Jméno a příjmení: Příklad číslo: 1 2 3 Počet bodů: Příklad 1. Martin a Honza chtějí komunikovat šifrou ElGamal navrženou podle protokolu pánu Diffieho a Hellmana. Domluvili se na cyklické grupě Z+ 37 a Martin si náhodně zvolil generátor grupy 5 a číslo 10 a zveřejnil trojici (Z37, 5, A), kde A 510 (mod 37). Honza mu pošle veřejně dvojici (17, 21). Jakou zprávu Honza poslal? Řešení. Zprávu spočteme jako Z 21/171 0 (mod 37). Spočtěme nejprve 171 0 = 172 (172 )2 (172 )2 (-7) (-7)2 (-7)2 (-7) 12 12 28 (mod 37), 28-1 4 (mod 37), tedy Z 4 21 10 (mod 37). 2 Příklad 2. Stanovte hodnotu parametru a R tak, aby funkce f(x) = 0 pro x 0 ax pro 0 < x < 3 0 pro x 3 zadávala hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Určete distribuční funkci, hustotu pravděpodobnosti a střední hodnotu rozdělení obsahu čtverce, jehož délka hrany je náhodná veličina s hustotou pravděpodobnosti danou funkcí f. Řešení. Jednoduše a = 2 9 . Distribuční funkce náhodné veličiny X je tedy FX(t) = 1 9 t2 pro t (0, 3), pro menší t je tato funkce nulová, pro větší rovna 1. Označme Z = X2 náhodnou veličinu označující obsah čtverce. Ten je v intervalu (0, 9), pro t (0, 9) a distribuční funkci FZ náhodné veličiny Z tedy můžeme psát FZ(t) = P[Z < t] = P[X2 < t] = P[X < t] = FX( t) = 1 9 t, hustota pravděpodobnosti je pak fZ(t) = 1 9 na intervalu (0, 9), jinak nula, jedná se tedy o rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti na daném intervalu, střední hodnota je tudíž 4, 5. 2 Příklad 3. Pomocí přiložené tabulky distribuční funkce standardního normálního rozdělení určete pravděpodobnost, že při 3600 hodech mincí bude rozdíl mezi počtem padlých hlav a orlů nejvýše 66. Standard Normal Distribution Table 0 z z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359 0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753 0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141 0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517 0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879 0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224 0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549 0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852 0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133 0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389 1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621 1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830 1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015 1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177 1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319 1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441 1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545 1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633 1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706 1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817 2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857 2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890 2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916 2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936 2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952 2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964 2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974 2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981 2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986 3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990 3.1 .4990 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4992 .4992 .4993 .4993 3.2 .4993 .4993 .4994 .4994 .4994 .4994 .4994 .4995 .4995 .4995 3.3 .4995 .4995 .4995 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4997 3.4 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4998 3.5 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 Gilles Cazelais. Typeset with LATEX on April 20, 2006. Řešení. Označíme-li jako X náhodnou veličinu udávající počet padlých hlav, tak X má binomické rozložení pravděpodobnosti Bi(3600, 1/2) (se střední hodnotou 1800 a směrodatnou odchylkou 30) a tudíž lze distribuční funkci veličiny X-1800 30 lze pro dané velké n = 1600 podle Moivreovy-Laplaceovy věty velmi dobře odhadnout jako distribuční funkci standardního normálního rozdělení. Hledaná pravděpodobnost je tedy P[1767 X 1833] = P[-1, 1 X - 1800 30 1, 1] = (1, 1) - (-1, 1) = 0, 7498, kde poslední hodnotu jsme zjistili z přiložené tabulky. 2