Matematika iv - demonstrační cvičení Michal Bulant 19. kvetna 2010 1. demonstrační cvičení Příklad 1. Rozhodněte o uvedených množinách a operacích, jakou tvoří strukturu (grupoid, pologrupa, monoid, grupa), příp. diskutujte existenci jednostranných neutralních prvku. 1. (2N, U), (2N, n), (2N, \), 2N s operací symetrický rozdíl 2. N s operací nejvetsí společný delitel (resp. nejmensí spol. nasobek) 3. regularní matice 2 x 2 nad R s operací scítaní 4. matice 2 x 2 nad R s operací scítaní 5. matice 2 x 2 nad R s operací odcítaní 6. invertibilní matice 2 x 2 nad Z2 s operací nasobení matic (zde navíc urcete tzv. Caýleýho tabulku nasobení) 7. (Z9, +), resp. (Z5, +), (Z9, •), resp. (Z5, •), (Z9 \ |[0]g}, •), resp. (Z5 \{[0]5}, •). 8. Z s operací ◦ zadanou (pomocí bezných operací scítaní a nasobení) předpisem, x ◦ y = x + (—1)xy. 1 2. demonstrační cvičení Příklad 2. Určete nejvetsí společný dělitel čísel 10175 a 2277. Pro tato čísla určete koeficienty v Bezoutove rovnosti. 2 Příklad 3. Určete všechna n £ N taková, že (p(n) = 6. 3 Příklad 4. Určete všechna n £ N taková, že (p(n) = |. 4 Příklad 5. Nalezněte zbytek po dělení čísla 1312 + 1211 + ll10 číslem 9. 5 Příklad 6. Dokažte, že je číslo 1615 + 2914 + 4213 dělitelné třinácti. 6 11 9? Příklad 7. Určete poslední cifru čísla 13 7 Příklad 8. Naleznete nejmenší prirožene číslo n takové, že 17n = 1 (mod 181) 8 Příklad 9. Nechť jsou dány permutace _/l 2345678 9\ _ A 23456789 S V3 4721986577 _V5 21438769 1. Rozložte permutace s,t na soucin nezávislých cyklů. 2. Rozložte permutace s,t na soucin transpozic. 3. Uržete s-1 4. Uržete s o t, t o s 5. Spočítejte s20 6. Uržete (s120 o t-3)17 9 Příklad 10. Určete grupu symetrii rovnostranného trojúhelníka. 10 3. demonstrační cvičení Příklad 11. Doplňte následující tabulku operace * na množině {a,b,c} tak, aby se jednalo o pologrupu. * a bc a b ac b c 11 Příklad 12 (zákony o krácení). 1. Dokazte, ze v libovolné grupe platí tzv. zákony o kríčení. a • b = a • c => b = c, a • c = b • c => a = b. 2. Dokazte, ze konečna pologrupa, ve které platí zakony o kmčení, je nutne grupou. 3. Udejte príklad nekonečne pologrupy, v níz platí zakony o kmčení a není grupou. 4. Udejte príklad tríprvkoveho grupoidu, v nemz platí zákony o kračení, ale neníí grupou. 12 Příklad 13. Doplňte následující tabulky operace * na množině {a,b,c} tak, aby se jednalo o grupu. * a bc * a bc a a b a b c a c a c 13 Příklad 14. Dokazte, ze Q(\/3) = {a + by/3; a, b G Q} je podgrupa grupy (Q, •). 14 Příklad 15. 1. Popište všechny podgřupy grupy (Z14, +). 2. Popište všechny podgrupy grupy (Zn, +). 15 Příklad 16. Popište svaz podgrup £3. 16 Příklad 17. 1. Určete podgrupu S8 generovanou množinou {(4, 5, 2,1) o (4,6, 3,1, 5, 2), (4, 5, 2,1) o (4, 5, 6) o (2,1,3)}. 2. Určete podgrupu Sn generovanou množinou {(1, 2), (1, 2,3,...,n)}. 17 4. demonstrační cvičení Příklad 18. V grupe (O*, •) určete podgrupu generovanou prvkem, 2 + c 2 . 18 Příklad 19. Uřšete všechny homomorfismy z (E3, o) do (Z6, +). 