Sada domácích úloh k přednášce Matematika IV
k odevzdání v týdnu 16. ­ 20. února 2009
Příklad 1. Rozhodněte o následujících množinách a operacích, jaké tvoří struktury (grupoid, pologrupa,
grupa). Určete zda existují levé (pravé) neutrální prvky a zda ja daná operace komutativní.
1. Podmnožiny množiny přirozených čísel spolu s operací průnik,
2. přirozená čísla spolu s binární operací největší společný dělitel,
3. množina všech invertibilních matic 3 × 3 nad R spolu se sčítáním,
4. množina všech matic 3 × 3 nad R spolu s násobením matic,
5. množina všech matic 3 × 3 spolu se sčítáním matic,
6. množina všech invertibilních matic 3 × 3 nad Z2 s násobením matic,
7. množina (Z9, +),
8. množina (Z9, ),
Svá tvrzení zdůvodněte (proč je něco např. pouze grupoid a není pologrupa . . . ). U posledního
příkladu sestavte tabulku dané operace.
Příklad 2. Určete grupu
* rotačních
* všech
symetrií krychle (popište všechny symetrie). Jsou tyto grupy komutativní?
Příklad 3. Rozložte na součin transpozic následující permutaci:
 =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 6 8 7 1 2 3 4 5
Spočtěte 2009
.