MASARYKOVA UNIVERZITA
Přírodovědecká fakulta
Integrální počet
Poznámky pro předmět M1020
BRNO 2008 Petr Liška
Kapitola 1
Primitivní funkce, neurčitý integrál
V první polovině semestru jsme hledali derivaci nějaké funkce, teď budeme řešit úlohu
obrácenou. Připomeňme důležitý pojem primitivní funkce.
Definice. Mějme dány funkce F, f definované v otevřeném intervalu I. Jestliže pro
všechna x  I platí
F (x) = f(x),
říkáme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f v intervalu I.
Uvědomíme-li si, co se děje s konstantou při derivování snadno nahlédneme, že platí:
Je-li funkce F v intervalu I primitivní k funkci f, pak každá primitivní funkce
k funkci f je tvaru F(x) + C, kde C  R.
Libovolnou primitivní funkci k funkci f v intervalu I nazýváme neurčitým integrálem
funkce f a značíme inf f(x)dx. V této souvislosti funkci f nazýváme integrandem,
symbol integračním znakem, symbol dx neznačí diferenciál, ale slouží k odlišení
proměnné. Hledání primitivní funkce se nazývá integrování.
2
1.1 Základní vzorce pro primitivní funkce
1. xn
dx = xn+1
n+1
+ C, (n  R, n = -1)
2. dx
x
= ln |x| + C
3. ex
dx = ex
+ C
4. ax
dx = ax
ln a
+ C
5. cos xdx = sin x + C
6. sin xdx = - cos x + C
7. dx
cos2 x
= tgx + C
8. dx
sin2 x
= -cotgx + C
9. dx
x2+1
= arctgx + C
10. dx
1-x2 = arcsin x + C
11. dx
x2+c
= ln |x +

x2 + c| + C
cf(x)dx = c f(x)dx
[f(x)  g(x)]dx = f(x)dx  g(x)dx
3
1.2 Příklady
Všechny následující integrály jdou spočítat přímo nebo pomocí úprav.
Příklad 1. Vypočítejte integrály
a) 3x5
dx
c) x2
x
x5 dx
e) (x4
- x2 5

x3)dx
g) (a + 3 cos x)dx
i) cotg2
xdx
k) cos 2x
cos2 x
dx
m) sin2 1
2
xdx
b) 1
x4 dx
d) (5x6
- 2x4
+ 3x - 1)dx
f) ( 2
x
+ 3
3
x2
-
4

x3)dx
h) (7ex
- 5
x
)dx
j) sin 2x
cos x
dx
l) 1
sin2 x cos2 x
dx
n) (3 sin2
x + 3 cos2
x)dx
Výsledky: a) 1
2
x6
+ C, b)- 1
3x3 + C, c) -2

x
3x2 + C, d)5
7
x7
- 2
5
x5
+ 3
2
x2
- x + C, e)
1
6
x6
- 5
23
x4 5

x3, f)4

x + 9 3

x - 4
7
x
4

x3 + C, g) ax + 3 sin x + C h) 7ex
- 5 ln |x| + C i)
-cotgx - x + C, j) -2 cos x + C, k) 2x - tgx + C, l)tgx - cotgx + C, m) 1
2
(x - sin x) + C,
n) 3x + C
4
Kapitola 2
Substituční metoda
Substituční metoda je založena na větě o substituci (viz. přednáška nebo [?]). V podstatě
jde o to, že nějakou funkci vyměníme za nějakou novou proměnou, např. funkci g(x) nahradíme
proměnou t, tj. t = g(x). V integrálu ovšem potřebujeme i vyměnit symbol dx
za symbol pro novou proměnou dt. Jakým způsobem? Pro derivaci funkce t = g(x) platí
(viz. debata o diferenciálu) dt
dx
= g (x) a tedy lze psát: dt = g (x)dx a tak nahradit dx
symbolem dt. Substituci je potřeba volit tak, aby ve výsledném integrálu byla pouze jen
jedna proměnná, nemůžeme zároveň ve výrazu mít t i x!!!
Samozřejmě, otázkou je, jak zvolit funkci g(x), kterou budeme substituovat, v následujících
příkladech ukážeme několik modelových situací, později se zaměříme na speciální
substituce pro některé typy funkcí.
Příklad 2. Vypočtěte následující integrály
a) (3x - 4)7
dx
b) e8x-1
dx
c) sin(3x + 1)dx
a) Zaveďme substituci t = 3x - 4, tedy dt
dx
= 3, tedy dx = dt
3
, dosadíme a můžeme
integrovat
(3x - 4)7
dx = t7 dt
3
=
1
3

