86 Příloha A: Přehled rozložení náhodných veličin Přehled rozložení náhodných veličin V tomto přehledu jsou uvedeny vzorce pro pravděpodobnostní funkce, respektive hustoty pravděpodobnosti náhodných veličin, dále pro jejich střední hodnoty, rozptyly a popřípadě kovariance. Pro názornost uvádíme též grafy pravděpodobnostních funkcí či hustot pravděpodobnosti. V explicitním vyjádření některých hustot se vyskytuje funkce gama, která se v základním kursu matematické analýzy pro posluchače učitelského studia nepřednáší. Proto uvedeme nejprve její definici a některé vlastnosti. oo Definice. Buď s > 0. Definujeme T(s) = f e^ť^dt. o Věta. Funkce T(s) má následující vlastnosti: (i) Je spojitá v každém bodě svého definičního oboru a má zde derivaci. (ii) r(s + l) = sr(s) (iii) Pro každé přirozené n platí T(n) = (n — 1)1 (iv) r(i) = 1,1x1/2) = ^ W W$ = ftP~1(l-t)9~ldtpiop>0>q>0- Vybraná rozložení diskrétních náhodných veličin 1. Degenerované rozložení Dg(fi) Náhodná veličina X ~ Dg(fx) nabývá s pravděpodobností 1 pouze konstantní hodnoty //. *(*> = {Ž j£TM.*(*)=**>(*)=o Pravdep, funkce Dg(1) 2t-------------------------------------------- 1 0---------------------------------------- 0 1 2 příloha A: Přehled rozložení náhodných veličin 87 2. Alternativní rozložení A(ů) Náhodná veličina X ~ A(ů) nabývá pouze hodnot 0 nebo 1, znamenající např. absenci nebo prezenci nějakého „úspěchu", jehož pravděpodobnost je é, kdetf € (0,1). 1 — ů pro x = 0 7r(a:) = { ů pro x = 1 ,E{X) = Ů,D{X) = ů(l - •&) 0 jinak 1 0.75 0.5 0.25 0 -0.25i -0.5 Pravdep. funkce A(0.75) -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3. Binomické rozložení Bi(n,ů) Náhodná veličina X ~ Bi(n, ů) udává celkový počet úspěchů v posloupnosti n nezávisle opakovaných pokusů, přičemž v každém z těchto pokusu nastává „úspěch" s pravděpodobností í?, kde ů G (0,1) a n je přirozené číslo. 7T M-I®^1-*)"'* P«> a = 0,1,..-, W~ 10 jinak n E{X) = nů, D(X) = n&(l ~ •&) Pravdep. funkce Bi(5,0.5) 0.6 0.4 0.2 0 Pravdep. funkce Bi(12,0.3) -0.2 -10 12 3 4 5 6 -1 1 3 5 7 9 11 13 j. (6WITO si. i luiiíca, luzbuzcft't 'ftuftuib'ftywi' vci'tcffi d Ge{ů) Náhodná veličina X ~ Ge{ů) udává celkový počet „neúspěchů", které v nekonečné posloupnosti nezávislých opakovaných pokusů předcházejí prvnímu „úspěchu" .Pravděpodobnost „úspěchu" v každém pokusu je ů, kde tfe(o,i). , , f (1-0)*-1? pro x = 0,1,... ^ = {0 jinak E(X) = (1 - ů)/ů, D(X) = (1 - ů)/& Pravdep. funkce Ge(0.25) 0.15 Pravdep. funkce Ge(0.9) -0.1 -1 1 3 5 7 9 11 -0.05 -1 1 3 5 7 9 11 5. Pascalovo rozložení Ps(k,ů) Náhodná veličina X ~ Ps(k, $) udává celkový počet „neúspěchů", které v nekonečné posloupnosti nezávislých opakovaných pokusů předcházejí k-tému „úspěchu". Pravděpodobnost „úspěchu" v každém pokusu je ů, ů 6 (0,1), k je přirozené Číslo. Pro k ~ 1 dostaneme geometrické rozložení. v(x) = /rí-'Xl-*)•** pro s = 0,1,... w \0 jinak E(X) = fc(l - fy/ti, D{X) = fc(l - ů)/$2 Pravdep. funkce Ps(3,0.25) 0.1- 0.18 Pravdep. funkce Ps(5,0.5) -0.02 8 11 14 -0.02 8 11 14 príloha A: Přehled rozložení náhodných veličin 89 6. Hypergeometrické