zmíněná limita nevlastní nebo neexistuje, pak nazýváme integrál divergentní. • Vypočtěte nevlastní integrály : '°° dx Příklad 50 /»oo + X 2 fa dx r ia Řešení: Jde o nevlastní integrál vlivem meze. / = lim /-------^= lim arctgx = a-¥oo J0 1 -f xz a->oo L Jo 7T 7T = lim arctga = — . Nevlastní integrál tedy konverguje a rovná se -. ■ a-foo 2 2 fOO Přiklad 51. / xlnxdx /oo xln: r° u = lnx, v' = x rx2 "|a 1 fa Řešení: 1= lim I x\nxdx = , i x2 = lim -—-lna; —-lim / xdx o-»oo Ji « = —i u = — a->oo L 2 Ji 2 O-+0O Jj = lim ( —-lna- - \x2\ ) = lim ( —-lna - - • a2 -h - ) = -+ lim — • (lna - -) o-yooV 2 4L J\) o^oo\2 4 4/4 a-+oo 2 V 2/ = oo. Daný integrál diverguje. Přiklad 52. / xexdx -oo ŕ0 . / xexi J —oo í: 1= lim f xexdx= UŤ_X: "'ŕ K 1 = Hm (fa^-e^0 ) = a-¥ooJ_a u — x, v —e a-too \ L J-a/ Äešem „-►oo y_a u = x, y = = lim (-l + a-e-a + e-a) = -l+ lim 2±I |»| '= -1+ lim i =-1+0 =-1. a-foo a->oo ea °° a->oo e° ■ "°° dx Přiklad 53 ' r —i J-oo *2 + „o- , 2a;+ 2 (ÍTípTI - j (ÍTTFTi = "c*(I + ]) + C /oo ľa /»oo f (x) dx = I f(x)dx + / f (x) dx ■oo J— oo oo L Ja (7T\ 7T --)+-= 2 / 2 = 7T. Integrál je konvergentní. ■ /»OO PŕifcZad 54. / (x - 1) sin x dx Jo Řešení: 1= Hm / (x — l)smxdx =\ *,~\~ ' " -s"!* = a^ooj0 v ' I « = 1, v=-cosx = Hm f-\(x — l)cosx + sinx ) = Hm (-(a - l)cosa - 1-fsina) . a-»oo V L J O L J 0/ a->oo Protože neexistuje limita, integrál diverguje. ■ Přiklad 55. ľ T^— Ji x -mx Řešení: Tento integrál je nevlastní vlivem funkce . Tedy /= lim / ~^—= Hm ílnllnxll6 = lim flnlÄe-Íniii(l'+é)Y= e->0+Jl+ex\nX í-M)+ L 'Jl+e e->0+ V . ' = - lim lnln(l + e) = +oo . Daný integrál tedy diverguje. ■ e-+0+ ľ1 dr Příklad 56. / '-£=— ' Jo x2-l Řešení: Opět máme nevlastní integrál vlivem funkce. / ~5—7 = lim / -5—7 = lim ~ ln ------7 = lim - In----------In 1 = J0 x2 - 1 £->o+y0 a;2 - 1 e->o+L2 x + lIJo t->o+2 2-e =—00. Integrál diverguje. (Použili jsme vzorce /-^r^-r = ^- lnlí^^I + C.) ■ i r-a' 2a li + «l Z"00 dx Príklad 57. / . Ji X1/2; - 1 -—. = iV^ — 1 = [f^7=ŕ I STÍSä] =y 777^y = 2arctgí = 2arctgv^^I + C. Daný integrál je nevlastní jak vlivem funkce tak i vlivem meze. Proto rozdělíme interval např. (1, +00) = (1,2) U (2,00) a potom /•OO rl /»OO ľl pt 1=1 f(x) dx = f(x) dx+ / fix) dx = lim / f(x) dx+ lim / f(x) dx = Ji Ji J2 É-x>+y1+e t^+ooj2 = lim 2 arctg \/x — 1 + lim 2 arctg V x — 1 = 2arctgl — 2/lim arctg\/ě + £->0+ L J l+e 4-++00 L J 2 /€->Ö+ +2 lim arctg \/t — 1 — 2 arctg 1 = 7r . ■ Í-++OO .0 ŕ00 -^ ™ T1 da: 58. / xe x dx [1/2] 59. / -j [-1/2] ./o J-00 a- „„ . — . aresin x , 60. / —-0- [l] 61. /--------dx [n2/8] fOO 62 / -H- [1] 61- / /i-----2 ye a: • hr x J0 y/1 - x2 f°°dX r ! , / —r -—- pro k > 1 ; pro k < 1 integrál diverguje Ji X /°° 2b| —r-------cřrř [00 , tj. integrál diverguje] 00 X2 + 1 1.8. Funkce definované Riemannovým integrálem d<3> • Určete — pro funkci $(x) dx Příklad64. ${x) = / /(*) dí, kde proměnná z probíhá některý interval J, Joi(x) r92(x) f(t) dt, kde proměnná x probíhá některý interval J, na němž jsou funkce gi(x),g2(x) diferencovatelné a funkce f(ť) je spojitá pro ť G (gi(x),gi(x)) a pro všechna x €/ . Řešení: Předpokládejme, že existuje funkce F(t) primitivní k /(í),tj. F'(t) = f(t), pak = F'(g2(x)). O iŽešem': Podle předchozího příkladu, kde gi(x) = 0, <72(x) = g(%) = ax, f(t) = . d$ d f^sint .r ., . .. „ ,i siní sin ax sin ax -------• a =--------. ax x r3 66. $(x) = / lnídí, x>0 [(fea-4x)hix] Ji» /•v/i 68. $(x) = / siní2 dt, x > 0 Jl/x 69. $(x) = í et2 dt, x > 0 «/lnx /•O _______ ______ 67. $(x) = / Vl + ť4 dí [-vT+lF] Ji 1.9. Plošný obsah rovinných obrazců Je-li obrazec ohraničen přímkami y = 0, x = a, x a křivkou y = /(x), fcde /(x) > 0 pro x G (a, ď), poA; pro plošný obsah P tohoto obrazce platí: ŕ P = / f(x)dx. Ja • Stanovte plošné obsahy obrazců ohraničených křivkami : Přiklad 70. y = x2 - 4x + 3, x = 0, y = 0 Řešení: Rovnici dané křivky zapíšeme ve tvaru y = (x - 1) (x - 3). Z obrázku je vidět, že obsah je P= / (x2-4x + 3)dx = Jo =------2x2 + 3x =----- L3 Jo 3 2 + 3=3- Přiklad 71. y = x2, j/ = 4 Äešenť: /2 p2 p2 4dx- / x2dx = 2 / 4dx- Př£klad72.y=-——, T* J_ /í* X14 + GT Řešení : y = 0, a > 0 p- r a dx-2a3 r00 dx y_oo a;2 + a2 J0 x2 + a2 = 2a3 lim / - X . = 2a3 lim - [arctg -1 = b-¥ooj0 x* + az 6-»oo a L aJo = 2a lim arctg - = 2a • — = a ir. 6->oo a 2 Přiklad73. x = a(ť - siní), y = a(l - cosŕ), ť e (0,2n), y = 0. Řečeno slovy : stanovte plošný obsah obrazce ohraničeného osou x a jedním obloukem cykloidy. Řešení: Jelikož křivka je zadána parametricky, použijeme následující zápis : pb /»Í2 P = ydx = / y(t) • x(t) dt, kde x(ti) = a, x(Í2) = & i« iti /•27T / a(l — cosi) • a(l — cosi)dt = io Potom P 1 - 2 cos t + cos ŕ) dt "f( 1 - 2cosi + 1 + cos 2t )dí = = ť í - 2 sin í 4- - t + - 1 lsin2íi2T 2 2 ľ* 2 3 Jo 2 27T = 3a27T. 74. x = a cos í, y = 6 sin í, í € (0, 27t) 75. x = a cos31, y = a sin3 ŕ, ť € (0, 27t) 76. x = y2, xy — 1, x = 4y 77. xy = 2, y = 2x2, y = 8, (x > 0) [7ra&] IM [1/6 +In 2] [28/3 - In 16J POZNÁMKA : Plošným obsahům rovinných obrazců se budeme podrobněji věnovat v kapitole pojednávající o dvojném integrálu. 1.10. Objem a povrch rotačních těles Mějme těleso vzniklé rotací kolem osy x obrazce ohraničeného osou x, přímkami x = a, x = 6 a křivkou y = f (x), kde f (x) > 0, x € (a, b). Potom pro objem V a plošný obsah povrchu S tohoto tělesa platí V = n í f2(x)dx, S = 2tt f f (x) y/l + [/'(x)]2 dx. Ja Ja Přiklad 78. Souměrná parabolická úseč se základnou a a výškou h rotuje kolem základny tj. tětivy paraboly. Stanovte objem vzniklého tělesa. Řešení: y Parabolickou úseč umístíme do souřadnicové soustavy tak, aby osou rotace byla osa x . Nyní sestavíme rovnici této paraboly : vrchol paraboly je v bodě [0, h] , tj. y — h = 2px2 a parabola prochází bodem -,0 . Z této podmínky vypočteme parametr 0-/i = 2p--—>p=—. 4 a2 Tím jsme obdrželi rovnici paraboly y = h — 4 — z2 a hledaný objem bude i' ,, 4/i 2,2j n fa/*., 8x2 16x\ V = 7T / (Ä - -^x2)2 dx = 2n h2{\------- + —j-) y-B/2 ° 7o a a da; s/2 = 2vh2 r 8 x3 16 x5W2 8 ,, ŕ 5 Jo 15 PriifcJad 79. Obrazec ohraničený parabolami y = x2, y2 = x se otáčí kolem osy x. Jaký je objem takto vzniklého tělesa? Řešení : V = Ví — V2 = TT / xdx — n x4 dx = Jo Jo X2 X5"]1 _ 37T .~2~~~5~Jo~ 10' = 7T 2* „ 3(1 + cos 2í) ., . 2 , - ^ , 5 n r , 3 3cosí+ —------------'- - (1 - sin2 i) cost) dt = n ď - 2n = 57rV. Přiklad 80. Obrazec ohraničený jedním obloukem cykloidy dané parametrickými rovnicemi x = a(t — sinť), y = a(l — cosi) a osou x rotuje kolem osy x. Určete objem a plošný obsah povrchu tohoto rotačního tělesa. Řešení: r2ir p2n p2ir V = 7T y2xdt = na3 (1-cosť)3 dt = na3 / (l-3cosí+3cos2í-cos3ť) dt = Jo Jo Jo /•2?r = 7ra3/ (1-Jo S = 2Trj"y.J(x)2 + (ý)2dt = p2h __________ p2n = 2v a(l - cost)V2aVl - cost dt = 2y/2a2-n / (1-cosí) Jo Jo ľ2* t ľ2n I t\ t = 2y/2a27T / 2\/2 sin3 -dt- 8a27r / (1 - cos2 -) -sin - dt = Jo 2 J0 V 2/2 = 8 cT7r -2 cos - + - cos*1 - = —- [^] II. Diferencální počet funkcí více proměnných II. 1. Definiční obor funkce dvou proměnných • Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej : PMlad 87. , = l^É Řešeni: Proměnné x a y musí splňovat současně tyto podmínky x2y > 0 —> y > 0, x^O y — x > 0 —> y > x V1 = {[x,y]eE2:x<0,y>0}, V2 = {[x,y] E E2 : x > 0,y > x}. Pro definiční obor dané funkce dostaneme V = V\ U V2 V-l Přiklad 88. z = arcsin ------ x Řešení: Proměnné x a, y musí splňovat současně tyto podmínky : -1 < x < 1 a x^O —x +I y > x + 1 Takže platí: x > 0 : -x y — 1 > x — T>\ = {[x, y] e E2 : x < 0, x + 1 < y < 1 - x}, V2 = {[x, y) € E2 : x > 0, 1 - x < y > x + 1}. Pro definiční obor dané funkce dostaneme V = Vi U T>2. 89. z = - Vx~y2 ln(l - x2 - y2) 90.z=Jln-^--2 V x2 + y2 91. z = 3-71n(x+lny) 92.2 = yjlx + y - 4+\/l6 - x2 - y2 [0 ^ x2 + y2 < 1; x > y2 ] [x2+y2<16, [x,y]#[0,0]] ét [í/ > e"1] [x2 + y2 < 16; y > 4 - 2x] 93.2 = é% x/i - M - \y\ T 94. z = i/xy — 4 £s,f3Vfl [as» > 4] II.2. Limita funkce • Vyšetřete limity funkce v bodě : Příklad 95. lim sinf+f) [x,y]->[0,0] X1 + J/2 Řešení : Využijeme skutečnost, že lim (x2 + y2) = 0 a provedeme substituci [x,yH[0,0] sinfx ~f* w ) sin í ŕ = x2 + t/2. Potom lim —^------£-*■ = lim — = 1 Příklad 96. lim [x,y]-»[0,0] X2 + t/2 x2 - 2y2 t->o í [x,y]-f[o,o] x2 + y2 Řešení : Připomeneme si známou větu : Existuje-li dvojná limita , pak existují limity dvojnásobné a jsou si rovny. lim f(x,y) = A = [x,y]->[x0,yo] Odtud plyne lim (lim f(x,y)) ^ lim lim f(x,y) x-¥xo y-*yo y-*yo x-no Tedy konkrétně : x — 2íy x lim (lim —-------—) = lim -r = 1 X-+0 j/->0 X1 + yl z->0 X1 x2-2y2^ -2y2 !im. d™ TäT^r) = S ~ir = "■ lim (lim /(z, y)) = lim (lim f(x, y)) = A lim f{x,y) neexistuje. [x,y]-+[xo,yo] vyšetřovaná limita neexistuje . y-+0 i-fO x + y y-*0 yl Příklad 97. lim [ [x,y]eU x3 - y3 [*,v]-Mi,i] *4- vf+T - 1 = lim —j— = 2 = /(0,0) —> daná funkce /(x, y) je spojitá v bodě [0,0]. ■ X :,[a:ly]#[0,0] 103. Ukažte, že funkce f(x, y) = < \Jx2 + y2 není spojitá. I 0, [ar,y] = [0,0] V bodě [0,0]. [Ařówd .-Použijte dvojnásobné limity.] • Určete množiny, na nichž jsou dané funkce definované a spojité : „„. ., x x2 + x-12 104 /<*.v> = ^TTTT [£2] 105. /(x,y,z) = e*2+x-sin(x + y) [£,] 106. /(ar,y) = ^i^-. [«.-{»=£}] 107. /(x,y) = -££-5 [^^dodefinovat/(0,0) = [iÄo]^=0] 108. /(ar, y, *) =-----„ 0 0 0^ [E,-[o,6,oÍg{as2 + ilí + *a = l}í ln ^/(x2 + y2 + z2) sin (x2 + y2 + z2)2 a;2 + y2 + -z2 109. /(ar, y, 2) = -----^-------1------5-^- [£3, lze dodefinovat /(0,0,0) =0] 110. /(x, y, z) = 1—;-—p, [£3-{* = <>} n {*j, = o}] |xy| + \z\ ________y_ x2y — xy + 4ar2 — 4x 111./(*, y, *) = -=—~J±±—— [fr3-{x = o}u{x = 1}] II.4. Parciální derivace • Najděte parciální derivace prvního řádu daných funkcí podle jejich proměnných Použijeme označeni : /' = —- a /' = -%-. ox v oy Přiklad 112. f(x, y) = {2x - 3y)4 Řešení: f'x = 4(2x - 3y)3 • 2 , /'= 4(2x - 3y)3 • (-3) i i X Přiklad 113. /(x,y) = 5xV+ - + 2x2 - 3y V Řešení /; = 20aV + - + 4r , f' = 10x4y - -. - 3 y y y2 Přiklad 114. f{x, y) = y*2+3, y > 0 Řešení: fx = yx*+3 • lny • 2x , f'y = (x2 + 3) • y*2+2 y Přiklad 115. /(x, y) = Řešení: f'x = y \Jx2 - y2' -2x pro |x| > \y\ -xy 2(x2 - y2)3/2 (a:2 - y2) v'*2 - y2 -2» V^x2 - y2 - •'s/ 2v/ír=ľF x2 - y2 + y2 x2 — y2 (x2 — y2) y/x2 — y2 (x2 — y2) y/x2 — y2 PříkladllÚ. f {x, y, z) = (xy Y Řešení: f{x,y,z) = xyz, f'x = yzxyz-\ fy = xyz ■ lnx • z, f'z = xyz ■ lnx • y i Příklad 117. Určete obor diferencovatelnosti funkce /(x, y) = x\Jx2 - y2. Řešení: f'x = \Jx2 - y2 + x Jv -xy x/x2 -y2' Jy \Jx2 - y2 Z teorie víme, že spojitost parciálních derivací je postačující podmínkou pro diferencovatelnost funkcí. Tedy hledaný obor musí splňovat podmínku x2-y2 >0 —► |y| < |x|. T>\ = {[x, y] e E2 : x < 0, y G (x, -x)}, V2 = {[x,y] € E2 : x > 0,y e (-x,x)} . Přiklad 118. Je dána funkce /(x, y) = ln(|x| + y) + V^ Určete x-4 — y1 a) definiční obor (včetně grafického znázornění), b) hodnotu f (A) , kde A = [-1,2], c) yt{A). a) |x| + y>0 9 - x2 - y2 > O b) /(-l,2) = ln(|-l| + 2) + y > -\x\ x2 + y2 < 9 1 1 df (-*)' <> £<*>-(£?: + ,_______= = ln3 + - V9 - 1 - 4 2 2x y 2^/(9-x2-y2): í/U 24 119. Dokažte, že funkce x = /(x, y) = y2 sin(x2 — y2) vyhovuje diferenciální rovnici y2z'x + xyz'y = 2xz pro všechna [x, y] € E2. [Návod : Stačí spočítat z'x, z'y a do rovnice dosadit] • Vypočtěte parciální derivace dané funkce v bodě A : 120. z = y/x2 - y2, A = [2,0] 121.2 = ^, A = [3,2] x 122. / = x2ey sin 2, A = [1,0, ?r/6] 123. / = ln(x2 - y + 32), A = [2,1,1] [z'x(A) = l, 4(A) = 0] [4(A) = -2/9, 4(A) = 1/3] [Ä(A) = 1, fy(A) = 1/2, f'z(A) = x/3/2] [/i (A) = 2/3, /i (A) = -1/6, /UA) = 1/2] II.5. Totální diferenciál a tečná rovina v x Príklad 124. Je dána funkce f{x,y) =-----—.Napište totální diferenciál df a určete obor diferencovatelnosti funkce /. Řešení: Totální diferenciál df = -^- dx + -^- dy tj. df = (—r-----) dx + (- + —z) dy ax ay V xz y) \x y2/ je funkce, pro kterou musí být splněny podmínky x ^ 0, y ^ 0. Dostaneme tyto množiny : T>i = {[x,y] € E2 : x < 0,y < 0}, V2 = {[x,y] € E2 : x < 0,y > 0}, 2>3 = {[x,y] eE2:x>0,y<0}, £>4 = {[x,y] € E2 : x > 0,y > 0}. V Příklad 125. Určete totální diferenciál a přírůstek funkce 2 = - v bodě >t = [2,1] x pro Ax = 0.1 a Ay = 0.2 . Porovnejte je. Řešení: Totální diferenciál v bodě A je dz(A) = ~-(^) cta + ~-04) dy. Přitom dz = --^r dx + - dy, dz(A) = -- dx + - dy. ZvOlíme-li dx = Ax = 0.1 x2 x 4 2 a dy = Ay = 0.2, pak obdržíme hledaný diferenciál d2 = —-• 0.1 + - • 0.2 = 0.075, přičemž přírůstek A2 = 2(x0+Ay,yo+Ay)-2(x0,yo) = 2(2.1,1.2)-2(2,1) = 0.071. Čím větší jsou přírůstky Ax a Ay, tím více se liší dz a A2. ■ Přiklad 126. Pomocí totálního diferenciálu vypočítejte přibližný přírůstek funkce y z = arctg - při změně x od x\ = 1 do x2 = 1.2 a y od yx = -3 x do j/2 = -3.1. Řešení: Přírůstek přibližně nahradíme diferenciálem tj. Az = d* = tt(a) • dx + -£■(&) • dV, kde All, -3], dx = 0.2, dy = -0.1. ox oy Spočítáme dz(A)-l 1 ( y)) -1 ď*M)-( * l dxK >~ \l + (*)2 y z27 a 10' 0y1'. \1 + (|)2 *, Potom d* = ^- • 0.2 + -^ • (-0.1) = 0.06 - 0.01 = 0.05. A~ 10' Příklad 127. Vypočítejte přibližnou hodnotu výrazu ln(\/9.03 — \/0.99 — 1) pomocí totálního diferenciálu. Řešení: Položme z(x,y) = ln(yx—y/y—1), xo = 9, yo = 1, pak dx = 0.03, dy = —0.01. Použijeme vztah Az = z(x + x0,y + y0) - z{x0,y0) = jr- (x0,y0) • dx + j- (x0,y0) • dy, ze kterého dostaneme z(x + x0,y + yo) = 2(^o,Ž/o) + 0- (^0,yo) • dx + — (x0,y0) • dy. Připravme si : z(x0, y0) = ln(x/9 - vT - 1) = 0, ^ (4) = (-—1—— . J-\ = I, dx \s/x-y/y-\ 2y/xJ (/íMJ3 - >/099 - 1) = 7 ■ 0.03 - i • (-0.01) = 0.025 . ■ o 2 Příklad 128. Vypočítejte přibližnou hodnotu výrazu 0,983,04 pomocí totálního diferenciálu. Řešení: z(x, y) = xy, x0 = 1, y0 = 3, tj. A = [1,3], dx = -0.02, dy = 0.04, takže «(0.98,3.04) = z(4) + -i (A) • dx + / (A) • dy = ox oy \^- = yxy-\ ^ = xy\nx] = 1 + 3 • (-0.02) + 0 = 0.94. ■ Lax ay J Příklad 129. Najděte rovnici tečné roviny r a normály n plochy z = 2x2 - 4y2 v bodě A = [2,1,?] . Řešení: Tečná rovina r má rovnici t: z - z0 - — (A) • (x - x0) + 0- (A) • (y - y0), kde A = [x0, yo, z0], a z0 = z(x0, y0). V daném případě z0 = 2-4 -4-1 = 4 —> dz A = [2,1,A), •- (A) = {Ax) = 8, — (A) - (-8y) dx 92 ,4 dy = -8 A t : * - 4 = 8(x - 2) - 8(y - 1) —> 8x - 8y - z - 4 = 0. Normála n je přímka procházející bodem A, jejímž směrovým vektorem je normálový vektor roviny r. Tedy n : [x, y, z] = [2,1,4] + č(8, -8, -1). ■ Příklad 130. Najděte rovnici tečné roviny r plochy z = x2 + xy — y2 + x + 3 rovnoběžné s danou rovinou g : 5x — 3y — z = 0. dz dz Řešení: Musíme najít bod A , v němž -r— = 5 , — = —3. Z toho dostaneme soustavu ax oy rovnic í 1x + v -4- 1 = 5 ic < x - 2« = -3 ' ^dtud ^ = -1' ^ = 2' 2° = ^(^o, ž/o) = 3, takže A = [1,2,3]. Rovnice tečné roviny r : 5a; — 3y — z + d = 0, Aer —> T:5x-3y-z + 4 = 0. • Vypočítejte přibližné hodnoty daných výrazů pomocí totálního diferenciálu : 131. V/7ľ95-V/8ľ96 [5.9742] 132. -----V ' __ [0.936] I.O23 . ^099 133. -\/4lJ4-ln 1.02- arctg 0.9 [0.0314] • Najděte rovnici tečné roviny r a normály n plochy z = f(x,y) v bodě A : 134. Z = Ay/x2 + y2, A = [3, 4, ?] [12* + 16y - hz = 0; [z, y,z] = [3,4,20] + í(12,16, -5)] 135.2 = ^, A = [0,0,?] [z = 0;[x,y,z] = t(0,0,l)} 136. z = x2- cos-, ^ = [1,-,?] [* = í"(,'-;);[ír',''*1=[1'í'0]+'(0'T'-1)] 137. z = - arcsin y, A = [-, —, ?] nx - 1\fŤ.y + z - n + 2 = 0; [x,y^]=[|,^,f]+í(7r,-2V2,l)_ • Najděte rovnici tečné roviny r plochy z = z(x, y) rovnoběžné s rovinou g : 138. z = 2x2 - y2, g : 8x - 6y - z - 15 = 0 [t : &c - 6» - * +1 = o] 139. 2 = ln(a;2 + 2y2), ^ : 2x - 2 + 5 = 0 [r:2x-2-2 = o] 140. 2 = a;2 — y2 + 6xy + 2x, g : Ax + 6y — z = 0 [r: 4x + 6y - z -1 = o] II.6. Derivace a diferenciály vyšších řádů Příklad 141. Najděte všechny parciální derivace druhého řádu funkce f(x,y) = xy3 -y-ex+y\ Řešení: /* = |£ = y3-yex+y\ fy = 3xy2-ex+y2-yex+y2-2y = 3xy2-ex+y2(l+2y2), /xi dx* dx y ' yy dy2 dy fyy = ^ = "TT" = 6^ " ^x+y\l + 2y2) - ex+y24y = 6xy - ex+y2(6y + 4y3), fxy = 'Ěk = ^' = 3y2~ ďW " ^'2y = 3y2"eX+í/2(1 + 2ž/2)' ^ = %^ = %2~eI+y2(1 + 2ž/2)- 92/ Ö2/ Vidíme, že pro uvažovanou funkci / platí . . — . . dx dy ay dx ve všech bodech [x,y] e E2. Příklad 142. Ukažte, že funkce u = arctg (2x — t) vyhovuje parciální diferenciální rovnici d2f d2f dx2 dx dt du 2 d2u -2-2(2x-t)-2 -S(2x -1) Řešení: dx \ + (2x-ť)2' dx2 [1 + (2x - í)2]2 [l + (2z-í)2]2' d2u -2 ■ 2(2x - t) ■ (-1) 4(2ar - í) dxdt [1 + (2x - t)2]2 [1 + (2x - t)2}2' Po dosazení je zřejmé, že rovnice platí ve všech bodech [x, t] 6 E^. d2f d2f Příklad 143. Dokažte, že ^~r-(0,0) # -^-£-(0. 0), jestliže dx dy dy dx {xí 7 X2 2y2 pro [x, y] #[0,0] , f{x,v)=\ *yx2 + y2 pro [x,y] = [0,0]. Řešení: Snadno se přesvědčíme, že funkce / je v bodě [0,0] spojitá : lim f(x,y) = [z#]->[0,0] = 0 = /(0,0). Derivace /£(0,y), /JM), /£,(0,0), /£(0,0) vypočítáme pomocí příslušných definic : /i->o n h-+o ti ,,, n> ,. /M)-/(g,o) ,. ^fey-p /'(x, 0) = lim-----^—;----------- = lim--------.--------= x, > JyK ' ' k-+o k k->o k : ^(0.0) - Um ^(°-*> 7 ^^ °> - Bm Zg* = -2, f" (0,0) = hm -2--------—-*-------= hm - = 1, /£(0,0) #/£(<), 0). » Najděte diferenciály uvedeného řádu : příklad 144. 2 = sin(2x + y), d2z = ? / d d \n Řešení: Diferenciál n-tého řádu a™f = [dx • — + dy • — ) /, potom \ ox oyl d2*=(dx- + dy-)z = ^(dx)2 + 2^dxdy + ^(dy)2 = = —4 sin(2x + y) (dx)2 - 4 sin(2x + y) dx dy - sin(2x + y) (dy)2 = = - sin(2x + y) (2dx + dy)2. Přiklad 145. z = x3 - y3 - xy + y2, d3z = ? Řešení: dh = g (dx)3 + 3^ (dx)2dy + sJJL d» (dy)2 + 0 (dyf z'x = 3x2 - y, z'y = -3y2 - x + 2y, 4, = 6x, 4 =-6y+ 2, z"y = -l, z"' = 6 z'" = -6 *"' = z'" = 0 xxac "' yyy ' zxj/ xyy "> d3z = 6(dx)3 - 6(dy)3. Přiklad 146. u = e2*"3*, ďu(A) = ?, d3u(A) = ?, dnu(A) = ?, A = [0,0] Äešem ; <řu(A) = (e2s"3y(2dx - 3dy)2) | = (2dx - 3dy)2, (ŕu(A) = (e2l-33'(2dx - 3dy)3) | = (2dx - 3dy)3, (s, i) = ln(s3 + í) ^2 3 , +\ [,„ _ 3s(2t - s3) n _ _______ rss " («3 + ty ' *" " (í> +ty ~1 ,n ,ii —os ] 150. (/>(x,í) cos a; [.// — I/a 2 2 , o • 2\ ,// 2 2 j/' 2x . ji 011 = ~r\^x cosx + 2 sin x ), 0tt = -jcosx , 0It = -j-smx I [/« = a2eaz+b", & = ř>V*+\ /£', = abe***"»] 151.f(x,y)=eax+by • Rozložte funkci f(x, y) podle Taylorovy věty v okolí bodu A pro n = 4 : 152.