t8
8
+ C =
1
24
(3x - 4)8
+ C
5
b) Substituce t = 8x - 1, dx = dt
8
. Po dosazení
e8x-1
dx = et dt
8
=
et
8
+ C =
1
8
e8x-1
+ C
c) Substituce t = 3x + 1, dx = dt
3
.
sin(3x + 1)dx = sin t
dt
3
= -
1
3
cos t + C = -
1
3
cos(3x + 1) + C
Poznámka. Použití substituce v těchto příkladech je ovšem jako ,,jít s kanónem na vrabce ,
všechny takovéto integrály se dají řešit v podstatě z hlavy, díky ,,pravidlu
f(ax + b)dx =
1
a
F(ax + b),
kde F je funkce primitivní k f (Pravidlo se dá odvodit díky substituci t = ax + b).
Příklad 3. Vypočtěte následující integrály
a) 1
3x+2
dx
b) x
x2+1
dx
c) tgxdx
a) Substituce t = 3x + 2, dt
dx
= 3, dx = dt
3
1
3x + 2
dx =
1
t
dt
3
=
1
3
1
t
dt =
1
3
ln |t| + C =
1
3
ln |3x + 2| + C
b) Substituce t = x2
+ 1, dt
dx
= 2x, dx = dt
2x
x
x2 + 1
dx =
x
t
dt
2x
=
1
2
1
t
dt =
1
2
ln t + C =
1
2
ln |x2
+ 1| + C
c) Upravíme na sin x
cos x
dx, substituce t = cos x, dt = - sin xdx, dx = - dt
sin x
tgxdx =
sin x
t
-
dt
sin x
= -
1
t
dt = - ln |t| + C = - ln | cos x| + C
6
Poznámka. I v těchto příkladech je užití substituce trochu zbytečné. Můžeme použít, že
f(x)
f(x)
dx = ln |f(x)| + C
a vhodné úpravy. Například x
x2+1
dx = 1
2
2x
x2+1
dx = 1
2
ln |x2
+ 1| + C.
Příklad 4. Vypočtěte:
a) sin 7xdx
c) 5k cos 8
3
xdx
e) (3x - 7)14
dx
g) 4
x-6
dx
i) cos x
sin x
dx
b) 3e-x
dx
d) 2e3x-1
dx
f) 1
4x2+1
dx
h) x
x2-1
dx
j) 4x3+1
x4+x
dx
Výsledky: a) -1
7
cos 7x + C, b)-3e-x
+ C, c)15
8
k sin 8
3
x + C, d)2
3
e3x-1
+ C, e) 1
5
(3x -
7)15
+ C, f) 1
2
arctg(2x + 1) + C, g)4 ln |x - 6| + C, h)1
2
ln |x2
- 1| + C, i) ln | sin x| + C, j)
ln |x4
+ x| + C
Příklad 5. Vypočtěte následující integrály
a) 10x(x2
+ 13)12
dx
b) ln2
x
x
dx
c) 4x
1-x4 dx
a) Substituce t = x2
+ 13, dt
dx
= 2x, dx = dt
2x
10x(x2
+ 13)12
dx = 10x  t12

dt
2x
= 5 t12
dt =
5
13
t13
+ C =
5
13
(x2
+ 13) + C
b) Substituce t = ln x, dt
dx
= 1
x
, dx = xdt
ln2
x
x
dx =
t2
x
xdt = t2
dt =
1
3
t3
+ C =
1
3
ln3
x + C
7
c) Substituce t = x2
, dt
dx
= 2x, dx = dt
2x
4x