19 Příklad 20. Dokažte, že (Zg , •) je izomorfní s (Zq, +) a (Zg, •) s (Z2 x Z2, +) a příslušný izomorfismus popište. 20 Příklad 21. Popište nejaký izomorfismus (Z4, +) x (Z5, +) a (Z20, +). 21 Příklad 22. U následujících predpisu rozhodnete, zda se jedna o zobrazení, homomorfismus, či dokonce izomorfismus grup. V prípade ho-momorfismU určete jejičh jadro. 1. f : (Z2, +) x (Z5, +) - (Z10, +); f ([a], [b]) = [a + b]. 2. g : (Z2, +) x (Z5, +) - (Z10, +); g([a], [b]) = [5a + 2b]. 3. h : (Z4, +) - (C*, •); h([a]) = ia. 4. k :(Z5, +) - (C*, •); h([a])= ia. 5. l :(S6, o) - (S6, o); l(s) = s2. 6. m : (E6, o) - (E6, o); m(s) = (1, 2) o s o (1, 2). 22 Příklad 23. Necht G je grupa. Dokažte, ze zobrazení f : G — G definované předpisem f (x) = x-1 je izomorfismus právě tehdy, je-li G komutativní. 23 Příklad 24. Popište levy rozklad grupy (C, +) podle podgrupy (R, +). 24 Příklad 25. Kolik těád obsahuje levy rozklad grupy (£7, o) podle pod-grupy ((1, 2) o (3,4, 5,6, 7)>? 25 5. demonstrační cvičení Příklad 26. Dokažte, že dana množina H je normainápodgrupa grupy G. Urcete príslušnou faktorgrupu G/H. 1. G _ C, H _ R. 2. G _ Cx, H _ R+. 3. G _ Z x Z, H _ {(m, n) G Z x Z | 6|2m - n}. 4. G _ {f : R -H _{/: R- 5. G_{(a 0 R | f (x) _ ax + b, a G Rx, b G R}, R | f (x) _ x + b, b G R} | a, c G Qx,b G Q j, H _ j ^ ^ | a, b, c G Q,a,c> oj 26 Příklad 27. Dokažte, že dana množina H netvorí normalní podgrupu grupy G. 1. G = {f : R — R | f (x) = ax + b,a G Rx,b G R}, H = {f : R — R | f (x) = ax, a G Rx}. 2. G = §4, H = {n G §4 | n(3) = 3} 27 Příklad 28. 1. UrCete zbytek po delení Čísla 56? a Čísla 7123456789 císlem 12. 2. Urcete poslední dve cifry císla 17444. 28 6. demonstrační cvičení Příklad 29. Naleznete nejprve všechny racionálna a pote nasobne koěreny polynomu 4x7 + 17x6 + 32x5 + 39x4 + 28x3 + 13x2 + 2x G Z[x]. Tento polynom rozložte na soucin ireducibilnách polynomu postupne nad C, R, Q. 29 Příklad 30. Urcete násobnost korene —1 polynomu x5 — ax2 — ax + 1 G C [x] v závislosti na hodnote parametru a G C. 30 Příklad 31. Mezi všemi normovanými polynomy s reálnými koeficienty, které mají jednoduchý koren — 3 a dvojnásobný koren 3 + 2i naleznete ten, jehoz stupen je nejmenší a rozložte jej na ireducibilní polynomy nad C, R, Q. 31 Příklad 32. Dokazte, ze polynom x3 + 3x2 + 5x + 5 je iredučibilní nad Q • pomočí Eisensteinova kriteria, • jinak. 32 Příklad 33. 1. Dokazte, ze polynom x4 + x3 + x2 + x + 1 je ireducibilná nad Z. 2. Důkaz zobecněte pro nekonecne mnoho polynomu. 33 Příklad 34. Naleznete rozklad polynomu x4 + 4x3 + x2 + 5 na soucin ireducibilnách polynomu nad Z. 34 7. demonstrační cvičení Příklad 35. Naleznete všechny ireducibilnl polynomy 1. štupne nejvýše 4 nad Z2. 2. štupne nejvýše 2 nad Z3, dále určete počet ireducibilnáčh polynomu štupne 3 nad Z3. 35 Příklad 36. Polynom x8 + x4 + x3 + x G Z2[x] rozložte na součin ireducibilních polynomU. 