Matematika iv - demonstrační cvičení Michal Bulant 19. kvetna 2010 1. demonstrační cvičení Příklad 1. Rozhodněte o uvedených množinách a operacích, jakou tvoří strukturu (grupoid, pologrupa, monoid, grupa), príp. diskutujte existenci jednostranných neutralních prvku. 1. (2N, U), (2N, n), (2N, \), 2N s operací symetrický rozdíl 2. N s operací nejvetsí společný delitel (resp. nejmensí spol. nasobek) 3. regularní matice 2 x 2 nad R s operací scítaní 4. matice 2 x 2 nad R s operací scítaní 5. matice 2 x 2 nad R s operací odcítíní 6. invertibilní matice 2 x 2 nad Z2 s operací nasobení matic (zde navíc urcete tzv. Caýleýho tabulku nasobení) 7. (Z9, +), resp. (Z5, +), (Z9, •), resp. (Z5, •), (Z9 \ |[0]g}, •), resp. (Z5 \{[0]5}, •). 8. Z s operací ◦ zadanou (pomocí bezných operací scítíní a nísobení) predpisem x ◦ y = x + (—1)xy. 2. demonstrační cvičení Příklad 2. Urcete nejvetsí spolecný delitel císel 10175 a 2277. Pro tato císla urcete koeficienty v Bezoutove rovnosti. Příklad 3. Urcete vsechna n G N takova, ze ^p(n) = 6. 1 Příklad 4. Určete všechna n G N taková, ze ip(n) = |. Příklad 5. Naleznete zbytek po dělení čášla 1312 + 1211 + ll10 čášlem 9. Příklad 6. Dokazte, ze je čášlo 1615 + 2914 + 4213 delitelne třinácti. Příklad 7. Určete poslední cifru čášla 13 Příklad 8. Naleznete nejmenšá přirozené čášlo n takové, ze 17n = 1 (mod 181) Příklad 9. Nečht jšou dany permutače = (1 2345678 9\ = (1 2345678 9\ S =^3 4 7 2 1 9 8 6 ^ =1^5 21438769; 1. Rozložte permutače s,t na šoučin nezavišlyčh čyklU. 2. Rozložte permutače s,t na šoučin tranšpozič. 3. Určete s-1 4. Určete s o t, t o s 5. Spočítejte s20 6. Určete (s120 o t-3)17 Příklad 10. Určete grupu šymetriá rovnoštranneho trojáhelnáka. 3. demonstrační cvičení Příklad 11. Doplnte našledujáčátabulku operače * na množine {a,b,č} tak, aby še jednalo o pologrupu. * a bč a b ač b č 2 Příklad 12 (zákony o krácení). 1. Dokazte, ze v libovolné grupe platí tzv. zákony o krácení. a • b = a • c =4> b = c, a • c = b • c =4> a = b. 2. Dokazte, ze konečná pologrupa, ve které platí zákony o kráceni, je nutne grupou. 3. Udejte preklad nekonečne pologrupy, v néz platí zakony o kracené a nené grupou. 4. Udejte príklad tréprvkoveho grupoidu, v nemz platí zákony o kracené, ale nené grupou. Příklad 13. Doplnte nésledujícítabulky operace * na množine {a,b,c} tak, aby se jednalo o grupu. * a bc * a bc a a b a b c a c a c Příklad 14. Dokazte, ze Q(\/Š) = {a + by/3\ a, b G Q} je podgrupa grupy (Q, •). Příklad 15. 1. Popiste vsechny podgrupy grupy +). 2. Popiste vsechny podgrupy grupy (Zn, +). Příklad 16. Popiste svaz podgrup £3. Příklad 17. 1. Urcete podgrupu £8 generovanou mnozinou {(4, 5, 2,1) o (4,6, 3,1, 5, 2), (4, 5, 2,1) o (4, 5, 6) ◦ (2,1,3)}. 2. Urcete podgrupu £n generovanou mnozinou {(1, 2), (1, 2,3,...,n)}. 3 4. demonstrační cvičení Příklad 18. V grupě (O*, •) určete podgrupu generovanou prvkem +i ^2 2 + i 2 • Příklad 19. Určete všechny homomorfismy z (£3, o) do (Z6, +)• Příklad 20. Dokazte, ěe (Z*, •) je izomorfní s (Zq, +) a (Z*, •) s (Z2 x Z2, +) a príslušný izomorfismus popište. Příklad 21. Popiste nějaký izomorfismus (Z4, +) x (Z5, +) a (Z2o, +)• Příklad 22. U nasledujíčíčh predpisu rozhodněte, zda se jedna o zobrazení, homomorfismus, ěi dokonce izomorfismus grup. V pěípade ho-momorfismu určete jejich jídro. 