* f [x, y)=x3 + 5x2 - 6xy + 2y2, A = [1, -2] r /(x)ž/) = 26 + 25(x-l)-14(y + 2) + 8(x-l)2 1 L +2(y + 2)2 - 6(x - l)(y + 2) + (x - l)3 J Til* /7r «^ - r2 4- 3t7/ - í/3 + 1 >4 - [2 -li ľ /(s-íO = (* - 2)+ 3(y + 1) + (x - 2)2+ 1 15d. J{x,y)-x +áxy y+L,A-[Z, lj [ +3(y + 1)2 + 3(l_2)(y + 1) _(tf+1)3 J II.7. Gradient. Derivace ve směru Určete odchylku gradientů daných funkcí v bodě A : Příklad 154. f(x, y, z) = xy + yz, g(x, y, z) = sin(xz) +x + y--------1, A = [1,1,0] Řešení: grád / = (|£, |£, ^) = (yar""1, x» ln rr + z, y) —> grád /(A) = (1,0,1) gradp = (zcos(xz) +1,1 + — ,xcos(xz)----J —> gradp(yl) = (1,1,0) y y Označme (p = < (grád f (A), grád g (A)). Potom (1,0,1) (1,1,0) 1 * X Přiklad 155. f(x, y) = arctg -, g(x, y) = yy/x, A = [1,1] Řešení: grád/(A) = (-,--), grad^(^) = (-,l), (s.-ž)-ď1) v/2 / n/ÍÔ\ cosu>= ——já----á=— =-----7=. —>• v? = arccos (-—-—). ■ Přiklad 156. Určete, ve kterých bodech je gradient funkce f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 2xyz roven nulovému vektoru. Řešení: grád / = (2x - 2yz, 2y - 2xz, 2z - 2xy) = (0,0,0) —► x - y z = O y — x z = O z — xy = O Je zřejmé, že jeden z bodů bude bod A\ = [0,0,0]. Další spočítáme ze soustavy : {x = yz } y-yz2 = 0—+z = ±l \ z-y2z = 0—>y = ±l J ^2 = [1,1,1], A3 = [-1,1,-1], A4 = [-1,-1,1], A5 = [1,-1,-1]. Přiklad 157. Určete, ve kterých bodech má gradient funkce f(x, y, z) = (x2 + y2)3^2 velikost 9. Řešení: lgrad/| = \(3xy/x2 + y2,3yy/x2 + y2)\ = y/9x2(x2 + y2) + 9y2(x2 + y2) = 9, 9x2(x2 + y2) + 9y2(x2 + y2) = 81, (x2 + y2)2 = 9-+x2 + y2 = 3. Hledané body leží tedy na kružnici o poloměru \/3- ■ • Vypočtěte derivaci funkce / ve směru s v bodě A : Přikladl58. f(x,y) = 2x4 + xy + y3, s =(3,-4), A[l,2] Řešení: ?Í(A) = grád f (A) • t|, grád / = (8x3 + y, x + 3y2), Přiklad 159. f (x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz, A = [1, -1,2]; s je jednotkový vektor určený svými směrovými úhly 7r/3, ir/3, 7, 7 € (0,7r/2). Řešení: s = (cos a, cos ß, cos 7), kde cos2 a + cos2 ß + cos2 7 = 1, |s| = 1. Tedy /1\2 /1\2 o 1 7T (2) + V2/ + cos7=l—► cos27=-—> 7= j e(0,7r/2). ^(A) = grad/(A) • s = (3a;2 - 3yz,3t/2 - 3a;z,3z2 - ^v)\A(\,\, ^) = = O, -3,15). (-,-,— j =—r—. Přiklad 160. f(x, y, z) = x2 + 2y2 -z2, A = [-3,2,4]; směr s je směr vektoru A~Ě, kde B = [-2,4,2]. iřešem: s = ÄÉ = (1,2,-2), |^(A) = (2a;, 4y, -2ž) -^ = (-6,8,-8)- (1'2'~2) Os = i(-6 + 16 + 16) = |. a \s\ v ' ' y v/l + 4 + 4 Příklad 161. Určete derivace funkce z = z2 + ln(a; + y2) v bodě .4 = [3,2-\/3] ve směru tečny k parabole y2 = Ax. Uvažujte vektor svírající ostrý úhel s vektorem i. Řešení: Souřadnice směrového vektoru tečny získáme z její směrnice y = 2y/x, y' = —pz, kA = y'(A) = -= =tga Vx v3 a=g, P=2~6 = 3' s = (cosa,cos^) =|—,-J, |s| = 1. >T..... , ... /„ 1 2y \i /91 4\/3\ Nyní si pripravíme grádz(A) = [2x-\----------, ——- = I —, —— , takže V x + y2 x + yl/\A V15 15 / hledaná derivace bude dztA\ AtiA\ S /91 4v/3\ (VŠ1\ 95^ -(A) = grad/(A) • M =(-,—) • (-, -) = _. oř Přiklad 162. Určete v jakém směru je derivace funkce f(x, y) = x3y + — + 2y y v bodě A = [—1,1] maximální a vypočítejte tuto derivaci. Řešení : Z obecné teorie víme, že derivace je maximální ve směru gradientu. 1 2t gvadf(A) = (3x2y+-1,x3-— + 2) =(4,3) —> s = (4,3). y* yó A 9f,A, ,,, ,n a 16 + 9 r PftfcZadl63. Je dána funkce 2 = y/2x + y, bod A = [1,2,?], vektor s = (-1,1). Určete dz a) ve kterých bodech je funkce z diferencovatelná, . b) —(A), (Jo c) tečnou rovinu ke grafu funkce z v bodě A. Řešení: a) ^ = as , . 4 = o /o ■ —> 2x + y > 0 —► y > -2x, y/2x + y y 2y/2x + y dz... yl Iv (-1,1) b) ä-m |(,) = (i,i).<^> = _L c) r:«-2 = i(x-l) + i(y-2). ■ Přiklad 164. Určete vektor s, v jehož směru je rychlost změny funkčních hodnot funkce f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 — 2xyz v bodě A = [1, —1,2] maximální a tuto maximální rychlost vypočítejte. Řešení: Funkce maximálně roste, resp. klesá, ve směru s, resp. (—s), kde ?= grád/(A) = (6,-6,6) —► š°=|| = (1'^l'1), Přiklad 165. Určete, ve kterých bodech je gradient funkce /(z, y, z) — x2 -\-y2 + z2 — 2xyz kolmý k ose x. Řešení: i = (1,0,0) je směrovým vektorem osy x, grád / = (2x—2yz, 2y — 2xz, 2z — 2xy), i A. grád / znamená i • grád / = 0. Odtud 2x — 2yz = 0 takže hledané body leží na ploše x = y z. m Příklad 166. Určete úhel vektorů grád f (A) a gradp(ß), kde f(x,y) = x - Zy + y/Žxy, A = [3,4], g(x, y, z) = zy/äfi + y* + xyz, B = [3,4,0]. Řešení: gvaňf(A) = (l + \^, -3 + \^)(A) = (2, -H) € V(£2) / - . + V z, , + xz, sjx2 + y2 + xy) {B) = yjx1 + yl y/Xl + y2 > = (0,0,17) e V(E3). Vektor (2, -j) e V(E2) doplníme na (2, --,o) G V(E3). Nyní (2,-|,0)-(0,0,17) TT COSV?=l(2,-S,0)|-|(0,0,17)i=°-> ^2- 167. Ve kterých bodech je gradientem funkce f(x, y) = lni a; 4- -J vektor (l, —-r-j ? [vbodech[-i,|]a[|,-|]] 168. Ve kterém bodě je gradient funkce f(x, y, z) = x2 + y2 — 2z2 + xy + 3y + 8z a) kolmý k ose z; b) rovnoběžný s osou z; c) roven nulovému vektoru? a) v bodech roviny z = 2 tj. [x, y, 2] b) v bodech přímky x = —-, y = 1, z = í c)[-i,l,2] X — 1 169. Nalezněte úhel <£> gradientů funkce f(x,y) = arcsin-------, j/^0, v bodech 2/ A = [1,1],J5 = [3,4]. [co^ = 7f] • Je dána funkce f(x, y), bod A a vektor s. Určete, ve kterých bodech je funkce / rif diferencovatelná, spočítejte -^z{A) a napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce / os v bodě A : 170.f(x,y) = \x\ + y, A = [1,0,?], s = (-1,1) [x*o, %(A) = 0, x + y-z = o] 171. f (x, y) = x2 + 3xy + y2, A = [1,0,?], $=(1,2) [E2, ^(A) = -^, 2* + 3y-z-i = o] x ~\~ v 172. Určete v jakém směru je derivace funkce f (x, y) = In-------, v bodě A = [3,0] x-y maximální a vypočítejte tuto derivaci. [s = grad/(,4) = (o, |Y |C(A) = |] 173. Určete derivace funkce f(x, y) = x2 — y2 v bodě A = [2,3] ve směru s, svírající s vektorem i úhel a = —. (a = ^ je směrový úhel) [a^^ ~2~ 3v^l 174. Určete derivace funkce f(x, y, z)—x2 — 3xy + y2z — 5z v bodě A = [1, —2, —1] ve smeru s, jehož smerové uhly jsou a = —, p = -p 7 € I 0, — 1. I^(^) = , ■ I II.8. Derivace složené funkce • Vypočítejte derivace daných složených funkcí : Příklad 175. z = exln y, a; = u cos v, u = u sin d, — =?, — =? du dv Řešení : Závislost mezi proměnnými znázorníme orientovaným grafem, ze kterého sestavíme vzorce pro jednotlivé derivace. z dz _ dz dx dz dy du dx du dy du' /\ * y dz _ dz dx dz dy I >^>^ I dv dx dv dy dv Nyní tyto derivace vypočítáme : u dz ex dz ex — = ex In y • cos v -\-----sin v, — = — ex\ny ■ u sin u + '—u cos u. ■ du y dv y Poznámka : V tomto jednoduchém příkladě bychom mohli dosadit za x a y. Pak derivace funkce z = eu cosu ln(u sin v) by se dala spočítat přímo, avšak naším úkolem je procvičení derivací složených funkcí. Příklad 176. z = \n(x2+ y2 +-), x = u2 + t, y = u2 - u, -i =?, ^ =? t1 du at Řešení: /K dz _ dz dx dz dy dz _ dz dx dz du dx du dy du' dt dx dt dt x-* i "V (Derivace s pruhem — je pomocné označení a odpovídá z podle t.) du x2 + y2 + é x2 + y2 + $ x2 + y2 + é dz = Ix 1 , 2 2 _j_ ô* z2 + y2 + £* + x2 + y2 + £( t*}~ x* + y* + yX t*h " _„_, ,..__ „, 4 4 ^ 4x ,, _, . • , T> 1 du 1 du 1 du PHMad ITT. u = /(*« + #• - *). Spoctejte vyraz y -__ + __ + __. Řešení: Označme t — x4 + y4 — 2z4. Pak u = f(t) a 9it du dt „.. . , , yŤV ôy dť öt/ ^ » N du du dt .... , „',. Po dosazení snadno spočítáme, že F = 0. ■ d2z d2z Přiklad 178. z = uv2, u = x In y, v = y In x, n . =?, -r-r =? 9x9y ay2 Řešení u v 1X1 čte 9 2 9 z Nejdříve spočítáme — a potom ——r—, -^-r öy öxöy dy2 dz dz du dz dv 2 x — = — • — + — • — = v-4 • - + 2uv • In x. oy au oy ov oy y Nyní znázorníme závislost derivace —- na u, v,x,y : oy d*z dm dm . dm du dm dv _ v, "\dy> UU "\dy> X/V. dxdy dx dx du dx dv dx v2 2uv n , . 2vx n ,' y — +------l-2ulnx-lny+(------l-2ulnx)--, y x y x &z = d{%) = 9(g) t ď(ft) au 1 g(%) ft; = 9y2 9y 9y 9it dy dv dy v2x n , x ,2vx n , . , =----—+2ulnx-----h (------h2ulnx)-lnx. ■ y2 y y 179. Presvědčte se, že funkce y = f (x + at) + y(x — at) vyhovuje parciální diferenciální d v d v rovnici -^-r- — a2-^-r = 0. Předpokládáme, že f a, g jsou dvakrát diferencovatelné dt1 oxz funkce. [Návod: u — x + at, v = x - at, y = f (u) + g(v)] 180?Přesvědčte se, že funkce z = f ŕ - J splňuje rovnici x • ^- + y • ^- = 0. Předpokládáme, že / je diferencovatelná funkce. 181. Jsou dány funkce z = f(u,v), u = x2 — y2, v = exy. Spočítejte diferenciální výraz W = y • -r- + x • 77-, kde / je diferencovatelná funkce. [w = (x2 + y2) ezy -^1 9x 9y i ovi 182. Je dána funkce /(x, y) = xy, kde x = u2 + v2, y = uv + v2. Spočítejte — a — v bodě A, jehož souřadnice jsou tt = 1, v = —1. [a ^ = af^ = ~ln2l II.9. Funkce definované implicitně Přiklad 183. Dokažte, že rovnicí x3 + y3 = 2x2 + xy - 1 = 0 je implicitně definována jediná funkce y = /(ar) v okolí bodu A = [1,0]. Určete /'(l) a /"(l). Řešeni : Označme F(x, y) = x3 + y3 - 2x2 - xy + 1 funkci, která je spojitá v E2 a má spojité parciální derivace. K existenci a jednoznačnosti implicitní funkce y = f (x) — —1Ť^ 0. Dále spočítáme A nyní stačí, že F(A) = F(l, 0) = 0 a F'y = (3y2 - x) /'(*) = H| = -3%i"~y' m=f w = --Er « -i. ,„, . = 4fM = (te - 4 - f')(3y2 - x) - (3x2 - 4s - y){6y ■/'-!) ' y ' dx (3y2-x)2 nx) = m = J6-4+')(-') -(3-4)(-D=4 Přiklad 184. Napište rovnici tečny ť a normály n křivky definované implicitně rovnicí F(x, y) = x3y + y3x + x2y - 3 = 0 v bodě A = [1,1]. Řešení: Jelikož F(l, 1) = 0 a Fý(A) = (x3+3y2x+x2) = 5 ^ 0, je rovnicí F(x, y) = 0 skutečně definována křivka y = y (x), která prochází bodem A. 6 í: y-y0 = y'(x0)(x-x0), kde .4 = [x0,y0], y-1 =--(x-1)—> 6x+5y-ll = 0, o 5, n: y — 1 = -(x — 1) —► 5x — 6y — 1 = 0. ■ 6 Přiklad 185. Rovnicí ln yjx2 + y2 = arctg - je dána logaritmická spirála. a; Stanovte y' a y". F' Řešení: Můžeme použít známý vzorec y' = —-^,Fý ^ 0 nebo můžeme danou rovnici přímo derivovat a přitom si pamatovat, že y je závislé na x tj. y = y(x). Derivujme přímo : 1 2x + 2yy' 1 y'x -y x + yy' y'x-y y/xž+y2 2y/x^+^ 1 + (|)2 *2 *2 + y2 *2 + y2 z + y x-y' X ~\~ V x + yy' = y'x - y —> x + y = y'(x - y) —► y' =-------, x ^ y Druhou derivaci spočítáme podobně : (1 + y')(x - y) - (x + y)(l - y') x-y-x-y + y'(x - y + x + y) /x + yy _ vx — v/ y y J (x - y)2 (x - y)2 „ _ -2y + 2xy' = ~2y + 2x • g» = 2(x2 + y2) (x-y)2 (z-y)2 (x-y)3 Přiklad 186. Ukažte, že rovnicí x2 + 2xy + y2 - 4x + 2y — 3 = 0 je implicitně určena funkce y = /(x), jejíž graf prochází bodem A = [0,1] a zjistěte, zda je f (x) konvexní v okolí bodu A. Napište rovnici tečny ke grafu funkce v bodě A. Řešení: F (x, y) = x2 + 2xy + y2 — 4x -f 2y — 3 je diferencovatelná v E2, F(A) = F(0,1) = 0, F' = (2x + 2y + 2) /O, A , = _K= 2x + 2y-4 x + y-2 1 y Fl 2x + 2y + 2 x + y + 1 yK } 2' „= (l + y')Qr + y + l)-(s + y-2)(l + y') _ 3(1 + y') (x + y + 1)2 (x + y + 1)2 3(1 + 1) g y"{A) = —J7-—-—2__ = — - < 0. Funkce y = f (x) je v bodě A konkávni, jelikož y"(A) < 0. Tečna v bode A má rovnici y — 1 = -x —> x — 2y + 2 — 0. ■ Príklad 187. Dokažte, že vztahem F (x, y, z) = z3 + Zx2z — 2xy = 0 je definována jediná funkce z = f {x,y) v okolí bodu A = [—1, —2,1]. Určete grád f (A). Řešení: Funkce F má spojité parciální derivace v okolí bodu A, F(A) = F(-1,-2,1) =0, F'2{A) = (3*2 + 3x2) = 6^0. Tím je existence A a jednoznačnost funkce z = f (x, y) v okolí bodu A prokázána. dx F'z 3*2 + 3x2 dx{ ' 3' dz _ F'y _ -2x 2l(A)--- dy~ Fz~ 3z2 + 3x2 ~~* dy{ ' ~ 3' g«l/(A)-(i,-i)-!(!,-!). Příklad 188. V okolí bodu [2, —2,1] je dána funkce z = /(x, y) v implicitním tvaru dz In z + x2yz + 8 = 0. Určete -p-, os , kde s = ÄÉ,A = [2, -2], B = [3,-3]. Řešení: Označíme F(x, y, z) = In z + x2y2 + 8. V bodech, kde F(x, y, 2) = 0 a Fz(x,y,z) jt 0 platí: dz _ F'x _ 2xyz (h = _8 dz = i^ = x2^ ?£m^ = 1 &r ~ Fi ~~ J +x2y ~~* &TJ ~ 7' ôy " ^ " ± + x2y "^ dyl j ~ 7' 92:.^ Jŕ/>.x * f 8 4\ (L"1) -12 -6^ Pŕtfc2adl89. Napište rovnici tečné roviny r a normály n k ploše definované implicitně rovnicí F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 25 = 0, v bodě A = [3,0,4]. Řešení: Víme, že normálový vektor k ploše má vyjádření n Vdx'dy ) \ F>' Fi' Lj-^n-V»'***)' Je-li plocha vyjádřena v implicitním tvaru, pak poslední zápis je výhodnější. Tedy n = (2x,2y,2z)~(x,y,z)| =(3,0,4), \A t : 3(x - 3) + 0 • y + 4(z - 4) = 0 —► 3x + Az - 25 = 0, n: [x,y,z] = [3,0,4] +1(3,0,4). ■ Příklad 190. Napište rovnici tečné roviny k ploše F(x, y, z) = x(y + z) + z2 — 5 = 0 rovnoběžné s rovinou q : 3x — 3y + 6z = 2. Řešení: ň = (3, -3,6) ~ (1, -1,2) n = {F'x, F'y,F'z) = (y + z,x,x + 2z) = *(1, -1,2) {y+z=k \ x = — k > a z této soustavy musíme určit souřadnice dotykového bodu A. x + 2z-2k) k 3 Vychází x = —k, y = ——, 2 = - fc. Víme, že hledaný bod musí ležet na dané ploše, proto dosadíme do F(x, y, z) = 0 a určíme konstantu k , a tím i souřadnice hledaného bodu. Dostáváme postupně -fc(-^ + ^) + (^)2 = 5, -k2 + 9-e = 5, k2 = 4, k = ±2, ^1 = [-2,3,-l],A2 = [2,-3,l]; n : x - y + 2z + 7 = 0, r2 : x - y + 2z - 7 = 0. ■ Přiklad 191. Určete rovnici tečny v bodě 4 = [—2,1,6] ke křivce v E3, dané rovnicemi 2x2 + 3y2 + z2 = 47, x2 + 2y2 = z. Řešení: Snadno určíme tečnou rovinu v bodě A k první ploše T\ : —4a; + 3y + 6z — 47 = 0 a tečnou rovinu ke druhé ploše r2 : — 4a: + 4y — z — 6 = 0. Směrový vektor hledané tečny je s = nx x n2 = (-27, -28, -4) ~ (27,28,4) a rovnice tečny [x,í/,z] = [-2,l,6]+ť(27,28,4). Uvedeme další možný postup. Při daném vyjádření křivky jako průniku dvou ploch budeme předpokládat, že jediná nezávislá proměnná je x. Potom y a z budou funkcemi proměnné x, tj. y(x),z(x). Hledaný tečný vektor s bude (l,y'(x),z'(x)). Proto danou soustavu zderivujeme podle x ' 4x + 6yy' + 2zz' = 0 , , I 2x + Zyy' + zz' = 0 . , , neboli < , , 2x + 4yy' = z' 1 2x + 4yy' = z' Nás zajímá tečný vektor v daném bodě, proto dosadíme souřadnice bodu A a obdržíme postupně vzájemně ekvivalentní soustavy { {--' -4 + 3y' + 62' = 0 4 + 4y' - z' = 0 ' + QZ' = 4 1 /-z'= 4 J' 4y'- 7; — 4 6 4 -1 3 6 4 -1 3 4 4 4 k -27 -28 _ 28 -27 ~ 27' -4 -27 27 Hledaný tečný vektor jes= (l>^i7^) ~ (27,28,4). Parametrické vyjádření tečny je tedy opět [x,y,z] = [-2,1,6] + £(27,28,4). ■ Přiklad 192. a) Najděte jednotkový vektor n° vnější normály v bodě A = [1, —1,1] plochy vyjádřené implicitně ve tvaru F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 — 3 = 0. b) Spočítejte ^(4), kde f(x,y,z) = xy2zz. Řešení: a) n = {F'x, F'y, F'z) = (2x, 2y, 2z) ~ (x, y, z), n° = -^(1, -1,1) b) |4(^) = grád f (A) ■ n° = (1, -2,3) • {h~h1] = 2VŽ. dň° v/3 • Napište rovnici tečny t a normály n křivky definované implicitně rovnicí F(x,y) = 0 v bodě A : 193. F(x, y) = arcsin x + xy2 = 0, A = [0,2] [t ■. x = o, n ■. y = 2] 194. F(x, y) = x2y + xy2 - axy - a3 = 0, A = [a, a] [t-.y = -x + 2a,n.y = x] 195. Dokažte, že rovnicí ln(x + y) + 2x + y = 0 je definována funkce y = f (x) splňující /(—I) = 2. Napište rovnici tečny ke křivce y = /(a;) v bodě A = [—1,2]. [í:»-2 = -f(x + l)] • Napište rovnici tečné roviny r a normály n k ploše F (x, y, z) = 0 v bodě ^4 : 196. x2 + 2y2 + Zz2 - 21 = 0, A = [1,2,2] [r : a; + 4y + %z - 21 = 0, n : (x, y, z) = (1,2,2) + t(l, 4,6)] 197. x3 + y3 + z3 + xyz - 6 = 0, A = [1,2, -1] [t : a; + Íly + 5« - 18 = 0, n : (x, y, z) = (1, 2, -1) + t(l, 11,5)] 198. xyz2 -x-y-z-0t A = [1, -1, -1] [r : -2x + z + 3 = 0, n : {x, y, z) = (1, -1, -1) + í(-2,0,1)] • Napište rovnici takové tečné roviny k ploše F(x, y, z) = 0, která je rovnoběžná s rovinou g. 199. x2 + y2 + z2 - 1 = 0, g : x + 2y + z = 0 [z + 2j/+ 2 ± >/6 = 0, body dotyku Ti,2 = [±^, ±^v±^-]] 200. x2 + 2y2 + 3z2 - 21 = 0, g:x + 4y + 6z = 0 [x + 4y + 6z±2i = o, Ti,a = [±i,±2,±2]] 201. Je dána funkce .z = /(x, y) v implicitním tvaru ez — xyz = e. Určete }'X(A), fý(A), fZy(A), kde bod ^ = [0, e, 1] [fx(A) = hfí(A) = o, f'Jy(A) = i/e] 202. Jsou dány dvě plochy rovnicemi v implicitním tvaru x + 2y — lnz + 4 = 0 a x2 — xy — 8x + -z2 + 5 = 0. Určete vzájemnou polohu tečných rovin obou ploch ve společném bodě T = [2, —3,1]. [x + 2y — z + 5 = 0 je společná tečná rovina] 11.10.* Transformace diferenciálních výrazů Nechť platí : 1) G a B jsou oblasti v En, 2) zobrazení g = g\,... ,gn] ■ B —> G, splňující [xu...,xn] = 0i(iíi,...,ttn),...,0n(iti,...,tin)J pro všechna [ult...,Un] € B, je prosté a má spojité parciální derivace v B, dxi dxi 3) Jacobián J = du\ dun dxn dxn du\ dun /O« celé oblasti B. Potom zobrazení g — [gi,...,gn] nazýváme transformací souřadnic [xi,..., xn] € G do soustavy souřadnic [u\,..., un] € B. Příklad 203. Je dána tzv. Eulerova diferenciální rovnice x2y" + xy' — Ay = x In x. Proveďte její transformaci, jestliže x — e1. Řešení: V daném případě máme jedinou nezávislou proměnnou x, x € G,, G = (0, oo), y je funkce x. Transformační funkce x = e1 : R —y G, R = E\, G C E\ je prostá dx a její Jacobián se redukuje na jedinou derivaci —- = e* ^ 0 pro všechna t € R. at o -'* • j ■' i dy h &y . A . , . dy .. <ŕy Spočítejme derivace y = — a y = -—z pomoci derivaci y = —, y — -— : dx dx1 dt dtz dx %r x dt y -t " = % = ^É-={y-e-t-ý-e-t)-e-t = (y-ý)-e-2t- dt Po dosazení do dané rovnice e2t -(y-y)- e~2t + é • y ■ e~l - Ay = eť • In eŕ obdržíme transformovanou rovnici ý — Ay = t e*. ■ Přiklad 204. Rovnici y • —-----x • -^r— = 0, (y > 0) transformujte do nových souřadnic d x d.y u = x, v = x2 + y2 a získanou rovnici pak vyřešte. Řešení: Zde víme, že z(x,y), u(x,y), v(x,y) a Jacobián inverzní transformace je [u,v] € fix (0,oo). 2x 2y Nyní dosadíme do dané rovnice,takže postupně odvodíme řešení : fdz dz n\ dz . ■ dz n dz n. n. y(^- + ^--2x)-x- — -2y = 0, y —= 0, — = 0 protože y > 0), \du dv, J dv du du z(u) = konst., z = /(ti), -2 = f(x2 + y2). i Přiklad 205. Transformujte diferenciální výraz W = í ^— J + í — j do polárních souřadnic. Řešení: Transformační rovnice , . f x = rcosyj 1 ^ ' l j/ = r sin 0, [x, y] e R x (0, oo) Přistoupíme k výpočtu derivací : d z d z du d z dx du d x d v dv dz , dz = .! + .— dx du dv dz dz du dz dy du dy dv dv dz n dz dy du dv do množiny £ľ2 — [0,0]. přičemž J = cos (p —r sm