36 Příklad 37. Rozložte polynom x7 + 2x6 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + x + 2 nad Z3 na součin ireducibilních polynomu. 37 Příklad 38. Rozhodnete, ve kterem prípade jde o okruh (s obvyklým sčítáním, a núsobením) s jedničkou: a) prirozena čísla, b) čela čísla, ktem jsou núsobkem 3, č) polynomy nad R stupne nejvýše n, d) polynomy s čeločíselnúmi koefičienty, e) polynomy s čeločíselnúmi koefičienty s nulovúm absolutním členem, f) polynomy f nad R splnujíčí f (2) = 0, g) nesingularní matiče 2 x 2 nad R, h) lineírní realne funkče, tj. funkče tvaru f (x) = a • x + b, a, b G R. 38 Příklad 39. Necht (R, +, •) je okruh. Pak rovnez (R, +, o), kde a o b = a • b + b • a je okruh. Dokazte nebo vyvratte. 39 Příklad 40. Určete jednotky a dělitele nuly v okruzích: a) celých čísel (Z, +, •), b) celočíselných polynomu (Z[x], +, •), c) reálnych polynomu (R[x], +, •), d) zbytkových trád (Zn, +, •), e) polynomu nad Z5, tj. (Z5[x], +, •), f) funkcí f :[0,1] - R. 40 Příklad 41. Určete, zda je okruh (Z2, +, •) x (Z3, +, •) oborem integrity a rozhodnete, zda je izomorfní š okruhem +, •). 41 Příklad 42. Rozhodnete, zda je zobrazení f : C — R definovaná predpisem f (a + b i) = a + b homomorfismem okruhů. 42 Příklad 43. 1. Uvazme zobrazeni f : C — Mat2;2(R) definovane predpišem f (a + bi) = (lha). Rozhodnete (a zduvodnete), je-li f homomorfišmuš okruhu (C, +, •) do okruhu (Mat2;2(R), +, •) matič typu 2x2 nad R. 2. Uvazme zobrazená g : Mat2;2(Q) — Q definovane predpišem g ((achd)) = ad—bc. Rozhodnete (a zduvodnete), je-li g homomorfišmuš okruhu (Mat2;2(Q), +, •) matič typu 2x2 nad Q do okruhu (Q, +, •). 43 Příklad 44. Bud' Q [x] okruh polynomu s racionalními koeficienty a Mat2;2(Q) okruh matic typu 2x2 s racionalními prvky. Uvažte zobrazení: p : Q[x] — Mat2;2(Q) definovane predpisem v: f (x)—(f f 1 (f (1>- f(-i))) a rožhodnete, je-li p homomorfismus okruhu. Pokud ano, urcete jeho jadro ker p. 44 8. demonstrační cvičení Příklad 45. 1. Určete všechna možná jevová pole na základním prostoru Q = {^1,^2,^3}- 2. Určete alespon tri rUžna jevová pole na Q = {uo1, uj2, uj3, uj4}. 45 Příklad 46. Nahodny pokus spocáva v hodu kostkou. Jev A znamena, ze padne liché cáslo, jev B, padne-li prvočíslo. a) Urcete zakladnáprostor Q. b) Uvedlte všechny mozne výsledky práznive nastoupená jevu A, B. c) Pomocá A, B a operacá s jevy vyjaděete: • padne sude cáslo, • padne cáslo 2, • padne cáslo 2 nebo 3 d) Urcete nejmensá meritelny prostor (Q, A), obsahujácá jevy A i B. 46 Příklad 47. Necht Q = {uj\,uj2,uj3} a A = {Q, 0, {^3}, {uj\,uj2}}. Určete všechny pravděpodobnostní funkce zobrazující A do množiny {0,1,9,1 - 9}. 47 Příklad 48. a) Z urný, v níz je a bílých a b cerních koulí, vybereme postupne (bez vracení) dve koule. Jaka je pravdepodobnost. ze druhía koule je bíílía, za predpokladu, ze prvníí býla bíílía. b) Ze skupiný 100 výrobku, ktera obsahuje 10 zmetku, výbereme nahodne bez vracení 3 výrobký. Urcete pravdepodobnost, ze: • tretí je zmetek za podmínký, ze první 2 býlý kvalitní. • první 2 jsou kvalitní a tretí zmetek. 