1. f- :(Z2, +) x (Z5, +) — (Z10, +); f ([a], [b]) = [a + b]. 2. 9 : (Z2, +) x (Z5, +) - (Z10, +); g([a], [b]) = [5a + 2b]. 3. h : :(Z4, +) - (C*, •); h([a]) = ia. 4. k : (Z5, +) - (C*, •); h([a]) = ia. 5. l : (So, o) — (S6, o); l(s) = s2. 6. m : ^ o) — ^ o); m(s) = (1, 2) o s o (1, 2). Příklad 23. Necht' G je grupa. Dokazte, ze zobrazení f : G — G definovaní pěedpisem f (x) = x-1 je izomorfismus príve tehdy, je-li G komutativní. Příklad 24. Popiste levy rozklad grupy (C, +) podle podgrupy (R, +). Příklad 25. Kolik těíd obsahuje levy rozklad grupy (S7, o) podle pod-grupy ((1, 2) o (3,4, 5,6, 7)>? 4 5. demonstrační cvičení Příklad 26. Dokažte, že dana množina H je normálnípodgrupa grupy G. Určete příslušnou faktorgrupu G/H. 1. G = C, H = R. 2. G = Cx, H = R+. 3. G = Z x Z, H = {(m, n) G Z x Z | 6|2m - n}. 4. G = {f : R — R | f (x) = ax + b, a G Rx, b G R}, H = {f : R — R | f (x) = x + b, b G R} 5. G = { (a ^ | a, c G Qx,b G q} , H ={ ^) | a, b, c G Q,a,c> oj Příklad 27. Dokažte, že dana množina H netvorí normalní podgrupu grupy G. 1. G = {f : R — R | f (x) = ax + b,a G Rx,b G R}, H = {f : R — R | f (x) = ax,a G Rx}. 2. G = §4, H = {n G §4 | n(3) = 3} Příklad 28. 1. Určete žbytek po delení čísla 56? a čísla 7123456789 číslem 12. 2. Určete poslední dve čifry čísla 17444. 6. demonstrační cvičení Příklad 29. Naležnete nejprve vsečhny račionalní a pote nasobne koreny polynomu 4x7 + 17x6 + 32x5 + 39x4 + 28x3 + 13x2 + 2x G Z[x]. Tento polynom rožložte na součin iredučibilníčh polynomu postupne nad C, R, Q. 5 Příklad 30. Určete násobnost kořene —1 polynomu x5 — ax2 — ax + 1 G C[x] v závislosti ná hodnote pářámetru a G C. Příklad 31. Mezi všemi normovanými polynomy s reálnymi koeficienty, které máji jednoduchý kořen — 3 á dvojnásobný kořen 3 + 2i náleznete ten, jehoz stupen je nejmensá á rozložte jej ná iredučibilná polynomy nád C, R, Q. Příklad 32. Dokázte, ze polynom, x3 + 3x2 + 5x + 5 je iredučibilná nád Q • pomočí Eisensteinová kritériá, • jinák. Příklad 33. 1. Dokázte, ze polynom, x4 + x3 + x2 + x + 1 je iredučibilná nád Z. 2. Důkáz zobečnete pro nekonečne mnoho polynomu. Příklad 34. Náleznete rozklád polynomu x4 + 4x3 + x2 + 5 ná součin iredučibilnáčh polynomu nád Z. 7. demonstrační cvičení Příklad 35. Náleznete vsečhny iredučibilná polynomy 1. stupne nejvyse 4 nád Z2. 2. stupne nejvyse 2 nád Z3, dále určete počet iredučibilnáčh polynomu stupne 3 nád Z3. 6 Příklad 36. Polynom x8 + x4 + x3 + x G Z2[x] rozložte na součin ireducibilních polynomu. Příklad 37. Rozložte polynom x7 + 2x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + x + 2 nad Z3 na součin ireducibilních polynomu. Příklad 38. Rozhodnete, ve kterem prípade jde o okruh (s obvyklým scítaním a nasobením) s jednickou: a) pžirozena císla, b) cela císla, ktem jsou nísobkem 3, c) polynomy nad R stupne nejvíyse n, d) polynomy s celocíselnými koeficienty, e) polynomy s celocíselnými koeficienty s nulovým absolutním clenem, f) polynomy f nad R splňující f (2) = 0, g) nesingularní matice 2 x 2 nad R, h) lineírní reálné funkce, tj. funkce tvaru f (x) = a • x + b, a, b G R. Příklad 39. Necht (R, +, •) je