1 - x4
dx =
4x

1 - t2

dt
2x
= 2
1

1 - t2
dt = 2 arcsin t + C = 2 arcsin x2
+ C
Poznámka. Někdy je najít vhodnou substituci velice snadné, stačí prostě substituovat ,,nepohodlný
výraz , někdy je to ovšem složitější a chce to trochu citu :-)
Poznámka. Často se vyskytuje tento integrál

1 - x2dx. K řešení vede substituce, která
ne každého napadne. Substituce x = sin t, dx = cos tdt, tedy

1 - x2dx = 1 - sin2
t cos tdt
= cos2
tdt = 1+cos 2t
2
= 1
2
(t + 1
2
sin 2t) = 1
2
(t + sin t cos t) = 1
2
(t + sin t 1 - sin2
t) =
1
2
(arcsin x + x

1 - x2) + C
Příklad 6. Vypočtěte následující integrály užitím vhodné substituce:
a) x(x2
- 1)10
dx
c) 3x 4

x2 + 5dx
e) 5xex2
dx
g) e2x

ex-1
dx
i) 1
x2 cos 1
x
dx
b) 8x2
(x3
+ 2)5
dx
d) 3x
(x2+4)3 dx
f) 7 ln4
x
x
dx
h) ecos 2x
 sin x cos xdx
j) x2

1-x2 dx
Výsledky: a) 1
22
(x2
-1)11
+C, b) 4
9
(x3
+2)6
+C c) 6
5
(x2
+5) 4

x2 + 5+C d) - 3
4(x2+4)2 +C
e) 5
2
ex2
+C f) 7
5
ln5
|x|+C g) 2
3

ex - 1(ex
+2) h) -1
4
ecos 2x
+C, i) - sin 1
x
+C, h) -1
4
ecos 2x
+C,
j) 1
2
arcsin x - 1
2
x

1 - x2 (užijte x = sin t)
8
Kapitola 3
Metoda per partes
Věta. Nechť funkce u(x) a v(x) mají v intervalu I spojité derivace. Potom platí:
u (x)v(x)dx = u(x)v(x) - u(x)v xdx
Ilustrujme užití na následující dvojici integrálů.
a) xex
dx, zvolme u = ex
a v = x, tedy u = ex
, v = 1, tedy
xex
dx = xex
- ex
dx = ex
(x - 1) + C
b) ex
cos xdx, zvolme u = ex
a v = cos x, tedy u = ex
, v = - sin x, tedy
ex
cos xdx = ex
cos x + ex
sin xdx.
Užijme metodu per partes ještě jednou, zvolme u = ex
a v = sin x, tedy u = ex
,
v = cos x, tedy
ex
cos xdx = ex
cos x + ex
sin x - ex
cos xdx
Dostali jsme stejný integrál jako na začátku, na celou rovnost se můžeme dívat jako
na rovnici a vyjádřit
ex
cos xdx =
1
2
ex
(cos x + sin x)
9
Příklad 7. Vypočtěte následující integrály užitím metody per partes, popř. kombinací
metody per partes a substituce:
a) x sin xdx
c) x2
ex
dx
e) (x3
+ x2
)ex
dx
g) sin(ln x)dx
i) x3
ex2
dx
b) ln xdx
d) x ln2
xdx
f) arctgxdx
h) 2x
sin 2xdx
j) x2
arccos xdx
Výsledky: a) -x cos x + sin x + C, b) x ln x - x + C, c) ex
(x2
- 2x + 2) + C, d)
x2
2
(ln2
x - ln x + 1
2
) + C, e) ex
(x3
- 2x2
+ 4x - 4) + C, f) xarctgx - 1
2
ln(1 + x2
) + C, g)
x
2
(sin(ln x) - cos(ln x) + C, h) -2x(2 cos 2x-ln 2 sin 2x)
ln2
2+4
+ C, i) 1
2
ex2
(x2
- 1) + C j) 1
3
x3
arccos x -
2
9