r cos

—r sm y sin y r cos y cosy 1 SÍIKjS 0 = COS ^>, 0 — r siny 1 r cos y SXnip r sin ip r cosy 0 siny 1 = sin (p, COS ip r r Dosadíme získané derivace do (2) a současně do daného diferenciálního výrazu W (Oz dz = (—-cosy?- — \dr dio n dz dz +2 •TT ' flor a<£> cos2 ip sin + dip dip> dz> )- í—V sin2 v? + dz\2 \dr) sm ip+ (dz\2 cos1 ip _ (dz\2 (vz\2 1 \dipJ r2 \dr) \dip) r2 Příklad 206. Použijte předcházející příklad a transformujte diferenciální výraz d2z d2z V =--------1--------. dx2 dy2 Řešení, d2 z _°\dx) _ d (dz\ dr d (dz\ dip _ dx2 dx dr\dx) dx ddr cos ip — -r— • sin ip dr d2. •cos

dr Po dosazení do původního výrazu (použijeme cos2

, kde [u, t>] 6 (0,00) x R. \Wl=uŽ± w2=ol£_ľ!.^£l L du' du2 m2 ô u2 J d2 z d z 209. Transformujte diferenciální výraz W = 4xy • _ _-----2y • ^r— do nových dxdy ay u souřadnic u, v, jestliže x — uv, y — —, kde [u, v] € (0,00) x (0,00). v 210. Transformujte diferenciální rovnici : (1 — x2)y" — xy' + a2y = 0, jestliže x = cost. {x(t) musí být funkce prostá, proto t € (0, n).) [—f + a2y = 0] \y"\ 211. Vyjádřete vzorec pro křivost křivky y = fix), k — 7------ ,v01../o v polárních [1 + (y'rn SOUradniďch. [jfc = ^ + 2(r')2 - rr" ^ ^ = dr ^ = dV i L / o . / ,no\3'2 ay ay>2J (r2 + (r')2)' 212. Transformujte parciální diferenciální rovnici (x + y) ■ —-----(x — y)-^— = 0 do nových dx dy souřadnic u, v takových,že u = In J x2 + y2, v = arctg -. \-^- - —- - 0] X letu ov J 11.11. Extrémy funkcí Příklad 213. Definujte ostré lokálni maximum a minimum. Má funkce z = \Jx2 + y2 v bodě A = [0,0] lokálni extrém? : Řešení: Nechť je funkce f (X) definovaná v množině Dc^a bod A je vnitřní bod < množiny V. Jestliže existuje okolí U(^'r) c ^ takové, že pro všechna [ X f {A), pak říkáme, že funkce / > má v bodě A lokálni maximum, resp. lokálni minimum. Platí-li ostré nerovnosti, pak mluvíme o ostrém lokálním maximu, resp. minimu. V daném příkladě platí z(A) < z(X) pro každý bod X z okolí bodu A, a tedy v bodě A nastává ostré lokálni minimum. x y POZNÁMKA : Derivace z'x = . , z' = . v bodě A neexistují, a proto nelze V x2 + y2 \Jx2 + y2 použít grád z (A) = 0. ■ • Najděte lokální extrémy funkce : Přiklad 214. z(ar, y) = 2x3 + xy2 + hx2 + y2 Řešení: Máme zde funkci dvou proměnných v explicitním tvaru. Funkce z je diferencovatelná, proto nutné podmínky existence lokálních extrémů jsou : z'x = 0, z' = 0. { z'x = 6xl + y2 + 10x z' = 2xy + 2y 6x2 + y2 + lOx = 0 y(x + 1) = 0 -—^ buď y = 0 nebo x = — 1 y = 0 : 6x2 + 10a; = 0 -1 : y2 + 6 - 10 = 0 {Xi x2 = xi = 0 5 3 " y2 = 4- Nyní si připravíme derivace druhého řádu ! Ai = [0,0] *-[-f,o] y = 2—> y = -2—► ^3 = [-1,2] A4 = [-1,-2] Al A2 A3 A4 z"xx = 12x + 10 10 -10 -2 -2 4 = 2*+ 2 2 4 3 0 0 4'u = 2y 0 0 4 -4 Pro A(^) = *? Z*? I { z" z" I <■ ^yx Zyy 10 o > 0 existuje lokální extrém. < 0 neexistuje lokální extrém. Pro A(i4i) = n 9 I > 0, zxx > 0 obdržíme lokální minimum z{A\) = 0. Pro A(A2) = A(A3) = -10 Pro { A(A4) = 0 •-S -2 4 4 0 -2 -4 -4 0 > 0, z"x < 0 dostaneme lokální maximum z(A2) = 125 ~2Ť"' <0 <0 v bodech A3 a A4 lokální extrémy neexistují. Přiklad 215. Funkce y = f (x), je vyjádřena v implicitním tvaru x2 + 2xy — y2 + 8 = 0. Řešení: Zderivujeme přímo danou rovnici podle x a spočítáme / / ; x + y y : 2x + 2y + 2xy - 2yy = 0 —-> y =------- pro x ý V- y-x Položíme y' = 0, tedy x + y =0 —► y = —x a dosadíme do zadání, abychom určili souřadnice případných lokálních extrémů x2 - 2x2 - x2 + 8 = 0 —► 2x2 = 8 —► xh2 = ±2, y1)2 = q=2. Dostali jsme dva body A[2, —2] & B = [—2,2]. Nyní spočítáme ž//>=(l + yO(y-x)-(x + y)(y--l)< ^ y"(B) = i > 0 (y - x)2 /(2) = —2 je lokální maximum a /(—2) = 2 je lokální minimum. Přiklad 216. Funkce z = f(x, y) je dána rovnicí z3 - 3xyz = a3, a ^ 0 —3yz yz , xz Řešeni. z- = - Zz2 — 3xy z2 — xy' ti- xy . Položíme obě derivace rovny 0. Za předpokladu z2 — xy ^ 0 vychází i —ní' co^ ^e sPm®no DUď když z = 0 nebo x = y = 0, avšak 2 = 0 nevyhovuje rovnici z3 — Zxyz = a3. Zbývá případ x = y = 0. Potom po dosazení do výchozího výrazu získáme z = a. Dostali jsme jediný stacionární bod A = [0,0]. Nyní je ji _ (yz'xJz2 - xv) - yz{2zz'x -y)\ _ *** - V (Z2 _ xy)2 ; /-u' „ _ /x^^(z2 - xy) - xz(2zz(, - x)\ i _ Zyy v (za - xy)2 ; L ' „ / {z ■+ yz'y)(z2 - xy) - yz(2zz'y - x) \ i = 1 ^ l (z2-xv)2 )\a a* ■ a ■ * A(A) = o i a (z2 - xy)2 < 0, takže v bodě A neexistuje lokální extrém. Přiklad 217.* /(x, y, z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2* Řešení: A,= f" J XX f" Jxy f" J xz f" J XX f" Jyx f" Jxy f" Jyy f" JyX f" Jyy f" Jyz , A2 = f" J zx f" Jzy f" J zz A! = /: — f" xx Podle Sylvestrovy věty o kvadratických formách platí: Aa(M) > 0, Ax (M) > 0, pak f (M) je ostré lokálni minimum. Aa(M) < 0, Ax (M) < 0, pak f (M) je ostré lokálni maximum. Je-li A2(M) < 0, pak v bodě M neexistuje lokálni extrém. Je-li A2(M) > 0, { Výpočet vypadá následovně : f'x = 3x2 + 12y = 0 neboli x2 + 4y = 0, 1 fy = 2y + 12x = 0 neboli y = -6x, J ' f'x = 2z + 2 = 0, neboli z = -1 ,4 = [0,0,-1], B = [24,-144,-1] f "x = 6aľ' f'L = 2> f'z'z = 2> fXV = 12> f "z = °> /J* = ° pak x2 — 24x = 0 xi = 0, x2 = 24, Protože A2(A) = Protože A2(£) = 0 12 12 2 144 12 12 2 < 0, v bodě A nenastává lokální extrém = 144 > 0, A3(B) = 144 12 0 12 2 0 0 0 2 = 288 > 0 a Ai(B) = 144 > 0, je f(B) = f'(24, -144, -1) = -6913 Lokální minimum. Můžeme se též přesvědčit přímo, že kvadratická forma d2f(B) je pozitivně definitní: d2f(B) = 144(dx)2 + 24dxdy + 2(dy)2 + 2(dz)2 == (12dx + dy)2 + (dy)2 + 2(dz)2 > 0 Přiklad 218.* f {x, y, z) ='?- + — + - + x Ax y z Řešení: Za předpokladu xyz ^ 0, položíme všechny derivace funkce / rovny 0. UM Jx Ax2 , ^ 2x y2 ' y z2 ( —) = 1, takže buď 1) y = 2x nebo 2) y = -2x, Případ : 1) Nechť y = 2x. Pak /J = 0 -> 1 - ^ = 0, 2 4z2 4x 4a;2 2l = 2X, Z = i. ri Obdrželi jsme stacionární body A = -, 1,1 B -H-1- takže neexistuje řešení. z2 2) Nechť y = — 2x. Pak fL = 0 -» -1-----ö = 0 a řešení neexistuje . Tím jsme vyčerpali řešení soustavy (1) v oboru reálných čísel. Přistoupíme k výpočtu druhých parciálních derivací: f" =X-Jxx 2x3' t„ 1 2z2 f" =-----1------ /w 2x y3 ' A2(A) = J "I A2(B) -4 2 2 -3 f» =___y_ Jxy 2x2i f" = J± hz y2' = 8 > 0, A3(A) = = 8>0, A3(B) = J ZZ ' 1 ' 4-2 0 -2 3 -2 0-2 6 -4 2 0 2-3 2 0 2-6 32 > 0, Ai(A) = 4 > 0, = -32 < 0, Ai(ß) = -4 < 0. Je tedy /(A) = /f -, 1,1) =4 lokální minimum a /(£) = /(--, —1, —1) = -4 lokální maximum. Najděte vázané (podmíněné) extrémy daných funkcí: Přiklad 219. z - 2{x2 + y2), jestliže x + y = 2. Řešení : Geometricky se jedná o nalezení extrémů z-ové souřadnice na průsečné křivce rotačního paraboloidu z = 2(x2 + y2) s rovinou x + y = 2. Z podmínky x + y = 2 vyjádříme např. y = 2 —x a dosadíme do dané funkce z = 2(x2 + y2). Tím dostaneme z(x) =2{x2 + {2-x)2), takže z(x) = 4(x2-2x + 2). Pro funkci z(x) hledáme lokální extrém. Položíme tedy • Určete globální (absolutní) extrémy funkce z = f(x, y) na množině M : Příklad224. /(x,y) = x2 + y2 + xy-x-y, M = {[x,y] € E2 : x > 0,y > 0, x + y< 1} Řešení: 1) určíme stacionární body na M a jejich funkční hodnoty : Ax = }X=y=\ [i,i] em, /(*)—|; /; = 2x + y-l = 0 /£ = 2y + x-l=0j- - 3 3'3J ' 'v " 3 2) určíme stacionární body na jednotlivých stranách A OBC OB:y = 0 —► /ii(rc) = x2 - x, h[(x) = 2x - 1 = 0 a: = 4=[^o]eM, /(A2) = -i, 2' y = 2' OC : x = 0 —* Ml/) = ž/2 - », h'2(y) = 2y - 1 = 0 BC : y = 1 — x —> hs(x) = x2 + (1 — x)2 + x(l — x)—x — l + x = —x2 — x, h'3(x) = -2x-l = 0 —> x = -^, [~|] ČM; 3) určíme hodnoty funkce f (x, y) ve vrcholech O, B,C /(O) = /(0,0) = 0, /(fl) = /(l,0)=0, /(C) = /(0,1) = 0. Ze všech spočítaných funkčních hodnot vybereme nejmenší a největší. Globální maximum nastává v bodech O, B, C, fmax(0) = fmax(B) = /max(C) = 0 a podobně globální minimum v bodě A\, /min(^i) = —-z- ■ Příklad 225. z = x2 + y2 - 6x + 6», M = {[x, y] € E2 : x2 + y2 < 4} 'Resent : . ( z'x = 2x - 6 = 0 —► X! = 3 ' t z' = i4 = [3,-3], A£M. .„ - 2y + 6 —► yj = -3 f x — 2 cos í 1 2) Body na hranici množiny M zapíšeme v parametrickém tvaru < _ „ . >. Pak postupně 2; = 4 — 12 cos t + 12 sin t, — = 12 sin í + 12 cos ŕ = 0, at sin í = — cos t, ti 3 7 -TT, i2 = ^7r, Í! = - 7T —► B = [—y/2, y/2], z(B) = 4 + 12\/2 je globálni maximum a í2 = - 7T -—► C = [\/2, -\/2], 2(C) = 4 - 12^ je globálni minimum. • Určete lokální extrémy funkce : 226. z = ln(xy) + x2 + y2 - 4x - 4y + 7 r %/2 \/2i lok.max. v boděAi =1----— ,1 ——I, lok.min. v bodě A2 = I1 + —, 1 + -^-J, další stacb. A3 = [l + ^,1 - ^], A, = [l - ^,1 + ^f] 227. z = x2 + y - Xy/y - 6x + 12 228. z = x2 + y2 + 6x - 4y 229. z = ln(l - x2 - y2) 230. z = x3 + 8y3 - 6xy + 5 231. z = ex'2{x + y2) 9 232. z = x3 + y3 + -x2 - 3y - 12a; 233. x2 + y2 + z2 - Ax + 6y - 2z + 13 = 0 234. x2 + xy-z2 + z + y + 5 = 0 235. f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 6x + 2y + 6z 236. f (x, y, z) = x2 + 2y2 + z3 - Ylyz - 6z [2min(4,4)=0] [*1n(-3,2) = -13] [w(0,0) = 0] [zminfl, ň) = 4, v bodě [0,0] neex.extrém] [zmin(-2,0) =----] 17 Zmin(l, 1) = - Y' 2max(-4, -1) = 58 v bodech[l, —1],[—4,1] neex.extrém [Zmin(2, -3) = 0, Zmax(2, -3) = 2] ve stac.bodech [-1,2,3], [-1,2, -2] ' neex.extrémy [/(2, -1, -3)) = -14, lok.min.] /(3,36,12) = -873, lok.min., v bodě [3,0,0] neex.extrém • Určete globální extrémy funkce z = f (x, y) na množině M : 237. f(x,y) = xy(x - o)(y - b), M = {[x,y] e E2 : 0 < x < a, 0 < y < b} glob.max. /(-,-) = ir . glob.min. /(0,0) = /(a, 0) = /(0, b) = f {a, b) = 0 . 238. f{x,y) = xy{2-x-y), M = {[x,y] e E2 : x > 0, y > 0, x + y < 1} glob.max./(-,-) = -. glob.min. f (x, 0) = /(0, y) = 0 239. /(x, y) = x2 + y2 - xy, M = {[x, y] G £2 : |x| + \y\ < 1} glob.min. /(0,0) = 0 glob.max./(l,0) = /(0,l) = = /(-l,0) = /(0,-l).= l 240. f(x,y)= x2 + y2-xy + x + y -1), M = {[:r,y] G E2 : ar < 0, y > 0,a;-y + 3 > 0} 1 5 glob.min./(--,0) = -- glob.max. /(0,3) = 11 241. f(x,y) =x2 + y, M = {[x,y] e E2 : x > 0, y > 0, x + y < 6} (íS)f{x,y) = x2-y2, M = {[x,y] G E2 : x2 + y2 < 4} glob.min. /(0,0) = 0 glob.max. /(6,0) = 36 glob.min./(0, ±2) =-4 glob.max./(±2,0) = 4 11.12. Rotační plochy Příklad243. Oblouk křivky m (tzv. meridian) f (x, z) = 0, y = 0, odpovídající x G (a, 6), (0 < a < b) rotuje kolem osy z. Napište rovnici této rotační plochy. Řešení [a,0,c] Zvolíme libovolný bod M ležící na křivce m f (x, z) = 0, y = 0, který při rotaci kolem osy z opíše kružnici o poloměru x v rovině kolmé k ose z. Označme jeho libovolnou otočenou polohu M a zapišme vše v souřadnicích : M = [x, 0, z] —+ M - [x, y, z], M =fx,ý,OJ....... ž = z, x2 + Ý = x2 —► x = ±y/x2 + y2. Otočíme-li celý oblouk, pak platí f(±\/x2 + y2,z~) = 0 a po vynechaní pruhů obdržíme rovnici hledané rotační plochy f{±y/ŕ + iJi,z) = Q (a2 a > 0, o : osa x 47 Řešení : Kružnice, rotující kolem přímky ležící ve stejné rovině a neprotínající danou přímku vytvoří tzv. anuloid, jehož rovnici odvodíme : x2 + (±y/y2 + z2-b)2 = a2, (±y/y2 + z2-b)2 = a2-x2, y2 + z2 + b2 T2by/y2 + z2 = a2 - x2, (x2 + y2 + z2 + b2- a2)2 = 4 b2(y2 + z2). Příklad 246. m : z = kx2, y = 0, o : osa z, x e (0, a) Řešení: Plocha je rotačním paraboloidem z - k(x2 + y2), 0• osa rotace je osa x. Zvolíme z = 0 (řez rovinou (xy)) : y2 = (x — 2)2 —> y = ±(x — 2). Meridian je přímka y — x — 2 v rovině z = 0. Daná plocha je rotační kužel s vrcholem V = [2,0,0], osa x je osou rotace. ■ [osa z, z = ^8 - x2] [osa x, 4y2 — x2 = 1, jednodílný rot.hyperboloid] 2 2 [osa y; — + =j- = 1, rot.elipsoid] [osa x, y = x, rotační kužel] • Napište rovnici rotační plochy, znáte-li meridian m a osu rotace o : 254. m : 2z = x, y = 0, x 6 (0,4), o : osa x, [4(y2 + z2) = x2} 255. m : x 5 + y5 = a5, 2; = 0 (asterioda) , o : osa x [x? + v/y2 + «2 = o?] 256. m: 2 = ?/ + 4, x = 0, o: osa 2 [(2 - 4)2 = x2 + y2] 257. m : x — 1 + 2y2, 2 = 0, o : osa a; [x = 1 + 2(y2 + z2)] 250. x2 + y2 + 23 - 8 = 0 251. 4y2 + 422 = x2 + l x2 y2 z2 252. — + 2- + — = 1 4 9 4 253. x2 = y2 + 22 III. Dvojný a trojný integrál ULI. Existence Příklad 258. Rozhodněte, zda daný integrál / / —------- dxdy existuje, jestliže : JjDX+y &)D:x2 + (y-l)2<\; b) D : x2 + y2 < 1; c) D : x2 + (y - l)2 < 2. Řešení: Budeme vycházet z toho, že dvojný a trojný integrál je definován pouze pro funkce omezené na D a dále budeme používat větu o existenci: Nechť D je měňtelná (v Jordánově smyslu) množina v £ľ2 (resp. E3) a funkce f je omezená na D. Nechť množina bodů nespojitosti funkce f v D má míru 0. Potom f je inte-grovatelná v D, tj. integrál // f(x,y)dxdy (resp. /// f (x,y, z) dxdy dz) existuje. Množina D je měřitelná (je omezená a její hranice má míru 0) a f(x,y) = —-------- je spojitá a xl + yz omezená na D. Integrál existuje. Množina D je měřitelná, ale f(x, y) není omezená 1 = 00. v D, protože [0,0] G D & lim Integrál neexistuje. [xjr]-»[o,o] x2 + y2 f(x,y) opět není omezená na D ([0,0] G D), integrál neexistuje. Příklad259. Je dána množina D : x2 + y2 < 4. Vyšetřete, zda existují integrály : f f sin(x2 + y2) .ff x dxdy ff dxdy &)JJD *2 + v2 dxdy> h)}lD*^r' ^JL^Ty^-V ^M xy dx dy, *IL exy-l xy dxdy •()IL(d y)' dx dy. Řešení, a) existuje, b) neexistuje, c) existuje, lim ■S£±JÉ>_1, [x,ýi-»[o,o] x2 + y2 X lim -5——r = 00, [*,»l-+[o,o] x2 + y2 je spojitá v celém JEľ2, x2 + y2 + 1 d) neexistuje, protože např. lim [x,ä/]->[-l,l] 1 + xy = 00, olfc e) existuje, lim 1 = lim 5»*-l E-K) x/c J/-+0 y/c f) neexistuje, protože např. lim --------r^ = 00 ' ,ľ ľ [x,yH[l,-l](x + í/)2 = 1, kde k E (-2,2) Přiklad 260. Vyšetřete, zda existují integrály : b) í/"/* (a: + yz) dxdydz, W : x2 < y < 2, z > 3, c) '>///,,,+ /+,,.„*»*■ -K**+y + **<4. Rešení: a) neexistuje, protože funkce 1 (l+x + z)3 b) neexistuje, protože W není měřitelná v E3, c) existuje, x2 + y2 + z2 - 9 ^ 0 v W. III.2. Fubiniova věta pro dvojný integrál není omezená v W, {1+x+z = 0}nW ^ 0, Si vv > * 1.--------— • Vypočítejte dvojné integrály na daných obdélníkových množinách Příklad 261. 1= jí y2sin2xdxdy, D:0 dxdy, D:0: < a; 0 < y < - nebo 0 £>: < 2y < x < 4 0 X2 = 9 —► 3i,2 = ±3 z2 < y < 18 - x2 -3 < x < 3 Příklad 268. xy = 4, y = x, y = 4x, (x > 0) Řešení : D = Di U £>2 -> 02: < y 4 - 0) Řešení: 1(1 f(x,y)dy).dx = ßftti&HK 1111 Jo /** r- ür\ 2 =J (J f(x,y)dx)dy + j (j f(x,y)dx)dy. r-2 . /.2-y jr=0 Príklad 274. x. = y2 - 4, a: = -3y r x = y2 — 4 Řešení: Vyřešením soustavy < dostaneme průsečíky paraboly x = y2 — 4 1 x = -3y s přímkou o rovnici x = —3y. / (/ f(x,y)dx>Jdy = = (7 /(«i y) dy) dx+ J-4 xJ-Vx+4 ' + ( / f(x,y)dy)dx. J-3 yJ-Vx+4 '■ • Načrtněte množinu D a vypočítejte dané integrály : Přiklad 275. I = ^ dxdy, D : xy = 1, y = 4x, x = 3 Řešení: -[£!_^!i3 _1225 ~ i 4 8 J1/2 ~ 64 Přiklad 276. / = // a;3y2 dx dy, D : x2 + y2 = a2, x = 0 (x > 0) Řešení 'y/a2-y y/a2-y2 dy = dy = £ayj(a2-y2)2dy=\-2J\2(a4-2aV + y4) 2 L 3 5 7Jo 2 V3 5 7/ 105 Příklad277. 1= [f -^r, D:y = 2x-x2,y = -x JJdx+1 Řešení: y = 2x — x2 neboli y — 1 = —(x — l)2 je rovnice paraboly s vrcholem [1,1]. Průsečíky paraboly s přímkou y = —x najdeme tak, že zjistíme jejich x-ové souřadnice {y = 2x — x2 ~x — 2x — x po dosazení y = -x ► x(x - 3) = 0 = 2x-x ľ2x-x2 X\ = 0, £2 = 3 3 x- -ln|x2-l-l|- t* y=-x i (C *^)dx = l *TT(2x-x2 + x)dx = f3 -x2 + 3x J ŕ x2 + 1 - 3x - 1 _, mJ, ^rdx = -J0 *»+i *-= -[{1-z^i-^i)dx = - l3 3 —arctgx\ = - In 10 -I- arctg3 — 3. Přiklad 278.1 = í í (x+ y)dxdy, D : y2 - x2 < 1, y > 0, x € (-2,2) Řešení: y2 — x2 = 1 je rovnice hyperboly . / (/ (x + y)dy)dx= [xy + /•2 . _____ 1 + x2 \ ľ2 ,_____ = / íxVl + x2 + —-—J dx= xVL + x2dx + 2-,-s/í+í* dx = If* £^£l 0 (lichá funkce) dx = rh 2 14 x-\-----= —. 3 Jo 3 sudá funkce Příklad279. I = ff (1 +x)ydxdy, D : y = x2 - 4, y = -3x, x = 0 (x < Řešení: Stanovíme x-ové souřadnice průsečíků paraboly s přímkou : 0) y = x1 — 4 y = -3x Po dosazení x2 + 3x - 4 = 0 xi = l,x2 = -4 rO , /•-3i =J-4 IM'J1+x)y^dx=\ fjl+x) Ml>= = 5 Í (l+x)(9x2-(x2-4)2)dx = l í (-x5-x4+ +17x3 + 17x2 - 16x - 16) dx..= ^ [-y - y + ^+ _^KV=-5ac +—-----8x2 - 16x 3 J —' -1376 15 " Příklad 280. Řešení: !L{x+l) dxdy, D :y = 2x, 2y — x, y = 2 2y=x f ( [ (x + 1) dx) dy = • • • = 8. JO Vu/2 ' Příklad 281. Řešení : I -dxdy, D : xy = 1, y = x, x = 4 (x > 0) JJd V I!dl1ydy)dx- ÚM> = h=4 r4/ ix r4 í = / (lnx — ln - J dx = 2 I lnxdx = (per partes) m = In x, v' = 1 r 14 = , i =2 a;lna:-a: =81n4-6. «=—, v = x \ L Ji 282 IL dxdy , D:x = 3, x = 4, y= 1, y = 2 (x + y)2' 283. / / cos(x + y)dxdy, D : x = O, y = -k, y = x 284. (x2 + y2) dxdy, D : y = O, y = 1 - x, y = 1 + x 285. / / (x + 2y) dxdy, D : x = y2 - 4, x = 5 286. / / xydxdy, D : y = x - 4, y2 = 2x 287- / / "TT dx d2/> -D : a: = O, y = 2, y = 4, y2 = x JJDy + 1 288. / / -z dxdy, D: y2 = x, y2 = 4x, y = 2 • j J {xy + y) dx dy, D : x = 1, x = 2, xy = 4, y = O [-11 [-2] [|] |50,4] M [4 + ,„§] [j] [4 + 8I1I2] III.3. Fubiniova věta pro trojný integrál • Vypočítejte trojné integrály na daných množinách W C E% : Přiklad 290. I = ííí -(z + l)2 dxdydz; W : 0 < x < 1, 1 < y < e2, 0312 Řešení : 3 Jo 2 v r 3 Řešení Přiklad 291. / = #77 (x2 + j/2) dxdydz; W:0 raisin2! 1 r*/* = -/ (/ y sin5 x dy) dx = - sin x • — dx = - sinxdx = 4 y0 vo ' 4^o L 2 J o 8 Vo PftfeZad 293. Vypočítejt ítejte//l dx dy dz x + 2y + Sz = 6, x = 0, y = 0, 2 = 0 , kde W je čtyřstěn omezený rovinami Řešení : 0< z< 0 = sin x u' = 1, v = —cos x • Vypočítejte integrály na daných množinách VF : 295. iff {x + y + z)dxdydz, W : x = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = \/2 f1^] 296. /// xdxdydz, W :x = 0, y = 0, z = 0, z = xy, x+ y = 1 [i] 297. /// x2yz*dxdydz, W": z = xy, y = x, y = 1, z = 0 [±] 298. /// (x + y)dxdydz, W : x = 0, y = 0, z = 0, x = a, y = a, z = a2 - x2 - y2 299. ííí xzdxdydz, W : x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, z = x2 + y2 + 1 [^] III.4. Substituční metoda pro dvojný integrál Příklad300. Rozhodněte, zda integrál / / arctg - dx dy, kde D = {[x, y] G Ei : JJd x x2 + y2 < 1, y > 0} existuje a v kladném případě jej spočítejte. Řešení: y Funkce f (x, y) = arctg— je nespojitá na ose y x (tj. x = 0). Nicméně, množina D je měřitelná funkce / je na D omezená, neboť y 7T I arctg — I < — pro všechny body [x, y] e E2. Ju éíi Proto daný integrál existuje. Vime, že // f(x,y)dxdy= // f(x(u,v),y(u,v))\J\dudv. JJd JJb(u,v) v ' Zde použijeme transformaci do polárních souřadnic. x = r cos y? 0 < r < 1 y = r sin tp | 0 < y> < 7r J = r //. y arctg — dxdy = d x = ŕ / ip • r dr) dtp --[^■iy--[^\yi. • Vypočítejte integrály : Přiklad Řešení : 301. ff y/x2+y2dx dy, D = {[x, y] e £2 : x2 + y2 - bx < 0}, Ď > 0 r, í &\2 2 , b2 IĹ* x2 + y2 dx dy = x = r cos tp y = r sin tp J = r x + y < bx —> r
0 — — bco8

