Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Matematika IV - 10. přednáška Transformace a číselné charakteristiky náhodných veličin Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 26. 4. 2010 Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooooooooooooooooooo Obsah přednášky Q Transformace náhodných veličin Q Číselné charakteristiky náhodných veličin Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. • Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4. • Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Popisná statistika, Masarykova univerzita, 3. vydání, 2002, 48 stran, ISBN 80-210-1831-3. • Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran, ISBN 80-210-3886-1. Číselné charakteristiky náhodných \ ooooooooooooooooooo Plán přednášky Transformace náhodných veličin :h veličin Transformace náhodných veličin •oooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Příklad (rozdělení %2(1)) Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu transforomované náhodné veličiny X = Z2. Transformace náhodných veličin •oooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Příklad (rozdělení %2(1)) Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu transforomované náhodné veličiny X = Z2. Řešení Zřejmě je pro x < 0 distribuční funkce nulová, pro x > 0 dostáváme: Fx(x) = P[Z2 < x] = P[-y/x < Z < y/x\ = 1 -*-a e 2 dz \/2Ťr Jo V2-7T a derivací podle x dostaneme hustotu 1 1 -i -íj t 2 e 2 dř 6c(x) _ 1 _x x 2 e 2 . Rozdělení náhodné veličiny s touto hustotou se nazývá (Pearsonovo) %2 rozdělení s jedním stupněm volnosti a značí se x - v2m. Transformace náhodných veličin o«ooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Transformace náhodných veličin Místo náhodné veličiny X, např. „roční plat zaměstnance", budeme vyčíslovat jinou závislou hodnotu ip(X), např. „roční čistý příjem zaměstnance po zdanění a včetně sociálních dávek". V systému se značnou sociální solidaritou je první veličina hodně variabilní, zatímco druhá může být skoro konstantní. Statisticky se proto budou značně odlišovat. Transformace náhodných veličin o«ooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Transformace náhodných veličin Místo náhodné veličiny X, např. „roční plat zaměstnance", budeme vyčíslovat jinou závislou hodnotu ip(X), např. „roční čistý příjem zaměstnance po zdanění a včetně sociálních dávek". V systému se značnou sociální solidaritou je první veličina hodně variabilní, zatímco druhá může být skoro konstantní. Statisticky se proto budou značně odlišovat. Připomeňme si přechod od binomického k Poissonovu rozdělení z minulé přednášky: '-" Věta (Poissonova) Je-li Xn ~ Bi(n,p„) taková, že lim„_ -^oo npn = X a X ~ Po(A), pak lim P[Xn = k] = P[X = k] n—>oo pro k = 0,1,.... □ s Transformace náhodných veličin oo«oooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Binomické rozdělení Bi(n,p) odpovídá n-krát nezávisle opakovanému pokusu popsanému alternativním rozdělením, přičemž naše náhodná veličina měří počet zdarů. Je tedy O'íl-p)1-' ŕ G {0,1,..., n} Transformace náhodných veličin oo«oooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Binomické rozdělení Bi(n,p) odpovídá n-krát nezávisle opakovanému pokusu popsanému alternativním rozdělením, přičemž naše náhodná veličina měří počet zdarů. Je tedy O'íl-p)1-' ŕ G {0,1,..., n} lim P(Xn = k) = lim rn\ (n - l)r"-k k nm .im ^-i)...