rozložení Hg(N, M, n) V souboru N prvků je M prvků označeno (M < N). Ze souboru náhodně vybereme n prvků bez vracení (n < N), Náhodná veličina X ~ Hg(N, M,n) udává počet vybraných označených prvků. o Tí{x) pro x = max{0, M - N -f n},..., min{n, M} jinak Pravdep. funkce Hg(10,7,5) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -10 12 3 4 5 6 7. Vícerozměrné hypergeometrické rozložení Hg{N,Mu...,Mk,n) Náhodný vektor (Xi, ...,Xfc) ~ Hg(N,Mi,...,Mk,n) udává počet prvků prvního až fc-tého druhu ve výběrovém souboru bez opakování o rozsahu n, který jsme vylosovali ze základního souboru rozsahu N, který se skládá z Mi prvků prvního druhu atd., až z Mfc prvků &-tého druhu, přičemž Mi -j- ... + Mfc = N. Čísla N, Mi,...,Mk,n jsou přirozená. Xl (N\'h Pro;ri e {0, l,...,7i},...,xfc € {0,l}...,n},xi + ...+ xjt = n TTÍXl,...,^) ^(aii, ...,a:jb) = 0 jinak Pro každé i 6 {1,..., k} platí: Pro každé i E {!,..., k}, j € {1, ...,&}, i < j platí: n(v v \ — M±MlK=Ji Ls{A.i,A.j) - - N -tf~ŇZí 90 Príloha A: Přehled rozložení náhodných veličin 8. Rovnoměrné diskrétní rozložení Rd{G) Náhodný vektor {X\y ...,Xn) ~ Rd(G) nabývá se stejnou pravděpodobností každé z hodnot v konečné množině G C Rn. *(*!,...,*„) = í «řiby Pro(si, •»,*«)€ G i 0 jinak Ve speciálním jednorozměrném případě dostáváme pro t?={0,l,...lí-l}í kde S je přirozené číslo a tedy card(G) = <5, , v (1/5 pro x = 0,1.....Ô - 1 *<*> = {<> jinak E(X) = (Ö-1)/2,D(X) = (52-1)/12 Pravdep. funkce Rd({1,2.....10}) 0.18i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91011 9. Poissonovo rozložení Po(X) Náhodná veličina X ~ Po(X) udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu, případně v jednotkové oblasti, jestliže k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně nezávisle. Parametr A > 0 udává střední počet výskytů těchto událostí. fC(x) = fxie x Prof -0.1.- £m = X,D(X) = X 10 jinak Pravděpodobnostní funkce je tabelována v Příloze B. Príloha--A-. -Přehled rozloženi^nálíoůňýčh veličin 91 0.22 Pravdep. funkce Po(5) Pravdep. funkce Po(0.6) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 10. Multinomické rozložení Mu(n,ůx, ...,ůk) Náhodný vektor (Xi,...,Xk) ~ Mu(n,ůi, ...,$k) udává celkový počet výsledků prvního až k-tého druhu, které se nashromáždí v n nezávisle opakovaných pokusech. Předpokládáme, že při každém pokusu nastane výsledek právě jednoho z k možných druhů, a to s pravděpodobností í?i € (0,1),..., ■dk € (0,1), přičemž platí í?i + ... + ůk = 1. Čísla n, k jsou přirozená. t(*i,...,**) = srfkr^1-^ pro#i € {0,1, ..Mn},.,.,a:jb 6 {0,1, ...,n},xx + ... + a?fc = n 7r(xi,...,aľfc) = 0 jinak Pro každé i € {1,..., n] platí: £(X<) « n^, D{Xi) = nůi(l - fy) Pro každé i e {1,...,&}, j 6 {1, ...,&}, í < i platí: C(Jfi, A» =-nevybraná rozložení spojitých náhodných veličin 11. Rovnoměrné spojité rozložení Rs(a, b) Náhodná veličina X ~ Rs(a,b), kde a < b, má na intervalu (a, 6) konstantní hustotu pravděpodobnosti. „(.,) = (siř pros€M) VK } 10 jinak £(*) = ^,.DCX") = &3> Příloha A: Přehled rozložení náhodných veličin Hustota Rs(-1,2) Distr. funkce Rs(-1,2) 5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 12. Normální rozložení N(fi: a2) Náhodná veličina X •*-> N(fi, er2) má dominantní postavení v počtu pravděpodobnosti. Vyskytuje se v takových situacích, kdy se ke konstantní střední hodnotě \x € (—00,00) přičítá velké množství nezávislých náhodných veličin („náhodných vlivů") kolísajících nepatrně kolem nuly. Vzniklá variabilita je charakterizována směrodatnou odchylkou o € (0, 00). 