MB102 ­ příklady na derivace
1. Derivujte a upravte:
a)
1 + x - x2
1 - x + x2
b)
x +

x + 3

x
c)
x 1 + x2
d)
3

x2 -
2

x
e)
(2 - x2
) cos x + 2x sin x
f)
[ex
(1 + cotg
x
2
)]
g)
ex
+ eex
+ eeex
h)
ln(x + x2 + 1)
i)
ln tg
x
2
j)
arctg
1 + x
1 - x
k)
e-x2
2. Vypočtěte druhé derivace:
a)
x ln x
b)
x[sin(ln x) + cos(ln x)]
1
c)
x

1 - x2
3. Vypočtěte limity:
a)
lim
x0
tg x - x
x - sin x
b)
lim
x0
x cotg x - 1
x2
c)
lim
x 
2
tg 3x
tg x
d)
lim
x1
xx
- x
ln x - x + 1
Řešení
1. a) 2(1-2x)
(1-x+x2)2 b) 1 + 1
2

x
+ 1
3
3
x2
c) 1+2x2

1+x2
d) 2
3 3

x
+ 1
x

x
e)x2
sin x f)
ex
(sin x-cos x)
2 sin2 x
2
g) ex
[1 + eex
(1 + eeex
)] h) 1
x2+1
i) 1
sin x j) 1
1+x2 k) -2xe-x2
2. a) 1
x b) -2
x sin(ln x) c) 3x
(1-x2)
5
2
3. a) 2 b) -1
3 c)1
3 d)-2
2