okruh. Pak rovnez (R, +, o), kde a o b = a • b + b • a je okruh. Dokazte nebo vyvratte. Příklad 40. Urcete jednotky a dělitele nuly v okruzích: a) celych císel (Z, +, •), b) celocíselnych polynomu (Z[x], +, •), c) reílnych polynomu (R[x], +, •), d) zbytkovych tríd (Zn, +, •), e) polynomuu nad Z5, tj. (Z5[x], +, •), f) funkcí f :[0,1] - R. 7 Příklad 41. Určete, zda je okruh (Z2, +, •) x (Z3, +, •) oborem integrity a rozhodnete, zda je izomorfní s okruhem (Z6, + , •). Příklad 42. Rozhodnete, zda je zobrazení f : C — R definovane predpisem f (a + b i) = a + b homomorfismem okruhu. Příklad 43. 1. Uvazme zobrazení f : C — Mat2;2(R) definovane predpisem f (a + bi) = (lha). Rozhodnete (a zdůvodněte), je-li f homomorfismus okruhu (C, +, •) do okruhu (Mat2;2(R), +, •) matič typu 2x2 nad R. 2. Uvazme zobrazení g : Mat2;2(Q) — Q definovane predpisem g ((achd)) = ad—bc. Rozhodnete (a zdůvodnete), je-li g homomorfismus okruhu (Mat2;2(Q), +, •) matič typu 2x2 nad Q do okruhu (Q, +, •). Příklad 44. Bud' Q [x] okruh polynomu s racionálními koeficienty a Mat2;2(Q) okruh matič typu 2x2 s racionálními prvky. Uvazte zobrazení: p : Q [x] — Mat2;2(Q) definovane predpisem, "f (x) — (f ? 1 (f (1f——f(—1H a rozhodnete, je-li p homomorfismus okruhu. Pokud ano, určete jeho jadro ker p. 8. demonstrační cvičení Příklad 45. 1. Určete vsečhna mozna jevova pole na zakladním prostoru Q = {uj1,uj2,uj3}. 2. Určete alespon tri ruzna jevova pole na Q = {uj1,uj2,uj3,uj4}. Příklad 46. Nahodní pokus spočíva v hodu kostkou. Jev A znamena, ze padne ličhe číslo, jev B, padne-li prvočíslo. a) Určete zakladníprostor Q. b) Uvedlte vsečhny mozne výsledky príznive nastoupení jevu A, B. č) Pomočíí A, B a operačíí s jevy vyjaídrete: 8 • padne sude císlo, • padne císlo 2, • padne císlo 2 nebo 3 d) Urcete nejmensí meritelny prostor (Q, A), obsahující jevy A i B. Příklad 47. Necht í = {ui,uj2,uj3} a A = {í, 0, {uj3}, {uj\,uj2}}. Urcete vnechny pravdepodobnostní funkce zobrazující A do množiny {o, i,e, i - e}. Příklad 48. a) Z urny, v níž je a bílych a b cernych koulí, vybereme postupne (bez vracení) dve koule. Jakí je pravdepodobnost. ze druha koule je bíla, za predpokladu, že první byla bílí. b) Ze skupiny 100 vyrobku, ktem obsahuje 10 zmetku, vybereme níhodne bez vraceníí 3 víyrobky. Urcete pravdepodobnost, ze: • tretíí je zmetek za podmíínky, ze prvníí 2 byly kvalitníí. • prvníí 2 jsou kvalitníí a tretíí zmetek. Příklad 49. Strelec strílí trikmt nezávisle na sobe do terce. Pravdepodobnosti zasahu jsou postupne 0,4 , 0,5 a 0,7.Jakaje pravdepodobnost, ze zasáhne terc a) prave jednou, b) aspon jednou? Příklad 50. Necht A\,...,An jsou stochasticky nezívisle nahodne jevy, P(Ai) = pi pro i = 1,... ,n. Vyjadnete pravdepodobnost, že a) nastane aspon jeden z uvedeníych jevuu, b) nastanou vsechny uvedeníe jevy, c) nastane príave jeden z uvedenyích jevuu. Příklad 51. Dva strelci vystrelí nezavisle na sobe do tehoz terce kazdy jednu raínu. Po stcrelbce byl v tecci nalezen 1 zíasah. Urccete pravdcepodobnost, cze zíasah patcríí 1. stcrelci, pokud tento trefuje tercce s pravdcepodobnostíí 0,8, zatímco druhy strelec s pravdepodobností 0,4. 