< -=-2 _v_ 2 x = r cos y> y = r sin 3tt/2 pa ■ ■ r3 = / ln(l + r2) -rdrdip= l Jn/2 JO J*l = 7r.I. [l+a lnídť=^fťlní-ťl1+a2 = |((l + a2)ln(l + a2) + l). 2 Ji 2 L J i Z \ 1 + r2 = t 2rdr = dt PřikladS03. x3 dxdy, kde D je množina ohraničená křivkami xy = 1, xy = 3, y = y, y = 2x • Řešeni: 2y=* r xy = u Použijeme transformaci \ y • Potom množina D K — — v x *y=3 bude mít vyjádření 1 < u < 3, -3 -u*v 3 3 3 = ■!„-!.+ 2-1 = J_ ^ 0. 9 9 3v II/^dy=Ül!lhdu)dv=ll^dv- Irdu=l^^ 1/2 = 1.2.4 = 2 3 2 Ir li2 r«V 2 Ji Příklad 304. í í {2x - y) dx dy, D : x + y = 1, x + y = 4, y = x, y = 5x Řešení: Potom < Nejvhodnější substituce bude následující x + y = u y >, 1 < m < 4, 1 < v < 5. x x = y = l + v (l + v)2 v u l+v (l + v)2 U UV + (l + v)z {l + v)3 (l + vf í 0; //<*-,)**-/ (f (^ JSL)^*,)*.^ ..^ 2-i; {i + vy dv = r«3]4 /*a v + i-3 on fV 1 3 ■ \, PŤH3b/ad 305 21"ll + v 2(l + u)2Ji 21V6 _3____1 3 2 • 36 ~ 2 + 2 • 4 )=o. + 4x2 + 9y2dxdy, D : 4x2 + 9y2 < 36, y > 0 Řešeni: Množina D je vnitřek elipsy — + — < 1 ležící nad osou x. Použijeme transformaci do zobecněných polárních souřadnic (eliptických) : x — 3r cos ip , J = 3-2-r, 0, j/ = 1 + 2r sin y.) 308. // y/x2 + y2dxdy, D : x2 + y2 < 2x 309. / / (a;2 + y)dxdy, D : xy = 1, xy = 4, y = x, y = 9x (Použijte souřadnice xy = u, — = v.) x [Síra2 [4*1 32] m r 4»' 3 J III.5. Substituční metoda pro trojný integrál • Spočítejte integrály substitucí do sférických souřadnic : x = r cos ip cos ů y = r sin 99 cos ß z = r sin ti J = r>0; 0 <

0, y < 0 Řešení: !SL^^ 2 + z2 dx dy dz = 0<2tt 2 - - 2 J í>7T/2 r27T /jr/2 f2K.fi x v /•*/* /•'■««■ /*J (/ (/ r-r2costfdr)dY>)di9= / cosůdů- dip- r3dr = „ TT 81 81 = 2-------------= —7T. 2 4 4 P*Hlbiod 311. /7Y (x2 + y2) dxdy dz, W : 1 < x2 + y2 + z2 < 9, y > O, z < O Řešení: IfL* x +y )dxdydz = i 0, *>0 Řešení: III xydxdydz = J J Jw x = 2r cos cos t? 0 < r < 1 u = 3r sin v> cos tí i n ■ . TT ^ f — w z = 2rsini? ' 2 . „. J=12r2costf 0-tf- 2 = j( ( 6r2 sin ip cos

0 ; 0 < v? < 2tt ; x2 + y2 = r-2 J = dy dy dy dr dip dv dz dz dz dr d(p dv = r Příklad 313. /TY (z2 + y2) dx dy dz, VF : x2 + y2 < az,z < a, (a > 0) Řešení, W je část vnitřku rotačního paraboloidu : r2 £2 + y2 < fl2 —► í"2 < au —* — < u < a, a ji ■ „2 _ „2 2 _ «2 z' = a : ar + y* = ít —> r' = a , 0 < r < a, 0 < v? < 27T. (•27r /»a . />a J J Jw ^X ~*~^ ^ ^X ^ ^Z a Z"2* , /** ?/ r2, , r r4 r6i« „ ,a5 a5x 27r • a5 7ra5 / dep- / r3(a------)cřr = 27ra—-— = 2tt(— - —) = ——— = —-. Jo Jo a L 4 6aJo v4 6J 12 6 V tomto příkladě jsme mohli postupovat i bez použití cylindrických souřadnic. Mohli x -\~ v jsme vyjádřit z přímo : ---------< z < a a potom vzít v úvahu průmět tělesa a do roviny (xy), což je řez tělesa rovinou z = a tj. x2 + y2 < a2. Tedy jíl (x2 + y2) dx dy dz = / / ( / a (x2 + y2) dz) dxdy = x2+y2 0, z > 0, ~2 -.2 r2 ^ + ^ + ^ 0, z < 0 [»(f + Wins)] 317. /TY x2ydxdydz, W : z < 4 - x2 - y2, y > 0, z > 0 J J Jw 318. /TV" (y2 + z2) dxdyd*, W : 4x2 + y2 + j < 1 319. /// ^2 + y2 + ^+lWr^f^ W:x2 + í/2 + 22<2,x<0,y<0,z>0 JJJw \/x2 + y2 + z2 r 27521 L 105 J 105 [4tt] (Návod : cylindrické sour, x = rcos>p,y = h,z = r sin ) r7r(4-v^)-j 320. /7V" (x2 + y2 + z2)dxdydz, W : x2-2x+ y2 <0,-1 < z < 1 [y*] J J Jw 321. /"/'/' xydxdydz, W : 0 < x2 + z2 < 4, 0 < y < 4 - x2 - z2, x >0 r 1024-1 l 105 J III.6. Aplikace dvojných a trojných integrálů • Určete plošný obsah rovinného obrazce I? ohraničeného danými křivkami: Přiklad 322. y = x2, x + 2y = 3, y = 0 Řešení: P= if dxdy= f (f * dx)dy= f (z-2y-s/y)dy = y=0 *+2y=.? = [3y-y-----3—J0=3- Přiklad 323. xy = 1, xy = 4, y = x, x = 8 Řešení: á p=IIDdxdv=ÍAÍidv)dx+l (// *)**■ -jf(-í)*+jré-í)-[7:"w]> +3[h*|] =2-ln2-- + 3(ln8-ln2) = - + ln£-^ = = ^+ln32. ■ 2 Přiklad 324. Určete plošný obsah rovinného obrazce omezeného osou x a jedním obloukem cykloidy o parametrických rovnicích x = a(t - siní), y = a(l - cosi). Jeden oblouk cykloidy opíše bod kružnice, která se kotálí po přímce y = 0, tj. t € (0,27r). 1 + cos 2í « » /»Ba /»2jt /»2ir P= dxdy = ydx= yxdt= a(l - cosi) • a(l - cosi) dt = •/./£> Ai «/O .Z0 = a2 / (l - 2cosí + cos2t) dt = a2íí - 2sini] * + a2 / , „ a2 r sin2íi2,r „2.2 02 = a2-27rH----U + —r— = 2iraz + a'ir = 3na\ 2 L 2 Jo Příklad 325. Určete plošný obsah rovinného obrazce D omezeného asteroidou Řešení: x2/3 + í/2/3 = a2/3 -IĹ dxdy Použijeme transformace do souřadnic : \2/3 (r cos3 J = cos3

sin

= 3rsin2v3Cos2v5. = 3r sin2 v? cos4

7T j7T í7T 0< r < ay/cos2(p —>cqb2

0, (p € (0, -> U (—, —) U (—,2ir). P = 4 / í / rdr) dtp = 4 / I —I dtp = 2 a2cos2 V= ^sinv? r4 = r2 cos2 0 —► 0 < y < 7T f* r„2, Irr>fi2, p-y.(y. 3r*)^=3/0y. *- = - / -cos4<£>sin2v?ťk> = —- • 2 • / cos4 (p (1 - cos2 tp) dip = 6 Jo 9 54 Jo 1 ff, , fi . , 1 /3-1 7T 5-3-1 7T\ 7T = 27 X (COS * " COS v) d(p = (WallÍSOVa f0rmUle) = 27 V4T2 ' 2 " 6^2 ' 2i = 864- Přiklad 328. (x3 + y3) = 3axy (Descartesův list) Řešení: P= dxdy = x = rcosip 0 < r < r(v) y = r sin tp \ tp\< 7r ,7r r(l) = ■ 3 ' ľ • 3 » °<^^ô> HO) = r(-) = 0. cos3 (p ■ + siir tp 2 2 1 ľ * í Za cos tp sin tp \ 2 _ 9a2 ľ 2J0 Vcos3 (tgV + i) dtp 2 cos2 y> í cos3 y? +sin3 y? J ,2 /.oc 3m2 tgV5 = « cos* v? -— dw = du :* í/5 _ 9a2 r00 : "2-3Ío («3 + 1): dit = = - a2 lim 2 C-4+00 _3a2 2 * r- Jo (« 3u2 3 a2 „ ... du = :1^- lim 3 + l)2 2 C-++00 p -1 lc_3a2 f -1 \_ Ltl» + lJo~ 2^Hmoolc3 + l+V_ Prüfekid 329. Určete plošný obsah rovinného obrazce omezeného křivkami x2 + y2 + x = 0, x2 + y2 + Ax = 0, y = x, y = 0. Řešeni: x2 + y2 + x = 0 —> (x + -\ + y2 = -a;2 + y2 + 4a: = 0 —► (a; + 2)2 + y2 = 4 "Ä dxdy -4 cos v s = rcosyj x2+y2 + x = 0—> r = —costp y = rsin

r = — 4 cosy? J = r ' — cosy? < r < — 4cosy> 7T < <£ < -7T 4 = / ( / rdr)d 2 Jw \ / 15 /•t* 2 , 15 n,rl + cos2a> , 15 r sin2o?-|f* \_15/7T 1\ _ 15(7T + 2) / ~ T\4 + 2/ 16 ' 15/5 sin§7r = — ÍT7r + —-^------7T- 15/5 tU5 sin27T Příklad 330. Je dána parabolická úseč s tětivou kolmou k ose. Délka tětivy je a, výška úseče h, a hustota q=1. Určete : a) moment setrvačnosti úseče vzhledem k tětivě, b) těžiště úseče. Řešení, Analytické vyjádření této paraboly bude y — h= px2. '2 -4/i Použijeme-li bod -, 0 , pak —h = p—------> p = —- L 2 J 4 a1 ... 4/i 2 y = h-----r-ar. /i« a) Moment setrvačnosti k tětivě je nyní momentem setrvačnosti vzhledem k ose x. = JJDy2dxdy= _a (x - 2)2 + y2 = 4 T m M, , Xt M« m xT,0 = 10 • P = 10(tt • 22 - TT • l2) = 30tt '-Ä lOx dx dy = x = r cos tp y = r sin

2x x2 +y2 <4x r > 2 cos

TT 7T -----< ifi < — 2-^-2 ^•3 T 4 cos í /"ä / /*<*»* \ /"ä rr3-|4cosV 10 P 4 = 10 / ( / r cos ip dr ) dip = 10 cos ip- — dtp = — / 56 cos tpdip = J-i\j2cos

3 y.» 20 *« /"f 4 , = — • 56 / cos 2?r - a2 / (1 + cos 2 ,7T 3 o —---------d<^ = a 7T + az- = - a 7T, r>27r . /•o(l+cosy>) 1 2r n ■ i2* 1 2 /" 1 = -a[