1 - x2 - 1
9
x2

1 - x2
10
Kapitola 4
Integrace racionálních lomených
funkcí
Omezme se na integraci ryze lomených funkcí (každou neryze lomenou na ně umíme převést
dělením na součet polynomu a ryze lomené funkce). Takovouto funkci umíme vždy
rozložit na parciální zlomky, přičemž zlomky, které se v rozkladu vyskytují jsou jednoho z
následujících typů:
1. a
x-x0
- zavedeme substituci t = x-x0, popř. vypočteme ,,z hlavy užitím f(x)
f(x)
dx =
ln |f(x)| + C
2. a
(x-x0)n - zavedeme substituci t = x - x0, popř užijeme f(ax + b)dx = 1
a
F(ax + b)
3. bx+c
(x-x0)2+a2 - upravíme čitatetele tak, abychom v něm dostali derivaci jmenovatele 
číslo, rozdělíme na dva zlomky, v prvním užijeme f(x)
f(x)
dx = ln |f(x)|, v druhém
vzorce
dx
(x - x0)2 + a2
=
1
a
arctg
x - x0
a
(x0  R, a > 0)
4. bx+c
((x-x0)2+a2)n - tento typ se v našich příkladech nevyskytne, návod, jak ho řešit, lze
nalézt v každé učebnici integrálního počtu.
Příklad 8. Vypočtěte následující integrály:
11
a) x2+2x+6
x(x-1)3 dx
b) x-1
x4+3x2+2
dx
c) 1
x3+1
dx
Tečky ve výpočtu značí rozklad na parciální zlomky.
a) x2+2x+6
x(x-1)3 dx = . . . = 9
(x-1)3 - 5
(x-1)2 + 6
x-1
- 6
x
dx = 9 1
(x-1)3 dx - 5 1
(x-1)2 dx +
6 1
x-1
dx - 6 1
x
dx = -9
2
1
(x-1)2 + 5 1
x-1
+ 6 ln |x - 1| - 6 ln |x| + C
b) x-1
x4+3x2+2
dx = . . . = x-1
x2+1
dx- x-1
x2+2
dx = 1
2
2x-2
x2+1
dx-1
2
2x-2
x2+2
dx = 1
2
2x
x2+1
dx - 2 1
x2+1
dx -
1
2
2x
x2+2
dx - 2 1
x2+2
dx = 1
2
ln |x2
+ 1| - arctgx - 1
2
ln |x2
+ 2| - 1
2
arctg x
2
+ C
c) 1
x3+1
dx = . . . = 1
3
1
x+1
dx - 1
3
x-2
x2-x+1
dx = 1
3
ln |x + 1| - 1
3
1
2
2x-4
x2-x+1
dx = 1
3
ln |x +
1|- 1
6
2x-1-3
x2-x+1
dx = 1
3
ln |x+1|- 1
6
2x-1
x2-x+1
-31
6
1
x2-x+1
dx = 1
3
ln |x+1|- 1
6
ln |x2
x
+ 1| - 1
2
1
(x-1
2
)2+3
4
dx = 1
3
ln |x + 1| - 1
6
ln |x2
- x + 1| - 1
2
2
3
arctg
x-1
2
3
2
= 1
3
ln |x +
1| - 1
6
ln |x2
- x + 1| -

3
3
arctg( 2
3
x - 1
3
) + C
Příklad 9. Vypočtěte následující integrály:
a) x4+6x2+x-2
x4-2x3 dx
c) x
x3-1
dx
e) x2+1
x3+2x2+2x
dx
b) 2x2-3x+3
(x-1)(x2-2x+3)
dx
d) 1
x4-1
dx
f) 4x2-8
(x-1)2(x2+1)
dx
Výsledky: a) x- 1
2x2 -3 ln |x|+5 ln |x-2|+C b) ln |x-1|+1
2
ln(x2
-2x+3)+ 1
2
arctgx-1
2
+
C c) 1
3
ln |x-1|- 1
6
ln(x2
+x+1)+ 1
3
arctg2x+1
3
+C d) 1
4
ln |x-1|- 1
4
ln |x+1|- 1
2
arctgx+C
e) 1
2
ln x+ 1
4
ln(x2
+2x+2)- 3
2
arctg(x+1)+C f) 2
x-1
+2 ln(x-1)-ln(x2
-1)+4arctgx+C
12
Kapitola 5
Integrály typu R( r

