Náhodná veličina
Nechť (Q, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Zobrazení X : Q — R se nazývá náhodná veličina (vzhledem k jevovemu poli A), prave kdyZ
VB G B : (w G Q : X(w) G B} G A, (1)
ťj. áplný vzor kaZde borelovske mnoZiny je jevem.
Poznámka: Obraz X(w) se nazyva číselná realizace nahodne veliCiny X príslusná k moznemu výsledku w. Mnozinu (w G Q : X(w) G B} zkracene zapisujeme (X G B} nebo (X G B)
Distribuční funkce
Funkce F : R — R definovana vztahem
Vx G R : F (x) = P (X < x), (2)
kde P (X < x) znaCí P ((w G Q : X (w) < x}), se nazyvá distribuční funkce náhodne veliCiny X (vzhledem k P).
DisťribuCní funkce ma tyto vlastnosti:
1. je neklesající, tj. pro vsechna xi < x2 : F(xi) < F(x2);
2. je zprava spojita, tj. pro vsechna xo G R : lim+ F (x) = F (x0);
3. 0 < F (x) < 1;
4. Pro x0 G R libovolne, ale pevne zvolene je
P (X = xo) = F (xo) - lim F (x);
5. Pro a, b G R, a < b je P (a < X < b) = F (b) - F (a). Diskretní náhodná veličina
Nahodna velicina X s distribucní funkcí F (x) se nazíva diskretní, jestlize existuje neprázdna, nejvíse spocetní podmnozina N reílnych císel a funkce n : R — R s temito vlastnostmi:
1. n (x) > 0 pro x G N
n (x) = 0 pro x G R - N
2. E n(x) = £ n(x) = 1
a pro kazde x G R míme F (x) = £ n (t). Funkce n (x) se nazíva pravdepodobnostní funkče náhodne veličiny X. Platí n (x) = P (X = x).
1. Strelec strílí do terce az do prvního zasahu. Ma v zísobe ctyri naboje. Pravdepodobnost zísahu je pri kazdem vístrelu 0,6. Níhodní velicina X udíví pocet nespotrebovaních níboju. Urcete pravdepodobnostní a distribucní funkcí nahodne veliciny X a nakreslete grafy techto funkcí.
2. Nahodna velicina X mí pravdepodobnostní funkci
1
n(x) = P (X = x) = {l
i • 0, 7x   x = 1, 2,...
jinak
Jaká je pravděpodobnost, že tato náhodná veličina nabude hodnot:
(a) menších jak 3
(b) vetšíčh jak 4
(č) vetšíčh jak 1 a menších jak 4?
Spojitá náhodná veličina
Rekneme, že nahodna veličina X je (absolútne) spojitá, jestliže existuje nezáporná bore-lovska funkce f tak, že pro každe x G R mame
F(x)= f f(t)dt.
J — QO
Funkce f se nažává hustota nahodne veličiny X a je určena jednožnačne až na borelovske množiny míry 0 a platí:
(a) f (x) =
oo
(b) / f (t)dt = 1
3. Spojita nahodna veličina ma hustotu
f(x) =
ax  0 < x < 1 0 jinak
(a) Určete konstantu a.
(b) Vypočtete pravděpodobnost, že x je vetší jak ^ a menší nebo rovno jak |. (č) Určete distribuční funkči.
4. Určete a G R tak, aby funkče
{0       x < 0 ax2   0 < x < 2 1      x > 2
byla distribuční funkčí.
2
Číselné charakteristiky náhodných veličin
Střední hodnota
Je-li dána diskrétní náhoda veličina X s pravděpodobnostní funkcí n(x), pak číslo
oo
E(X) = x • n(x),
X = -00
za predpokladu, že prípadná nekonečná rada absolutně konverguje, nazýváme strední hodnotou náhodně veličiny X.
Je-li nahodna veličina X spojitá s hustotou f (x), pak číslo
oo
ľ
E(X) = J x • f (x)dx,
za predpokladu, že nevlastní Riemannuv integral absolutne konverguje, nazývame její strední hodnotou.
Nečht' g(x) je borelovská funkče. Pak pro strední hodnotu náhodne veličiny Y = g(X) platí:
g(x)n(x)       v diskrétním prípade
. xes. E (Y) = ^ oo
f g(x)f (x) dx   ve spojitem prípade
-o
pokud nekonečna rada, resp. Riemannuv integral, absolutne konvergují.
Rozptyl
Císlo
D(X) = E[(X - E(X))2] = E(X2) - [E(X)]2
nazýváme rozptylem nahodne veličiny X za predpokladu, ze vsečhny uvedene strední hodnoty existují.
Císlo \JD(X) nazyváme směrodatnou odchylkou nahodne veličiny X.