0 I 0 < y> < 2w J = r r2jr. [yfii2 d ŕ* / [W/l 2\ , \ , rt rl r2 rW1/2 „ /li 1 1\ tt Přiklad 339. Určete hmotnost a x-ovou souřadnici těžiště tělesa omezeného rovinami x = 0, y = 0, 2 = 0, x + y + z = 1, je-li hustota g=l. Řešení: Hmotnost tělesa při q = 1 se rovná objemu. m = V = 1 1_1 3*2 ~ 6' Xt — -^L M , lvi* = I xdxdydz = J J Jw = / ŕ / ŕ / z dz J dyj dx = ( x(l - x - y) dyj dx = Přiklad 340. Určete hmotnost koule, jestliže hustota g je rovna čtverci vzdálenosti od středu koule. Řešeni: Zvolíme počátek soustavy souřadnic ve středu koule. Pak koule je popsána nerovnicí x2 + y2 + z2 < a2 a hustota g = x2 + y2 + z2. m = 111 gdxdydz= /// (x2 + y2 + z2)dxdydz = JJJw JJJw x = r cosy; cosi? y = r siny? cos t? z = r sin i? J = r2 cos ů 0 = 51° 47ra5 -2,[-»*]* .[L];- Příklad341. Určete těžiště tělesa omezeného plochami z = x2 + y2, z = 2, je-li hustota Řešeni : Těžiště T = [0,0, zT], kde zy = —3Í, m = V = m = 11 dxdydz = / / ( / dz) dxdy = x2+y2<2 = //(2-^-^) 0, g=\. Řešeni: Těžiště T = [O, O, zT], kde zT = —?*■, m = V, m V = - • -7T03, Mxy = / / / zdx dydz — J J Jw 2 3 x = rcos¥>costf 0 < 27r z = r sin ů J = r2 cos t? o<*2ir , ra V ~ I \ I [ rsinůr2cosůdrj d(p) dd = 2* rsin2tf-|í a47T o 2' T = l°-0.8°1- >řtklad 343jk!rčete těžiště kužele se základnou x2 + y2 < 16 a vrcholem v bodě [0,0,4], je-li hustota g—l. Řešení: T = [0,0, a*], kde zT = ¥2L,m = vf\*>4i)i = ^tt. m Vo/ o M xy = / / / zdx dydz J J Jw _4 Iq 4 xv Uvažovaný kužel je rotační, osa 2 je jeho osou rotace. Meridiánem tohoto rotačního kužele je část přímky x + z = 4 —► 2 = 4 /- x. Potom rovnice kuželové plochy je z = 4 — v^2 + y2 M iy = yy ^ Zdz)dxdy= jj [-\q dxdy = x2+y2 0 < r < 4 1 /«i7r /«4 1 Z*4 r R r414 fi4 = í / / (A-r)2rdrdif = ~2tt- / (16r-8r2+r3) dr = tt 8r2-V+^- = ^tt, 2 Jq Jq 2 J0 L 3 4 J o 3 T =[0,0,1]. ■ Príklad 344. Určete moment setrvačnosti vzhledem k bodu [0,0,0] tělesa W 2 1 „2 Řešení: W={[x,y,z]eE3] ^p-<2< v^-a^-y2}, e = 1. ^[0,0,0] = / / / (x2 + y2 + z2) cte dy dz = J J Jw r4 + 4r2 - 12 < 0 —» (r2 - 2)(r2 + 6) < 0 —► r2 < 2 — 0 < r < v% 0 < tp < 2ir r2ir , rVŽ , ry/Ž^ř* n£T fy/i rV*-r< řVZp L3n>/3_rí ■jí (y. (/í <-,+*,H*)*-*r-yc h+rj]í *= -fcjT (rV3^+j(3-rV3^-___;K = 2.[---— ]0 + /•v/2 . o \ / 8 16 \ + 2irjr (rV3^+-r3V3^)dr = 2,(---—)- -TT / n/3^72" (l + ^r2) (-2r) dr = = —§7r — 7T í \/í(l + -(3-í))cřť = --7r + 7r A ^3%/í --í\/í) dí = 2 13 3 5 Ji 2 V 15 15/ 3 - r2 = ť -2r dr = dt n = O -» ti = 3 r2 = \/2 -> í2 = 1 -(¥-S)*^ Přiklad 345. Určete moment setrvačnosti vzhledem k ose 2 tělesa W, Řešeni: W = {[x,y,z]eE3; yjx* + y2 < z < 2}, 0 = 1. 7* = /// ^ + y2)dxdydz = J J Jw II ^^)jä>)ä* x2+y2<4 dy = // (x2 + y2)(2-N/í2T^2)da:dy = xa+ys<4 "IAL r2(2"r)r | 0 < r < 2 y = r sin

0,h> 0), je-li hustota p konstantní. Řešení: M, yz = q- li I xdxdydz = J J Jw W : 00. J J Jw Řešení: W : z2 = x2 + y2 (rotační kuželová plocha) z2 ~ 4 — x2 — y2 —► x2 + y2 + z2 = 4 (kulová plocha) x = r cos y; cos $ 3/ = r sin y> cos i? z = r sin $ J = r2 cos i? 0< n (y>o) =//(r(rr-r2cos,9dr)^)^=[T]2o[siní9];^=4Ki-"r v^x Význam : 1) 7 je celková hmota tělesa při hustotě q = \Jx2 + y2 + z2, 2) I je statický moment tělesa vzhledem k bodu [0,0,0] při hustotě g = i. Přiklad 349. Vypočítejte hmotnost kužele s poloměrem podstavy a = 1 a výškou h — 4. Hustota se lineárně mění v závislosti na vzdálenosti bodu tělesa od podstavy. Ve vrcholu jeg=la£ = 5v každém bodě podstavy. Řešení : Zvolíme soustavu souřadnic s počátkem ve vrcholu kužele, osa z bude osou rotace, meridiánem bude část přímky z = 4x, y = 0, [1.0,4] 0 < x < 1. Potom kuželová plocha bude mít rovnici z = Ay/x2 + y2. Uvažované těleso W zapíšeme pomocí nerovnic. W : Ay/x2 + y2 < z < 4 -----xy x2 + y2 < 1 o Pro hustotu platí: g(z) = /q (4 - z) + k2 : g(0) = 1 —> 1 = 4ki + k2 e(4) = 5—> 5 = fc2—►fci = -l m —y g(z) = -(A-z) + b = z + l = I gdxdydz= // ( / ____(z + l)dz] dxdy J J JW J J X J4x/x2+y2 ' 16 -7T. X2+j/2 0 [^a3] 358. x = y2, xy = 1, x = 4, je-li #(x, y) = 2x [y] 359. x2 + y2 = 1, x + y > 1, je-li #(x, y) = y [|] 360. x2 + y2 — 2x = 0, x2 + y2 — 4x = 0, y = x, y = 0, je-li hustota #(x, y) v libovolném bodě rovna vzdálenosti tohoto bodu od počátku soustavy souřadnic. [—^—1 • Určete těžiště T rovinné desky omezené křivkami : 361. y = 2x - 3x2, y = -x, je-li g(x, y) = 1 [t = [|, -|]] 362. y = sinx, y = 0, x G (0, tt), je-li ť?(x, y) = 1 [r = [í |]] 363. y2 = 4x + 4, y2 = -2x + 4, je-li g(x, y) = 1 [t = [|,o]] 2 2 2 364. X3 + y5 = O5, X > 0, y > 0, je-li ^(x, y) = 1 (jde o čtvrtinu asteroidy ležící v I. kvadrantu, o o \ r 2o6q t použijte souřadnice a; = r cos f, y = r sin y>J xt = yr = „ • Určete moment setrvačnosti : 365. kruhu o poloměru a vzhledem k jeho tečně, g(x, y) = 1, [ď™*] 366. elipsy 4x2 + y2 < 1 vzhledem k ose y, g(x, y) = y, [—1 367. čtvrtiny kruhu o poloměru o vzhledem k jeho ose souměrnosti, g(x,y) = 1, (Zvolte polohu tak, aby osa x byla osou souměrnosti.) —^—-—- 368. čtverce o straně a vzhledem k jeho vrcholu, g(x, y) = 1, [-a4] 369. části mezikruží x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, omezeného přímkami y = x, y = 0 v I. kvadrantu s hustotou g(x, y) = k, (k > 0) vzhledem ke středu mezikruží. rl5fari L 16 J • Vypočítejte objem V tělesa W omezeného plochami : 370. z = 0, y + z = 1, y = In x, y = In2 x [3e - 8] 371. z = 0, 2 = a2 - x2, x2 + y2 = a2 g™4] 372. x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 < 62, 0 < ft < a [f*(°5~ vV-*2)3 )] 373. (x + y)2 + 2z = l, x > 0, y > 0, 2>0 [|(3^-1)] 374. l + x2 + y2 = *2, 2 = 5-x2-y2, (z > 0) [fir] 375-^44 = 1 [|H • Určete hmotnost m tělesa W : 376. W . 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c, jestliže hustota q(x, y, z) = x + y + z. 377. VT je koule o poloměru a, jestliže hustota je rovna čtverci vzdálenosti od průměru. (Zvolte kouli se středem v počátku souřadnic a průměr ležící na ose z.) 7žna 378. W je omezené plochami o rovnicích: 2 = 0, 2x + y + z = 4, x = 0, y = 0, je-li q(x, y, z) = 4x. [y] 379. W je omezené plochami o rovnicích : z — x2 + y2 + 4, z = 3 — x2 — y2, x2 + y2 = 1, je-liö(x,y,z) = 22(x2 + y2). [if] • Určete těžiště T tělesa W omezeného plochami : 380. W : z = 0, z = x2 + y2, x + y = 5, x = 0, y = 0, g(x, y, 2) = 1 381. W : 2z = x2 + y2, x2 + y2 + z2 = 3, 2 > 0, g(x, y,z) = l 222 x 1/ 2 382. — + f- + — = 1, x = 0, y = 0, 2 = 0 (v prvním oktantu), g(x, y, 2) = 1 Gr o*' cr • Určete moment setrvačnosti tělesa W : 383. x2 + y2 = 22, x + y = z vzhledem k osám souřadnic* je-li g(x, y, 2) = 1. 384. x2 4- y2 + 22 = 2, x2 + y2 = z2, (z > 0) vzhledem k ose 2, je-li g(x, y, 2) = 1. [/, = ^ir(W5-5)] 385. rotačního válce s poloměrem podstavy a a výškou b vzhledem k přímce p, která se dotyká pláště válce a je rovnoběžná s osou rotace. (Zvolte válec (x — a)2 + y2 < a2, 0 < z < b, přímka p pak bude osa z.) -na b\ IV. Křivkový integrál IV. 1. Parametrizace křivek Nechť P'(t) = U(<),y(<),2(í)ľ je zobrazení intervalu (a, b) do E3. Platí-li : 1) P(t) je spojité a je prosté na (a, b) (k prostosti stačí, aby aspoň jedna ze složek x(t), y(t), z(t) byla ryze monotónní na (a, b)), 2) P (t) = ŕ x (ť), y (t), z (i) J je omezené a spojité na (a, b), 3) P (t) ^ 0 pro všechna t G (a, b). Potom množinu c = {X G £3; X = P(t), t G (a, b)} nazveme jednoduchou hladkou křivkou v Ez a zobrazení P její parametrizací. Analogicky definujeme i parametrizaci křivky v E2. Řekneme, že kňvka c je orientována souhlasně, resp. nesouhlasně, s parametrizací P, jestliže počáteční bod této křivky je P(a), resp. P(b). Křivka c v Ez (též v E2) se dá orientovat pomocí jednotkového tečného vektoru r p(t) v bodě P(t). Je-li f = —.----- pak říkáme, že křivka c je souhlasně orientována s parame- p(t) trizací P. Je-li f = —:----- pak říkáme, že křivka c je nesouhlasně orientována s para- |P(*)I metrizací P. POZNÁMKA : Jednoduchá uzavřená po částech hladká křivka c se nazývá kladně, resp. záporně, orientovaná, jestliže pohyb v předepsaném směru je proti směru " hodinových ručiček ", resp. " ve směru hodinových ručiček." Příklad386. Je dána křivka c = {[x,y] € E2;y = x2,x € (-4,4)} s počátečním bodem A = [—4,16]. Zjistěte, zda zobrazení P(t) = x(t), y(t) je parametrizací jednoduché a hladké křivky c, jestliže a)P(í) = [í,r2], t €(-4,4), b)P(t) = [ŕ,ŕ], t e (-2,2), c)P(t) = [y/t,t], í 6 (0,16). Řešení: a) P(i) = [ŕ, í2], ť G (-4,4) splňuje všechny požadované podmínky definice, a proto P(t) je parametrizací křivky c. Orientace křivky je souhlasná s parametrizací, jelikož P(—4) = [—4,16] = A . b) P(t) = [t2,ŕ],t G (-2,2) není prosté zobrazení. Např. F(-l) = P(l) = [1,1], takže P(t) není parametrizací křivky c. Kromě toho x = t2 > 0, kdežto bod A má x-ovou souřadnici — 4 < 0. c) P(t) = [y/i,t],t G (0,16) též není parametrizací, protože P(í) = í—^=, 1 j není omezená na (0,16). ■ Příklad387. Je dána půlkružnice c = {[x,y] € E2\x2 + y2 = a2,y > 0} s počátečním bodem A = [-a, 0]. Zjistěte, zda zobrazení P(t) je její parametrizací, jestliže a) P(ť) — [a cosi, a siní], t £ (0,7r), b) P(t) = [t, VSr^S], í G (-a, a), c) P{t) = \-rß==, -7=*], t e R. Řešení: a) Ano, P(í) je parametrizací, protože P(t) vyhovuje podmínkám definice. Orientace křivky je nesouhlasná s parametrizací, protože A = P(tt) — [—a, 0]. b) Není parametrizací, protože P (í) = (l, ) není omezená na (—a, a). \ V a2 — t2 ' c) Ano, je parametrizací. Ověříme, že platí x2 + y2 = a2 : / at \2 / a \2_a2(ž2 + l)_ 2 Vvrnv + VvTnv " i+í2 ~a' lim x(í) = lim . = ±a, lim y(i) = lim------- = 0 —> orientace í->±00 t->±00 y/l -f f2 t-*±OC> í->±00 1 + t2 křivky je souhlasná s parametrizací. Zde se snadno ověří spojitost pro P(t) a P (í). Protože je x (t) =------------. > 0 pro všechna t, je funkce x(t) monotónní J w (i + í^vTTí2 y ,J . w a zobrazení P (ť) je prosté, p (í) = (x (í), y (t)] ^ (0,0) «*• x2 + y2 ^ 0 —► a2 a2t2 a2 ^n + 7V—^ = 7T-1^ ŕ 0. ■ (1 + í2)3 (1 + í2)3 (1+ť2)2 • Najděte parametrizaci křivky c s počátečním bodem A a rozhodněte o její orientaci vzhledem k parametrizaci : Příklad 388. Křivka c je úsečka s počátečním bodem A = [4, —1,3] a koncovým £ = [3,1,5]. Řešení: Napíšeme rovnice přímky AB tak, že použijeme bod A a směrový vektor Íx=4-í y = -l + 2t ■ Úsečku AB obdržíme pro t € (0,1), z = 3 + 2t bod A odpovídá parametru t = 0, takže orientace křivky je souhlasná s parametrizací. Příklad 389. c = {[x, y] G £2; (x + 3)2 + (y - 2)2 = 9,Ja; < -3j7 A = [-3, -1] Řešení: 3C {a; = — 3 + 3cos

0, .4 = [3,0] {x = 1 + 2 cos

0}, A = [0,0,0] Řešení: Křivka c je řezem válcové plochy x2 + y2= 4a: rovinou y + 2 = 0. a;2 - 4a; + y2 = 0 —>(x-2)2 + y2 = 4,[z =^JkJ > 0 —► x = 2 + 2 cos <£ c : < y = 2 sin ip z = — 2 sin yO —-> —2 sin

0 —► sin y? < 0 —y (p G (71-, 2n) A = [0,0,0] —> 2 + 2cos

= -l sin (p = 0 —► sin tp — 0 ^ = 7T —► orientace křivky je souhlasná s parametrizací. ■ Přiklad 392. c = {[x, y, z] G £3; x2+ y2 + z2 = a2, x = y, x > 0}, A = [0,0, -a] Řešení: Jde o řez kulové plochy rovinou procházející středem kulové plochy . Použijeme 7T sférické souřadnice , v nichž r = a,

= —; ů označíme jako parametr t . —>£>0—>cosí>o—► íg(-|,|) 7T > t — — — : A = [0,0, —a] —¥ orientace křivky je TT . N/2 a; = a cos — cos ť = a—— cos í 4 2 y = 2 sin — cos t = a— cos í 2 = a sin ť souhlasná s parametrizací. • Rovinná křivka c je dána v parametrickém tvaru. Najděte její implicitní rovnici a pojmenujte ji : Příklad393. c : x = 2í +1, y = 3 — í, í G (1,4), orientace je souhlasná s parametrizací. Řešení: Jde o úsečku s počátečním bodem A = [3,2] (ť = 1) a koncovým bodem B = [9, — l](í = 4). Vyloučením parametru í obdržíme : t = 3-y —y a: = 2(3 - y) + 1 —► x + 2y = 7 m Přiklad 394. c : x - t2 - 2í + 3, y = í2 - 2í + 1, í G (0,3), orientace křivky je nesou^ hlasná s parametrizací. Řešení: Po odečtení dostáváme x — y = 2. Opět máme úsečku s počátečním bodem A = [6,4](í = 3) a koncovým B = [3, l](í = 0). ■ Přiklad395. c : a; = 2 sin2 í, y = 4 cos2 í, í G (0, -), orientace c je sou-hlasná s parametrizací. Řešení: Sečteme — + - = sin2 í+cos2 í —y 2x + y = 4 . Znovu máme úsečku s počátečním 2 4 ^ bodem A = [0,4](í = 0) a koncovým B = [2,0](í = -). ■ ,7T Príklad396. Křivka c budiž dána polární rovnicí r((p) = 4siny?, ip G (—,7t), orientace křivky je nesouhlasná s parametrizací. Řešení: ■{ \ ( x — r cos

(cos2 (p + sin2 (p) = 4 ^Csin2^^ 4y, x2 + y2 = 4y —► x2 + (y - 2)2 = 4 (kružnice) 2 2 Orientace je nesouhlasná s parametrizací. ■ • Ověřte, že c = Ci U c2 je jednoduchá uzavřená po částech hladká křivka. Najdětete parametrizace křivek ci,C2, nakreslete je a rozhodněte o jejich orientaci, jestliže A je počátečním bodem C\ a též koncovým bodem c2 : Příklad 397. ci, c2 C E2, A = [0,0]; cx : a;2 + y2 = 4x, y > 0; c2 : y = 0, x G (0,4) Řešení: x = 2 + 2 cos íi y = 2 sin ti či e (0,7r), orientace c je nesouhlasná s parametrizací, Cj : (x - 2)2 + y2 = 4 Cl c2 x = í2 *2 G (0,4), orientace c je r x = r2 '• l « = n ' -•-» y = 0 nesouhlasná s parametrizací. Pftfelod398. ci, c2 C E2, A = [1,8]; Cj : xy = 8, x G (1,4); c2 : y + 2x = 10, x G (1,4) ešení: f ar = ťi ci : 8 l*" r x = č2 C2 r x = r2 l i, = m- ťi € (1,4), orientace c je souhlasná s parametrizací, h € (1,4), orientace c je y = 10 — 2ť2 nesouhlasná s parametrizací. AyVM 399. ci, c2 C E2, A = [1,1]; cx : y = ^x G (0,1); c2 : y = x2,x G (0,1) 0; c2 : x - z = 1, y = 0 f" Ci : i y = x = 3cosťi ti€(0,7r) ( x = t2 t2e(-3,3) 3 sin ti | orientace c je sou- | c2 : < y = 0 | orientace c je sou- 2 = 3 cos ti — 1 hlasná s parametrizací z = t2 — 1 hlasná s parametrizací • Navrhněte parametrizaci křivky c s počátečním bodem A 401. cCE2:3x + y=l, x e (-1,2); 4 = [-1,4] t€<-l,2) / x = t i ;: i orientace c je sou- 1 v = l-~ a; = t 3í hlasná s parametrizací 402. c C £3 : 2x - y = 2, x + z = 3, y E (0,2); 4 = [2,2,1] x = í ť e 2 I orientace c je nesouhlasná : j y = 2í - z = -í + 3 403. cCE3: 4x2 + z2 = 4, y +z = 0, y <0; A = [-1,0,0] x = COS í s parametrizací í € (0, n) c : < w = — 2siní | orientace c je nesouhlasná 2 = 2 sin t s parametrizací :i y = -2 IV.2. Křivkový integrál skalární funkce (Křivkový integrál prvního druhu) lu/ • Vyšetřete existenci křivkového integrálu f ds a v kladném případě jej vypočítejte : Přiklad 404. /-----— ds, c je úsečka s krajními body A, B , kde a) Ä = [1,-2], £ = [3,0], bM = [l,-2],5 = [3,4]. Řešení: Integrovaná funkce je definovaná a spojitá v E2 s výjimkou přímky x — 2y = 0. V okolí této přímky není funkce / omezená. a) v| - x-2y=0 Integrál existuje, protože funkce spojitá. x-2y je na úsečce AB ds = y/x2 + y2 dt = = y/4 + Ädt = 1\fi.dt 2V2 dt + 2í - 2(-2 + 2ť) 7c ar - 2y = 2y/2 f —!-r- dí = -v/2~/ 7^- = -x/^ľln |5 - 2*|]X = -v^- (ln3 - ln5) J q 5 — 2t J0 o — 2t L Jo a: = 1 + 2í y = -2 + 2í í € <0,1> =ír -V5I. b) .^■■"x-2y=o Integrál neexistuje, protože úsečka AB protíná přímku x — 2y = 0 v bodě [2,1] a Um -—— neexistuje. Přiklad 405 í x + 2 yjx1 + y: [x,»]-+[2,i] x - 2y ds, a) c : x2 + y2 — 4x, b) c : x2 + y2 = 4 Řešení: Integrovaná funkce je definovaná a spojitá v £ľ2 — [0,0]. x + 2 a) Bod [0,0] € c a lim ._______ t*.»H[o,o] y/x2 + y2 b) [0,0] £ c, takže integrál existuje. f X + 2 , f f x = 2cost , ds = J x2 + ý: / . ds = C : < I ic \/x2 + y2 L l y = 2sin< t e (0,5 Z"1 2COSÍ + 2 n , ľ 12t = /----------------2 dt = 21 sin t +11 Příklad 406. x2 ds, c:y = \nx, x £ (1,3) = oo, takže integrál neexistuje; 2dt = 2dt 2tt> 47T. Řešení: Je zřejmé, že integrál existuje : _______ c: y = lnx ds = Jl + (y')2 dx=Ji+ (i)2 d* = x/x2 + l x2 ds = xe | ■ dx ■r-- 3 2 x/í^tt do; /^ + 1 • xdx — x2 +1 = t 1x dx = dt t € (2,10) = 1/ VÍ*=i[^-]"-Í(10^i-2^). Příklad 407. / — ds, c : y2 = 2x, y G (>/2,2) Jc y Řešení: Integrál existuje {ti.: h y c.í '" 2 x = V 6(^2,2) — ^+(£)'*- dyJ = y/l + y2dy y/l + y2 = t 2ydy = 2tdt 1 + j,2 = í2 t € (>/3, %/5> = í ^-•v/i+7rf2/ = 7 / y2Wi + y2-ydy = Jvž 4y 4 JV2 4 Jjž v y 4 L 5 3 J Vš 30v Příklad 408. / (a;2 + y2 + z2) ds, c je první závit šroubovice x = a cos t, y = a sin í, 2 = bt. Řešení: Integrál existuje : f(x2 + y2 + z2)ds = da = y/(x)2 + (ý)2 + (i)2 dt = ds = Va2 + 62d< = y7«2 sin2 ť + a2 cos2 t + 62 dt < € <0, 2tt> = / (a2 sin2 ť + a2 cos2 ť + bH2) • VtfT¥ dt = v/^Tfc2 / (a2 + Ď2*2)xfó = Jo Jo = v^2T62.[a2í+^]o =v/^ľ^-(27ra2 + |627r3). 409. / —-----r ds, a) c : x = í - 3y y — 3- ŕ, í € (1,4); ./cx2 + y2 b) e: x2 + y2 = a2. K / -=-----ds, si) c:y = 2x, x £ (1,3); Je *2 - y b) c: y = 9, x e (0,2). Y 411. f o 410. [neexistuje] T ■ • 27M existuje, — [neexistuje] ľ . In 5l [existuje,----—J xy ds, c:x2 + y2 = af, x < 0, y > 0 y 412. / >/2yds, c:x = a(t- siní), y = a(l - cos í), t € (0, 2tt) (oblouk cykloidy) r -i ^ 413. í V^ds, c: y = yß, x 6 (1,2) ' F^] 414. / zds, C\ X =■ í COS í, y = í Sin í, Z — t, t E (0, 7ľ) (kuželová šroubovice) [Í((2 + 7T2)v/2T^-2V2)] 415. (x + y) ds, C:X2 + y2 + Z2 = C2, H = X, a; > 0, y > 0, Z > 0 (Použijte parametrizaci z příkladu 392.) [« 6 (0. §>» <*V5] /* a2 416. / xyzds, c : x2 + y2 + z2 = o2, x2 + y2 = —, x > 0, y > 0, z > 0 (c leží v rovině 2 = 2^1, pakx = fcosí, y = fsiní.) ta*y/Žiľ\ L 32 J rV.3. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu • Vypočítejte délku i křivky c, jestliže- : Příklad417. c : y = 2 - In (cosx), x e (0, -> Řešení: Délka í se vypočítá podle vzorce t=tda.V danfaj^padě c : y = /(x) a Je ___—-s—-j——""-TT / r2 /—/>./ U9J ' sinx. ~/j^-v *"" •/II OCto * L cos x ax = at J ^Jo ■ _.___._—.—-~ * 2 1 2 Pŕifciad 418. c: x = í2, !/= * ~ 7> *e(->/3,V^> /žeiem: Jde o délku smyčky, jelikož x(-v^) = *(>/5) = 3 a y(-V3) = v(>/3) = 0. v e= í ds= í \J(xÝ + (y)2 m = Je J-Vä = ŕ J(2t)2 + (i-t*ýdt = = ŕs4ŕ + i-2t> + tut= ŕ VTTWTTut = f_Ji + ňdt = J-Vž J-^ = 2- /•VS(1 + a* = 2[í+|]f = 2(V3+V3)=4V3. Jo Přiklad 419. c : z = a cos3 í, y - a sin3 í, í e (0, 2tt) ižešem: Jde o asteroidu, skládající se ze čtyř stejně dlouhých oblouků. Proto £= fds = 4 T'2 ^/SMÍ?* = * jf /(-3acos2ísin^ + (3a sin21 cos t)2 dt = ^ „ °________________- rli n rsin2tr/2_ Ä 4 f ^ sin2 ť cos* ť(coB*i + sin2ť) dt = 4 j 3a sin ť cos í dt = 12a [—J q - Jo ° ' ( ■ = 6a. íS5„^ c je IM logaritmické spirály r = «*, ležící uvnitř kruhu o polomen. ^Z^ŕľvklľjľladL v polárních souřadnicích r = r(„). V kartézských souřadnicích bude vyjádřena : jí = rMcoBV- _^ í i^r'cos^-rsin^ l y = r()2 + (aek«>)2dip = í aek,fiVWTÍd

