Vektorové prostory Generátory Souřadnice a lineární zobrazení
Drsná matematika I ­ 7. Praktická přednáška
A znovu vektory složitěji
Jan Slovák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
7. 11. 2007
Vektorové prostory Generátory Souřadnice a lineární zobrazení
Obsah přednášky
1 Vektorové prostory
2 Generátory
3 Souřadnice a lineární zobrazení
Vektorové prostory Generátory Souřadnice a lineární zobrazení
Plán přednášky
1 Vektorové prostory
2 Generátory
3 Souřadnice a lineární zobrazení
Vektorové prostory Generátory Souřadnice a lineární zobrazení
Vektorový prostor V nad polem skalárů K je množina s operací
sčítání, pro kterou platí axiomy komutativní grupy, a násobení
skaláry takové, že platí
a  (v + w) = a  v + a  w (V1)
(a + b)  v = a  v + b  v (V2)
a  (b  v) = (a  b)  v (V3)
1  v = v (V4)
Příklad 1. Rozhodněte o následujících množinách, jestli jsou
vektorovými prostory nad tělesem reálných čísel:
1 Množina řešení systému lineárních rovnic.
2 Množina řešení homogenní diferenční rovnice.
3 Množina řešení nehomogenní diferenční rovnice.
4 {f : R  R|f (x) = c, c  R}
Vektorové prostory Generátory Souřadnice a lineární zobrazení
Plán přednášky
1 Vektorové prostory
2 Generátory
3 Souřadnice a lineární zobrazení
Vektorové prostory Generátory Souřadnice a lineární zobrazení
Výrazy tvaru a1  v1 +    + ak  vk nazýváme lineární kombinace
vektorů v1, . . . , vk  V .
Vektorové prostory Generátory Souřadnice a lineární zobrazení
Výrazy tvaru a1  v1 +    + ak  vk nazýváme lineární kombinace
vektorů v1, . . . , vk  V .
Množina vektorů M  V ve vektorovém prostoru V nad K se
nazývá lineárně nezávislá jestliže pro každou k-tici vektorů
v1, . . . , vk  M a každé skaláry a1, . . . , ak  K platí:
a1  v1 +    + ak  vk = 0 = a1 = a2 =    = ak = 0.
Vektorové prostory Generátory Souřadnice a lineární zobrazení
Výrazy tvaru a1  v1 +    + ak  vk nazýváme lineární kombinace
vektorů v1, . . . , vk  V .
Množina vektorů M  V ve vektorovém prostoru V nad K se
nazývá lineárně nezávislá jestliže pro každou k-tici vektorů
v1, . . . , vk  M a každé skaláry a1, . . . , ak  K platí:
a1  v1 +    + ak  vk = 0 = a1 = a2 =    = ak = 0.
Posloupnost vektorů v1, . . . , vk nazveme lineárně nezávislou jestliže
v1, . . . , vk jsou po dvou různé a {v1, . . . , vk} je lineárně nezávislá.
Vektorové prostory Generátory Souřadnice a lineární zobrazení
Příklad 2.
Ujasněte si, jak vypadají báze následujcích prostorů:
(1) Kn má (jako vektorový prostor nad K) dimenzi n. V případě
konečného pole skalárů, např. Zk, má celý vektorový prostor Kn
jen konečný počet prvků. Kolik?
(2) C jako vektorový prostor nad R.
(3) Km[x], tj. prostor polynomů stupně nejvýše m, má dimenzi
m + 1. Vektorový prostor všech polynomů K[x]?
(4) Vektorový prostor R nad Q?
(5) Vektorový prostor všech zobrazení f : R  R.
Příklad 3. Určete všechny konstanty a  R takové, aby polynomy
ax2 + x + 2, -2x2 + ax + 3 a x2 + 2x + a byly lineárně závislé (ve
vektorovém prostoru polynomů jedné proměnné stupně nejvýše 3
nad reálnými čísly).
Vektorové prostory Generátory Souřadnice a lineární zobrazení
Nechť Vi , i  I, jsou podprostory ve V . Pak podprostor
generovaný jejich sjednocením, tj. iI Vi , nazýváme součtem
podprostorů Vi . Značíme iI Vi . Zejména pro V1, . . . , Vk  V ,
V1 +    + Vk = V1  V2      Vk .
Příklad 4. Najděte nějakou bázi součtu nebo průniku dvou
podprostorů V1 a V2 v R3. Zadejte přitom podprostory buď
pomocí rovnic nebo pomocí generátorů.
Vektorové prostory Generátory Souřadnice a lineární zobrazení
Plán přednášky
1 Vektorové prostory
2 Generátory
3 Souřadnice a lineární zobrazení
Vektorové prostory Generátory Souřadnice a lineární zobrazení
Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K.
Zobrazení f : V  W se nazývá lineární zobrazení
(homomorfismus) jestliže platí:
1 f (u + v) = f (u) + f (v), u, v  V
2 f (a  u) = a  f (u), a  K, u  V .
Příklad 5. Zvolte si báze v K3 a naučte se převádět mezi nimi
souřadnice.
Příklad 6. Je dáno lineární zobrazení R3  R3 ve standardní bázi
následujicí maticí: 

1 -1 0
0 1 1
2 0 0

 .
Napište matici tohoto zobrazení v bázi
f1 = (1, 1, 0)
f2 = (-1, 1, 1)
f3 = (2, 0, 1).