2" ^) = ^exp-K^) pro x € (—00,00) E(X) = n,D(X)^a2 Ve speciálním případě X ~ ÍV(0,1) dostáváme standardizované normální rozložení. Jeho distribuční funkce je tabelována v Příloze B, rovněž tak jeho kvantily. Hustota N(0,1) Distr. funkce N(0,1) -3 -2-10 1 Hustota N(1,0.5) -3 -2-10 1 2 Distr. funkce N(1,0.5) * . Hwtu /i; rreniea, rozloženi nanoanycn veličín 95 0 vyjadřuje náhodnou dobu čekání na nejakou událost, která se může dostavit se stejnou šancí každým okamžikem, bez ohledu na dosud pročekanou dobu. Přitom l/A je střední doba Čekání. Xe~Xx pro x > 0 (p(x) = 0 pro x < 0 E{X) = l/\D{X) = l/\2 Hustota Bc(2) Distr. funkce Ex(2) -10 12 3 4 5 6 -10 12 3 4 5 6 16. Erlangovo rozložení Er(k, ô) Náhodná veličina X ~ Er(k, Ô), S > 0 vyjadřuje souhrnnou dobu čekání na fc-tý výskyt nejaké události, která se může dostavit se stejnou šancí Fříloha A: Přehled rozložení náhodných veličin 97 18. Pearsonovo rozložení chí kvadrát x2(^) Náhodné veličiny X ~ X2(y) se užívá v matematické statistice. Parametr v ~ 1,2,... nazýváme počtem stupňů volnosti a nejčasteji vyjadřuje počet nezávislých pozorování zmenšený o počet lineárních podmínek na pozorování kladených. f ' ra^2"^-*/2 pro x > 0 jinak y{x) = i r(W2)2"/2; E(X) = v,D{X) = 2v Kvantily jsou tabelovány v Příloze B. Hustota chi-kv(3) Distr. funkce chi-kv(3) Hustota chí-kv(10) Distr. funkce chi-kv(10) 10 15 20 25 10 15 20 25 19. Studentovo rozložení t(v) Náhodné veličiny X ~ t(u) se užívá v matematické statistice. Parametr ľ = 1,2,... zvaný počet stupňů volnosti má stejný význam jako u Pearso-nova rozložení. *(*> = K^1 +JM-W* pro x e (-00,«.) É(X) = 0 pro v > 2, pro v = 1 střední hodnota neexistuje. D(X) = vlfar—2) pro v > 3, pro v — 1,2 rozptyl neexistuje. Příloha A: Přehled rozložení náhodných veličin Kvantily jsou tabelovány v Příloze B. Speciálním případem Studentova rozložení pro v = 1 je Cauchyovo rozložení: ^M = ííifcsy Pro x € ^_00' °°) E(X) ani D(X) neexistují. Hustota t(3) Distr. funkce t(3) -3 -2 -1 0 -0.2 Hustota t(20) Distr. funkce t(20) -3 -2-10 1 20. Fisherovo-Snedecorovo rozložení F (^,1/2) Náhodné veličiny X ~ F (1/1,1^2) se užívá v matematické statistice. Pa-ramtery v\ — 1,2,... a 1/2 = 1, 2,... zvané počet stupňů volnosti čitatele a jmenovatele mají stejný význam jako u Pearsonova rozložení. i/2)r(ľ2/2) x( 0, 3, -E(X) neexistuje pro ví = 1,2. Ö(X) = 21/Kz/! + i/2 ~ 2)/[t/i(i/2 - 2)2(ľ2 - 4)] pro í/2 > 5, D(X) neexistuje pro v2 = 1, 2,3,4. Kvantily jsou tabelovány v Příloze B. ha A: Přehled rozložení náhodných veličin 99 Hustota F (3,3) Hustota F(5,8) Disír. funkce F(3,3) -10 12 3 4 5 6 Distr. funkce F(5,8) -10 12 3 4 5 6