9 Příklad 52. V testu jsou u kázde otázky 4 mozne odpovedi. Pokud student nezná odpoveď, ták hádá (uhodne s právdepodobnost^ j). Dobrý student zná 75% odpovedá, sláby 30%. Jestlize bylá určitá otázká zod-povezená spráávne, určete právdepodobnost, ze student jen háádál, jde-li o: • dobráeho studentá, • spátnáeho studentá, • nááhodnáeho studentá, kdy návááč vááme, ze dobráyčh studentuu jsou 2/3. Příklad 53. Jáká je právdepodobnost, ze dve náhodne zvolená čáslá z interválu (0,1) budou mát součet mensá nez 1 á součin vetsá nez 2/9? 9. demonstrační cvičení Příklad 54. Osoby X á Y prijdou ná smluvene másto kdykoliv mezi 9.00 á 10.00 (okámziky práčhodu jsou nezávisle á stejne mozne behem čeleho interválu). Určete právdepodobnost, ze: 1. prvnáá z prááčhozááčh nebude muset ná druháeho čekát dáele nez 10 minut, 2. osobá Y prijde áz jáko druháá, jestlize prijde po 9.30. Příklad 55. V lese tváru trojáhelnáká s vrčholy v bodečh (—1,0), (1,0) á (0, \/3) se ztratilo dáte. Právdepodobnost výskytu dátete v určite části lesá je uámernáá velikosti táeto čáásti, nikoliv umáástenáá táeto čáásti. Určete 1. rozdelenáá vzdáálenosti dáátete od zvolenáe strány lesá, 2. rozdelenáá vzdáálenosti dáátete od nejblizsáá strány lesá. Příklad 56 (Buffonova úloha). Roviná je rozdelená rovnobezkámi umástenymi rovnomerne ve vzdálenosti d. Do roviny je náhodne umístěná jehlá delky l < d. Jáká je právdepodobnost, ze jehlá protne nekterou rovnobezku. 10 Příklad 57 (Hra na dlouhé jarní večery). Pri hodu minčí (Panna, Orel) opakovaném 3krat, mame 8 možnyčh jevu, každy se stejnou pravdepodobnosti 8: PPP, PPO, POP, POO, OPP, OPO, OOP, OOO. Hru hrají 2 hrači - každy si vybere jednu trojiči, pak hažeme minčí tak dlouho, až se jedna ž tečhto trojič objevíí. Dotyčníy hríač vyhríavía. Příklad 58. Trikrat nežavisle na sobe hodíme minčí. Nahodna veličina X udíva počet hlav, ktere padnou pH tečhto hodečh. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkči nahodne veličiny X. Příklad 59. Predpokladejme, že X ma diskretní roždelení takove, že P(X = k) = c • k2 pro k = 1, 2,3 a P (X = k) = 0 jinak. Určete 1. hodnotu c, 2. P (X > 2), 3. P(X G {1, 3}). Příklad 60. Nečht ma X binomičke roždelení s parametry n = 4, p = 2/3. Určete roždelení transformovane nahodne veličiny Y = (X — 2)2 a nakreslete graf její distribuční funkče. Příklad 61. Nahodní veličina X mí distribuční funkči !0 pro x < 0 c • x2 pro 0 < x < 2 1 pro x > 2. Jake hodnoty muže nabývat konstanta c? Příklad 62. Pravdepodobnost, če vyrobek bude vyhovovat vsem tečh-ničkym požadavkům,, je 0,9. Popiste roždelení níhodne veličiny udívajíčí poččet nevyhovujíčíčh vyírobkuu meži 3 víyrobky. 11 Příklad 63. Rozhodněte, které z následujících funkcí jsou hustotami (mimo vymezeny interval je vZdy funkce nulova, c je vhodna konstanta - v případe, ze jde o hustotu, tuto konstantu určete): 1. cx pro x G (0,1), 2. cx pro x G (—1, 2), 3. cx sin x pro x G (—|, |), 4. cex pro x G (0, to), 5. ce—x pro x G (0, to), 6. 1+x2. Příklad 64. Nahodna veličina X má distribuční funkci !0 pro x < —5 x+5 pro —5 < x < 2 1 pro x > 2. Určete: 1. hustotu pravdepodobnosti f (x), 2. P(—2 0 (a jinde nulové). Urcete hustotu pravdepodobnosti nahodne veliciný Y = X2. 