5. demonstrační cvičení
94.^104 -jaro 2010
Příklad 1. Dokažte, že daná množina H je normální podgrupa grupy G. Určete příslušnou faktorgrupu G/H.
1.   G = C, H = E.
2.   G = CX, H = E+.
3.   G = Z x Z, H = {(m,n) e Z x Z \ 6\2m - n}.
4.   G = SA,H={(i,j)o(k,l)}.
5.   G = {/ : E ->■ E I /(x) = ax + 6, a G Ex, b e E}, H = {/ : E -»■ E | /(x) = x + 6, 6 G E}
6-G={(&   c)|a'ceQX'6eQ},jff={(6   c) |a'6'ceQ'a,c>0}-
7. G = C, H = Z.
Příklad 2. Dokažte, že daná množina H netvoří normální podgrupu grupy G.
1.   G = {/ : E ->■ E | f (x) = ax + b,aeRx,beR}, H ={/:E^E| /(i) = ox,a£Rx}.
2.   G = §4, H = {vr G §4 | tt(3) = 3}
Příklad 3. Dokažte, že průnikem dvou normálních podgrup grupy G je opět normální podgrupa grupy G.
Příklad 4.
1.  Určete zbytek po dělení čísla 56   a čísla 7123456789 číslem 12.
2.  Určete poslední dvě cifry čísla 17444.