Náhodný výběr Náhodným výběrem (rozsahu n) nazýváme posloupnost n stochasticky nezávislých náhodných veliCin X^X2 . ..,Xn, kterě mají stejně rozloZení, tedy Xj ~ F i = 1,2,...,n. Pozn.: Prakticky se s nahodným výberem setkývame pri nezavislem vícenasobnem opakovaní tehoz pokusu. Statistika: Nahodna velicina, který vznikne transformací nahodneho výberu, se nazývý statistika. Významné statistiky: • Výběrový průměr n X = ±£ X i=l Pokud Xi,..., Xra - N(/x, a2), pak X - N(/x, ^) • Výběrový rozptyl s2 = 1 V(Xi X)2 = 1 n - 1 ^ 1 ' n - 1 • Výběrová směrodatná odchylka s = VS2 • Výběrový kovariance 1 n — — S12 = i ^(X1í X 1)(X2í X2) i=1 Bodově odhady parametrů Parametrický prostor, parametrická funkce: Je dýn meritelný prostor (Q, A), nah. velicina X a mnozina pravdepodobností [Pq; 6 G 6}. Mnozina 6 se nazýva parametrický prostor a její prvký parametry. Jakekoli zobrazení h : 6 —> Rq, kde q G N, se nazýva parametrická funkce. • Statistika T = g(X1,...,Xn) se nazýva nestranný odhad parametricke funkce h(6), prýve kdýz pro kazde 6 g 6 platí Eq(T) = h(6). • T1,T2 jsou dva ruzne nestranne odhadý param. fce h(6). Řekneme, ze T1 je lepší nestranný odhad nez T2, prave kdýz pro kazde 6 g 6 platí Dq(T1) < Dq(T2). • Posloupnost T1,..., Tn,... statistik tvorí posloupnost asymptoticky nestranných odhadU parametricke funkce h(6), prýve kdýz pro kazde 6 g 6 platí: lim Eq(T„) = h(6) ri—oo • Posloupnost T1,..., Tn,... statistik tvorí posloupnost konzistentních odhadU parametricke funkce h(6), prýve kdýz pro kazde 6 g 6 a e > 0 platí: lim Pq(|Tra - h(6)| 1 — a Statistika H se nazývá horní odhad parametru 9 na hladině významnosti a, právě když platí: P (9 < H) > 1 - a Statistika D se nazýva dolní odhad parametru 9 na hladině významnosti a, pravě když platý: P(D < 9) > 1 - a Intervalové odhady pro paramtery /x a a2 jednoho normálního rozložení 1. Odhad parametru / • pokud a2 zname U = ~ N(0,1) D = X - 7ň^l-"^ H = X + -jňU1-«/2 • pokud a2 neznaýme D = X - -Sňíi-a/2(n - 1), H = X + -Sňíi-a/2(n - 1) 2. Odhad paramteru a2 • pokud /t zname ti 2 i=1 i=1 E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 ~~ xi-a/2(n)' ~ xa/2(n) • pokud / nezname K = ^-^--x2 (n - 1) a2 D = (n-l)S2 h = (n-l)S2 Xl-a/2(ň-1)' Xa/2(ň-1 1. Odvod'te vztahy pro horní a dolní odhady parametru / a a2. 2. Rychlost letadla byla určována v peti zkouskach a z jejich výsledku byl určen odhad x = 870, 3 m-s-1. Určete 95% interval spolehlivosti pro je-li známo, ze rozptylení rychlosti se rídí normalním rozdelením se smerodatnou odchylkou a = 2,1 m - s-1. 2 3. Při zjišťování přesnosti nově zaváděné metody pro stanovení obsahu manganu v oceli bylo rozhodnuto provést Čtyři nezávisia měření u oceli se znamym obsahem manganu, která je roven 0,30%. Stanovte dolní odhad pro a s rizikem 0,05, kdyz vásledeky merení byly: 0,31%, 0,30%, 0.29%, 0,32%. Udaje o obsahu manganu v oceli povazujeme za realizace níhodneho víberu rozsahu 4 z N (/x, a2). 