x)
Jedná se o integrály funkcí, které obsahují proměnnou x pod odmocninou. Volíme substituci
x = tn
, kde n je nejmenší společný násobek všech r, např. máme-li výraz
3
x
2
x- 3
x
, volíme
substituci x = t6
, protože 6 nejmenší společný násobek čísel 2 a 3. Taková substituce
převede hledaný integrál na integrál z racionální funkce.
Příklad 10. Vypočtěte následující integrály:
a)
3
x
x-1
dx
b)

x
3
x+1
dx
a) Zavedeme substituci x = t3
, dx
dt
= 3t2
, dx = 3t2
dt
3

x
x - 1
dx =
t
t3 - 1
3t2
dt = 3
t3
t3 - 1
dt
Daný integrál jsme převedli na integrál z racionální lomené funkce, který už umíme
řešit, výsledek je
3t + ln |t - 1| -
1
2
ln t2
+ t + 1 -

3arctg(
2t + 1

3
),
stačí se vrátit k proměnné x, t = 3

x.
b) Zavedeme substituci x = t6
, dx
dt
= 6t5
, dx = 6t5
dt

x
3

x + 1
dx =
t3
t2 + 1
6t5
dt = 6
t8
t2 + 1
dt
13
Mámě opět integrál z racionální lomené funkce, který vypočteme a dostaneme:
6(
t7
7
-
t5
5
+
t3
3
- t + arctgx) + C
a vrátíme se k proměnné x díky t = 6

x.
Příklad 11. Vypočtěte následující integrály:
a)

x
x-1
dx
c) x
3
x2- 3
x
dx
b)

x+1

x+x
dx
d)
3
x

x-1
dx
Výsledky:
a) 2

x + ln |

x - 1| - ln |

x + 1| + C
b) 2

x - 2 ln |

x + 1| + C
c) 3
4
6

x
2
+ x + 3
2
6

x
4
+ 3
6

x2 + 3 ln | 6

x - 1| + 3 ln | 6

x + 1| + C
d) 6
5
6

x
5
+ 3 3

x + 2 ln | 6

x - 1| - ln | 3

x + 6

x + 1| + 2

3arctg(2 6
x+1)

