Podgrupy
Neprázdná podmnožina grupy (G, o), která je uzavřená vůči zúžení operace o, a která je také grupa, se nazývá podgrupa grupy (G,o).
Rád  prvku a v grupě (G, o) - nejmenší přirozené číslo k s vlastností ak  = e, kde ak = a o a o ■ ■ ■ o a.
k
Cyklická grupa - grupa (G, o) je generována nějakým svým prvkem a, tj.
Vx G G; x = a1, l e Z.
•   (H, o) je podgrupa grupy (G, o)  $$
•  0/HCG
•  yx,y G H; xoy~ľ g H
•  Je-li (G, o) cyklická grupa řádu m generovaná prvkem a, pak pro každé Ä; G N takové, že D(m, k) = 1, je také ak generátor grupy (G, o).
•  Je-li (G, o) cyklická grupa řádu m generovaná prvkem a, m = d ■ n, pak grupa generovaná prvkem ad je podgrupa grupy (G, o) řádu n.
1.  Určete všechny podgrupy grupy (Z, +).
2.  Určete všechny podgrupy grupy (Z30, +), nakreslete Hasseův diagram.
3.  Určete všechny konečné podgrupy (R*, •).
4.  Dokažte, že množina
(a)  H = {a + bi G C; a2 + b2 = 1} tvoří podgrupu grupy (C*, •);
(b)  H = {a G M.*; a2 G Q} tvoří podgrupu grupy (R*, •);
(c)  H = {a G R; a2 G Q} netvoří podgrupu grupy (R, +).
5.  Určete řády všech prvků v grupě:
(a)  (Z8V)
(b)   (Z*,-)
6.  Určete všechny generátory grupy (Z12, +)
7.  Dokažte, že Kleinova čtyřgrupa (Z2 x Z2) není cyklická. Popište tuto grupu.
8.  Popište podgrupu (§4, o) generovanou množinou M = {(1, 2), (1, 2) o (3, 4)}
Homomorfismus
Zobrazení zachovávající operaci
/:(G,-)^(H,o);Va,6GG; /(a • b) = f (a) o f(b)
•  Jádro Ker/ = {a G G; /(a) = e#}
•   Obraz Im/= {/(a); a G G}
•  Izomorfismus - bijektivní homomorfismus; G = H
1
9. Dokažte, že grupy (Z*4, •) a (Z£, •) jsou izomorfní.
10.  Rozhodněte, zda je dané zobrazení homomorfismus nebo dokonce izomorfismus:
/:(Z;5,.)^(Z;5,.); /([a]ZÍB) = [4a]ZÍB
11.  U daného předpisu rozhodněte, zda zadává zobrazení. Pokud ano, zda se jedná o homomorfismus či dokonce izomorfismus grup.
(a)   / : (Z4, +) x (Z3, +) -► (Z12, +); /([a]4, [b]3) = [a - b]12
(b)   /:(Z6,+)^(Z7X,-); /([a]6) = [2}a7
2