13 11. demonstrační cvičení Příklad 71. Náhodná veličina X má na intervalu (0,a) konstantní hustotu pravdepodobnosti (a jinde nulovou). S využitím vlastností střední hodnoty a rozptylu určete: 1. Momentovou vytvorujíčí funkci nahodne veličiny X, 2. E(2X + 3), 3. E(3X2 - 2X + 1), 4. D(2X + 3), 5. D(X2 + 1). Příklad 72. Níhodna veličina X ma Poissonovo rozdelení (tj. pravděpodobnostní funkci p(x) = X"e-X). Určete její momentovou vytvorujíčí funkči, stredníí hodnotu a rozptyl. Příklad 73. Diskrétnínahodny vektor (Xi, X2) ma simultínní pravdepodobnostní funkči n(0,-1) = c,n(0,0) = n(0,1) = n(1, -1) = n(2, -1) = 0,n(1,0) = n(0,1) = n(2,1) = 2c,n(2,0) = 3c a rovnou nule jinde. Určete konstantu c a vypočtete: 1. kovarianči C(X1,X2), 2. korelační koefičient R(X1,X2). Příklad 74. Nečht X1,X2 stočhastičky nezívisle nahodne veličiny s normovaným normílním rozdelením. Určete rozdelení rozdelení transformovane náhodne veličiny Y = 3 + X1 - 2X2 a najdete její dolní kvartil. Příklad 75. Bud' (X, Y) níhodny vektor, který ma rovnomerne rozdelení na jednotkovíem kruhu. 1. Určete sdručenou hustotu nahodneho vektoru (X, Y). 2. Dokačzte, čze X a Y nejsou stočhastičky nezíavislíe. 3. Urččete hustotu sdručzeníeho rozdčeleníí transformovaníeho vektoru (R, <£>), kde R a $ udavají polarní součadniče vektoru (X, Y). 14 4. Urcete marginélní hustoty néhodnych velicin R a $ a odvod'te, ze jsou nezavisle (a tedy i nekorelované). 5. (volitel.) Urcete marginalní hustoty nahodnéych velicin X a Y a jejich středné hodnoty, rozptyly a kovarianci. Příklad 76. Uvažte néhodne veliciny X — N (0,1) a a, kde P (a = 1) = P(a = -1) = 1/2. Urcete: 1. rozdelení nahodne veliciny aX, 2. kovarianci C(X, aX). 3. Ukaczte, cze X a aX nejsou nezéavislée. Příklad 77. 1. Dokazte Markovovu nerovnost P[X > A] < EX. 2. Z Markovovy nerovnosti odvod te Cebysevovu nerovnost. 12. demonstrační cvičení Příklad 78. Mejme nezapornou néhodnou velicinu X se středné hodnotou [i. 1. Bez dalších informací o rozdelení X odhadnete P(X > 3/i). 2. Víte-li, ze X - Ex(i), vypočtete P(X > 3/). Příklad 79. Urcete pravděpodobnost, ze pži 600 hodech kostkou padne sestka alespon 75 krét a nejvýše 125 krat 1. pomocí Cebysevovy nerovnosti, 2. pomocí de Moivre-Laplaceovy vety. Příklad 80. Dokazte, ce pro kvantily normovaneho normalního rozdelení platí vztah 2 1 2 15 Příklad 81. Víme, ze v jisté oblasti je 80% domacností vybaveno DVD prehmvačem. S pravdepodobností 95% určete 1. rozmezí počtu tech domacností z vylosovaních 900 domacností. které vlastní D VD, 2. dolní odhad počtu tech domacností z vylosovaných 900 domacností. které vlastní DVD. Příklad 82. Predpokladejme, ze velka skupina studentu ma ze započtove píísemky ze statistiky bodovíe hodnoty normíalne rozlozeny kolem stredníí hodnoty 72 se směrodatnou odchylkou 9 bodu. Určete pravděpodobnost, ze a) nahodne vybraní student bude mít vísledek lepsí nez 80 bodu, b) průměr vysledku náhodného vyberu 10 studentu bude lepsí nez 80 boduu. Příklad 83. Rychlost letadla byla určovana v 5 zkouskach, jejichž aritmeticky průměr byl m = 870,3 ms-1. Najdete 95% interval spolehlivosti pro /i víte-li, ze merení rychlosti se rídí normílním rozdelením se směrodatnou odchylkou 2,1 ms-1. Příklad 84. Necht X1,..., Xn je níhodny vyber z rozdelení N(//; 0,04). Jaky musí byt nejmensí počet merení, aby síěka intervalu spolehlivosti pro neznamou strední hodnotu / nepresahla 0,16, a to na hladine vyznamnosti a = 0,05? 