Kovařiance
Císlo
C(Xi,X2) = E[(Xi - E(Xi))(X2 - E(X2))]
nazyvame kovariančí nahodnáčh veličin X1 a X2 za predpokladu, ze vsečhny uvedene strední hodnoty existují. Je-li C(X1,X2) = 0, pak rekneme, ze náhodne veličiny X1 a X2 jsou nekořelovaníe.
Kořelace
Císlo
XXi - E(Xi)   X2 - E(X2)
R(Xi,X2) = E
\/Ď(Xi) v/Ď(X2)
)
D(Xi)D(X2) = 0 nazveme korelačí náhodnáčh veličin Xi a X2 (a za predpokladu, ze vsečhny strední hodnoty existují), R(Xi,X2) = 0 jinak.
3
Vlastnosti:
Nechť a, ai, a2, 6, 6i, b2 jsou konstanty a Xi,... Xn, Y1,... Yn náhodné veličiny definovane na temže pravdepodobnostním prostoru.
(a) Strední hodnota
i. E(a) = a
ii. E(a + 6X) = a + 6E(X)
iii. E(X - E (X)) = 0
n n
iv. £(£ X) = £ E(Xi)
i=1 i=1
n
v. Jsou-li nahodne veličiny X1,...Xn stochasticky nezávisle, pak: E (ľ} Xi) =
i=i
n
E(Xi)
í=i
(b) Rozptyl
i. D(a) = 0
ii. D(a + 6X) = 62D(X)
n n n_1 n
iii. D(£ Xi) = J2 D(Xi) + 2 £   Ž C (Xi, Xj). Jsou-li veličiny X1,... Xn neko-
i=1 i=1 i=1 j = i+1
nn
relovane, pak platí: D( ^ Xi) = ^ D(Xi)
i=1 i=1
(c) Kovariance
i. C(a1, X2) = C(X1, a2) = C(a1, a2) = 0
ii. C(a1 + 61X1, a2 + 62X2) = 6162C(X1,X2)
iii. C (X, X) = D(X)
iv. C(X1,X2) = C(X2,X1)
v. C(X1,X2) = E(X1X2) - E(X1)E(X2)
nm nm
vi. C (£ Xi^yj- ) = £ E C (Xi, Yj)
(d) Korelace
i. R(a1 ,X2) = R(X1,a2) = R(a1,a2) = 0
ii. R(a1 + 61X1, a2 + 62X2) = sgn(61b2)R(X1,X2)
iii. R(X1,X2) = R(X2,X1)
C(Xi,X2 VD(Xi) ^D(X2)
iv. R(X1,X2) =   /nClXl'X2L ^, D(X1)D(X2) = 0, R(X1,X2) jinak.
5. Nahodna velicina X je dána pravdepodobnostní funkcí:
n(x) = {
Urcete E (X), E(2X + 5), E (X2), D(X) a D(2X - 1).
í 1/3	x = -2
1/2	x = 3
1/6	x=1
0	jinak.
4
6. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X, pokud má
(a) alternativní rozdelení: X ~
(b) binomičke rozdelení: X ~ Bi(n,
(č) rovnomerne spojite rozdelení: X ~ Rs(a, b).
7. Níhodná veličina udává počet ok pri hodu kostkou. Vypočtete její rozptyl.
8. Nahodna veličina X ma konstatní hodnotu pravdepodobnosti v intervalu (0,a), to znamena, ze její hustota pravdepodobnosti ma tvar:
S pouzitím vlastností strední hodnoty a rozptylu určete
(a) E (2X + 3)
(b) E(3X2 - 2X + 1) (č) D(2X + 3)
(d) D(X2 + 1)
9. Nekorelovane nahodne veličiny X a Y mají rozptyly D (X) = a a D(Y) = 2. Určete konstantu a, jestlize roztpyl níhodne veličiny Z = 3Y — X je D (Z) = 25.
10. Nahodne veličiny X a Y jsou nahodne čhyby na vstupu nejakeho zarízení, mají čharakteristiky E (X) = —2, E (Y) = 4, D (X) = 4 a D(Y) = 9. Koefičient korelače tečhto čhyb je R(X, Y) = —0, 5. Chyba Z na vístupu zívisí na čhybačh na vstupu nísledovne: Z = 3X2 + 2XY + Y2 — 3. Najdete strední hodnotu čhyby na výstupu.
Domáci úkol: Zníte-li čharakteristiky nahodníčh veličin X a Y, určete nasledujíčí čharakteris-
tiky:
(a) E (2X — Y + 4), [4]
(b) D(2X — Y + 4), [21] (č) C (X + Y, X — Y), [3]
f (x) =
a   pro 0 < x < a
a
0 jinak
(d)
(e)
[12] [11]
E (X) = 1, E(Y) = 2, D(X) = 4, D(Y) = 1, C (X, Y) = —1.
5