4. Z populace stejne starých selat tehoz plemene bylo vylosovano 6 selat a po dobu pul roku jim byla podavana taz víkrmní dieta. Byly zaznamenany pranierne denní prírastky v dg. Z drívejsích pokusu je znímo, ze v populaci mívají takove prírastky normalní rozlození, avsak strední hodnota i rozptyl se menívají. Prírustky v dg: 62, 54, 55, 60, 53, 58. Pri riziku a = 0.05 odvod'te: (a) dolní odhad nezname strední hodnoty /t pri nezníme smerodatne odchylce a; (b) intervalovy odhad smerodatne odchylky a. 5. Necht' X\,... Xn je nahodní víber z rozlození N (/t; 0, 04). Zvolme riziko a = 0, 05. Jaky musí bít nejmensí pocet merení, aby sírka intervalu spolehlivost pro neznamou strední odnotu / nepresahla císlo 0,16? 6. Hloubka more se merí prístrojem, jehoz systematicka chyba je nuloví a níhodne chyby merení mají normílní rozlození se smerodatnou odchylkou a = 1m. Kolik merení je nutno provest, aby se hloubka stanovila s chybou nejvyse ±0, 25 m pri riziku 0,05? 3 Intervaly spolehlivosti pro parametry dvou normálních rozložení (a) Interval spolehlivost ci/xi + c2/x2 • pokud ct1, <72 zname V = ciX1 + C2X2 = * V Xii + ^ V X2i ~ N (Ci/i + ^ + ^ [/ = (ciXi + C2X2) - (ci^i + c2^2) N(0 1) „2^2 „2^2 L1°1 + L2°2 «1 «2 D = CiXi + C2X2 - A/ ^ + ^ • u1-a/2 «1 «2 H = CiXi + C2X2 + V ^ + ^ ^ u1-a/2 • pokud ct1 , ct2 neznáme, ale víme, Ze jsou si rovny T =(CiXi + ^ - (Ci2/i+ C2/2) - t(ni + «2 - 2), -*v c2/«i + c2/«2 kde -2 = (rai-i)Sl+(ra2-i)s2 D = ciXi + C2X2 - ti-a/2(ni + «2 - 2)S*y ci/«i + c2/«2 H = ciX i + C2X 2 + ti-a/2(«i + «2 - 2)£*a/ ci/ni + c2/«2 2 (b) Interval spolehlivosti pro W = - F(«i - 1,«2 - 1) D F1_a/2(n1-i,n2-iv H Fa/2(n1-i,n2-i) 7. Byla provedena ctyri nezávislá stanovení obsahu manganu u dvou vzorku oceli s různými obsahy manganu a byly získaná vásledky: 1. vzorek: 0,31%, 0,30%, 0,29%, 0,32% 2. vzorek: 0,59%, 0,57%, 0,58%, 0,57% Stanovte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl stredních hodnot obsahu manganu /i - /t2. Udaje o obsahu manganu predstavují realizace nahodních víberu rozsahu 4 z Nct2) a N(/t2, ct2) s neznamymi, avsak shodnymi rozptyly. 8. V tabulce jsou uvedeny vísledky analíz niklu získane dvema analytickími metodami. Stanovte horní odhad pro podíl smerodatních odchylek obou metod pri riziku a = 0.05, jestlize tyto vísledky povazujeme za ralizace nezívislych níhodních víberu rozsahu 4 z N(/1,ct2) a N (/2,CT2). Metoda 1: 3.26, 3.26, 3.27, 3.27 Metoda 2: 3.23, 3.27, 3.29, 3.29 9. Bylo vylosovano 6 vrhu selat a z nich vzdy dva sourozenci. Jeden z nich vzdy dostal nahodne dietu c. 1 a druhí dietu c. 2. Prírustky v gramech jsou nasledující: (62,52)',(54,56)',(55,49)',(60,50)',(53,51)',(58,50)' Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro /t = /1 - /t2. 4