81 Vypočítejte a proveďte zkoušku:
r2
a)   /(x3 + x2 - 2x) dx                         l)   f^7=dx
b)   /(3x + 5)dx                                 m)   jxs/x(l + -^=)dx
c)   J(2x-3 - x-*) dx                          n) j{±= +2)^dx
d)   /(ii + 3x~j) da;                           o) / ýx(2x - s/x) dx
e) /(? ~ éddx            p) -í(x2+1){x2 -3) da:
f)  J(W*+-g*)te                 q)   /(v^-l)(v^+l)d.T
g)    / —j= dx                                     r)   f(x2 — 2x) : x da; h)  /x2(x-2)dx                         s)    fXÍ~1^y^dx
i) /{x2+4x)2dx                               t)   (X{<^~X) dx
J       </£
j) /(l + 2x)3dx                                 u)   /tar~1)ada;
J      Vi
k) /5x2x/xdx 82 Vypočítejte a proveďte zkoušku:
■(Vi-1)2

X
\Ví+3
dx
dx
x
\   /'      1      ,,                  m   ľ^+Sx,                  .,   /"(z + 1)3
C)Í5xT^d"       í] }^áx       ^ }-x^ÚX
83 Vypočítejte:
-2-4J                   „    /-x3-8,                    4    /x2 -5x + 6
s-3
r4  _   1                                     f    ^ _  1                                     /" 0^.2 _i_ ^ _ g
3
%/x3 + 1  ,                 „    /■ x2 — 4x + 4
4x3 - 2x4
" /^d*      * /£í*      8> /
íi2 + i                      iví-i                    y  2x-
O    /^dx             f)   /^±Idx           1)    /"
y a; + i                 ; y vi+i               ; y
dx dx dx
84 Vypočítejte:
*x3+2x2-10x
dx
.    [xl + Zx + 7 ,            .     /■x3+2x2-10x  ,          ,    f
a)i  x+2 áx      c)y   x-2   da:    e)ií
[x2 + 2x J                        /-x3+3x,                        /4x2-3J
vj-^rd*       á)J-^rdx       f)/^xTTdx
85 Vypočítejte a proveďte	zkoušku:			
a)   /(sinx — 2 cos r) dx b)   / sin 2x dx c)   J cos4x dx d)   J 3siiiG.r dx e)    f cos (3x + 1) dx f)   /(cos3x+l)dx		g) /(cos3x + 3x+l)dx h)   f(3cos3x + l)dx i) /sin (f + f)dx j)   f (sin ^ + í)d.r k) / f ■ sin f dx 1) /(sinf+f)dx		
86 Vypočítejte a proveďte	zkoušku:			
a)   f (sin" .i: + cos'" .1) dx		g)	,/  1 + cos 2x	
b)   f (sin  x — cos2 x) dx		h)	/  cos2x  d, J   i'OS.í" - Slll X	
c) /(cos-2 x + sin-" x) dx		0	f    COS2	ľ   .,,.