3
+ C
14
Kapitola 6
Integrály typu R(sin x, cos x)
Jedná se o integrály, které obsahují ,,siny a cosiny . Rozebereme pouze jeden typ a to
sinn
x cosm
xdx
Všechny takové integrály převedeme substitucí t = sin x nebo t = cos x na integrály polynomů
nebo racionálních lomených funkcí.
a) Je-li n liché a m sudé nebo nula volíme substituci t = cos x
b) Je-li m liché a n sudé nebo nula volíme substituci t = sin x
c) Jsou-li m i n lichá volíme substituci t = cos x nebo t = sin x
d) Jsou-li m i n sudá čísla nebo jedno z nich je nula, užijeme vzorce cos2
x = 1+cos x
2
(popř. sin2
x = 1-cos x
2
), čímž snížíme mocninu daného výrazu na polovinu a volíme
opět jednu z možností a) - d).
Příklad 12. Vypočtěte následující integrály:
a) sin2
x cos5
xdx
b) sin x
cos3 x
dx
15
a) Zavedeme substituci t = sin x, tedy dt
dx
= cos x, dx = dt
cos x
sin2
x cos5
xdx = t2
cos5
x dt
cos x
= t2
(cos2
x)2
dt = t2
(1 - sin2
x)2
dt = t2
(1 -
t2
)2
dt = t6
- 2t4
+ t2
dt = t7
7
- 2t5
5
+ t3
3
+ C = 1
7
sin6
x - 2
5
sin5
x + 1
3
sin3
x + C
b) Zavedeme např. substituci t = cos x, tedy dt
dx
= - sin x, dx = - dt
sin x
sin x
cos3 x
dx = - sin x
t3
dt
sin x
= - t3
dt = t4
4
+ C = 1
4
cos4
+C
Příklad 13. Vypočtěte následující integrály:
a) sin5
xdx
c) sin3
x cos3
xdx
b) sin3 x
cos2 x
dx
d) cos x
sin4 x
dx
Výsledky:
a) -cos5 x
5
+ 2 cos3 x
3
- cos x + C
b) cos x + 1
cos x
+ C
c) cos6 x
6
- cos4 x
4
+ C
d) - 1
3 sin3 x
+ C
16
Kapitola 7
Určitý integrál
Odvození toho, co to určitý integrál je, je možno nalézt v každé učebnici integrálního počtu.
Přistupme tedy rovnou k některým důležitým pravidlům.
b
a
(f(x) + g(x))dx =
b
a
f(x)dx +
b
a
g(x)dx
b
a
c  f(x)dx = c 
b
a
f(x)dx
b
a
f(x)dx =
c
a
f(x)dx +
b
c
g(x)dx, c  (a, b)
Věta (Newton - Leibnizova formule). Nechť funkce f(x) je spojitá v intervalu [a, b] a nechť
F(x) je primitivní k funkci f(x) v [a, b]. Potom platí
b
a
f(x) = F(b) - F(a).
Věta (o integraci per partes). Nechť funkce u(x), v(x) mají v intervalu [a, b] spojité derivace.
Potom platí
b
a
u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]b
a -
b
a
u(x)v (x)dx
Integrace metodou substituce probíhá jako při výpočtu neurčitého integrálu, jen je však
potřeba přepočítat i meze!!! Máme-li substituci x = f(t), dosadíme do ní staré meze za x,
vypočítáme t a to jsou nové meze.
17
Příklad 14. Vypočtěte následující integrály:
a)
3
1
(x2
+ 2x)dx
c)
e
1
x ln xdx
b)
2
1
x4-1
x2+1
dx
d)
2
1
x(2x2
- 1)
1
2 dx
Výsledky: a)162
3
b)4
3
c)1
4
e2
+ 1
4
d)7
6

7 - 1
6
7.1 Geometrické aplikace
Příklad 15. Vypočítejte obsah rovinného obrazce omezeného:
a) Funkcí f(x) = -x2
+ 2, osou x a
přímkami x = -1, x = 1
c) Funkcemi f(x) = x2
, g(x) = 4
e) Funkcemi f(x) = x2
, g(x) =

x
g) Funkcemi f(x) = 1
x
, g(x) =
4x, h(x) = 1
4
x
b) Funkcemi f(x) = x2
, g(x) = x2
+ 4
a přímkami x = -2, x = 2
d) Funkcemi f(x) = x2
- 2x +
3, g(x) = -2x2
+ 4x + 3
f) Funkcemi f(x) = 2
x
, g(x) = 3 - x
h) Funkcemi f(x) = x2
- 2x, g(x) =
x, h(x) = -x2
+ 2x + 6
Výsledky: a)10
3
b)16 c)32
3
d)4 e)1
3
f)3
2
- ln 4 g)ln 4 h)4
Příklad 16. Vypočítejte objem rotačního tělesa vzniklého rotací útvaru ohraničeného
křivkami (viz dále) kolem osy x:
a) y = x, y = 1
x
, y = 0, x = 2
c) y = x2
+ 3, x = -1, x = 1, y = 0
b) y = x2
, y = x
d) y = 1 - x2
, y = x2
Výsledky: a)5
6
 b) 2
15
 c)112
5
 d)2

2
3

Pro procvičení si též můžete odvodit všechny vzorečky známe vzorečky ze střední školy
pro objemy a povrchy koule, kužele, válce, komolého kužele, obvod kružnice atd.
18
Kapitola 8
Nevlastní integrál
Příklad 17. Vyšetřete následující integrály:
a)
1
0
x ln xdx
c)
1
-1
1
x2-1
dx
e)

0
e-x
sin xdx
b) 01 1
x
dx
d)

1
1
x4 dx
f)
1
-1
ln |x|dx
Výsledky: a)1
4
b)2 c)diverguje d)1
3
e)1
2
f)-2
19