48 Příklad 49. Strelec strálá trikrát nezávisle na sobe do terce. Pravdepodobnosti zasahu jsou postupne 0,4 , 0,5 a 0,7.Jakáje pravdepodobnost, ze zasahne teržc a) praávže jednou, b) aspon jednou? 49 Příklad 50. Nechť A\,...,An jsou stochasticky nezávislé náhodné jevy, P(Ai) = pi pro i = 1,... ,n. Vyjídrete pravdepodobnost, ze a) nastane aspon jeden z uvedených jevu, b) nastanou vnechny uvedené jevy, c) nastane príavne jeden z uvedenyích jevUu. 50 Příklad 51. Dva strelči vystrelí nezavisle na sobe do tehoz terče kazdy jednu ranu. Po strelbe byl v teči nalezen 1 zísah. Určete pravděpodobnost, ze zísah patrí 1. strelči, pokud tento trefuje terče s pravdepodobností 0,8, zatímčo druhy střeleč s pravdepodobností 0,4. [Odpověď: 6/7] 51 Příklad 52. V teštu jšou u kazde otazky 4 mozne odpovedi. Pokud študent nezna odpoveď, tak hadá (uhodne š pravdepodobnošté j). Dobry študent zna 75% odpovedi, šlaby 30%. Ještlize byla určita otázka zod-povezena špráavne, určete pravdepodobnošt, ze študent jen háadal, jde-li o: • dobrého študenta, • špatného študenta, • náhodného študenta, kdy naváč víme, ze dobrýčh študentu jšou 2/3. [Odpověď: 1/13;7/19;1/7] 52 Příklad 53. Jaka je pravdepodobnost, ze dve nahodne zvolena císla z intervalu (0,1) budou mít soucet mensí nez 1 a soucin vetsí nez 2/9? [Odpověď: 1/6 - 2/9 • ln 2 ss 0,126.] 53 9. demonstrační cvičení Příklad 54. Osobý X a Y prijdou na smluvené místo kdýkoliv mezi 9.00 a 10.00 (okamziký príchodu jsou nezavisle a stejne mozne behem celíeho intervalu). Urccete pravdcepodobnost, cze: 1. prvníí z pcrííchozíích nebude muset na druhíeho ccekat díele necz 10 minut, 2. osoba Y přijde az jako druha, jestlize přijde po 9.30. [Odpověď: 1 - (5/6)2; (3/8)/(l/2)/ 54 Příklad 55. V lese tvaru trojúhelníka s vrcholy v bodech (—1,0), (1,0) a (0, \/3) se žtratilo díte. Pravděpodobnost výskytu dítete v urcite casti lesa je uímernía velikosti tíeto cíasti, nikoliv umíísteníí tíeto cíasti. Urcete 1. roždelení vždalenosti dítete od žvolene strany lesa, 2. roždelení vždalenosti dítete od nejbližsí strany lesa. [Odpověď: a) P (R < r) = r - ^ (pro r < b) P (R < r) = 2^3r - 3r2 pro r < ^3E. ] 55 Příklad 56 (Buffonova úloha). Rovina je rozdelena rovnobežkami umístenymi rovnomerne ve vzdalenosti d. Do roviny je náhodne umístena jehla délky l < d. Jaka je pravdepodobnost, ze jehla protne nekterou rovnobezku. [Odpověď: 2l/nd] 56 Příklad 57 (Hra na dlouhé jarní večery). Pri hodu minčí (Panna, Orel) opakovanem 3kmt, mame 8 moznyčh jevu, kazdy se stejnou pravdepodobností 8 : PPP, PPO, POP, POO, OPP, OPO, OOP, OOO. Hru hrají 2 hmči - kazdy si vybere jednu trojiči, pak hazeme minčí tak dlouho, azz se jedna z tzečhto trojič objevíí. Dotyzčníy hríazč vyhríavía. [Odpověď: Lze ukázat, že existuje pro druhěho hráče strategie výběru tak, ze má vzdy pravděpodobnost výhry alespoň 2/3. Pokud 1. hráč vybral trojici, začínající xx, já vyberu yxx. Pokud 1. hráč vybral trojici, začínající xy, já vyberu xxy. ] 57 Příklad 58. Třikrát nezávisle na sobě hodíme mincí. Náhodná veličina X udává počet hlav, která padnou pěi techto hodech. