Příklady - interpolace a parciální zlomky
Příklad 1. Sestrojte Lagrangeův interpolační polynom funkce f, je-li dáno:
a) f(-1) = 3, f(1) = 5, f(4) = -2
b) f(-3) = -1, f(-2) = 0, f(0) = 2, f(2) = 6
c) f(-4) = 0, f(-3) = 3, f(-2) = 0, f(-1) = -3, f(1) = 5
Z cvičných důvodů klidně použijte obě metody (soustava rovnic nebo fundamentální poly-
nomy).
Příklad 2. Sestrojte Hermiteův interpolační polynom funkce f, je-li dáno:
a) f(-2) = -6, f(1) = 3, f (-2) = 4, f (1) = -1
b) f(-1) = -1, f(0) = 0, f(1) = 1, f (-1) = 0, f (0) = 0, f (1) = 0
Příklad 3. Sestrojte přirozený kubický interpolační splajn pro funkci f(x).
a) f(x) = 1
1+x2 na intervalu [0, 3], za uzly zvolte body x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3
b) f(x) = 1
x-1
na intervalu [0, 4], za uzly zvolte body x0 = 0, x1 = 2, x2 = 4
Příklad 4. Rozložte na parciální zlomky racionální funkci:
a) f(x) = 12x
x2-2x-24
b) f(x) = 1
x2(x+1)
c) f(x) = x+1
(x2+1)(x3+x)
d) f(x) = 3x5+5x4+3x3+8x2-2x+7
(x2-1)(x2+1)2
e) f(x) = x2
x4-16
f) f(x) = x
x3-8
g) f(x) = 3x3+6x2-38x+20
x4-x3-4x2+4x
1
h) f(x) = x-1
x4+3x2+2
Výsledky:
1. a) -2
3
x2
+ x + 14
3
b) 1
20
x3
+ 1
4
x2
+ 13
10
x + 2
c) - 1
12
x4
+ 1
6
x3
+ 37
12
x2
+ 23
6
x - 2
2. a) -1
3
x3
- 4
3
x2
+ 8
3
x + 2
b) 1
2
x3
(5 - 3x2
)
3. a) S0 = 1 - 11
20
x + 1
20
x3
, S1 = 1
2
- 2
5
(x - 1) + 3
20
(x - 1)2
- 1
40
(x - 1)3
b) S0 = 1 - 19
18
x + 11
144
x3
, S1 = 17
6
- 137
36
x + 11
8
x2
- 11
72
x3
4. a) 24
5
1
x+4
+ 36
5
1
x-6
b) 1
x2 + 1
x
+ 1
x+1
c) 1
x
- x
x2+1
+ -x+1
(x2+1)2
d) 2x
x2+1
+ x-2
(x2+1)2 + 3
x-1
- 2
x+1
e) 1
8(x-2)
- 1
8(x+2)
+ 1
2(x2+4)
f) 1
6
1
x-2
- 1
6
-x+2
x2+2x+4
g) 5
x
+ 3
x-1
- 1
x-2
- 4
x+2
h) x-1
x2+1
- x-1
x2+2
2