			./1+ SIM :)'	
di í( 2      M d	.r	j)	f   cos2 2x    . / ň------^r~ d-,ľ 7 1 + sni 2x	
./ v sin x     oas* x J				
e) /tg2 3 da;		k i	/(.,-	-      '..   )dx COS' x /
f) / cotg2 x dx		1)	y(cotg;	Jx + -V)dx Slll   x /
87 Vypočítejte a proveďte	zkoušku:			
a) / sin  f dx	C)  / cos- f dx			e) /sin 5xdx
b) / sin2 x dx	d} J cos2 x dx			f) / cos2 6:1: dx
88 Vypočítejte:				
*)   /l + x3da;	ľ    cos x / 2 +srn .r		dx	r) /tgxdx
b)   /-------7dx y 1 + x3	,/ľ	sin .c — cos x	d.r	h)   / cotgxdx
r)    /'   ^    dx	" h	COS x sin x —	dx 1	i)   ftgžxdx
'  ./ l+.r:l				
89 Vypočítejte a provedte	zkoušku:			
a)   / 2x(.r2 + 4)r> dx                             g)   f.iV2.r2-8dx
b)   /3x(x2 -l)rid.c                             h)  / ./ä + 2.r dx
c)   /x2(4 + x3)"dx                              i)  /2x(x2 + 3)-*dx
/■       -í'2                                                                        ľ      ■'■-
d)    /----------rr il.r                              j)    /   .,,         =dx
'   J  (l+4;ri)3                                       -U   J   x/r'1 + 1Ü
e)   /x(2x2-l)ídx                            k)   /cosx(sinx+7)2dx
í)  /.r2\y.r3-2dx                               1)    /sin:r,/cos.ľ+-dx
90  Vypočítejte a proveďte zkoušku:
a)   /a; sin a: da;                 e) /e1 sin a; da;                 i) f x2 sin x da;
b)   J x cos x dx                 f) J e* cos a; da;                j) /x2exdx
c)  Jxexdx                      g) /sinx-cosxdx         k) f xe2x dx
d)   flnxdx                     h) Jxlnxdx                   1) j^dx
91   Určete funkci / tak, aby platilo:
a) f (x) = x2 + 2 A /(l) =3       b) /"(x) = x-3A /(O) = 1 A /(2) = 3
19.15 Určitý integrál
92  Vypočítejte: r4     i_                           -\   rfj—J.                     :\   r3
&) £xáx                       e) J05 sin x da;                  i) J_3 v/2* + 10 da;
b)  /f 8 (2a: - 5) da;            f) /* cos X dx                  j) £, e* dx
c)  /XV + 2») d*        S) / ^j <**         k) £ I dx
5
dx
2 x—Ti                          ^_i  1.1- + 5
- »a
93   Určete hodnotu parametru c G R tak, aby pro funkci g(x) = x2 + c platilo /03í/(x)dx = 15.
94  Určete hodnoty parametru a, b € R tak, aby pro funkci f (x) = ax2 + b platilo Jg f (x) dx = 2 A /23 f (x) dx = 20.
95   Určete hodnoty a, b, c e R tak, aby pro funkci f (x) = ax2 + bx + c platilo /'(-l) = "7 A /(O) + /"(O) = 5 A Jj /(x) dx = f.
96  Určete hodnoty parametru a, 6 € R tak, aby pro funkci /i(x) = a^/x + b platilo h' (4) = i A /04 /i(x) dx = &.
97  Určete hodnotu parametru a € R tak, aby pro funkci f (x) = a sin 2x platilo:
a) f*f(x)dx = l                               b) /05/(x)dx = 4
98  Určete hodnoty a, b 6 R tak, aby pro funkci g (x) = a sin x + b cos x platilo j^í7(x)dx = v^A./|í7(x)dx = 3.
99  Určete hodnoty a, b e R tak, aby platilo b - a = 3 A Jn x2 dx = 21.
19.16 Obsah rovinného obrazce
100 Nakreslete rovinný obrazec, který omezuje osa x a graf funkce y — f (x), přičemž x G (a; b). Potom vypočítejte jeho obsah.
a)  y = x2 A x e (0; 2)                         e) y = sin x A a: € (0; ä)
b)  y = -x2 + 2 A x e (-1; 1)             f) y = sinx + cosx A x € (0; |)
c)  y = yí" A (0;4)                              g) y = e1 - 1 A x 6 (0; 1)
d)  y= i Ax6(|;5)                         h) 2/ = lnxAx€ (l;e)
x
101   Nakreslete rovinný obrazec, který omezuje daná parabola a osa x. Potom vypočítejte jeho obsah.
a)  y = -x2 +4                                   c) y = -x2 - x + 2
b)   y - 2x2 - 4x                                  d) y = 2x'2 + 2x - 4
102  Nakreslete rovinný obrazec, který je omezen grafy funkcí f a. g v daném intervalu (a; b). Potom vypočítejte jeho obsah.
