L'Hospitalovo pravidlo
L'Hospitalovo pravidlo je docela silným nástrojem pro výpočet mnoha limit.
Věta. Buď x0  R
. Nechť je splněna jedna z podmínek
(i) limxx0 f(x) = limxx0 g(x) = 0
(ii) limxx0 |g(x)| = 
Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) limxx0
f (x)
g (x)
, pak existuje také limxx0
f(x)
g(x)
a platí:
lim
xx0
f(x)
g(x)
= lim
xx0
f (x)
g (x)
Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné limity.
Poznámky:
1. Je nutné, aby opravdu byly splněny podmínky dané věty! Tj. pravidlo se nedá použít
pro výpočet limit ,,cokoliv
0
a podobně.
2. Taky se může stát, že limxx0
f (x)
g (x)
nemusí existovat, to ale neznamená, že neexistuje
limxx0
f(x)
g(x)
!
3. L'Hospitalovo pravidlo můžeme použít i vícekrát v řadě, tj. může se stát, že i po
použití L.P. dostaneme výraz, který splňuje předpoklady věty. V takovém případě
použijeme L.P. ještě jednou atd.
Ilustrujme použití na následujících příkladech:
a) limx2
x2-5x+6
x2-3x+2
=,,0
0
=limx2
2x-5
2x-3
=-1
1
=-1
b) limx0
x-sin x
x3 =,,0
0
=limx0
1-cos x
3x2 =,,0
0
=limx0
sin x
6x
=,,0
0
=limx0
cos x
6
=1
6
L'Hospitalova pravidla užíváme k určení limit tzv. neurčitých výrazů:
0
0
,


,  - , 0  , 00
, 0
, 1
První dva případy lze řešit přímo užitím L.P. ostatní je možno převést na první následovně:
*  - : limxx0 (f(x) - g(x))=limxx0 ( 1
1
f(x)
- 1
1
g(x)
)=limxx0
1
g(x)
- 1
f(x)
1
f(x)g(x)
* 0  : limxx0 f(x)g(x) = limxx0
f(x)
1
g(x)
* 00
, 0
, 1
: limxx0 f(x)g(x)
=limxx0 eg(x) ln f(x)
=elimxx0 g(x) ln f(x)
1
Vypočítejte limity:
a) limx
x3+5x-2
x2-1
b) limx(
2
- arctan x) ln x
c) limx0
tan x-x
x-sin x
d) limx0( 1
x2 - 1
sin2 x
)
e) limx0+ (sin x)tan x
f) limx0+ (1
x
)sin x
g) limx0+
arctan x
x
h) limx1- ln(x)  ln(1 - x)
i) limx
2

arctan x
x
j) limx0
1
xsin x
- 1
x2
k) limx0(1 + 3 tan2
x)cotg2x
l) limx
x2-1
x2
x4
Výsledky: a) b)0 c)2 d)-1
3
e)1 f)1 g)0 h)0 i)e- 2
 j)1
6
k)e3
l)0
2