Nerovnosti
Cauchyho—Schwartzova—Buňakovského nerovnost
Necht' X1 , X2 jsou náhodné veličiny. Jestliže existují jejich střední hodnoty a rozptyly, pak |C (Xi,X2)| ^D(XiVD(X2), tj. |R(Xi ,X2)| < 1
Markovova nerovnost
Jestliže je P(X > 0) = 1 a E(X) existuje, pak pro vsechna e > 0 platí
P(X > eE(X)) <
1
1. Necht' X je nezáporná náhodná veličina, E(X) = č.
(a) Jesliže rozložení nahodne veliciny X neznáme, odhadnete P(X > 3á)
(b) Jestlize X ~ Ex(1/á), vypoctete P(X > 3á)
[< 1/3] [0, 04979]
2. Stredná hodnota poctu slunecnách dnu behem roku v jiste oblasti je 90. Odhadnete pravdepodobnost toho, ze v teto oblasti bude behem roku maximalne 240 slunecnách dnu. [> 0.625]
Cebysevova nerovnost
Jestlize existujá E(X) a D(X), pak pro kazde t > 0 platá:
P(|X - E(X)|> t) <
t2
3. Necht' X je nezáporna náhodná velicina se stredná hodnotou /t a rozptylem ct2.
(a) Kdyz neznate jejá rozlozená, odhadnete pravdepodobnost P(|X — /| > 3<t). [< 1/9]
(b) Má-li X normálná rozdelená, tedy X ~ Na2), vypoctete pravdepodobnost P(|X — /x| > 3ct). [0.0027]
4. Zasilka obsahuje 3000 várobku urciteho typu. Je znamo, ze pravdepodobnost zhotovená vadneho vyárobku tohoto typu je 0,04.
(a) Odhadnete pravdepodobnost, ze absolutná odchylka podálu vadnách várobku v zasilce a pravdepodobnosti vyrobení vadneho várobku bude mensí nez 1 %. [> 0, 872]
(b) Jak se zmení vásledek, jestlize pravdepodobnost vyrobení zmetku bude 0,004 a jestlize zasilka bude obsahovat 30000 výrobku? [> 0,9987]
5. Odhadnete pravdepodobnost s jakou bude pocet sestek, ktere padnou na idealní kostce v 1000 nezaávisláych hodech, lezet v mezáích od 147 do 186. [> 0, 6528]
Pokud se příklad počítá pomocí Moivre-Laplaceovy věty (níže), tak vyjde P(147 < X < 186) =
0, 904
e
1
Zákon velkých čísel a centrální limintí věty
Konvergence náhodných veličin
Necht' X^X2,... je posloupnost náhodných veličin s distribučními funkcemi Fi(xi), F2(x2),... a X náhodná veličina s distribuční funkcí F (x). Necht' jsou vsechny tyto veliciny definovány na temže pravdepodobnostním prostoru (Q, A, P). Rekneme, že posloupnost X1, X2,... konverguje k X
(a) jiste, prave když pro vsechna w G Q platí
lim Xn(w) = X(w)
n—oo
(b) podle pravdepodobnosti, prave když pro vsechna e > 0 platí
lim P(|Xra - X| > e) = 0
r—o
(c) v distribuci (podle rozložení), príve když pro vsechna x G R platí
lim Fn(x) = F (x)
r—o
v každem bode spojitosti funkce F (x). Slabý zákon velkých čísel
CebýSevova vetá: Necht' X1,X2,... jsou nekorelovane níhodne veliciny jejichž strední hodnoty splňují vžtah
lim 1 V E(Xi) = // n—oo n z—' i=1
a rožptyly jsou shora ohranicene tímž císlem č. Pak posloupnost aritmetickích prumeru
1 A„       1 n
{Xl,        Xi,...n$^Xi,... }
2 z^---n. 1
konverguje podle pravdepodobnosti k císlu //.