/x^x* —► ar(l: - i) > 0 —n6(0,l), í f ds = f ds = 2 í\Vx^^-J^^dx = A- ľ ^/{l-x)(x + l)dx = 4Í Vl-x2dx = [• x t W2 Z"'/2 r sin 2/1*72 I = smí 1=4/ cosHdt = 2Í (l + cos2í)dí = 2í+^ =tt. dx = cosídť J J0 Jo L 2 Jo Příklad 423. x2 + y2 = -, z = xy, x > 0, y>0 Řešení —/ xyds = 1 ŕ z = - cos tp l y= -sin^ Z*"/21 1 , lrsinVW2 1 = /0 4SÍn^COS^2^=8b2~]o = 16 ds = -z dtp V € <0, |> Vypočtěte hmotnost m křivky c při délkové hustotě q = g(x, y), resp. g(x, y, z) Příklad 424. c : x2 + y2 = o2, x > 0, y > 0, e(x, y) = x Řešení ľ f r ■ x = a cí í: m= l gds- l xds = c. i Jc Je L l y = asi W2 , r W2 = / acost-adt = a • sin í J =a = a cos í ds — adt sin t te(0,n/2) 2v Přiklad 425. c : x = or, y = -^ ŕ2, * = | í3, t € (0,1), g(x, y,z) = ^ — ľ ľ /2y . Řešení: m = gds = / W — as = 7c 7C V a x = at x = o y = 4= í2 —* ý = \/2at | = avTTäPTFdt = V^ O .3 *=ť i = at d« = x/(i)2 + (ý)2 + (i)".* = r = a(l+ť2)dt í2 ťhi 3^2 PftlWad 426. Křivka c je první závit šroubovice x = a cost, y = a sin í, z = oí a hustota se rovná čtverci vzdálenosti od osy z Řešení: m= gds = (x2 + y2)ds = x = acost Í6<0,2rr> y = a sin í | ds=y(x)2 + (ý)2 + (i)2dt 2 = at ds = a\/2dt /•2ir = / a2 • a 7o >a\Í2dt = a3 -2\/2tt. PHklad427. c = Cl U c2; d : x2 + y2 = 2ax, y>0; c2:y = 0,xe (0,2a), a > 0, ff(x, y) = x2 + y2 Řešení: m= I gds= I Qds+ I Qds = 7c 7ci Jc2 = f (x2 + y2)ds+ f (x2 + y2)ds Jc\ 7c2 {X H «> x2 + y2 - 2ax = 0 —♦ (x - a)2 + y2 = a2 y>o c2 : y = 0 —► ds = dx, x € (0, 2a) 2a x = a + a cos t ds = adt y = asinť | ť€{0,7T> TT ľ2a ľ* \x 1 = í (a2(l+cosí)2 + a2sin2ť)-adí + yo x2dx = a* J^ (2 + 2cosí)dí + [y]o «/o ,r l" 8a3 rt , 8a3 . = 2a3[í + sinťJo + —= 2a37T + — . ■ • Určete těžiště T křivky c při hustotě g(x, y), resp. e(x,y,«) Přiklad 428. c : x2 + y2 = 1, y > O, p(x, y) = a(l - y), a > O Řešení: Mx m T = [0,yT], kdeyT = (Všimněte si, že hustota nezáleží na x čili hmotnost levé a pravé čtvrtkružnice je stejná.) Ir x = cos í da = dt ' *■ y = siní <€ <0,jt> ra= í gds= ía{l-y)ds = / a(l - sinť)dŕ = a[t + cqsíj. = o(tt - 2) r r* '/"*•/■ 1 -cos2í\ JjL Mx= ygds = a / (1 - siní) sintdt = a [smt-------—-----J dt = = aí-cosť--í+-sin2íl = a(2--) L 2 4 Jo 2 o(2-f)_ 4-7T yT ~ a (tt - 2) " 2 (tt - 2) ' PŕífeZad 429. c : x = a(í - sinť), y = a(l-cosť), a> 0, í€(0,27r) , £=1 Řešení: c je první oblouk cykloidy, T = [7ra, yr], = e= í ds Mx Vr = —-: n» m m M x = a(í-sinť) ± = a(l-cosí) d« = y/x* + ý2dt = ay/\ - 2cosť+ cos2 t+ sin2ťdť l/ = o(l-cosť) I ý = asint ľ ds = a\/2 - 2 coSí dt = a\/Ť,y/l - cos t dt ť€<0,2w> /2tt /"27T £ r ť-]27r Vl-cosídí = av^ / V2sin-dť = 2a|-2cos-Jo = 8a; r = [yds= í a(l - cos ŕ) • aVŽVl - cost dt = a?\/2 (1 - cos í)3/2 dt = /2jt í /*2ir . t\ t 2\/2 • sin3 - dt = 4a2 / (l - cos2 -J sin - dt = = -4o2-2- ľ\l-z2)dz = 8a2í (1 - z2) d« = 16a2 [z - j] 32a2 4 _ . r 4 =-------= - a, T— hra, -a 3-8a 3 ' L '3 . t cos - = z - x sin - dt = d« 2 2 ,3-ii „ 2 32a2 yr 3-8a 3 Pŕ5ifcZad430.c = CiUc2Uc3, d : x2+ y2 = a2, z = 0,x > 0, y > 0, c2 : x2 + z2 = a2, y = 0, x>0, z>0, c3:y2 + z2 = a2, x = 0, y>0, z > 0, a > 0, ß=l Äešení: Křivka c je je symetrická vzhledem k osám x, y, z tedy xT = yr = zT ■ Omezíme se M"£ »/ = / = *.I.5hr=?- nair = —• M = ^ = 3-Ť • 2tt = ^?ra, m Myz = xds = / xds+ xds+ / xds Je J C\ J Cl JC3 Cl c2 : C3 : x = o cos í, 2 = 0, da = o dt y = asint í 6 (0,71/2) x = a cos ť, y = 0, ds = a dt z = asmt t€(0,7r/2> y — a cos ť, x = 0, ds = á dt z — a sin t tt/2 <€<0,7t/2> I7T/2 /7T/2 />w/^ rn/z _ , ,r/2 a2 cos tdt+ a2 cos í di + / Odt = 2a2 Isin íl = 2a 2a2 4 a |7ra 37T Pť&Zad 431. Určete moment setrvačnosti vzhledem k souřadnicové rovině (yz) prostorově křivky c : x = a cos í, y = a sin í, z = br í 6 (0, 27t), je-li g = x2 + y2. Řešení: )x2 ds — Iyz= íg-x2ds = J{x2 + y2) /2tt ___________ ___________ /•'<** 1 a2-a2 cos21 •VaTT¥dt = a4 Vá^T^ - ds = Va2 sin2 ť + o2 cos2 t + b2dt = = \fä?rTWdt 27r 1 + cos 2í dí = o Vo2 + 62 r sin 2í 2 Jo a4 V a2 + b2n Přiklad 432. Určete moment setrvačnosti vzhledem k ose z křivky c C £ľ3 '• 2x2 -f y2 = 2, i + 2 = 1, je-li g - z . Řešeni: c je řez eliptické válcové plochy rovinou x + z = 1. J, = í(x2 + y2)gds = í (x2 + y2)zds = c : < x = cos t y = \/2siní 2 = 1 — cos t x = -siní ds = v^sin2 ť + 2 cos2 t + sin21 dí = \/2 dt y = \/2cost I i = siní te<0,27T> 2tt /27T r^* (cos2í + 2sin2í)(l - cosí) • \/2dí = \/2 / (1 + sin2í)(l - cosí) dt r f2" / l-cos2í x . 2. A ,. /rľ. . 1. sin2í = V2 / 11 +---------------cosí-snrícosíjdí = V 2 ť+2(- 4 — sin í— in3 íl2,r sm f* = \/2---27r = 3\/2~7r . Jo 2 Určete délku t křivky c 433. y=-Xy/x, x G (0, 5) 434. x = 3í, y = 3í2, z = 2í3, í € (0,1) 435. r((p) = o(l + COS 0 (horní polovina kardioidy) 436. r((p) = sin3 |, tp 0 —> ar € (-r, —)| • Určete plošný obsah P válcové plochy omezené rovinou z = 0 a plochami: 438. y2 = x, 9x - 4 = 0, z = 2y, y>0 439. x2 + yl = a\ z = x, x>0,y>0 440. x2 + y2 = a2, z = x2 + y2 [a2] [2n-o3; lze vypočítat i bez použití integrálu] 441. Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose souměrnosti homogenní půlkružnice o poloměru a. [—] 442. Určete moment setrvačnosti vzhledem k ose x části asteriody ležící v prvním kvadrantu (tj. křivky x = a cos31, y = a sin31, t G (0,7r/2», při hustotě g = 1 . r3a3 Určete těžiště T křivky c při délkové hustotě g(x, y, z) : 443. Q x2 + y2 , kde c : x = acost, y = asint, z = at, a > Q, t e (0, 27t) m =----r----, MXy = 4v2o Ti ,T = 0,0,-an ]] 444. 0 = 1, c = C! U c2, c C £2; ^-.y^ 6\/x, x e (1,6); c2: y = -6\/x, x € (1,6) = 10, My = 35, r = [|,o]] • Určete hmotnost m křivky c při délkové hustotě #(x, y) : 445. 0 = x(y2 + z2), cCE3 :y2 + 2z2 = 4, x = z, x > 0 446. 0 = x(y + 2), c C £2 : x2 + y2 = 4, x > 0 447. £ = x4/3 + y4/3, c C E2 : x = a cos31, y = a sin3 ť, t € (0, tt/2) 448. g = ev7^, c C E2 : x2 + y2 = a2, x > 0, y > 0 32v^ [16] e • o • IV.4. Křivkový integrál vektorové funkce (Křivkový integrál druhého druhu) • Vypočítejte dané křivkové integrály po orientované křivce c s počátečním bodem A : Příklad 449. xdx-y2dy, c je úsečka spojující body A = [1, -2], B = [3,2] . ľ r x = l + 2ť, dx = 2dt "1 Řešení: \ c-.{* ; ' I í 6 «U) I L L j/ = -2 +4i, dy = 4dt J fxdx-y2dy = ľl((l+2t)2-(At-2)2-4)dt = 2 J (l+2í-2(16í2-16í+4)) dt = /i r 32 il 4 (_7 + 34ť _ 32ť2) dŕ = 2 [-7Í + 17í2 - y ŕ3 j q = - g • ■ Přiklad450. Ax2 - y2)dx, c:y = x3 z bodu A =*[0,0] do bodu B = [3,27]. r ŕ Tx3 x7i3 2124 Řešení: /(x2 - y2)dx = / (x2 - x6)dx = [y - yjo = —y- ■ ■ J c <>0 Přiklad 451. j -xcosydx + y sin x dt/, c je úsečka z bodu A = [0,0] do bodu B = [7r, 27t] Řešení: c : y = 2x, dy = 2dx, x 6 (0, tt), orientace křivky je souhlasná s parametrizací; I=[ (-xcos2x + 4xsinx)dx = / x(4 sin x - cos 2x) dx = r x "I* /**/ sin2x\ = - 4xcosx+-sin2xj +/ (4cosx+—^—J dx = u = x, ľ' = 4 sin x — cos 2x sin 2x u = 1,' v = -4cosx-------— c2 y2 22 f>2 " c : x = o cos ŕ dx = —a sin t dt y = bsmt I dy = 6costdt í 6 (0, 7t/2) orientace křivky je souhlasná s parametrizací */2 . aim r cos 2xi * = 47T + 4sinx---------— = 47T . 2 2 Přiklad 452. í(-y,x)-dí, c : ^ + ^ = 1, x > 0, y > 0, A = [o,0] Řešení: -ydx + xdy = /•tt/2 f*/2 afar = / (bsmt-asint + acost-bcost)dt = ab dt = — Přiklad 453. / x dy, c je obvod trojúhelníka vytvořeného přímkami x = 0, y = 0 a 2x + 7y = 14 při kladné orientaci . Řešení: _. __± __. [c=[0,2] c = AB + BC + CA ------------------ — Je Jař JbŮ Jčt A=[0,0] B=[7,0] AB : y = 0, dy = 0, x G (0,7), orientace křivky je souhlasná s parametrizací, BC :x= 14~7y, y € (0,2), orientace křivky je souhlasná s parametrizací, AC : x = 0, dx - 0, y e (0,2), orientace křivky je nesouhlasná s parametrizací; - (v2 -x2) 466. / = —■-----J-, c : x2 + y2 = a2, a > O, x > O, y > O z bodu [a, 0] do bodu [-a, 0] . [-1 a] 467. / = (í/, 2), c je uzavřená krivka tvořená poloosami a čtvrtinou elipsy x = 2 cos ť, y = sin ť, nacházející se v prvním kvadrantu. Orientace je záporná. [2n] 468. / = {x + y, 2x), c : x = a cos ť, y = a sin í, t G (0, 27t), orientace je kladná. (;ra2] 469. / = (y, 2, x), c je úsečka s počátečním bodem [a, 0,0] a koncovým bodem [a, a, a]. [M 470. / = (y, z, x), c je průsečnice ploch z = xy, x2 + y2 = 1 z bodu [1,0,0] do bodu [0,1,0]. [I-f] at 471. / = (yz,zy/R2 — y2,xy), c: x = Rcost, y = Rsint, z = —, a > 0, R > 0, 27T í € (0,27r), orientace křivky je souhlasná s parametrizací. [O] 472. / = (x,y,xz - y), c : x = t2, y = 2t, z = 4í3, t G (0,1), orientace křivky je souhlasná s parametrizací. [-] 473. / = (a;, y, z), c je čtvrtina elipsy x2 + y2 = 4, x + z = 2 z bodu [2,0,0] do bodu [0,2,2]. [2] 474. / = (y2,z2,x2), c : x = 5, y = 2 + 4siní, z = —3 + 4cosť, ť G (0,27r), orientace křivky je souhlasná s parametrizací. [96*-] roí / = rV.6. Potenciální vektorové pole Vektorové pole f = (/i,/2,/3) je potenciální v oblasti G C E3, jestliže existuje skalární funkce ip v G taková, že f = grad^ v oblasti G. Skalární funkci ip(x,y,z) nazýváme potenciálem vektorového pole f. Nechi f = {fufiih) je diferencovatelné vektorové pole v oblasti G C E3. Potom vektorovou funkci i J k d_ d_ d_ dx dy dz /i f i h nazýváme rotací vektorového pole f. Platí věty : - ľ -* -* Vektorové pole f je potenciální v G právě když f • ds nezávisí na cestě v oblasti G . Je-li křivka c v G s počátečním bodem M a koncovým N, pak platí íf.ts=f grad^-ďs = ?/>(iV)-^(M). Je JM Speciálně é grád ý • ds = 0, kde c je uzavřená křivka v G. 94 •• Nechť vektorová funkce f má spojité parciální derivace v hvězdovité oblasti G C E3 ;. a nechť rot / = 0 v G. Potom vektorové pole f je potenciální v G. i \ ř • Budiž dáno vektorové pole / : a) ověřte, že / je potenciální v G, b) stanovte jeho i fB _ -+ | potenciál, c) vypočtěte / / • ds, jestliže : í ^A \ Příklad 475. / = (3x2y - 3y2,x3 - 6xy), A = [1,3], B = [2,1], G = E2 fc Řešení: a) Jelikož funkce f\ a f2 jsou spojité a diferencovatelné v celém E2 je G f jednoduše souvislá oblast v E2, (hvězdovitá v E3), pak k ověření, že / je potenciální Í n r- T? * - • *•* A d/1 dfo l v G C £2 štaci zjistit, zda -^— = -^—, ř ■ ay ox -r— = 3x2 — 6y, -r— = 3x2 — 6y. Ano, / je potenciální v £2, oy dx h)f = gradiP=(-^,—) f* /.2. r' ***+*£*- r ,^(x,y)-,(x0,y0) . r[x,y] Zvolíme (x0, yo) = (0,0) : iß(x, y) = / (3x2y - 3y ) dx + (x3 — 6xy) dy.= 7[0,0] í vime, že integrál nezávisí na cestě, proto zvolíme lomenou čáru [0,0] —> [x, 0] —> [x, y] j : ľ [0,0]—f[x,0] : y = 0,dy = 0 j [x,0]—>[x,y] : x = konst.,dx =0 r[x,0] p[x,y] ľx ry = + = / 0 dx + / (x3 - 6xy) dy = x3y - 3xy2 —> JOfi] J[xfi] JO JO iP(x,y) = x3y-3xy2 + C, c) / /-ds = V(2,l)-V(l,3) = (8-6)-(3-27) = 26. ^[1,3] Pf[x,0]:j/ = 0,dy = 0 [x, 0] —► [x, y] : x = konst., dx = 0 = x2 + x2 cos y — x2 /•ix.uj /•ix.yj / +/ = 7(0,0] ./[x.O] = / 2xdx- x2 sin y cřy = x2 + x2 cos y = Jo Jo L Jo t/»(x, y) =x2cosy+ C. J[2,0] •[4.T/2] _} n O i f-ds = ip{4, n/2)-ý(2,0) = 16cos-- 4čos0 = -4 . Přiklad477. /= (3x2y - z2 + 2*, z3 +.2yz - 3,y2 - 2x2 + 2x + 5), A = [0,1,1], £ = [3,0,2], G = £3 Řešeni: a) Oblast G je hvězdovitá v E3, i 3 d_ £_ dx dy rot/ = k dz Zx2y - z2 + 2z x3 + 2yz - 3 y2 - 2xz + 2x + 5 = (2y - 2y, -2z + 2 + 2z - 2, Zx2 - 3x2) = 0 —► /je potenciální v E3 b)ip(x,y,z) = -I [x,y,z\ [0,0,0] 1,0,0] (Sx2y - z2 + 2-z) cřx + (a;3 + 2yz - 3) dy + +(y2 - 2xz + 2x + 5) dz = x,y,0] ■[x*,*] /•li.u.uj /•ix.y.uj /•ix.ä/.íj = / +/ +/ ./[0,0,0] «/[x.O.O] ^[x,y,0] [0,0,0] —►[*,0,0] :y = 0,dy = 0,z = 0,dz = 0 [x,0,0] —► [x,y,0] :dx = 0,z = Q,dz = 0 . [x, y, 0] —► [x, y, z] : dx = 0, dy = 0 /•x /«j/ /•« = / 0dx+ (x3-3)dy+ (y2 - 2xz + 2x + 5) dz = Jo Jo Jo = x3y - 3y + y2z - xz2 + 2xz + 5z + C , r[3,o,2] _. . c) / /.ds = V(3,0,2)-V(0,l,l) = 7. ■ -/[0,1,1i Pŕífc/ad478. Určete oblasti G C E2, v nichž je pole /= f- - -^ + 2y - o) ľ+ \y x1 / ■ (-------- + 2x + 11) j potenciální a stanovte jeho potenciál Ví37» 2/)> \x y2 / Řešení: +! splňující podmínku ^(—2,2) = 0. Gi = {[x,y] € E2; x > 0, y > 0}, G2 = {[x, y] eE2;x<0,y> 0}, 0,y< 0}, G4 = {[x, y] e E2; x < 0, y < 0}. Platí -p^ = -p- = —_ _ _ + 2, tedy je / potenciálni v Ghi = 1,2,3,4 . ay öx yz a;-4 /[x,!/] /lv \ /l X \ (---% +2y-5 ete+(-------r + 2x + ll dy = v-i,i]Vy í2 . / . vi y5 / Vybíráme cestu od [—1,1] do [x, y] v G2 , protože daný bod [-2,2] leží v G2 ■ [-1,1]—M*,l] : y = l,dy = 0 [x, 1] —► [x, y] x = kons t., dx = 0 [x,y] [x,l] H.l] +lly]V = -2x + - - 2 + 1 + - + - + 2xy + Uy--------x - 2x - 11 = Ji x x y x s, I : y = - + - + 2xy-5x + lly + C; V x V>(-2,2) = 0: -l + l-8 + 10 + 22 + C = 0 ■ "—► ' C = -22 il>(x,y) = - + - + 2xy-5x + lly-22 pro \x,y]€G2. ■ y x 2 Pŕt75Íad479. Určete oblast G C £2, v níž je vektorová funkce /= f —=,4yy/x) spojitá \y/x / f-------y a rozhodněte, zda / f • ds nezávisí na cestě v G. V kladném případě Je /•[4,-2] _ J[-l,2) i Řešení: G = {[x,y] £ E2,x > 0} . í ľ r -ŕ d/i d/2 2y • f ■ ds nezávisí na ceste, protože -^— = -=— = —7= . f Je dy dx y/x /•[4,-2] _ _^ /.[4,-2] 2 /-[4,2] /.