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny X. 58 Příklad 59. Predpokladejme, ze X mÁ diskrétní rozdelení takové, ze P(X = k) = c • k2 pro k = 1, 2,3 a P (X = k) = 0 jinak. Určete 1. hodnotu c, 2. P (X > 2), 3. P (X G {1,3}). 59 Příklad 60. Necht' ma X binomické rozdelená s parametry n = 4, p = 2/3. Urcete rozdelená transformovane nahodne veliciny Y = (X — 2)2 a nakreslete graf jejá distribucná funkce. 60 Příklad 61. Náhodná veličina X má distribuční funkci !0 pro x < 0 c • x2 pro 0 < x < 2 1 pro x > 2. Jaké hodnoty může nabývat konstanta c? 61 Příklad 62. Pravděpodobnost, ze výrobek bude vyhovovat vsem technickým pozadavkum, je 0,9. Popište rozdelení náhodné veliciny udávající pocet nevyhovujících výrobku mezi 3 výrobky. 62 Příklad 63. Rozhodnete, které z nísledujíčíčh funkčí jsou hustotami (mimo vymezeny interval je vzdy funkče nulova, c je vhodna konstanta - v prípade, ze jde o hustotu, tuto konstantu určete): 1. cx pro x G (0,1), 2. cx pro x G (—1, 2), 3. cx sin x pro x G (—|, |), 4. cex pro x G (0, to), 5. ce—x pro x G (0, to), 6 c 63 Príklad 64. Náhodná veličina X má distribuční funkci Určete: 1. hustotu pravdepodobnosti f (x), 2. P(-2 2. 64 10. demonstrační cvičení Příklad 65. V zásilce s 10 výrobky je 8 kvalitních (z nich je 5 první jakosti a 3 jsou druhé jakosti) a 2 zmetky. Ze zasilky vybereme bez vracení 2 výrobky. Nahodna veličina X necht značí pocet vybranych kvalitních vyrobku a Y pocet vybranych vyrobku první jakosti. Urcete sdruženou i marginalní pravdepodobností funkci a rozhodnete, zda jsou nahodne veličiny X a Y stochasticky nezavisle. 65 Příklad 66. Spojitá náhodná vektor (X, Y, Z) ma huštotu k • xyz pro 0 0 (a jinde nulové). Určete huštotu pravdepodobnošti náhodne veličiny Y = X2. 70 11. demonstrační cvičení Příklad 71. Nahodna veličina X ma na intervalu (0,a) konstantní hustotu pravdepodobnosti (a jinde nulovou). S využitím vlastností strední hodnoty a rozptylu urzčete: 1. Momentovou vytvočujíčí funkči nahodne veličiny X, 2. E(2X + 3), 3. E(3X2 - 2X + 1), 4. D(2X + 3), 5. D(X2 + 1). 71 Příklad 72. Náhodna velicina X má Poissonovo rozdelení (tj. pravděpodobnostní funkci = X"e"A). Urcete její momentovou vytvorujácá funkci, strednáí hodnotu a rozptyl. 72 Příklad 73. Diskrétnínahodný vektor (Xi, X2) mí simultanní pravdepodobnostní funkci n(0,-1) = c,n(0,0) = n(0,1) = n(1, -1) = n(2, -1) = 0,n(1,0) = n(0,1) = n(2,1) = 2c,n(2,0) = 3c a rovnou nule jinde. Urcete konstantu c a výpoctete: 1. kovarianci C(X1,X2), 2. korelacní koeficient R(X1,X2). [Odpověď: 1. 0,18; 2. 0,42.] 73 Příklad 74. Nečht Xi,X2 štočhaštičky nezávišle nahodne veličiny š normovanym normalnám rozdělením. Určete rozdelená rozdelená tranš-formovane náhodne veličiny Y = 3 + X1 — 2X2 a najdete jejá dolná kvartil. [Odpověd': Y ~ N(3, 5); 1,4918.] 