Polynomy
IK je obor integrity. Výraz
k
/(*) = £<
í=0
se nazývá polynom, ajGK pro i = 0,1,..., k jsou koeficienty polynomu.
•  Stupeň polynomu je k, pokud au / 0, píšeme st f{x) = k.
f{x) = 0 nemá stupeň, nenulové prvky v K jsou polynomy stupně 0.
•  Množinu všech polynomů nad K značíme K[x\. Struktura (_řr[a;],+, •) je obor integrity.
•  Prvek c G IK je kořen polynomu f (x) <^ f (c) = 0 G K, tj. f (x) = (x — c) • g (x).
•  Prvek c G IK je fc-násobný kořen polynomu f (x) <^ f (x) = (x — c)k-g(x), g{c) / 0.
•  Pokud má polynom f (x) vícenásobný kořen, pak polynom h(x), takový, že
f(x) = h{x) ■ g(x), kde g{x) je NSD f(x) a f'(x), má stejné kořeny jako f(x), ale pouze jednoduché.
•  f(x) G K[x] je nerozložitelný = ireducibilní pokud
-  je nenulový a není jednotkou, tj. st f(x) > 1;
-  je dělitelný pouze jednotkami, tj. polynomy stupně 0, a polynomy, které jsou s ním asociované (tzn. polynomy g (x) G K[x] takovými, že f(x)\g(x) Ag(x)\f(x)), tj. f(x),g(x) se liší o nenulový násobek prvku pole).
Eisensteinovo kritérium ireducibility:
Je dán polynom f(x) = anxn + • • • + a\x + üq g Z[x\. Pokud existuje prvočíslo p tak, že
•  p\a0,...,p\an-i,p\an
•  P2\a0
pak je f(x) ireducibilní nad Z.
Gaussovo lemma: Pokud je polynom ireducibilní nad Z, pak je ireducibilní i nad Q.
Nechť | G Q je kořenem polynomu f(x) = anxn+- ■ -+aix+ao, pakp|ao, q\an,p — q \ /(l), P + q\f(-l).
1.  Uveďte polynom 5. stupně nad Z, který je ireducibilní.
2.  V C najděte všechny kořeny polynomu xA — 2x3 + 2a;2 — 2a; + 1 ležícího v Q[x], jestliže víte, že má vícenásobný kořen.
3.  Určete kořeny polynomu x5 + 3a;3 + x — 3 G "L^[x\.
4.  Rozložte polynom f(x) = 2a;4 + 7a;3 + 4a;2 + 2a; — 3 na ireducibilní faktory nad Z, Q, R a C, když víte, že jedním jeho kořenem je — \ + ^-i.
1