Pravděpodobnost
Q	- základní prostor, množina všech výsledků	
Lül	u)2,---0Jn- možné výsledky, prvky množiny	Q
A	náhodný jev, ACQ	
Ac	- jev opačný, Ac = Q\A	
OJi	- elementární jev	
Q	jev jistý	
0-	jev nemožný	
A n B = 0 - jevy neslučitelné		
A C B - jev B je důsledkem jevu A		
A	-jevové pole, systém podmnožin množiny Q, •  fiei, •  jsou-li A, B G A, pak je i A\B e A, •  jsou-li A, B e A, pak i A U B e A.	která splňuje podmínky:
(Q,A) - měřitelný prostor		
1. Určitý výrobek je podroben třem různým zkouškám. Označme následující jevy A - náhodně vybraný výrobek obstojí při první zkoušce B - obstojí ve druhé C - obstojí ve třetí
Vyjádřete v množinové symbolice, že výrobek obstojí
(a)  jen v první zkoušce
(b)  v první a druhé zkoušce, ale neobstojí ve třetí zkoušce
(c)  ve všech třech zkouškách
(d)   alespoň v jedné zkoušce
(e)   právě v jedné zkoušce
(f)   maximálně dvakrát
2. Uveďte alespoň dvě různá jevová pole na Q = {wi, W2, W3, W4}.
1
Pravděpodobnost
Nechť (Q, Ä) je měřitelný prostor. Pravděpodobnost je zobrazení P : A —> M s vlastnostmi:
(a)   P (A) > 0 pro všechna A e A
(b)   P(Q) = 1
(c)  jestliže A\, A2, ■ ■ ■ G A jsou po dvou disjunktní množiny, pak
Trojice (Q,A,P) se nazývá pravděpodobnostní prostor.
Klasická pravděpodobnost
Nechť základní prostor Q je konečná neprázdná množina a nechť jevové pole ^4 je systémem všech podmnožin základního prostoru. Označme m(Q) počet všech možných výsledků a pro libovolný jev A G A označme m(A) počet možných výsledků příznivých jevu A. Pak reálnou funkci P : A —> M definovanou pro všechna A G A vztahem
™ = M                         M
nazveme klasická pravděpodobnost.
3.  Házíme kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že při
(a)  jednom hodu padne číslo 6;
(b)  dvou hodech nepadne ani jednou 6;
(c)  dvou hodech padnou 2 šestky;
(d)  dvou hodech padne jedna šestka;
(e)  jednom hodu padne sudé číslo;
(f)  dvou hodech padne alespoň jednou sudé číslo.
4.  Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu třemi kostkami bude součet bodů 11a jaká je pravděpodobnost, že to bude 12? (Tzv. Méréův paradox.)
Podmíněná a úplná pravděpodobnost
Nechť (Q,A,P) je pravděpodobnostní prostor, H G A jev s nenulovou pravděpodobností. Pro každé iei definujeme podmíněnou pravděpodobnost vzorcem
PiÄW) = Ľí^l                                    (2)
5. Jaká je pravděpodobnost, že na dvou kostkách padnou dvě pětky, ja-li známo, že součet ok je dělitelný pěti?
2
Nechť  (Q, A, P) základního prost P{Hi) > 0 (tzv.		je pravděpodobnostní prostor a nechť je dán rozklad  {Hi; i   <E   1} oru Q na nejvýše spočetně mnoho neslučitelných jevů Hi s vlastností apriorní pravděpodobnosti) a P( \J Hi)   =   1. Říkáme, že je dán úplný			
systém hypotéz. Potom platí:					
		P(A) = '£P(HÍ).P(A\HÍ)			(3)
6.  Ve studijní skupině je 23 posluchačů. Pravděpodobnost složeni zkoušky z MB 104 je pro 8 posluchačů 0,9, pro 12 posluchačů 0,6 a pro 3 posluchače 0,4. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolený student zkoušku složí?
7.  Potřebu smrkových sazenic kryje lesní závod produkcí dvou školek. První školka kryje 75 % výsadby, přičemž ze 100 sazenic je 80 první jakosti. Druhá školka kryje výsadbu z 25 % přičemž na 100 sazenic je 60 první jakosti. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná sazenice je první jakosti?
Bayesův vzorec
Nechť (Q,A,P) je pravděpodobnostní prostor a nechť je dán rozklad {Hi] i e /} základního prostoru Q na nejvýše spočetně mnoho neslučitelných jevů Hi s vlastností P (Hi) > 0 a P( (J Hi)   =  1. Pak pro P (A) > 0 a pro libovolný jev B G A dostáváme:
i£l
(a) Bayesův vzorec
(b) Bayesův vzorec
P(Hk\A)
P(Hk) ■ P(A\H,
k)
ZP(Hl)-P(A\Hl iei
(4)
^P(Ht)-P(A\Ht)-P(B\AnHt
P(B\A) =
íei
EP(Hl)-P(A\Hi iei
(5)
8.   Zadání z předchozího příkladu. Vybrali jsme sazenici, která byla první jakosti. Jaká je pravděpodobnost, že byla z první/druhé školky?
9.  Přístroj najde vadu v materiálu s pravděpodobností 0,999, s pravděpodobností 0,0001 chybně označí materiál bez vady za vadný. Je známo, že vada materiálu se vyskytuje s pravděpodobností 0,001. Přístroj označil materiál jako vadný, jaká je pravděpodobnost, že má skutečně vadu?
Geometrická pravděpodobnost
Nechť Q je borelovská množina v Rra s kladnou a konečnou Lebesgueovou mírou, A nechť je systém všech borelovských podmnožin množiny Q a ß(Ä) nechť značí Lebesgueovu míru množiny A. Potom množinovou funkci Pg definovanou pro každé A G A vztahem Pg(A) = ^TQy budeme nazývat geometrickou pravděpodobností.
10.  Úsečka dlouhá 200 mm je náhodně rozdělena na 3 díly. Určete pravděpodobnost, že prostřední díl bude nejvýše 10 mm dlouhý.
11.  Každý ze dvou parníků může doplout do přístaviště vždy jednou za den, a to se stejnou šancí v kterýkoli jeho okamžik a nezávisle na druhém parníku. První se v přístavišti zdrží jednu hodinu a druhý dvě hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že jeden bude muset čekat až druhý opustí přístaviště?
3