74 Příklad 75. Bud' (X, Y) nahodny vektor, který ma rovnomerne roždelení na jednotkovíem kruhu. 1. Urcete sdruženou hustotu nahodneho vektoru (X, Y). 2. Dokažte, že X a Y nejsou stochasticky nežívisle. 3. Urcete hustotu sdruženého roždelení transformovaného vektoru (R, $), kde R a $ udavají polarní souradnice vektoru (X, Y). 4. Urcete marginílní hustoty nahodnych velicin R a $ a odvoddte, že jsou nežívisle (a tedy i nekorelované). 5. (volitel.) Urcete marginalní hustoty nahodnych velicin X a Y a jejich stredníí hodnoty, rožptyly a kovarianci. [Odpověď: Viz 12. prednáška (náhodně vektory, slajd c. 24)] 75 Příklad 76. Uvazte nahodne veličiny X ~ N (0,1) a a, kde P (a = 1) = p (a = —1) = 1/2. Určete: 1. rozdelená nahodne veličiny aX, 2. kovarianči C(X, aX). 3. Ukazte, ze X a aX nejšou nezaávišláe. 76 Příklad 77. 1. Dokazte Markovovu nerovnost p [x >M 3/). 2. Váte-li, ze X - Ex(±), vypoctete P(X > 3/). 78 Příklad 79. Určete pravdepodobnost, ze pri 600 hodečh kostkou padne sestka alespon 75 krít a nejvýše 125 krít 1. pomočí Cebysevovy nerovnosti, 2. pomočí de Moivre-Laplačeovy vety. [Odpověď: 1. aspoň 1§; 2.0,9937] 79 Příklad 80. Dokažte, že pro kvantily normovaneho normalního roždelení platíí vžtah —u a = Ui_ a . 2 1 2 80 Příklad 81. Víme, ze v jiste oblasti je 80% domačností vybaveno DVD prehravačem. S pravdepodobností 95% určete 1. rozmezí počtu tečh domačností z vylosovanýčh 900 domačností. kteríe vlastníí DVD, 2. dolní odhad počtu tečh domačností z vylosovanyčh 900 domačností. kteríe vlastníí DVD. 81 Příklad 82. Predpokladejme, ze velká skupina studentu ma ze zapoctove páísemky ze statistiky bodováe hodnoty normáalne rozlozeny kolem strednáí hodnoty 72 se smerodatnou odchylkou 9 bodu. Urcete pravdepodobnost, ze a) náhodne vybraná student bude mít vásledek lepsá nez 80 bodu, b) prumer vysledku nahodneho vyberu 10 studentu bude lepsá nez 80 boduu. 82 Příklad 83. Rychlost letadla byla určována v 5 zkouškách, jejichž aritmetický prUmer byl m = 870,3 ms-1. Najdete 95% interval spolehlivosti pro /i víte-li, ze měrení rychlosti se rídí normílním rozdělením se směrodatnou odchylkou 2,1ms-1. 83 Příklad 84. Nečht X1,..., Xn je náhodný vyber z rozdelení N (/i; 0,04). Jaký musí bít nejmensí počet merení, aby sírka intervalu spolehlivosti pro neznamou strední hodnotu // nepčesahla 0,16, a to na hladine vyznamnosti a = 0,05? 84 13. demonstrační cvičení Příklad 85. Televizní staniče, kterí vysíla serial Vrazedna čísla, by rada vedela, kolik času se průmerny student matematiky vydrzí dívat na TV, aby na ne mohla zamerit prípadnou reklamníkampan. Níhodnym vyberem 100 studentu zjistila, ze tydne sledují TV průmerne 20 hodin s (vyberovou) smerodatnou odčhylkou 5 hodin. Za predpokladu, ze se počet hodin u TV rídí normalním rozdelením, sestrojte 95% interval spolehlivosti pro stredníí hodnotu počtu hodin, kteríy matematiči stríavíí pred TV obrazovkou. [Odpověd': (19,01;20,99)] 85 Příklad 86. Pevnost nosníku ma normalní rozdelení s variabilitou výjídrenou směrodatnou odchýlkou a = 120. Noví technologie výrobý bude akceptovíana, jestlize zajistíí variabilitu nejvíýse 100. Rozhodnete, zdaje mozne na zaklade 16 merení s výberovou směrodatnou odchýlkou rovnou 107,5 s rizikem 0,05 prijmout novou technologii. 