Vzorečky ke 13. sadě
Výpočet simultánní hustoty. Následuje důkaz toho, že simultánní hustotu vektoru, jehož složky jsou nezávislé, lze počítat jako součin marginálních hustot. Pro nezávislé náhodné veličiny X, Y s hustotami pravděpodobnosti ípx,fY a distribučními funkcemi $x, $>y je simultánní distribuční funkce $ náhodného vektoru (X, Y) rovna součinu
$(x,y) = <&x{x) -$y(ž/). Vztah mezi hustotou a distribuční funkcí:
<Px{x) = -k—{x),
dy
(Simultánní) hustotu ip náhodného vektoru spočítáme jako druhou parciální derivaci $ podle proměnných x, y (nezáleží na pořadí, v jakém derivujeme):
82<í>              8  (d{$x •$
Y
^y) = ^oyWtí) = s; {—dy—(x'y)
'        X(x)-<í>Y(y)+<í>x(x)-—^(y) )=*
8   \   8                                         8
protože $x je konstanta vzhledem k y, je ^^-(x) = 0, takže
přičemž ^§^-{y) (to je rovno hustotě (fy) je vůči proměnné x konstantní, takže £^(^=0 a proto
8<Š>X/  ,    9<Í>y
** =
(» • -TT-(y) = vx{x) ■ ipv{y)-
8X                8y
Tím jsme dokázali, že opravdu je možné spočítat hustotu pravděpodobnosti vektoru (X,Y) (simultánní hustotu) pro nezávislé náhodné veličiny X,Y jako součin hustot X &Y.
Testování hypotéz.    Vzorečky jsou v listech nascanovaných z knihy Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (M. Budíková a kol.) v souboru matikalVstatistika!^-hypotézy.zip ve studijních materiálech, zejména na straně 73, když se tam objeví neznámý symbol (např. S2), najdete jeho definici na předchozích stranách.
mi_« znamená z(a) u normálního rozdělení, í(n — l)i_« u Studentova rozdělení se stupněm volnosti n — 1.
1
Příklad na testování hypotéz. Na základě statistik pěti slimáků (12, 20, 13, 15) a čtyř plzáků (60, 65, 63, 56) otestujte na desetiprocentní hladině hypotézu, že dvojnásobek průměrného počtu okousaných kedluben od slimáka v řádné sezóně se liší od poloviny průměrného počtu okousaných kedluben od plzáka. Použité statistiky jsou obě ze stejného zdroje (takže neznáme sice rozptyly, ale považujeme je za stejné).
Řešení: Označme počet okousaných kedluben od slimáka X\ a od plzáka X2 (střední hodnoty těchto veličin jsou označeny /x^ a /X2).
Statistiky pěti slimáků (12, 20, 13, 15) a čtyř plzáků (60, 65, 63, 56), takže ni = 5 a n-2 = 4.
h(ů) = ci/xi + c2/íí2 = 2/.Í1 - \p-2-
Hypotéza zní: 2/xi — \\i2 7^ 0 ?
Použijeme vzorečky ze str. 73 a str. 74 ze scanů (případ 13.4 b)).
Dál je dobré pročíst návod na str. 81 a str. 82.
(Budeme hledat (100 — 10)% interval spolehlivosti pro 2/xi — \\ii a ptát se, zda obsahuje nulu.)
TO BE CONTINUED V NEDĚLI ODPOLEDNE
2