a) /(x) = x2, g{x) = x2 + 4 A x £ (-2; 2) °) f(x) = sinx, g(x) = sinx + 1 A x £ (0;k>
103  Nakreslete rovinný obrazec, který je omezen grafy funkcí / a g. Potom vypočítejte jeho obsah.
a)   /i (x) = x2, gx (x) = 5x - 6                 g) f7(x) = x2 - 2x + 3,
g7(x) = -2x2+4x + 3
b)   /2(x) = x2, g2(x) = 4                          h) /8(x) = 2x2 + 3,
08 (x) = -x2 + 2x- 1
<0   /*(») = X2 - 1, 03(x) = X + 1              i)   /g(X) = X2, 09(x) = v/X
d)   /„(x) = -x2 + 5, g,i(x) = x + 3          j) /10(x) = v/i, £/10(x) = 0,5x
e)   /5(x) = x2 + 2, g5(x) = 2x2 - 2         k) /u(x) = -, gn(x) =3-3
f)   /c(x) = x2 + 2x, g,(x) = -x2 - 2x     1) /12(x) = -x2 + 5, gl2(x) = 4
x-'
104  Nakreslete grafy funkcí f s. g. Vypočítejte souřadnice xlt x2 průsečíků daných grafu v intervalu (0; 2rc). Vyšrafujte rovinný obrazec, který funkce /(x), g(x) pro x € faux?) omezují. Vypočítejte jeho obsah.
a)   fi(x) — sinx, 0i (x) = cosx           c) /3(x) = 2sin x, 03(x) = sin2x
b)   Mx) = sin:,;. í?2(x) = -                d) /„(x) = tgx, 04(x) = sinx
105  Vypočítejte obsah rovinného obrazce omezeného grafem funkce y = f (x) a osou x v daném intervalu. Načrtněte obrázek.
a) /(x) = x3 - x A x 6 (-1; 1)          b) /(x) = x* - 4x2 A x S (-2; 2)
106  Vypočítejte obsah rovinného obrazce, který je omezen grafy funkcí y = f (x) a y — 0(x). Načrtnete obrázek.
a) f (x) = x3, 0(x) = x                       b) f (x) = x3 - 4x, 0(x) = -3x
107  Nakreslete rovinný obrazec, který omezují grafy daných tří funkcí v uvedeném definičním oboru. Potom vypočítejte jeho obsah.
a)   /(x) = -x2 + 5, 0(x) = 5, h(x) = 3x +1, £>(/) = D(g) = D{h) = R
b)   /(x) = i 0(x) = 4x, /i(x) = ix, D(f) = D(g) = D{h) = R+
c)   f (x) = x2 - 2x, 0(x) = x, h(x) = -x2 + 2x + 6, D(f) = D(g) = D{h) = = Rô
108  Nakreslete rovinný obrazec, který omezují dvě křivky dané rovnicemi y2 = 4x — 4, y2 = 8x — 16. Vypočítejte jeho obsah.
109  Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, který je omezen přímkami 7/1 = x, 02 = -x, yz = 3x - 4 dvěma způsoby:
a) pomocí integrálního počtu            b) pomocí analytické geometrie
Řešení:
81 a)  !*<+ £s3-x2 + c;	w	Ixl _ p + p.	0]	§*'■#*--ft*, v*? + c;
b)  §x2 + 5x + c;	i)	|is + 2x" + ^x3 + c;	P)	iI5_|I3_3a:+c.
c)  -x"2 + ix"3 + c;	j)	x + 3x2 + 4a:3 + 2xA + c;	q]	j x2 — x + c;
d) |»Í+|ieÍ+c;	k)	fafl-y/Z+c;	r)	i x2 — 2x + c;
e)     i^  +  ^+c;	1)	f x2 ■ ,/x + c;	s]	ia-S 4. _1_ _     2     4. c-
f) ^xv^+f^ + c;	m)	|x2 • <Jx + 5x + c;	t;	jx • vV — ~x2 • t/x + c;
g)  |\/5x + c;	n)	____L_ _ 2+c.	u	lx2Jx- %X^X + 2y/x+C.
82 a) 4x + In|x] + c;	rf)	£ln|x + j| +c;	g)	x — 4\Z5 + ln|x| + c;
b) lnjx + 1| -t- c;	e)	-§In|3x- l| + c;	h)	6- vVx + 31n|x| + c;
c) ilnja+fij + q	f)	±x2 + 3]n]x| + c;	ľ	Ax2 + 3x + 31n|xl -j + C.