Bernoulliova vetá: Necht' je dína nahodna velicina Yn ~ Bi(n, pak posloupnost relativních cetností
{Yb 2        n } konverguje podle pravdepodobnosti k parametru
Centrální limitní věta a její důsledky
Lindebergova—Lévyova centrální limitní věta: Nechť Xi,X2,... je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veliCin se stejným rozložením, = //, D(Xj) = ct2, i = 1,2,.... Pak posloupnost standardizovaných souctU
6. Dlouhodobým požorovíním bylo žjisteno, že doba potrební k objevení a odstranení poruchy
n=1
konverguje v distribuci ke standardižovaníe normíalní níahodníe veliňcinňe.
2
stroje - náhodná veličina Xi - má střední hodnotu E (JQ) = 40 minut a rozptyl D (Xi) = 900 minut. Jakou dobu si vyZádá objevení a odstránení 100 poručh, jestliZe Zádáme, aby tato hodnota nebyla s pravdepodobností 0,95 překročena? [74,89 h]
7. Je známo, Ze rozloZení IQ v populace je normální se strední hodnotou 100 bodu a smerodatnou odchylkou 15 bodu. Jedinec, ktery má IQ nad 130 bodu, je oZnačen jako vysoče inteligentní.
(a) Jaká je pravdepodobnost, Ze z populáče náhodne vybereme vysoče inteligentního jedinče?
[0.02275]
(b) JestliZe neZávisle na sobe vybereme 10 jedinču z populáče, jaká bude pravdepodobnost, Ze alespoň jeden z ničh bude vysoče inteligentní? [0.2056]
Moivre—Laplaceova veta: Nečht' Yi,Y2,... je posloupnost stočhastičky nezávislyčh náhodnáčh veličin, Yn ~ Bi(n, e), n = 1,2... Pak posloupnost standardizovanyčh náhodnáčh veličin
í    Yn - n9 V°
l Vn • e(1 - e)] n=
konverguje v distribuči ke standardizovane náhodne veličine U ~ N(0,1). Pozn.: Aproximače se povaZuje za vyhovujáá, jsou-li splneny podmánky
1n
ne(1 - e) > 9 a —- < e <
n + 1 n + 1
8. Pravdňepodobnost narozená čhlapče je 0,515. Jakáa je pravdňepodobnost, ňze mezi 10000 novorozenči bude
a) váče devčat neZ čhlapču; [0,00135]
b) čhlapču od 5000 do 5300; [0,9973] č) relativná četnost čhlapču v mezáčh od 0,515 do 0,517 [0,15542]
9. Váme, Ze v jiste oblasti je 80 % domáčnostá vybaveno videem. Vylosujeme 900 domáčnostá. Jaká bude s pravdňepodobnostá 0.95 poňčet vybranáyčh domáačnostá, kteráe vlastná video? [739]
Poissonova veta: Nečht' Yi,Y2,... je posloupnost stočhastičky nezávisláčh náhodnyčh veličin, Yn ~ Bi(n, en), n = 1,2 ... a nečht' platá lim nen = A. Pak posloupnost Y1, Y2,...
n—oo
konverguje v distribuči k náhodne veličine Y ~ Po(A), tj. pro vsečhna y = 0,1, 2,... platá:
y A*
lim P (Yn < y) = T -e"A
n—^—' t!
Pozn.: Aproximače se povaZuje za vyhovujáčá, jsou-li splneny podmánky n > 30 a e < 0,1.
10. Je-li v populáči 1 % leváku, jaká je pravdepodobnost, Ze mezi 200 vybranámi lidmi budou práve 4 leváči, resp. alespoň 4 leváči? [0.0902, 0.1429]
11. Behem zkousky spolehlivosti se várobek poroučhá s pravdepodobnosti' e = 0.05. Jaká je pravdepodobnost, Ze pri zkousená 100 várobku se jičh poroučhá alespoň 5. [0,55951]
3