86 Příklad 87. Spotreba nového modelu auta byla testovana 11 Cidici s vysledky 7,5; 7,8; 6,9; 8,2; 8,0; 7,5; 9,0; 7,6; 8,1; 7,9; 8,3. Rozhodnete, zda je mozne se spolehlivostí 0,95 vyvrítit tvrzení vyrobce o prUmCrne spotrebe 7,7 1/100 km. 87 Příklad 88. Hloubka more se merí prístrojem, jehož systematicka chyba je nulovía a níahodníe chyby mereníí majíí normíalníí roždeleníí se směrodatnou odchylkou a = 1 m. Urcete, kolik mereníje treba provest, aby se hloubka more urcila s chybou nejvíyse 1/4 metru pri rižiku 0,05. [Odpověd': 62] 88 Příklad 89. Aktivní studenti chteli dopravnímu podniku dokízat, ze autobusý trpíí vetsíími víýkývý prííjezdovíých dob na danou zastaívku nez tramvaje a provedli mereníí odchýlek od jíízdníího ríadu: autobus 0 2 4 -3 2 -4 -3 0 0 5 tramvaj 4 6 3 0 -2 2 0 1 1 0 Z tabulký lze snadno výpocítat, ze Sf = 9,12 a 52 = 5,39. 1. Na hladine 0,05 testujte nulovou hýpotíezu, ze autobus i tramvaj jsou stejne spolehlivíe oproti alternativníí hýpotíeze, ze tramvaj je spolehlivejsíí. 2. Urcete maximalnípravdepodobnost s níz muuzete tvrdit, ze je tramvaj spolehlivejsíí nez autobus. 89 Příklad 90. 31 pacientů s rakovinou plic, lecenych novym lekem, ma průměrnou dobu prezitá 28 mesácu se směrodatnou odchylkou 4 mesáce. Z predchozách studiá je znamo, ze prUmerne prezitá pacientů bez podavaná nového leku je 26 mesácu. 1. Lze na zaklade techto dat usoudit, ze nová lek prodluzuje dobu prezitá? 2. Jak se zmená zaver, pokud se vyznamne zvetsápocet pacientů, resp. rozptyl? 90 Příklad 91. Hmotnost jedne porce kavy povazujeme za náhodnou velicinu s normálním rozdelením N(6g; 1,196g2). Urcete pravdepodobnost, ze k príprave 16 porcí kavy postací jeden lúúg balícek. [Odpověd': " % 1 " 100 / 100 f M - 6 Í22 - 6N P (V^ Xi < 100) = P (— VXí < -) = P (M < -) = P -— < 16 ^_ ~ 16 i=1 ~ 16 ' ' - 16' \<7/-v/16 - (7/716, = P < = P (U < 1/<7) = P (U < 0, 9144) sa 0, 818. J 91 Příklad 92. Ve dvou nadrzích se zkoumal obsah chlívu. Z první bylo odebrano 22 vzorků, z druhé 10 vzorků. Byly vypocteny nísledující hodnoty vyberovích průmerů a rozptylů: Mi = 34, 23, M2 = 35, 73, S2 = 1, 76, S| = 1,81. Hodnoty zjistene z odebranych vzorků povazujeme za realizace dvou nezavislych níhodnych víberů z rozdelení N(/ii, a2), resp. N(/i2, a2). Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot /i — /i2 a vyslovte zíver na dane hladine spolehlivosti o pod-statnosti rozdíílu namzezreníych hodnot. [Odpověď: Dosadíme do vztahu Mi - M2 ± Stý i + A. . t1-a/2(m + n - 2) hodnoty Mi - M2 = -1, 5, S„ = 1, 3323 a dostaneme interval (-2, 5377; -0, 4623). Do tohoto intervalu 0 nepatrí, proto je rozdíl ni - n2 statisticky významně rUzny od nuly.] 92