83 a)  ±x2 - 2x + c;	d)	|x3 + x2 + 4a; + c;	n)	±x2-2x + c;
b)  |x3 — x + c;	e)	\x^/x + x + c;	il	5X2 +2x + c;
c)  íx3 - Ar2 + x + c;	0	ia;2 — | x./x + x + c;	i	S - 3JT + c
84  a)
b) c)
85  a) b) c) d)
86  a) b) c) d)
87  a) b)
88  a) b) c)
89  a) b) c) d)
90  a) b) c) d)
91   a)
±x2+3x + ln|x + 2| + c; ±x2 + 3x + 3ln|x- 1| + c; |x3 + 2x2 - 2x - 4 In |x - 2|
— cosx — 2sin x + c;           e
_£2|2E+C.                         f
i sin 4x + c;                         g
— |cos6x + c;                     li x + c;                                    e
— ^sin2x + c;                      f tgx — cotgx + c;                 g —2 cotg x — 3 tg x + c;        h ix-sifJL+c;                     e f x - Ö^S + e;                  d
lnjl + x3| + c;
^lntl + x3| + c;
§ln|l + x3| + c;                  f
±(x2 + 4)6 + c;                   e
^(«3-lf + c;                  f
íL(4 + x3)5+c;                 g
-^(l+^3)~2 + c;          h
sinx — xcosx + c;               e
cosx + xsinx + c;               f
é*(x- l) + c;                      g
ilni-i + q                      h
/(*) =   |x3+2x + |;        b
d)   £x3 - ±x2+4x-4ln|a:+l| + c
e)   ±x3 - a:2 + 4x - 8 In \x + 2| + e;
f)   x2 -x-ln|x + 5I + C.
+ c;
±sin(3x+l) + c;
i sin3x + x + c;
|sin3x + §x2 + x + c; ain3x -f- x + c;
tgx — x + c; — cotgx — x + c; I tg x + c; sinx — cosx + c; £x + S§Š + c;
IjB.+ ^E+c;
In |2 -f sinx| + c; In |1 — cosx| + c; i In ]2sinx — 1| + c;
l(2x2-I)Ž+c; i.?y(x3-2)'*+c;
£v/(o + 2x)3 + c;
^-(sinx — cosx) + c; ^-(sina; -f cosx) + c; s sin2 x + c; x2(i^-i) + c; /(x)=|x3-§x2 + fx + l.
-2 cos (f + *) + c; -2 cos I + jx + c; — 5 cos I + c; ^x+Ix2 + c.
x + cosx + c; x + i cos 2x + c; —x + c; —2 cotg a; — x + c.
rtltl lOx
|X + *#■ + c,
2*        ao
— In I cosx| + c; In I sin xj + c;
— i In I cos2x| + c.
2v'x2 + 3 + c;
i- í/(x3 + 10)2+c; !(sini + 7)3 +c; -|y'(cOsX+S)3+(:.
2xsini — (x2 — 2)cosx + c; e^x2 -2a;+ 2) +c; ^(2x-l) + c; \ In2 x + c.
19.15 Určitý integrál
92 a) 6;    b) -30;    c) 16|;    d) 21; k) Ln2;    l) In v/5.        93 c = 2. 96 a - 2 A6= 1.        97 a) o = 1;
99 (o = -4 A 6 = -1) V (o = 1 A h
6)1;    f)0;    E)Í;    h) In v^;    i) lSf;    i)e=-A; 94 a = 3 A i = 1.        9Sa=2Al = -3Ac = l.
b) a = 4.        98 a = 1 A b = -2. = 4).
19.16 Obsah rovinného obrazce
100  a) f;    b) f;    c) ^;    d) In 10 = 2.30;
101   a) f;    b) f;    c) 4^;    d) 9.        102 a) 16;    b) r,
4)4$;    e)f;    f) f;    g) 4;    h) 0;    i) i;   j) |;    k) f-ln4 = 0,11;    1) |
'2'      w/    3 »      '/   3>      &^   "i      "J "i      '/   3
104 a) 2v/2;    b) V?-|lt=B,€8;    c) 8;    d) 0 b) i.        107 a) A;    b))n4 = l,39;    c) 4
e) 2;    f) 2;    g) e - 2 = 0,72;    h) 1.
103 a) I;    b) f;    c) 4±; _ _ i n ^ -
3'
105
108 Iv/Š.
b) ^.        106 a) |;
109 2,