Transformace náhodné veličiny
Borelovská funkce: Zobrazení g : Rn — Rm nazýváme borelovskou funkcí, právě když úplná vzor kaZdě borelovskě mnoZiný je opět borelovská mnoZina, tj.
VB GBm; {(xi,...,x„) G Rra;(gi(xi,...,x„),...,gm(xi,...,xra)) G B} G B" Pozn.: Jedna se zejmena o funkce spojite.
Z dane nahodne veliCiny X : Q — R vytvoríme pomocí borelovske funkce g : R — R zobrazení Y: Q — R, dane takto:
Vw G Q; Y(w) = g(X(w)).
Toto zobrazení je opet nahodna veliCina a nazýva se transformovaná nahodná veliCina.
Nahodna veliCina X ma distribuCní funkci F (x) a pravdepodobnostní funkci n(x) nebo hustotu f (x). Nahodní veliCina Y = g (X) ma distribuCní funkci F* (y) a pravdepodobnostní funkci n*(y) nebo hustotu f*(y). OznaCíme t inverzní funkci k funkci g, pak platí:
1. X je diskrétní nahodní veliCina
n* (y) = P (Y = y) = P (g(X) = y) = P (X = t (y)) = tt(t (y))
2. X je spojita níhodna veliCina, g je rostoucí funkce a necht' existuje její derivace t
F* (y) = P (Y < y) = P (g(X) < y) = P (X < t (y)) = F (t (y)) ( )    dF*(y)     ,( ( ))dT(y)
f*(y) = ^~ =f (t (y))^T
3. X je spojita níhodní veliCina, g je klesající funkce a necht' existuje její derivace t
F* (y) = P (Y < y) = P (g(X) < y) = P (X > t (y)) = 1 - P (X < t (y)) = 1 - F (t (y))
( )    dF*(y)       ,( ( ))dT(y)
f*(y) = -dy~ = -f (t (y))^F~
Celkem pro spojitou nahodnou veliCinu X platí:
f*(y) = dFd*M = f (t (y))
1. Nahodna veliCina X mí normalní rozdelení, tedy X ~ Nct2), provedem transformaci Y = a + 6X, kde b = 0. UrCete f*(y).
2. Predpokladejme, ze hodnota IQ je normalne rozlozena se strední hodnotou 100 a smerodatnou odchylkou 10, tedy X ~ N(100,102). Jakí je pravdepodobnost, ze nahodne vybraní jedinec ma
IQ:
(a) v rozmezí 90 az 110;
(b) vyssí jak 135;
(c) nizsí jak 80.
3. Cekame na autobus v horske vesnici. Dlouhodobym pozorovaním bylo zjisteno, ze zpozdení odjezdu autobusu ze zastívky se priblizne rídí normalním rozdelením se strední hodnotou 10 min
dy
1
a rozptylem 25 min2. Spočtěte:
(a) pravděpodobnost, Ze autobus bude mít zpoZdění víče neZ 20 min;
(b) pravdepodobnost, Ze autobus odjede dríve;
(č) pravdepodobnost, Ze autobus odjede o 0 aZ 2,5 min dríve;
4. Cas potrebný na vypracovaní testu Ze statistiky ma normainí roZloZení se strední hodnotou 40 minut a smerodatnou odchylkou 12 minut. Kolik procent studentu dokončí test do 45 minut? Kolik času by bylo potreba, aby test mohlo dokončit 90 % studentu?
5. Níhodní veličina Y je funkčí níhodne veličiny X (tedy Y = g(X)). Určete, čemu se rovní hustota pravdepodobnosti        jestliZe platí:
f (x) = / 2xe x2 pro x > 0 ; Y = X2 f (X)     10 jinak       ;      Y =X
6. Hledíme pravdepodobnostní funkči nahodne veličiny Y, jestliZe platí:
pro x jinak
n(x) = {fe_A   pľaak =0' 1""A> 0 ;       Y = 4X
2