[4,-2] / f-ds= -^=dx + 4yy/xdy= + J[l,2] J[l,2) VX J[h2] •/[4,2] [1,2] —► [4,2] y = 2, dy = 0, x 6 (1,4) orientace úsečky je souhlasná s parametrizací [4,2] —► [4, —2] : x = 4, dx = 0, y € (—2,2), orientace úsečky je nesouhlasná s parametrizací "[4-2] _ vypočtěte / f • ds. = f-Ldx+f 4y2dy= [8v^]'+[V]22 = 8 [Příklad 480. Je dána funkce ip(x, y) — x3y + x2y2. Určete a) silové pole /, jehož potenciálem je funkce ip(x, y); b) práci síly / při pohybu z bodu M = [1,1] do bodu N = [-2,3]; c) práci síly / podél křivky c : x2 + 4y2 = 4. Řešeni: a) / = gradV>—> f = (3x2y + 2xy2,x3+ 2x2y); b) A= I f • ds = (integrál nezávisí na cestě) = 1p(M) — Í>(N) = /m = (-24 + 36) - (1 + 1) = 10; c) A- 6f>ďs = 0. ■ Přiklad481. Vypočtěte / /• ds, kde M = [1,0, e], N = [2, -1, e2], víte-li, že pole / je Jm potenciálni v oblasti G C £3, jehož potenciál je funkce ip(x, y, z) = xy In z. Určete též oblast G. ľN —> Řešení: G = {[x, y, 2] e E3;z > 0}; / / • d s = (M) - t/>(N) = 2 lne2 - 0 = 4. Jm _ . —ŕ • Necht je dáno vektorové pole /. Ověřte, že je pole potenciální v E2, resp. £3, stanovte jeho potenciál a vypočtěte / f • ds : 482. / = (xe2*, (x2 + l)e2»), A = [1,0], B = [3,1] ty = f (x2 + i)e2> + C-, 5e2 -1] 483. / = (3x2y - 2xy2,x3 - 2x2y), A = [1,1], B = [2, -1] ty = x3y -x2y2 + C; -12] /4&4?f=(cos2y + y + x,y-2xsm2y + x), A = [0,7], B = [1,0] ------- x2 v2 ty= y+ y+xcos2y + xy + C;-23] 485. / = (x2 - 2yz, y2 - 2xz, z2 - 2xy), A = [0,0,3], B = [3,3,0] ty = |(*3 + V3 + z3) - 2xyz + C; 9] 486. / = (2y + z2,2x + 1,2xz + 2), A = [0,1,1 ], B = [3,0,2] ty = 2xy + y + xz2 + 2z + C; 13] ty=^In(x2 + í/2 + l) + ^2 + C;l] 488. Ověřte, že pole / = (y2,2xy) je potenciální v uľ2 . Stanovte potenciál ip(x,y), splňující ý(-4,3) = -9 . ty - xy2 + 27] 489. Stanovte potenciál pole / = (1 - - + -, - + -^, 2z - ^r) na G C £3 : y > 0, z > 0. y z 2 y2 z2 ty = x - - + 3í + *2 + q 490. Najděte práci silového pole /, jehož potenciál je funkce ip(x, y) = arctg - x při pohybu a) z bodu M = [1, \/3] do bodu N = [\/2, \/2] ; b) podél křivky (x - 2)2 + y2 = 1 v kladném směru. [a) - ^-, b) o] • Vypočtěte : "'1,2J ydx — xdy .., f[,lydx — xdy r 3 1 491. / ---------r------- — -, integrál nezávisí na cestě 7(2,1] X2 L 2 J /•[t/6,1] 492. / 2y sin 2x dx + (l- cos 2x) dy -f -/[*/4,2] iJ 493. * (2x + y) dz + (z + 2y) dy, c: x2 + y2 = a2 [0] • Určete oblasti G, v nichž je vektorové pole /potenciální a stanovte potenciál : 494. / = (x3y2 + X, y2 + yx4) [G = 0, /není potenciální] 495./=(lny-^,- + -) V x1 x iit Gi C E2 : y > 0, x > 0 G2 C £2 : y > 0, x < 0 e* V>=-----hxlny + C x 496. / = (-i-, -5-,ln(z - y) + 4=) \x-y y-x y/z/ G C E3 : x > y, z > O ip = z ln(x - y) + 2y/ž + C IV.7. Greenova věta Nechť : 1) vektorová funkce f = (/i, f?) má spojité parciální derivace v oblasti G C Ei, 2) křivka c C G je jednoduchá uzavřená kladně orientovaná po částech hladká, 3) int ccG. Potom ff-ds = ffldz + fidy = JJ {?k-?L}dxdy. Důsledek : P■= / / dxdy = - 6 —ydx + xdy, J J int c *• Je kde P je plošný obsah rovinného obrazce omezeného uzavřenou křivkou c. Přiklad 497. Pomocí Greenovy věty spočtěte cirkulaci vektorového pole / = (2x + 3y, 5x — y — 4) po obvodu A ABC ve směru A —> B —>• C, kde A = [1,0], B = [1, -3], C = [-3,0]. Jbfa* Cirkulace F = [ f -ts = jf(2x + 3,) * + (5* - „ - 4) äy «SS j = - // (5 - 3) dxdy = -2 // dxdy = -2 • PA = -2 *A ^'JA ' = -12 J J int c JjAABC 2 (orientace křivky c je záporná, proto před dvojným integrálem je znaménko minus) . ■ i i Pfťfeiod498. Vyšetřete existenci integrálu 6 (ln (x2 + y2), —2arctg — J • ds a rozhod- I JcK xJ * něte o možnosti užití Greenovy věty k jeho výpočtu, jestliže cC^ ! je kladně orientovaná křivka a) x2 + y2 = 1, b) (x — l)2 + y2 = 1, I c) (x — 2)2 + y2 = 1, d) c je obvod čtverce s vrcholy A = [1,0], f B = [0,1], C■ = [-1,0], D = [0, -1]. V kladném případě vypočtěte I integrál pomocí Greenovy věty. | ŕ y —} I Řešení: Integrál ®(ln(x2 + y2), -2arctg-) • ds existuje v £ľ2 - [0,0], protože I Je X t funkce ln (x2 + y2) je definována jen pro x2 + y2 > 0 a lim ln (x2 + y2) = — oo; \ [x,v]-+[0ß] | funkce aretg - není definována pro x = 0, ale je omezená í aretg — < — J . ! Greenovu větu lze použít za předpokladu, že c, int c C E% — [0,0] . a) —(—"—4j—; Integrál existuje, ale nelze použít Greenovu větu . b) c) Integrál neexistuje a nelze použít Greenovu větu Integrál existuje a lze použít Greenovu větu. Proveďme tedy výpočet. V 2y = // Odxdy = 0. J J int c d) Integrál existuje, ale nelze použít Greenovu větu Příklad 499. Je dáno vektorové pole /= ^ J^, v G = E2 - [0,0]. x1 + yz a) Ověřte, že platí -^— = -7— \G. b) Výpočtem integrálu 6 f • ds, kde c je záporně orientovaná kružnice S = [0,0],r = 2, se přesvědčte, že pole není potenciální v (?. ôy dx (x2 + y2)2 b) Cirkulace ľ = é f • ds = Je Je (x -y)dx + (x + y)dy c: x = 2 cos t, -y = 2 sin t c jc x2 + y2 dx = -2siní t e (0,27r) dy = 2 cos í ' I křivka je nesouhlasně orientovaná s parametrizací Jo —4(cos t — sin í) sin t + 4(cos ŕ + sin t) cqs í dí /•27T Jo dt = -27T. Pole / není potenciální, protože é f • ds ^ 0. K výpočtu tohoto integrálu nelze použít Greenovu větu, jelikož bod nespojitosti [0,0] e int c = {[x, y]; x2 + y2 < 4}. ■ —# —* -* PřHlfe/od500. Určete cirkulaci vektorového pole f = —yi + xj po kladně orientované křivce c = Ci U C2, kde cx ; x2 — 2x + y2 = 0, y > 0; C2 : y = 0, a; € (0,2), a) přímým výpočtem, b) pomocí Greenovy věty. Řešení: Cl:(x-l)2 + y2 = l,y>0 c2:y=0,xe(0,2) i) é f • ds = é> -ydx + xdy = + I = J C J C J C\ J C2 C\ : x = 1 + cos ť dx = — sin t dt t e (o, 7T> y = sin t dy = cos t dt 1 souhlasná or. c2 : y = 0,dy = 0, x e (0,2) souhl.or. = / ŕsin2í + (l + cosí)cosí)dí + / Odx = (l + cosí)dí = t + sintY = n. b) é-ydx + xdy = // (1 + l)dxdy = 2 • - • 7r = 7r. ■ Je ' J J int c ^ Příklad 501. Vypočítejte pomocí křivkového integrálu plošný obsah vnitřku asteriody ;r2/3 + ž/2/3 = a2/3(o>()) Řešení: Použijeme známou parametrizaci asteriody : x = a • cos t y = a • sin í dx = —3a • cos í • sin t dt y = 3a • sin21 • cos í dí í-2tt t 6 (0, 2tt> 1 f 1 /" P — - / —ydx + xdy = - / (3a2 cos2 ť sin4 í + 3a2 sin2 í cos4í) dt = 2 J c 2 70 ,2 /^TT 3a2 f" ■ 2+ 2, ., 3a' /"'sin'2í 3 2 /"" 1 = —- / sin'ť • cos'ídí = -— / —-— dt = -or I 2 J o 2 y0 4 8 y0 ■M- — cos 4í dí = sin 4í 2tt 3 = - a n. 4 Jo 8 502. Vyšetřete existenci integrálu = I — I (záp.orient.) ,1 JciUC2 *C\ Jc2 nebo é = / — / (klad.orient.) 509. Pomoci Greenovy věty vypočtěte integrál *xe~y dx + (~x2ye~y H—^------^)dy, kde c je kladně orientovaný obvod čtverce s vrcholy [1,0], [2,0], [2,1], [1,1]. [Htg§-i] 510. Pomocí Greenovy věty vypočtěte integrál /(ž/V - y3) dx + (2yex - 3) dy, kde c = Ci U c2; cx : x - 0, y € (-2,2), c2 : 4a;2 + y2 = 4, x > 0, přičemž [0,2] je počáteční bod křivky C\. [3n. V. Plošný integrál V.l. Parametrizace ploch Nechť oblast Q C Ei, P = P(u, v) je zobrazení z Q do E3i ľcíí je jednoduchá uzavřená po částech hladká křivka a B = ľ U int F. Platí-li : a) zobrazení P je spojité a prosté v B; b) P má omezené a spojité parciální derivace Pu a P„ v B — K, kde K je množina konečného počtu bodů ležících na ľ; c)PuxPv^0 v B- K, potom množina Q = {X = P(u,v) € £3; [u, v] € B} se nazývá jednoduchá hladká plocha v E$ , zobrazení P její parametrizací a množina c — {X = P(tt, v) G E3; [u, v] € ľ} její okraj. Vektor ň = ±PU x P„, [u, v] 6 B - K nazýváme normálovým vektorem plochy, přičemž znaménko + , resp. - , odpovídá souhlasné, resp. nesouhlasné, orientaci plochy Q s její parametrizací P. Jednotkový vektor normály označme n . Říkáme, že plocha Q a její okraj c jsou souhlasně orientovány, jestliže pro směr křivky c a normálu ň plochy platí pravidlo pravé ruky. Poznámka : V geometrických a fyzikálních aplikacích se často používá tzv. rádiusvektor r = (x, y, z) bodu X = [x, y, z]. Potom vektorová rovnice f(t) = lx(t),y(t),z(t) J, t e / vyjadřuje křivku c: x = x(t), y = y (t), z = z(t), tela, podobně r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)j, [u,v] e B C Ei vyjadřuje plochu Q : x = x{u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), [u, v] E B. Příklad511. Je dána polovina kulové plochy Q : x2 + y2 + z2 = a2, a > 0, (2 > 0) orientovaná normálovým vektorem ň = (n1,n2,n3), kde 713 > 0. Rozhodněte, která zobrazení P(u, v) jsou parametrizacemi plochy Q. , kde [u, v] € B : u2 + v2 < a2, a) P(u, v) = it, v, y/a2 — v? — v b)P(u,v) = 2a2u 2a2v 2o? a2 + v? + v2' a2 + u2 + v2' a2 + v? + v2 B :u2 + v2 < a2, , kde [u, v] € B, c) P(u,v) = [a cos u cos v, a sin u cos v, a sinu], kde [u, v] € B = (0,2ir) x. (0, —}. Řešení: Dosazením se můžeme snadno přesvědčit, že ve všech případech platí rovnice x2 + y2 4- z2 = a2. a) Funkce P„ = (l, O, U ), P„ = (o, 1, , 9 ^9 9) nejsou spojité v V a —u1 — v1' V Va2 — vr — v2' a nejsou omezené pro u2 + u2 = a2, což je celá hranice Tß ( má nekonečný počet bodů). Z toho vyplývá, že dané zobrazení není parametrizací. b) P(u, v) je spojité, prosté zobrazení v B. Snadno se přesvědčíme, že na B skutečně vychází z > 0 : 2a3 z = a2 + v? + v2 — a = a(a? — u2 — v2) a2 + u2 + v2 ' B : u2 + v2 < a2 Nyní spočítáme Pu, P„ a normálový vektor * j 2a2(a2-u2 + v2) -Aa2uv U = Pu X P„ = 4a4 ď - uz - v1 > 0 —6o u z>0. (a2 + «2+«2)2 (o2+it2 + t;2)2 (a2 + M2 + j;2)2 -4a?uv 2a2(a2 + u2 - v2) -6a3v (a2 + tí2 + w2)2 (a2+«2 + w2)2 (a2 + w2 + ü2)2 = / 2+ 2 , 2U (3aM(a2 + w2 + ^2)5 3au(a2 + m2 + u2), a4 - (u2 + v2)2 J ^ 0 pro všechna u2+v2 0. Dané zobrazení je parametrizací plochy Q . Orientace plochy je souhlasná s danou parametrizací. c) Zobrazení vychází z popisu kulové plochy ve sférických souřadnicích. Víme, že 7T toto zobrazení je prosté a spojité pro u e (0,2ir) & v e (0, -). Navíc jeho parciální derivace Pu a P„ jsou spojité všude v E2 a n = »' j k -a sin u cos v a cos u cos v 0 —o cos «sin« —a sin u sin u a cos v = (a2 cos u cos2 v, a2 sin u cos2 v, a2 sin v cos v), 7!\ \n\ = a cos v ^ 0 pro všechna « € (0,27r),u 6 (0, -). Na hranici množiny B, kde u je libovolné a v = —, je n = 0. To znamená, že na hranici Tß je n = 0 v nekonečném počtu bodů a z toho vyplývá, že dané zobrazení není parametrizací plochy Q. • Navrhněte parametrizaci plochy Q, jejíž orientace je určena normálovým vektorem Hq. Zjistěte, zda plocha Q je orientována souhlasně či nesouhlasně s navrženou parametrizací: Přtklad512. Q je rovnoběžník s vrcholy A = [1,1,1], B = [1,4,4], C = [0,5,6], D = [0,2,3], ňQ-k>0. Řešení : Snadno se přesvědčíme, že A3 = DÚ = (0,3,3) a D______________.C A~Ď = BČ= (-1,1,2). Q je část roviny určené bodem A a vektory Rovnici roviny napíšeme v parametrickém tvaru X A ^B A + uÄB + vAD. Za parametrizaci plochy Q zvolíme P(u, v) = A + uAĚ + v AD. x = 1 -v y = 1 + 3tt + v z = 1 + 3u + 2v kdejti,v].e<0,l)x (0,1) «-P.XP. = ÄŽXÄŽ = 0 3 3 -1 1 2 = (3,-3,3). Z podmínky ňQ ■ k - (3, -3,3) • (0,0,1) = 3 > 0 vyplývá, že orientace plochy je souhlasná se zvolenou parametrizací. ■ PHklad51S. Q je kruh v rovině x = 2 se středem v bodě [2, -1,3] a poloměrem 4, ňQ = (-1,0,0). Řešení : Plocha Q je popsána rovnicemi (y + l)2 + (z - 3)2 < 16, x = 2. Nyní navrhneme zobrazení X — P(u, v) : a) fi = 2 \u,v]eB = (0,4)x(0,2n), y = -l + ucosí; | n = P„ x P„ = (u, 0,0) = Ö pro u = 0 2 = 3 + «sinv ^Öpro u ^ 0. —* Toto zobrazení není parametrizací plochy Q, protože je Pu x P„ = 0 v nekonečném počtu bodů ležících na hranici množiny B . b) x = 2 y = —1 + u z = 3 + v množina B : u2 + v2 < 16 ň = Pu x P„ = (1,0,0) # 0 pro všechny [it, v] € B. Toto navržené zobrazení je parametrizací plochy Q a orientace plochy Q je nesouhlasná s touto parametrizací, protože ňQ = (-1,0,0) = - Pu x P„. ■ Přiklad 514. Q : x2 + y2 = z, y > 0, z < 1, no([0,0,0]) = (0,0, -1) Řešení: Jde o část pláště rotačního paraboloidu a) Zvolíme zobrazení : x = u B :v? + v2 0, z e (1,4)} je orientovaná tak, že vektor normály ňQ v libovolném bodě splňuje podmínku ňQ • i > 0. a) Ověřte, TT vT že zobrazení P{u,v) = [2 cos u, 2 sin u, v], [u, v] e B, B = (--, -) x (1,4) je parametrizací plochy Q a rozhodněte o orientaci plochy vzhledem k této parametrizaci b) Zdůvodněte, proč zobrazení P(u,v) — y/4 - u2,u,v\, [u, v] G B, B = (—2,2) x (1,4) není parametrizací plochy Q. a) orientace plochy Q je souhlasná s parametrizací, b) P» je nespojité v nekonečném počtu bodů množiny B. 516. QC4 Q:x2 + y2 = 4,x>0, 0 < z < 4, nQ([2,0,2]) = (1,0,0) x = 2cos« [u,«]e(-f,f)x{0,4) 517. Q : z — xy, x2 + y2 < a2, a > 0, Hq • k > 0 y = 2 sin u | orientace plochy Q je z — v souhlasná s parametrizací x = «cosv [u,v) € (0,a) x (0,2ir) | zobrazení není y = u sin v z = u2 sin u cos v parametrizací 518. Q : (ž/ 4X) +z2 = l,x€ (-1,3), nQ([0,0,1]) = (0,0, -1) x = u {tí, v] e (-1,3) x <0,2tt) y = 1 + 2 cos v | orientace plochy Q je 2 = sin v souhlasná s parametrizací 519. Q : 2x + 3y + z = 6, or > 0, y > 0, z > 0, nQ = K, n2, n3), m > 0 0 souhlasná s parametrizací V.2. Plošný integrál skalární funkce (Plošný integrál prvního druhu) Nechť Q je jednoduchá hladká plocha v E3 s parametrizací X = P(u, v), [u, v] e B C E2. Nechť f je skalární funkce definovaná a omezená na ploše Q. Říkáme, že f je inte- grovatelná na Q, jestliže dvojný integrál // f[P(u,v)j • \Pu(u,v) x Pv(u,v)\dudv existuje. V tomto pnpadě pokládáme ff f dp = ff /(P(«,v)) • |P«(tt,v) x Pv(u,v)\dudv. Je-li plocha Q C E3 jednoduchá po částech hladká, Q je sjednocením jednoduchých hladkých ploch Qi,...,Qk o / je funkce integrovatelná na každé ploše Qul < i < k, pak je POZNÁMKA : Víme, že ani existence ani hodnota dvojného integrálu ffB f du dv nezávisí na "chování" funkce / na množině míry 0. Z toho plyne, že lze počítat ffQfdp použitím zobrazení P(u, v), které sice není parametrizací plochy Q, ale požadované podmínky na parametrizaci jsou porušeny pouze na množině míry Ovß. • Rozhodněte o existenci plošného integrálu a v kladném případě integrál vypočítejte, plocha Q C E3 : Příklad 520. Jí Í^M dp, kde Q : (x - 2)2 + y2 + z2 = 1, (z > 0) XIJ ln Ixl Řešení: Integrál neexistuje, neboť funkce f(x, y, z) =----------není definovaná pro z = 0 a není omezená v žádném okolí bodů s nulovou 2-tovou souřadnicí. ■ dp ^ . 9 , „.2 , /_ o\2___2 Přiklad 521 * JJq x + y2 + z2-l , Q : x2 + yl + (z - 3y = ď, a > 0 Řešení : Pro existenci integrálu je postačující spojitost integrované funkce na ploše Q. Tato podmínka je splněna vždy, když Q je disjunktní s kulovou plochou x2 + y2 + z2 = 1, což platí pro a € (0,2) U (4, oo). Naopak, pro a e (2,4), integrál neexistuje, protože funkce / není na ploše Q omezená. Nyní integrál spočítáme použitím parametrizace plochy Q: x = a cos u cos t; y = a sin u cos v z = 3 + a sin v u 6 <0,2tt) |PU X P„| = o2 cos u x2 + y2 4- z2 - 1 I = i o2 cos2 u cos* v+a'2 sina u cos2 v+(3+a sin v)2 — 1 _ 1_______ a2+8+6asinu' IL/»-//.Ml * M*■ * = /I(f „>/Jľeln.*■)dv = a2 Z"2 6a cos v , wr, l2 .. . ,1 f ira \a2 + 8 + 6a = 27T— / -=------------------dv = — lna2+8+6a sinu = —-ln —— 6a J t a2 + 8 + 6asnt; 3 L ' 'J-f 3 la2 + 8-6a • Vypočítejte integrály na ploše Q C £3 : Přiklad 522. /7 xy dp, kde Q : a;2 + y2 = 4, 0 < z < 1 Řešení : Q je část válcové plochy. Integrál existuje, neboť funkce f (x, y, z) = xy je spojitá na Q. Pro výpočet integrálu použijeme cylindrické souřadnice s poloměrem r = 2 : x = 2 cos u, [u, v] € (0,2n) x (0,1 dp= |Pu x Pv\dudv y = 2 sin u | Pu = (-2 sin u, 2 cos u, 0) | = |(2cosw,2sinw,0)| dudv z = v, P„ = (0,0,1), =2dudv (1 4 sin u cos m • 2 du) dv = 8 sin2 W 2tt r -.1 • V =0. ■ o L Jo [ 2 J Přiklad 523. jí xyzdp, Q : y2 + 9z2 = 9, 1 < x < 3, y > O, z > O Řešení: 5*k Jde o část eliptické válcové plochy rovnoběžné s osou x. Použijeme zobecněné cylindrické souřadnice : X = u y = 3 cos v z = sin t; In,t;]€fl = x<0,-> |PU xP„| = |(1,0,0) x (0,-3 sin«, cos v) | = y/9 sin2 v + cos2 v = Vosiň^tT-fl / / aiyz cíp = / / u • 3 cos w sin u • v 8 sin2 ü +1 dudv = f3 W2 -------:------- = 3 / údu- cos u sin u • v 8 sin2 u + 1 dt; = Sshrv+i = t 16 sin v cos vdv = dt í'e(i,9> L 2 Ji 167! 2V , 16 L 3 Ji 4 3V y Příklad 524. // x* dp, Q je AABC,. kde j4 = [1,0,0], B = [0,1,0] a C = [0,0,1] Řešení : Q je část roviny x + y 4- z = 1. Průmět vyšetřovaného trojúhelníka do roviny z = 0, je trojúhelník omezený přímkami a: + y = l,a; = 0, y = 0 v rovině (xy). z = 1 -x-y W'+(Ě)í+(!)"» [x, y] € I> : 0 < y < 1 - x 0 (x — l)2 + z2 < 1. Nyní můžeme z plošného integrálu přejít k dvojnému integrálu : Q ■ y = y/x2 + z2 dxdz = y/2 dxdz z2 x2 + z2 x = r cos

