Rozklady podle grup
Je dána grupa (G, •) a její podgrupa (H, •). Definujeme relaci a ~ b, jestliže 6_1 • a G H nebo a~l ■ b G H. Jedná se o relaci ekvivalence. Pak se grupa (G, •) rozpadá na třídy ekvivalence = levé třídy rozkladu podle grupy (El,-).
•  Třída příslušná prvku a: a • H = {a • h; h G H}
•  Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy (H, •) značíme
G/H = {M,ai-M,a2-M,...}
•  Třídy rozkladu (kromě podgrupy (H, •)) nejsou grupy.
•  Obdobně definujeme pravé třídy rozkladu H • a; příslušná ekvivalence a ~ b je a ■ b~l G H; G\H = {H • a; a G G}.
ai-iř
a2-ií
Normální podgrupa H < G
Pro Va G G; V/i G H platí a ■ h- a~l G H, neboli a • H = H • a (pravé a levé třídy rozkladu se splývají).
•  {e}<G, G<G;
•  v komutativní grupě je každá normální;
•  je-li počet prvků v H poloviční oproti G, pak je H normálni;
•  jádra homomorfismů jsou normální podgrupy;
•   (G/M, •) - faktorgrupa, kde platí Va • H, b ■ H G G/H; (a • H) • (b ■ H) = (a • b) ■ H.
1.  Pro dihedrální grupu Ds (grupa symetrií čtverce) najděte všechny podgrupy, určete které jsou normální a popište příslušnou faktorgrupu.
2.  Popište rozklad Z/A;Z.
3.  Popište rozklad C*/Ker/, kde / : C* —> R* je homomorfismus daný vztahem f(a + bi) = a2 + 62, tedy f (z) = \z\2.
1
Okruhy a tělesa
(M, +) je komutativní grupa s neutrálním prvkem 0 G M, spolu s další operací • splňující:
(a)   (a • b) ■ c = a ■ (b ■ c), pro Va, b, c G M;
(b)   a-b = b- a, pro Va, b G M;
(c)   31 G M; Va G M; 1 • a = a;
(d)   a • (b + c) = a • b + a • c, pro Va, 6, c G M (distributivnost); tvoří komutativní okruh (M, +, •).
•  Pokud neplatí (b), pak se jedná o nekomutativní okruh.
•  Prvku 0 říkáme nula a 1 jednička.
•  Prvky a, b G M takové, že:
a/0A6/0Aa-6 = 0 se nazývají dělitelé nuly.
•  Okruh (M, +, •) se nazývá obor integrity, právě když pro libovolné prvky c, d G M platí:
c-d = 0«c = 0V(i = 0.
•  Dělitelé jedničky, tj. invertibilní prvky, nazýváme jednotky.
•  Okruh, ve kterém jsou všechny nenulové prvky invertibilní, se nazývá těleso.
•  Komutativní těleso se nazývá pole.
4.  Nechť X je libovolná neprázdná množina. Rozhodněte, žda (V(X),-^-,n) tvoří komutativní okruh, obor integrity, těleso.
5.  Rozhodněte, zda (M, 9,*) tvoří komutativní okruh, obor integrity, těleso:
(a)   M = Z; a96 = a + b — l,a*b = a + b — ab;
(b)   M = Q; a96 = a + b + l,a*b = a + b + ab;
(c)   M = Q; a96 = a + b-l,a*b = a + b + ab
2