(f;-*+i)if1_iy n->oo (n — 1JK k\ k\ n- lim [1 + —^ -x k\ Transformace náhodných veličin oo«oooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Binomické rozdělení Bi(n,p) odpovídá n-krát nezávisle opakovanému pokusu popsanému alternativním rozdělením, přičemž naše náhodná veličina měří počet zdarů. Je tedy O'íl-p)1-' ŕ G {0,1,..., n} lim P(Xn = k) = lim <ľn^ (" iy" k k J nr" lim f"'f"-1'-'V + 1'lfl-íV n->oo (n — 1)K k\ \ n hm 1 + —=- =-e"A /c! /woo y rn / /c! Poissonovo rozdělení popisuje náhodné veličiny s pravděpodobnostní funkcí fx(ŕ) = ^e"A proŕeN Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooo«ooooo ooooooooooooooooooo Nejjednodušší funkcí, po konstantách, je afinní závislost tp(x) = a + bx. V případě afinní závislosti x = \{y — a) je proto pravděpodobnostní funkce nenulová právě v bodech y, = ax; + b. Transformace náhodných veličin ooo«ooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Nejjednodušší funkcí, po konstantách, je afinní závislost tp(x) = a + bx. V případě afinní závislosti x = \{y — a) je proto pravděpodobnostní funkce nenulová právě v bodech y, = ax; + b.\l případě rozdělení Xn typu Bi(n, p) převádí transformace x = y^Jnp(l — p) + np náhodnou veličinu Xn na rozdělení Yn s distribuční funkcí blízkou distribuční funkci spojitého rozdělení A/(0,1). Transformace náhodných veličin ooo«ooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Nejjednodušší funkcí, po konstantách, je afinní závislost tp(x) = a + bx. V případě afinní závislosti x = \{y — a) je proto pravděpodobnostní funkce nenulová právě v bodech y, = ax; + b.\l případě rozdělení Xn typu Bi(n, p) převádí transformace x = y^Jnp(l — p) + np náhodnou veličinu Xn na rozdělení Yn s distribuční funkcí blízkou distribuční funkci spojitého rozdělení A/(0,1). Dříve uvedená Poissonova věta popisuje asymptotické chování binomického rozdělení pří n —> oo a p —> 0, následující věta pak chování v případě konstantní pravděpodobnosti zdaru p. Transformace náhodných veličin ooo«ooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Nejjednodušší funkcí, po konstantách, je afinní závislost tp(x) = a + bx. V případě afinní závislosti x = \{y — a) je proto pravděpodobnostní funkce nenulová právě v bodech y, = ax; + b.\l případě rozdělení Xn typu Bi(n, p) převádí transformace x = y^Jnp(l — p) + np náhodnou veličinu Xn na rozdělení Yn s distribuční funkcí blízkou distribuční funkci spojitého rozdělení A/(0,1). Dříve uvedená Poissonova věta popisuje asymptotické chování binomického rozdělení pří n —> oo a p —> 0, následující věta pak chování v případě konstantní pravděpodobnosti zdaru p. Věta (de Moivre-Laplaceova) Pro náhodné veličiny Xn s rozdělením Bi(n,p) platí Xn - np lim P n—>oo a < < b 4>(b) - je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin oooo»oooo ooooooooooooooooooo Příklad Hodíme kostkou celkem 12 000 krát. Určete pravděpodobnost toho že počet hozených šestek je mezi 1800 a 2 100. J Transformace náhodných veličin oooo»oooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Příklad Hodíme kostkou celkem 12 000 krát. Určete pravděpodobnost toho, že počet hozených šestek je mezi 1800 a 2 100. Řešení Přesná pravděpodobnost je dána výrazem ZS»o rnGAl)12000-''. což je obtížně vyčíslitelné. Transformace náhodných veličin oooo»oooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Příklad Hodíme kostkou celkem 12 000 krát. Určete pravděpodobnost toho, že počet hozených šestek je mezi 1800 a 2 100. Řešení Přesná pravděpodobnost je dána výrazem ZS»o rnGAl)12000-''. což je obtížně vyčíslitelné. Využijeme tvrzení Moivre-Laplaceovy věty, přepsaného do tvaru P[A ( B~np )-*( A~np ))^0 pro n —> 0. Transformace náhodných veličin oooo»oooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Příklad Hodíme kostkou celkem 12 000 krát. Určete pravděpodobnost toho, že počet hozených šestek je mezi 1800 a 2 100. Řešení Přesná pravděpodobnost je dána výrazem ZS»o rnGAl)12000-''. což je obtížně