7.sada domácích úloh k přednášce Matematika I
k odevzdání v týdnu 12. dubna 2010
Příklad 1. Uvažujme reálný vektorový prostor reálných funkcí f : R  R.
Určete, zda jsou v něm následující množiny funkcí lineárně závislé či nezávislé:
1. sin(x), cos(x), 1;
2. sin2
(x), cos2
(x), cos(2x);
3. 1 + x, 1 + x2
, x + x2
+ x3
, x + 1
2 x3
.
Příklad 2.
1. Určete dimenzi a alespoň dvě různé báze vektorového prostoru čtvercových
antisymetrických (AT
= -A) matic 3 × 3 nad reálnými čísly.
2. Uvažujme komplexní čísla jako vektorový prostor nad reálnými čísly, sčítání
vektorů je sčítáním komplexních čísel. Ukažte, že čísla 2 + i a 1 - i
tvoří bázi tohoto vektorového prostoru a napište souřadnice čísla 4 + i v
této bázi.
Příklad 3. Napište matici zobrazení zrcadlení podle roviny procházející počátkem
a kolmé na vektor (-1, 0, 1).
1