Náhodný vektor
Náhodný vektor je uspořádaná n-tice X = (Xi, X2, ■ ■ ■ Xn)', kde Xi jsou náhodné vehčiny na pravděpodobnostním prostoru (Q, A, P). Jeho distribuční funkci definujeme vztahem:
V(x1,x2,...,xny eMn;F(x1,x2,...,xn) = P(Xľ < xx AX2 < x2 A • • • A Xn <xn).
F(x\,x2,... ,xn) je neklesající, zprava spojitá vzhledem ke každé jednotlivé proměnné a dále
lim    F(xi,x2, ...,xn) = l
X\ —>oo xn —>oo
Ví G {f,. ..,n};   lim   F(x\,x2,... ,xn) = 0
Xi—> — 00
Ví G {f,..., n};      lim     F(xi,x2,... ,xn) = Fí(xí).
x\—>oo
Xi—\—>oo ici+l^oo
Fi{xi) se nazývá marginální distribuční funkce náhodné veličiny Xi a F(x\,x2,..., a;ra) se nazývá simultánní (sdružená) distribuční funkce náhodného vektoru X.
Diskrétní náhodný vektor
Náhodný vektor X = (Xi,X2,.. .Xn)' se nazývá diskrétní, právě když existuje funkce 7ľ(x\,... ,xn), která je kladná na nejvýše spočetné množině N C Rra, nulová na množině
W1 — N, je normovaná
00                  00
xl=—00        xn=—00
a platí pro ni:
V(a;i, £2, ••-,£«)' G Rn;F(xi,x2,...,xn) = ^ ••• ^ 7r(či,... ,čn).
í<IEl       t<Xn
Funkce 7r(a;i,..., a;ra) se nazývá pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru X. Dále platí:
V(xi,x2,...,xny G Rra;7r(:ci, £2, ••-,£«) = P(X1 = x\ A X2 = x2 A ... ,Xn = xn). Vie{l,...,n}; J^ •••   J^     J^   ••• J^ 7r(aľi,...,aľ„)=7ri(aľi)
íeiGR        Xi_ieta;i+iel        íe„€R
7Tí(a;í) se nazývá marginální pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Xi a tt(x\,x2, ... ,xn) se nazývá simultánní (sdružená) pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru X.
1
1. Nechť náhodný vektor (X,Y)' má pravděpodobnostní funkci
ir(x,y)
jš(x + y + 1)    pro x = 0,1, 2; y = 0,1
I 0                       jinak
Určete marginální pravděpodobnostní funkce, marginální distribuční funkce a sdruženou distribuční funkci.
Spojitý náhodný vektor
Náhodný vektor X = (Xi,X2,.. .Xn)' se nazývá spojitý, právě když existuje po částech spojitá funkce f(x\,..., xn) s vlastností
V(xi,...,xn)'eRn;f(xi,...,xn) > 0,
která je normovaná
oo            oo
f(xi,...,xn) = 1
-oo         —oo
a platí pro ni:
V(x1,...,xn)'eRn;F(x1,...,xn) =   í ...   í f(t1,...,tn)dt1...dtn.
-oo         —oo
Funkce f(x\,..., xn) se nazývá hustota pravděpodobnosti náhodného vektoru X. Dále platí:
r t                         \  __ Oř [X\, ■ ■ ■ , Xn)
J[X\,..., Xn) =        ^             ^
OTi . ..OXn
ve všech bodech spojitosti funkce f(x\,..., xn).
oo            oo     oo            oo
Ví G {l,...,n};   /  ...   /    / ...   / /(a;i,...,a;n)da;i... da;i_ida;i+i... da;n =/i(a;i)
—oo         —oo —oo         —oo
/í(:cí) se nazývá marginální hustota náhodné veličiny Xi a f(x\,X2, ■ ■ ■ ,xn)' se nazývá simultánní (sdružená) hustota náhodného vektoru X.
2.  Hustota pravděpodobností náhodného vektoru (X,Y)' je dána
/(a.jJ/) = /l(f + !)    0<a;<2,0<y<3 1 0                jinak
Určete obě marginální hustoty, sdruženou distribuční funkci a pravděpodobnost P(0<X < 1 A 2 <F<3).
3.  Určete marginální distribuční funkci, sdruženou a marginální hustotu náhodného vektoru (X, Y)', když víte, že
'O           s<0A|/<0
F(x,V) = {\x2y2    x G (0,1), y G (0,2) 1           x>l f\y>2.
2
Stochasticky nezávislé náhodné veličiny
Věta: Náhodné veličiny X\,...		, Xn jsou	stochasticky	nezávislé, právě když pro		každé
HGR,...	,i„gR platí:					
	F(x1	... , Xn)	= F1(x1)-...	■TnyEn)		
resp. tt(xi,	■ ■■,xn) = 7Ti(a;i) • .	■ ' T^n\Xn	) (v diskrétním případě),		resp. f(xi,.	••>Xn)   —
/i(aľi) •...	• fn(xn) (ve spojitém případě)					
4. Spojitý náhodný vektor (Xi,^) má hustotu
f(xi,x2) =
2\x\x2{\ —x\
0
pro 0<a;i<l,0<a;2<l jinak
Dokažte, že náhodné veličiny X\ a X2 jsou stochasticky nezávislé.
5. Podnik vyrábí ocelové objímky. Kontrola na výstupu třídí výrobky podle dvou kritérií - podle odchylky od předepsaného vnitřního průměru do čtyř skupin (X = 1,2,3,4) a podle odchylky od předepsané délky také do čtyř skupin (Y = 2,4,6,8). Sdružená pravděpodobnostní funkce je dána tabulkou:
X\Y	2	4	6         8
1	0.01	0.03	0.04    0.02
2	0.02	0.24	0.10    0.04
3	0.04	0.15	0.08    0.03
4	0.04	0.06	0.08    0,02
Určete marginální pravděpodobnostní funkce ttx(x), 7ry(y), podmíněné pravděpobosnostní funkce tt(x\Y = 8),7ľ(y\X = 1), hodnoty sdružené distribuční funkce F(3, 4), F(l, 3), hodnotu podmíněné distribuční funkce F(X = 3\Y = 8). Jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé?
Číselné charakteristiky náhodných vektorů
Nechť X = (Xi, X2,..., Xn)' je náhodný vektor. Reálný vektor
E(X) = (E(Xl),E(X2),... ,E(Xn))> se nazývá vektor středních hodnot, reálná čtvercová symetrická matice
/   D(X{)       C{Xl,X2)    ...    C(XuXn
cov(X) =            :                   :            •..            :
\C(Xn,X{)   C(Xn,X2)    ...       D(Xn)
se nazývá varianční matice a reálná čtvercová symetrická matice
1           R(Xi,X2)    ...    R{X\,Xn
cor(X) =
R{Xn, X\)    R{Xn, X2)    ...
1
se nazývá korelační matice.
6. Spojitý náhodný vektor (X, Y) má hustotu
1-x + y    0 <x <1,0 <y <1
f(x,y) =
0
jinak.
3
Určete všechny charakteristiky náhodného vektoru.
7. Je dán náhodný vektor X = (Xi,^)' se sdruženou pravděpodobnostní funkcí:
í^f^    xi = 0,1, 2; ^2 = 0,1
7ľ(x) =  <
I 0              jinak.
Určete všechny charakteristiky.
4