Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy MB104 ­ 2. demonstrovaná cvičení Algebraické struktury Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23.2. 2009 Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Řešení domácích úloh z minulého týdne 2 Návodné úlohy Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Rozhodněte o následujících množinách a operacích, jaké tvoří struktury (grupoid, pologrupa, grupa). Určete zda existují levé (pravé) neutrální prvky a zda ja daná operace komutativní. 1 Podmnožiny množiny přirozených čísel spolu s operací průnik, 2 přirozená čísla spolu s binární operací největší společný dělitel, 3 množina všech invertibilních matic 3 × 3 nad R spolu se sčítáním, 4 množina všech matic 3 × 3 nad R spolu s násobením matic, 5 množina všech matic 3 × 3 spolu se sčítáním matic, 6 množina všech invertibilních matic 3 × 3 nad Z2 s násobením matic, 7 množina (Z9, +), 8 množina (Z9, ), Svá tvrzení zdůvodněte (proč je něco např. pouze grupoid a není pologrupa . . . ). U posledního příkladu sestavte tabulku dané operace. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Pologrupa s neutrálním prvkem (monoid). Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Pologrupa s neutrálním prvkem (monoid). 2 Pologrupa. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Pologrupa s neutrálním prvkem (monoid). 2 Pologrupa. 3 Monoid. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Pologrupa s neutrálním prvkem (monoid). 2 Pologrupa. 3 Monoid. 4 Grupa. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Pologrupa s neutrálním prvkem (monoid). 2 Pologrupa. 3 Monoid. 4 Grupa. 5 Grupa. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Pologrupa s neutrálním prvkem (monoid). 2 Pologrupa. 3 Monoid. 4 Grupa. 5 Grupa. 6 Grupa. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Pologrupa s neutrálním prvkem (monoid). 2 Pologrupa. 3 Monoid. 4 Grupa. 5 Grupa. 6 Grupa. 7 Pologrupa. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Určete grupu rotačních všech symetrií krychle (popište všechny symetrie). Jsou tyto grupy komutativní? Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Rozložte na součin transpozic následující permutaci: = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 6 8 7 1 2 3 4 5 Spočtěte 2009. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Řešení domácích úloh z minulého týdne 2 Návodné úlohy Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Určete počet všech trojprvkových grupoidů (až na isomorfismus, tj. přejmenování prvků) Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Určete počet všech trojprvkových grupoidů (až na isomorfismus, tj. přejmenování prvků) Určete počet všech trojprvkových grup (až na isomorfismus, tj. přejmenování prvků) Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Nalezněte všechny podgrupy grupy symetrií tetraedru. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Eulerova funkce Pro dané přirozené číslo n udává počet čísel menších než n, která jsou s n nesoudělná. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Eulerova funkce Pro dané přirozené číslo n udává počet čísel menších než n, která jsou s n nesoudělná. Eulerova věta Pro libovolná nesoudělná kladná celá (a, m) platí a(m) 1 (mod m) Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Bezoutova rovnost. Pro libovolná celá čísla a, b existují celá čísla u, v taková, že au + bv = (a, b), kde (a, b) je největší společný dělitel čísel (a, b). Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Bezoutova rovnost. Pro libovolná celá čísla a, b existují celá čísla u, v taková, že au + bv = (a, b), kde (a, b) je největší společný dělitel čísel (a, b). Příklad Určete inverzi prvku 17 v grupě invertibilních prvků Z35. Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy RSA algoritmus.