vyčíslitelné. Využijeme tvrzení Moivre-Laplaceovy věty, přepsaného do tvaru P[A ( B~np )-*( A~np ))^0 pro n —> 0. Transformace náhodných veličin ooooo«ooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Řešení (pokr.) Volbou p = 1/6, P « ( A = 1800, B = f 2100 -2000 1 2100,r -♦ )«0,£ í = 12000 dostá f 1800- 2000 1 váme odhad - v/6) - (-2^6 92. Transformace náhodných veličin ooooo«ooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Řešení (pokr.) Volbou p = 1/6, P « ( A = 1800, B = f 2100 -2000 1 2100,r -♦ )«0,£ í = 12000 dostá f 1800- 2000 1 váme odhad - v/6) - (-2Vš v^12000-i§y 92. Poznámka Statistické tabulky - viz např. https://is.muni.cz/auth/el/ 1433/jaro2008/MB104/um/StatTab.pdf nebo sbírka příkladů [BMO]. Transformace náhodných veličin ooooo«ooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Řešení (pokr.) Volbou p = 1/6, A = 1800, B = p^q( 2100 - 2000 1 V ^12000 .I|) = 4>(y/6) - 4>(-2y/6 2100, n = 12000 dostáváme odhad [ 1800 - 2000 j ) « 0, 992. Poznámka Statistické tabulky - viz např. https://is.muni.cz/auth/el/ 1433/jaro2008/MB104/um/StatTab.pdf nebo sbírka příkladů [BMO]. ' Příklad Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515 Jaká je pravděpodobnost, že mezi tisíci novorozenci bude alespoň tolik děvčat jako chlapců? Transformace náhodných veličin oooooo»oo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Příklad Nezávisle opakujeme pokus s výsledky 1 a 0, které mají neznámé pravděpodobnosti p a 1 — p. Parametr p chceme odhadnout pomocí relativních četnostíXn/n (Xn je počet jedniček při n pokusech). Víme, že je Xn ~ Bi(n,p), proto nám Moivre-Laplaceova věta umožní určit počet pokusů n potřebný k zajištění požadované přesnosti odhadu ô se spolehlivostí 1 — [3. Transformace náhodných veličin oooooo»oo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Příklad Nezávisle opakujeme pokus s výsledky 1 a 0, které mají neznámé pravděpodobnosti p a 1 — p. Parametr p chceme odhadnout pomocí relativních četnostíXn/n (Xn je počet jedniček při n pokusech). Víme, že je Xn ~ Bi(n,p), proto nám Moivre-Laplaceova věta umožní určit počet pokusů n potřebný k zajištění požadované přesnosti odhadu ô se spolehlivostí 1 — [3. Řešení Využijeme Moivre-Laplaceovu větu zapsanou ve tvaru \Xn 0 = lim n—>oo nS vV(i -p) < ô nS vV(i -p) □ S - ■ * Transformace náhodných veličin ooooooo«o Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Řešení Hledáme nejmenší n, splňující nerovnost P[\Xn/n — p\ < 5] > 1 — [3, kterou můžeme podle věty aproximovat nerovností 4 □ s - ■ * ■o o. o- Transformace náhodných veličin ooooooo«o Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Řešení Hledáme nejmenší n, splňující nerovnost P[\Xn/n — p\ < ô] > 1 — [3, kterou můžeme podle věty aproximovat nerovností \y/np(l-p)J \ y/np(l - p) = 24> { y nÔ )-!>!-(}. \^/np(l-p)J ~ Ta je ekvivalentní s podmiň kou nô/y/np(l-p) > z(/3/2), kde z(p) je řešení rovnice (z(p)) = 1 — p (tzv. kritická hodnota normovaného normálního rozdělení). □ s - ■ * ■O O. o- Transformace náhodných veličin ooooooo«o Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Řešení Hledáme nejmenší n, splňující nerovnost P[\Xn/n — p\ < ô] > 1 — [3, kterou můžeme podle věty aproximovat nerovností \y/np(l-p)J \ y/np(l - p) = 24> { y nÔ )-!>!-(}. \^/np(l-p)J ~ Ta je ekvivalentní s podmiň kou nô/y/np(l-p) > z(/3/2), kde z(p) je řešení rovnice (z(p)) = 1 — p (tzv. kritická hodnota normovaného normálního rozdělení). Pro ó = 0, 05 a 1 — /? = 0, 9 máme z tabulek z(/?