13. demonstřační cvičení Příklad 85. Televizní stanice, kterí vysíla serial Vrazedna čísla, by rada vedela, kolik času se průměrní student matematiky vydrzí dívat na TV, aby na ne mohla zamerit prípadnou reklamníkampan. Níhodnym vyberem 100 studentu zjistila, ze tydne sledují TV prumerne 20 hodin s (víyberovou) směrodatnou odchylkou 5 hodin. Za predpokladu, ze se počet hodin u TV rídí normalním rozdelením, sestrojte 95% interval spolehlivosti pro strední hodnotu počtu hodin, ktery matematici stríví pred TV obrazovkou. 16 Příklad 86. Pevnost nosníku ma normalná rozdelení s variabilitou vyjadrenou smerodatnou odchylkou a = 120. Nova technologie vyroby bude akceptováana, jestlize zajistáí variabilitu nejváyse 100. Rozhodnete, zdaje mozne na zaklade 16 merení s vyberovou smerodatnou odchylkou rovnou 107,5 s rizikem 0,05 prijmout novou technologii. Příklad 87. Spotreba noveho modelu auta byla testována 11 řidici s vysledky 7,5; 7,8; 6,9; 8,2; 8,0; 7,5; 9,0; 7,6; 8,1; 7,9; 8,3. Rozhodnete, zda je mozne se spolehlivostí 0,95 vyvrátit tvrzení vyrobce o prUmerne spotrebe 7,7 1/100 km. Příklad 88. Hloubka more se merí prístrojem, jehoz systematicka chyba je nulovía a níahodníe chyby mcecreníí majíí normíalníí rozdceleníí se smerodatnou odchylkou a = 1 m. Urcete, kolik merení je třeba provést, aby se hloubka more urcila s chybou nejvyse 1/4 metru při riziku 0,05. Příklad 89. Aktivní studenti chteli dopravním/u podniku dokázat, ce autobusy trpí vetsími vykyvy príjezdovych dob na danou zastavku nez tramvaje a provedli merení odchylek od jízdního radu: autobus 0 2 4 -3 2 -4 -3 0 0 5 tramvaj 4 6 3 0 -2 2 0 1 1 0 Z tabulky lze snadno vypocítat, ze S2 = 9,12 a S2 = 5,39. 1. Na hladine 0,05 testujte nulovou hypotíezu, ze autobus i tramvaj jsou stejne spolehlivíe oproti alternativníí hypotíeze, ze tramvaj je spolehlivejsíí. 2. Urcete maximalnípravdepodobnost s níz muuzete tvrdit, ze je tramvaj spolehlivejsíí nez autobus. Příklad 90. 31 pacientu s rakovinou plic, lecenych novym lekem, mía pruumernou dobu prezitíí 28 mesíícuu se smerodatnou odchylkou 4 mesííce. Z predchozíích studiíí je zníamo, ze pruumerníe prezitíí pacientuu bez podaívaíníí novíeho líeku je 26 mesíícuu. 1. Lze na zaklade techto dat usoudit, ze nová lek prodluzuje dobu prezití? 2. Jak se zmení zaver, pokud se vyznamne zvetsí pocet pacientů, resp. rozptyl? 17 Příklad 91. Hmotnost jedne porče kávy pováčujeme zá náhodnou veličinu s normálnám rozdelením N(6g; 1,196g2). Určete právdepodobnost, ze k pčápráve 16 porcí kávy postáčá jeden 100g báláček. Příklad 92. Ve dvou nádrzáčh se zkoumál obsáh čhláru. Z prvná bylo odebráno 22 vzorku, z druhe 10 vzorku. Byly vypočteny následujáčá hodnoty vyberováčh prumeru á rozptylu: M1 = 34, 23, M2 = 35, 73, S2 = 1, 76, S2 = 1,81. Hodnoty zjistene z odebrányčh vzorku povázujeme zá reálizáče dvou nezávislyčh náhodnyčh vááberuu z rozdelená Na2), resp. N(/i2, a2). Sestrojte 95% intervál spolehlivosti pro rozdá stčednáčh hodnot /1 — /i2 á vyslovte záver ná dáne hládine spolehlivosti o pod-státnosti rozdáálu námzezrenáyčh hodnot. 18