)-4cos <£>d = 4^21 2 / cos5<^d<^+0+0 j = liché funkce 526. (x + y + z)dp, Q : x2 + y2 + z2 = a2, 2 > 0, a > 0 527. /Y (z2 + y2) dp, Q : 2 = v^2 + Ž/2> 0 < 2 < 1 528. / / xdp, Q : z= y/a2 - x2 - y2 „2 . „.2 529. í í zdp, Q:2z = x* + y*,0 0, y > 0 dp= /1 + (|£)2 + (|£)2dxdy 1 y Vôx/ Vöy/ " D: 0 0 —> S = 2 / / dp Qi: z= y/16 -x2-y2 D: •'IL 4 dxdy dp=Ji + x2 + y2<9 x = r cos

3 plit ŕ = 8 / Jo Jo rdrd(p >/16 - r2 Přiklad 532. Q je část plochy 2 = 2^2/ ležící v prvním oktantu uvnitř válcové plochy x2 + y2 = a2. Řešení: = //*= dxdy = x2 + y20,y>0 x = r cos ^ Q : « = 2xy dp = \/l + 4j/2 + 4x2 dx dj/ .2 _l ..2 s „2 [x,y]€D: * + V Z a x>0,y>0 0(x-l)2+y2 z =3sin« 2 - ~ 2 J-r/2^Jn/2 9sin2t; + 9 / 7- Z"1 dí ľ . /I1 TT TT =7r,i_1^n=7r'rctgíJ-1=:7r'2 = i cos v dv = sin v = í cos v du = dť Prtfciad535. Stanovte moment setrvačnosti vzhledem k ose z plochy Q : z = y/žč + y2, 0 < z < 2, je-li hustota konstantní (p = fc). Řešení: -IĹ* 2 , „.2 + y)gdp = Q. z = v7*2 + v2 dp = yfidxdy D : x2 +y2 < 4 = /c / / (x2 + y2)v2dx dy = (použijeme polární souřadnice) = x2+j/2<4 /27T z-2 rr4i2 /- / r2Trfrři(/? = \/2fc-27r[jjo = 8\/2A;7r. ■ PrífciadoSO. Najděte těžiště části paraboloidu x2 + y2 = 1z omezené rovinou z = 1, s hustotou g = 1. Těžiště bude na ose rotace z, tj. T = [0,0, Zt], ^ - Mul 1 TO ' 1 / 2 , 2\ Q : 2 = g (x + » ) m= // dp = dp= N/l + x2 + y2dx< Q [ D: x2 + y2<2 — II v/l + X2 + y2 da; dy = (použijeme polární souřadnice) = x2+2/2<2 /•2*,/V5 _____ N i r^ ------- r2(l + r2)3/2!^ / (/ vT+72-rdrJd^ = 27r-- / v7! + r2 • 2r dr = tt [-i----^-^J0 = = y(3vS-D, Mx„ = Zdp= // -(x2 + y2) \/l + a:2 + y2 da; dy = (použijeme polární souřadnice) z2+S/2<2 = lf2*(f r2\/rT72Tdr)d^=^-27r- /" rVl + r2-rdr 1 + r' = ť 2rdr = 2tdt ť€(l,V5) •v/3 2tt(1 + 673) • 3 _ l + 6\/3 ZT ~ 15 • 2tt(3n/3 - 1) ~ 5(3V5 - 1)' " • Určete plošný obsah plochy Q C E3 : 537.Q:z = x2 + y2, x2 + y20,y>0,z>0 [^5] 539. Q je část kulové plochy x2 + y2 + z2 = 12 ležící uvnitř paraboloidu x2 + y2 = A.Z. [8tt(3 - s/l)\ 540.Q:z = A-y/x2 + y2, 0t/]e<0,l)x(0,l>. [6] 544. Vypočtěte hmotnost plochy Q : x2 + y2 + z2 = a2, z > 0 (a > 0) při plošné hustotě q{x, y, Z) = Z. [na3] 545. Vypočtěte hmotnost plochy Q : x + y + z = 1, x > 0, ?/ > 0, z > 0 při plošné hustotě g(x,y,z) = {1 + x + y)2. Kln2-Ž)l 546. Vypočtěte těžiště části kuželové plochy z = \Jx2 + y2 vyříznuté válcovou plochou x2 + y2 = ax, (a > 0), je-li hustota konstantní (g = k) . [r = í^,o, —11 547. Vypočtěte těžiště plochy Q : x = y/y2 + z2, y > 0, 0 < x < 2 při plošné hustotě g(x,y,z)=x. [T=[!'f'°]] 548. Vypočtěte souřadnici yr těžiště T plochy Q : x2 + z2 = 4, a; > 0, z > 0, y G (0,3) při plošné hustotě £ = xyz. [2] 549. Vypočtěte statický moment vzhledem k ose rotace povrchu homogenní polokoule o poloměru R,g= k. ľ|(3* + 4)fcfí3] 550. Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose z homogenního trojúhelníka s vrcholy [a, 0,0], [0, a, 0], [0,0, a] (a > 0, g = k). [^a4k] 551. Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose z homogenní plochy Q = Qi U Q2, kde Qa : x2 + y2 < 16, z = 0, Q2 : z = A - x/x2 + y2, z > 0, (g = k) . [128kir(í + y/2)] 552. Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose z homogenní plochy Q : z2 = %{x2 + y2), 0 < z < h, (ŕ? = k). [^k^^Tiš] V.4. Plošný integrál vektorové funkce (Plošný integrál druhého druhu) Nechť Q je orientovaná jednoduchá hladká plocha s jednotkovým vektorem normály ň°. Nechť f je vektorová funkce omezená na Q a nechť skalární funkce f-ň° je integrovatelná —* na ploše Q- Potom říkáme, že f je integrovatelná na Q a značíme ff f-ďp= í í f-n°dp JJo JJq Je-li X = P(u, v) parametrizace plochy Q definovaná na množině B C E2, pak plošný integrál vektorové funkce f lze spočítat vzorcem : ff /• afp = ± ff /• (Pu x P„) du dv, přičemž znaménko vybíráme podle toho, zda plocha Q je souhlasně, resp. nesouhlasně, orientovaná s parametrizací P{u, v). Poznámka : Často se používá i jiné značení : Je-li / = {f\,Í2,Jz), pak plošný integrál vektorové funkce / se dá zapsat : II f-dp= li fxdydz +f2dxdz +fadxdy • Vypočítejte dané plošné integrály / / f ■ dp na, ploše Q C E3 : Přiklad553.f=(xz2,yz2,(x2 + y2)z\, Q : x = u cos v, y = usinv, z = bv (šroubová plocha), [u,v] 6 (0,a) x (0,27r) (a > 0,6 > 0), orientována normálou ň — (ni,n2,n3), kde ra3 > 0. Řešení: f f (xz2, yz2, {x2 + y2)z) ■ d% = Q : P„ = (cos v, sin v, 0) P„ = (—u sin t>, u cosi), 6) n = P„ x P„ = (6sin«, — 6cosn,u) —► n,3 = u>0 —► —► orientace plochy je souhlasná s parametrizací /• (Pu x P„) = (ucosv-b2v2,usinv -b2v2,u2bv) ■ (bsint),-6cosv,w) = = 63tit;2 sin v cos v — b3uv2 sin v cos v + bu3v — bu3v = / ( bu3v duj dv = b u 4, V2^« 1 2 4 = -na b. o 2 PHkladbhA. / = (-y,x,x2y2z), Q : x2 + y2 + z2 = o2, z < 0, a > 0, n°([0,0,-a]) = -£. Řešení: Q: n°- Ä< {-y,x,xlylz) -dp = (x,y,z) _ (x,y,z) a s/x^+y^+z2 fT([0,0,-o]) = (0,0,-1) orientace plochy je souhlasná s ň° [a, f-i- jr,/-**)=SiQ{-y'x'^z) ■^ŕ-tr-zíl/***- Q- z =-y/a*-x*-y* *-lHŽ)'+(«)",,*-7ró,=?** 2 . ..2 <- „2 B : x2 + y1 < a = - // x2y2(a2-x2-y2)—7=J=^dxdy = if x2y2yja2-x2-y2dxdy = a J J y/a2-x2-v2 J J 1+»2<0J x2+y2 0) je orientována Řešení: / / (x, j/, z) -dp = Q: x — u y = V Z = O [it,v] e (0,a) x (0,a) Ä = P,xP„ = (0,0,1) Q je souhlasně orientovaná s n° f • (P, x P.) = («,«,o) • (0,0,1) = a pa pa = / / a Jo Jo dudv = o3. Přiklad 556. Spočítejte plošný integrál // z2dxdy, kde Q je plocha x2 + y2 + z2 = 4, " —* z > 0 orientovaná normálovým vektorem n°([0,0,2]) = k. v —* Řešení: Integrál lze chápat jako tok vektorového pole / = (0,0, z2) danou plochou. Potom // z2dxdy= // /• ďp = // f-fí°dp = JJq JJq JJq Q : x = 2 cos u cos v IQ 0 Z) 411/"" y — 2 sin u cos v | 0 < v < — í z = 2 sin v |P„ x P„| = 4cosü i /»2w pr/2 ■5/7 *> JO JO 8sin3 v • 4cosvdudv = 16 • 2tt\ sin4 v W2 L 4 Jo = 8tt. Určete tok $ vektorového pole / plochou Q C E3 orientovanou normálou ň Přiklad557. / = (y, —x, z), Q : z = 4 - x2 — y2, z > 0, jejíž normálový vektor —# splňuje podmínku ň • k > 0. Řešení: Podle definice se tok vektororového pole / plochou Q vyjádří integrálem I'! f ■ dp. Použijeme / / f • dp = / / f -ň°dp = JJq JJq JJq x2 + y2 < 4 Q- z = 4-x2 -y2,z>0 ňk > 0 ( ' y'1),n v^ + V + i = //>-x' *) (2x,2y,l) T*-//0 dp = y/4x2 + Ay2 + 1 ^ /7q v/4z2 + 4y2 + 1 dp=Jl + (|^)2 + (^)2dxds, = v/4x2+4y2 + ldxdy -// [i,j]6D: x2+y2<4 4 — x2 — y2 x2+y2<4 y^x2 + 4y2 = • y^l + 4x2 + 4y2 dx cřy = // (4- x2 — y2)dxdy = z2+y2<4 2 ^4l2 í / (4-T2)rdrJ dí/3 = 27T 4—- — = 87r. Pfifelod 558. f = (x,y,z), Q : x2 + 9y2 = 9, 0 < 2 < 4, n°([3,0,0]) = .-* Řešení : í í f. ďp=±ff f- (P« x P,) d«dw = Q ! X = 3 COS M y = sin u 2 = v ß : 0 < u < 2tt 0<4 Pu x P„ = (-3 sin ti, cos u, 0) x (0,0,1) = = (cos u, 3 sin u, 0) ň([3,0,0]) = ň(u = 0, v = 0) = -(1,0,0) —> ň = — (cosit,3sinu,0) 11.1 = — / í / (3 cos it, sin it, v) • (cos u, 3 sin u, 0) duj dv = = - / ( (3cos2 u+ 3sin2u) du) dv=z -3-27r-4 = -247r. Prtfciad559. f = (x, y - z, 2z), Q je trojúhelník o vrcholech A, S, C, kde i4 = [3,0,0], £ = [0,2,0], C = [0,0,6], ň-í<0. Řešení: Q je část roviny, jejíž rovnici napíšeme v úsekovém tvaru : x v z - + | + - = 1—>2x + 3y + 2 = 6 Tok$ -SSQrtf=SSjffdf= Q je rovina s normálou n = ±(2,3,1) z podmínky n • i < 0 plyne, že n = —(2,3,1) J0_ n _ -(2,3,1) _ -(2,3,1) |n| 74 + 9 + 1 v/Í4 = JJ{x,y-z,2z)- ( 2> Jl 1)dp=-±=jJ(-2x-3y + 3z-2z)dp = = jullQ{z-2x-Zy)dp = Q : z = 6 - 2x - 3j/ D: dp = y/T+~4 + 9dxdy = y/ľidxdy I 0 < « < 6 ~ 2x [z, y] e D, kde £> je průmět A ABC ' 3 • /x .-a,-.,r, 0 0,y > 0},Q2 = {[x,0,z] eE3;x2 + z2 < l,x>0,z>0}, jednotkovým vektorem normály plochy Q2 je rag = —j. Řešení: V souladu s normálovým vektorem rag = —j bude —* jednotkový vektor normály plochy Q\ ň° = — k. Tok$= [f /-ďp= // /rfp+ // f'ďp = Q1UQ2 IQ2 = f f f-ň°1dP+ f f f-ň°2dp = JJQi JJQ2 Qi: z = 0,7Í? = (0,0,-1) Q2: y = 0,n? = (0,-1,0) x2 + j/2 < l,x>0,y >0 x2 + z2 < l,x > 0,z > 0 /•«í = (x2 -y2, y2, -x2) (0,0,-1) /n? = (x2, -z2,*2 - x2) • (0, -1, — «.2 _ ,2 // Säxäy+ // t**= ff 2.X>äxdy = x2 + y2 < 1 x2 + z2 < 1 x2 + y2 < 1 x> ' 0, y > 0 x > 0, z > 0 x>0,y>0 (polární souřadnice) = 2 ľ ( / V COS2

0, normála n = (m, n2, n3) má souřadnici n3 kladnou. [si^i 2 564. /= (y, -x, z), Q : z = x2 + ^- - 4, y > 0, z < 0, n • jfc < 0 [i2tt] 565. / = (x, y, z), Q : je část válcové plochy x2 + y2 = 9, 0 < z < 4, n°([3,0,0]) = -l [-727T] 566. f = (x,y,-2z), Q : y = 9 - x/a:2 + z2, y > 3, n • j < 0 [-los*] 567. / = (x, j/, -z), Q : x2 + y2 + z2. = 4, x > 0, n°([2,0,0]) = -ľ [-15i] 568. /= (z,x2 + y2,l), Q:z2 = x2 + y2,0 0, ňo([b,0,0]) = i. [b2hn] 570./ = (z, x, y), Q:x + z = 2, x2 + y2<4, řf = -±=(1,0,1) [8*] 571. /= (y, -x, z), Q:z = 4-x2-£, y > 0, z > 0, ň-k>0 [2*] 572./ = (x,y,3z), Q : z = x2 + y2 + 1, 1 < z < 2, x > 0, y > 0, n • k < 0 [J*] 573. / = ZI-XJ+ y k, Q je rovnoběžník s vrcholy A = [0,0,0], .B = [0,3,3], C = [-1,4,5], D = [-1,1,2] orientován normálou n = (1, -1,1). [12] 574. / = (x2, y2, z2), Q je část válcové plochy f- + — = 1, z > 0, 0 < x < 3, lo 4 nO([l,0,2]) = -Ä;. (_64] V.6. Gaussova-Ostrogradského věta Má-li vektorová funkce f = (fi, f2, f3) spojité parciální derivace v otevřené množině G C £3, pak skalární funkci nazýváme divergencí vektorového pole /. Pole f se nazývá solenoidální v G, jestliže tok vektorového pole f každou jednoduchou uzavřenou po částech hladkou plochou Q C G je nulový. Věta G.-O. : Nechť a) funkce f = {fx, f21 f z) má spojité parciální derivace v oblasti G C E3; b) Q C G je jednoduchá uzavřená po částech hladká plocha orientovaná jednotkovým vektorem vnější normály, c) int Q C G. Potom íl f'dp= f f f div f dxdydz int Q PHklad575. Jsou dány skalární funkce u(x, y, z) = xy2 - y3z2 a vektorová funkce f(x, y, z) = (xy2, x2 + 2z, 3yz) v E3. Spočítejte div (grád u) a div (rot /). í dU dU du\ , n „90 n q x Řešení: grád u = (—, —, —J = {y2,2xy - 3y2z2, -2y3z), div (grád u) = O + 2x - 6yz2 - 2y3; t j k i J k d d d dx dy dz = d dx d d dy dz f\ h h xy2 x2 + 2z 3yz div (ro t F) = 0. = {3z-2,0,2x-2xy), Přiklad /l 2 576. Ověřte, že pole f (x, y, z) = [- + 3y + 5,2x--------3,1 + \x y solenoidální ve svém definičním oboru G C E3. x' 2_z y ,2)je Řešení: Pro definiční obor musí platit i^O a y =ŕ 0. Dostaneme oblasti G{, i — 1,2,3,4 : Gx = {[x,y,z] eE3:x<0,y< 0}, G2 = {[x,y,z) eE3:x<0,y> 0}, G3 = {[x,y,z] eE3:x>0,y< 0}, G4 = {[x,y,z] eE3:x>0,y> 0}. Stačí ověřit, že hodnota toku vektorového pole / libovolnou jednoduchou uzavřenou po částech hladkou plochou Q C G, int Q C G je 0. K výpočtu toku použijeme větu G.-O., jejíž předpoklady jsou splněny : // f'dp= div f dxdydz, int Q ,,,.,- 1 2 1 2 n kde div/ = —o" + ~^ + ~?-----9=u- x2 yl xl yl PHklad577. Je dáno vektorové pole f(x,y, z) (z-y,x,-x) Určete definiční obor x2 + y2 + z2 G C E3 funkce /a ověřte, že div/= 0 v G. Ve kterých z následujících případů / / f- dp existuje a kdy lze použít větu G.-O. ? a) Q : x2 + y2 + z2 - Ax = 0; b) Q je povrch kvádru : x — —l,x = 3, y = -2, y = 1,2 = -1,2 = 1; c) Q : x2 + y2 + 22 - 6y + 5 = 0. Řešení: Definiční obor je E3 — [0,0,0]. Snadno se přesvědčíme, že div / = 0 : div/(X) = - (z-y)-2x _ {x2 + y2 + z2)2 \x2 + y2 + z2)2 ' (x2 + y2 + z2)2 x-2y x-2z a) Q : (x2 - Ax + 4) + y2 + z2 = 4 —► (x - 2)2 +1/2 + z2 = 22, {0,0,0]€Q; integrál neexistuje a nelze použít větu G.-O.; b) [0,0,0] £ Q —> integrál existuje, ale [0,0,0] € int Q —> nelze použít větu G.-O. c) Q: x2 + (y-3)2 + z2 = 4, [0,0,0] Č Q, [0,0,0] 0 int Q. Daný integrál existuje a lze použít větu G.-O. // /-ďp= div f dxdy dz = Q. int Q • Užitím věty G.-O. vypočtěte tok vektorového pole / vnější stranou uzavřené plochy Q Přiklad578. f = (3x + y, 2y - z + 5, x + 2y + z), Q je povrch tělesa omezeného rovinami x = 0, y = 0, z = 0, x + z — 1, y = 2. Řešení : Tok$= // /-ďp= div f dxdydz = int Q = (3 + 2 + l)dxdydz = int Q dx dydz = ( JJJdxdydz se rovná objemu vnitřku int Q plochy Q, což je objem trojbokého hranolu) = 6 int Q 1-1 2 = 6. Přúdad579. f = (xy2, yz2, zx2), Q = QlöQ2U Q3, kde Qx : x2 + y2 + z2 = 1, 2>0; Q2:x2 + y2 + z2 = 9,z>0; Q3 : 1 < x2 + y2 < 9, z = 0 Řešení: 1 3 x»- $= // f-dp= ///div/dxdydz = intQ intQ: lQ + z + x ) dx dy di = intQ x = r cos ti cos u 1 < r < 3 y = r sin u cost; 0 < u < 2n z = r sin u J = r2 cos v rw/2 . /«27r x2 + J/2 + z2 = r2 f2jľ = / ŕ / l I r2 -r2 cos w dr J du J dv = / cos vdv • du- r4 dr = r tjt/2 rr5i3 1 E -.[*,.]•*.[-] =l.fc.g(S>-.l). 4847T Pŕifciad 580. Určete tok $ vektorového pole / = (x, y, -z) plochou Q : x2 + y2 + z2 = 4, x > 0, orientovanou normálovým vektorem ň°([2,0,0]) = —i. Řešení : Plocha Q je polovina kulové plochy s body majícími x-o\é souřadnice nezáporné. Takto zadaná plocha není uzavřená. Tok $ touto plochou můžeme spočítat pomocí plošného in- ""_ -4' '■;■■■ ■ / • dp. Chceme-li použít větu G.-O., musíme tegrál üaIL w přidat ještě plochu Qi tak, aby QuQi byla plocha uzavřená, stejně orientovaná. Tedy ff f ' ďp + ff 7 • Í = ± ff f div fax dy dz int(QUQi) Qi :x = 0,y2 + z2 <4 »P = (1,0,0) normály ploch Q,Qi směřují dovnitř // f'äp= // (x,y,-z)-dp = JJQi JJQi = ff (x,y,-z)-n°dp= jj (0, y, -z) -(1,0,0) dp = 0 Vrátime se k (•) a při použití věty G.-O. pamatujeme, že normály směřují dovnitř, takže před trojným integrálem na pravé straně napíšeme znaménko minus. 11 f-dp + 0=- / / / (1 + 1 - 1) dx dy dz = (± objemu koule) = int (QUQi) 1 4 . 16 = ----7T-23 =-------TT. ■ 2 3 3 —* • Užitím věty G.-O. vypočtěte tok <Ž> vektorového pole / po částech hladkou uzavřenou a orientovanou plochou Q : 581. / = (x, y, z), Q je povrch kužele s poloměrem podstavy a a výškou b, orientace vnější normálou. [™2b] 582. / = (xy2, yz, x2z), Q je povrch dutého válce omezeného plochami Qi ,: x2+y2 = 1, Q2 '■ x2 + y2 = 4, Qz : z = 1, Q4: 2 = 3, orientace vnější normálou. [27*] 583. /=(r\y3,z3), Q = Q1UQ2 Qx : x2 + y2 + z2 = 1, z < 0, Q2 : 2 = 0, z2 + y2 0), orientace je dovnitř plochy. [27ra3] 588. / = (x2, y2, z2), Q je povrch tělesa omezeného -2 < z < 4 - x2 - y2, x2 + y2 < 4, orientace je dovnitř plochy. \-~n] 589. / = (x, y,z), Q je povrch tělesa omezeného plochami x2 = y2 + z2, x = 3, orientace vnější normálou. [27*] 590. / = (x3, z,y), Q je povrch tělesa omezeného plochami z = x2 + y2, z = 4, orientace vnější normálou. ľ—*■] 591. / = (2xy, -J/2,2z), Q : — + — + — = 1, orientace vnější normálou. [32*] ^r ~r i/ 592. / = (x, y, x2 + y2), Q je povrch tělesa omezeného plochami x2 + y2 = b2, z = 0, z = a, y = 0 (y"> 0, o > 0), orientace vnější normálou. [62ott] 593. / = (x,y,z), Q je část válcové plochy x2+y2 =9, 0 < z < 4 (plocha je otevřená), n°([3,0,0]) = —i . Výpočet proveďte a) přímo pomocí plošného integrálu; b) Užitím Věty G.-O. (Plocha se musí uzavřít pomocí Qi : z = 0, Q2 : z = 4). [-72*] 594. / = ( —------, —r------, x2 + z J. Ve kterých následujících zadáních plochy Q lze \x* + y* xz + y1 J použít větu G.-O.? V kladném případě vypočítejte / / f-dp. a) Q : x2+y2+z2 = 4, orientace vnější normálou; b) Q je povrch kvádru omezeného rovinami x = 0, x = 1, y = l, y = 3, z = 2, z = 5, orientace vnitřní normálou. [a)nelze; b) lze; -6] V.7. Stokesova věta Nechť : a) vektorová funkce f má v oblasti G C E3 spojité parciální derivace; b) c C G je jednoduchá uzavřená po částech hladká orientovaná krivka; c) Q C G je jednoduchá po částech hladká plocha s okrajem c, která je souhlasně orientovaná s křivkou c. Potom platí )d y —w. x=x(t) ^y=y(t) a b x í x = x(t) x 3) | y = y(t) Y h 0 J kolem osy x : Vx = n f2(x) dx, kolem osy j/: Vy = 2n x f (x) dx. Ja Ja III. Délka křivky c -/• 1= Ids c 1) c C E2, c:y = f (x), a 0 kolem osy x 5 = 2tt í f(x)^/l + (f'(x))2dx Ja obecněji S = 2ir I y ds, c C E2 4) Q je část válcové plochy rovnoběžné s osou z, dané řídící křivkou c C E2 a omezené rovinou z = 0 a plochou z — f{x,y) = jf(x,y) ds V. Hmotnost m útvaru G C ^2(resp.E3), při hustotě g(X), X e G 1) G je rovinná deska D C E2, m= J g(x,y)dxdy 2) G je těleso W C E3, m= g(x,y, z) dxdydz m Jg dX 3) G je oblouk křivky c a) c C E2, ra= g(x,y) ds b) c C £3, m= g(x,y,z)ds 4) G je plocha Q C E3, m= QÍX, V> z) dp VI. Statický moment M útvaru G vzhledem k ose o (resp. k rovině a) M0= í ßo(X)-g(X)dX, JG Ma = fGfiQ(X)-g(X)dX kde ß0(X) (resp. na(X)) je vzdálenost libovolného bodu X € G od osy o (resp. od roviny a.) 1) G je rovinná deska D C E2 Mx= y- g(x, y) dx dy, My = x- g(x, y) dx dy 2) G je těleso W C E3 a) vzhledem k ose, Mx= /// y/y2 + z2 g(x, y, z) dx dy dz; My, Mz analogicky JJJw b) vzhledem k rovině, Mxy = í z-g(x,y,z)dxdydz; Mxz, Myz analogicky 3) G je oblouk křivky c a) c G E2, Mx= y- g(x, y) ds, My = / x • g(x, y) ds b) c € E3, Mx= \/y2 + z2 • g(x, y, z) ds ; My, Mz analogicky Mxy = / z • g(x, y, z) ds ; Mxz, Myz analogicky 4) G je plocha Q C E3 a) vzhledem k ose, Mx = J s/y2 + z2 • g(x, y, z) dp ; My, Mz analogicky b) vzhledem k rovině, Mxy = z- g(xfy,z)dp ; Mxz,Myz analogicky Těžiště v E2:T = My M^ m ' m Těžiště v E3 : T = Myz Mxz Mxy m m m VII. Moment setrvačnosti J útvaru G vzhledem k ose o (resp. k rovině a resp. k bodu A) Io= í ú(X)*g(X)dX JG kde Ho{X) (resp. na(X) resp. jiA ) je vzdálenost libovolného bodu X e G od osy o (resp. od roviny a resp. od bodu A.) např. pro těleso W C E3 : It = / / / (x2 + y2) • 0(x, y, z) dx dy dz Iyz = / / / x2-g(x,y,z)dxdydz I[o,ojo] = iff (*2 + v2 + z2) • 0(x> V»*)dx d^ dz J J Jw VIII. Práce A síly / = (/i, /2, h) podél orientované křivky c C Ez A= íf- ds = f fidx + f2dy + f3 dz Cirkulace ľ je práce po uzavřené křivce ľ = 6 f • ds = =