/2) w 1,645 a s využitím zřejmého odhadu p(l - p) < 1/4 dostáváme n > (z(/3/2)/2č)2 « 270,6. Transformace náhodných veličin 00000000» Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooooo Transformace normálně rozložené veličiny Podobně zkusme opačnou transformaci provést na veličinu Y s normálním rozdělením A/(0,1). Pro pevně zvolená čísla /j,,a G M, a > O spočtěme rozdělení náhodné veličiny Z = jjl + aY'. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin 00000000» ooooooooooooooooooo Transformace normálně rozložené veličiny Podobně zkusme opačnou transformaci provést na veličinu Y s normálním rozdělením A/(0,1). Pro pevně zvolená čísla |i,dG a > O spočtěme rozdělení náhodné veličiny Z = /x + aY. Dostáváme distribuční funkci Fz(z) = P(Z < z) = P(/i + aY < z) & J-oo V27T 'Z-JS f ° 1 „-Í2/ r 1 (x-m)2 e 2-7T(T kde poslední úprava vychází ze substituce x = /j, + at. Hustota naší (x-M)2 nové náhodné veličiny Zje proto fz = e 2^2 a takovému rozdělení se říká normální typu N(/x, (x,)P(X = x,). i Je tedy E(tp(X)) přímo spočítatelná pomocí pravděpodobnostní funkce 5c- Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin o«ooooooooooooooooo Střední hodnota transforomováné náhodné veličiny Střední hodnotu můžeme přímo vyjádřit také pro funkce Y = tp(X) náhodné veličiny X. V diskrétním případě můžeme přímo spočíst E{Y) = Y,yjP{Y = yj) j j ^(X;)=yy = X>(x,)P(X = x,). i Je tedy E(tp(X)) přímo spočítatelná pomocí pravděpodobnostní funkce 5c- Podobně vyjadřujeme střední hodnotu funkce ze spojité náhodné veličiny: /oo V(x)fx(x)dx, -oo pokud tento integrál absolutně konverguje. Transformace náhodných i ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných \ oo«oooooooooooooooo Příklad Spočtěme střední hodnotu binomického rozdělení. Transformace náhodných i ooooooooo Příklad Spočtěme střední hodnotu binomického rozdělení. Řešení Pro X ~ Bi(n, p) je = (jV(i-p)n- k=0 ^ ' k n-1 {(n-k)\(k-l)\' 7=0 (n-l-j)\j\' np(p + (l -p))" 1 = np. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooo«ooooooooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Necht a, b G M a X, Y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak • E{a) = a, □ s - ■ m Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooo«ooooooooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Necht a, b G M a X, Y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak • E{a) = a, • E(a + bX) = a + bE(X), Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooo«ooooooooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Necht a, b e R a X, Y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak » E (a) = a, » E (a + bX) = = a + bE(X), • E(X + Y) = -E(X) + E(Y), Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooo«ooooooooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Necht a, b G M a X, Y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak • E{a) = a, • E(a + bX) = a + bE(X), • E(X + Y) = E(X) + E(Y), • jsou-HX a Y nezávislé, pak E{XY) = E{X) ■ E (Y). Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooo«ooooooooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta Necht a, b G M a X, Y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak • E{a) = a, • E(a + bX) = a + bE(X), • E(X + Y) = E(X) + E(Y), • jsou-HX a Y nezávislé, pak E{XY) = E{X) ■ E (Y). Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooo«ooooooooooooooo Základní vlastnosti střední hodnoty Věta * Necht a,beR a X,Y jsou náhodné veličiny s existující střední hodnotou. Pak • E (a) = a, » E (a + bX) = a + bE(X), • E(X + Y) = E(X) + E(Y), • jsou-li X a Y nezávislé, pak E(XY) = E(X) ■ E(Y). Důkazy těchto tvrzení jsou přímočaré, zkuste si je udělat! Analogická tvrzení platí i pro náhodné vektory. Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooo«oooooooooooooo Příklad Spočtěme ještě jednou střední hodnotu binomického rozdělení, tentokrát s využitím vlastností střední hodnoty. Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooo«oooooooooooooo Příklad Spočtěme ještě jednou střední hodnotu binomického rozdělení, tentokrát s využitím vlastností střední hodnoty. Řešení Vyjádříme počet zdarů v n pokusech jako počet zdarů v jednotlivých pokusech X k=l přičemž náhodné veličiny Yk mají všechny alternativní rozdělení A{p). Snadno spočítáme E( Yk) = 1 ■ p + 0 ■ (1 — p) = p. Dále víme, že střední hodnota součtu je součtem středních hodnot, proto E(X) = £E(Vk) np. k=l Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooooo»ooooooooooooo Kvantily Dalšími užitečnými charakteristikami jsou tzv. kvantily. Pro ryze monotóní distribuční funkci Fx (tj. spojitou náhodnou veličinu X s všude nenulovou hustotou, jako je tomu např. u normálního rozdělení) jde prostě o inverzní funkci F^1 : (0,1) —> R. To znamená, že hodnota y = F~1{a) je taková, že P(X < y) = a. Obecněji, je-li fx(x) distribuční funkce náhodné veličiny X, pak definujeme kvantilovou funkci2 F_1(a) = inf{x G R; F (x) >a}, a e (0,1). Zřejmě jde o zobecnění předchozí definice. 2Uvědomte si, že jsme se již s kvantily setkali, jen jsme jím tak zatím neříkali. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooooo»ooooooooooooo Kvantily Dalšími užitečnými charakteristikami jsou tzv. kvantily. Pro ryze monotóní distribuční funkci Fx (tj. spojitou náhodnou veličinu X s všude nenulovou hustotou, jako je tomu např. u normálního rozdělení) jde prostě o inverzní funkci F^1 : (0,1) —> R. To znamená, že hodnota y = F~1{a) je taková, že P(X < y) = a. Obecněji, je-li fx(x) distribuční funkce náhodné veličiny X, pak definujeme kvantilovou funkci2 F_1(a) = inf{x G R; F (x) >a}, a e (0,1). Zřejmě jde o zobecnění předchozí definice. Nejčastěji jsou používané kvantily s a = 0.5, tzv. medián, s a = 0.25, tzv. první kvartil, a = 0.75, tzv. třetí kvartil, a podobně pro decily a percentily (kdy je a rovno násobkům desetin a setin). K těmto hodnotám se vrátíme v popisné statistice později. 2Uvědomte si, že jsme se již s kvantily setkali, jen jsme jím tak zatím neříkali. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo oooooo«oooooooooooo Rozptyl a směrodatná odchylka Tyto číselné charakteristiky rozdělení náhodné veličiny nepopisují nějakou střední či typickou hodnotu (jako střední hodnota či medián), ale míru „kolísání" náhodné veličiny kolem střední hodnoty. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo oooooo«oooooooooooo Rozptyl a směrodatná odchylka Tyto číselné charakteristiky rozdělení náhodné veličiny nepopisují nějakou střední či typickou hodnotu (jako střední hodnota či medián), ale míru „kolísání" náhodné veličiny kolem střední hodnoty. Rozptylem (variancí) náhodné veličiny X, která má konečnou střední hodnotu, nazýváme číslo D(X) = varX = E([X - E(X)]2), odmocnina z rozptylu \JD(x) se pak nazývá směrodatná odchylka. Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooo»ooooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Věta Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D{X) = E(X2) - E{Xf, Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooo»ooooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Věta Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D{X) = E(X2) - E{Xf, Q D(a + bX) = b2D(X), Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooooooo»ooooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Věta Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D{X) = E(X2) - E{Xf, Q D(a + bX) = b2D(X), O ^D{a + bX) = \b\^/Ď(X). Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooooooo»ooooooooooo Základní vlastnosti rozptylu Věta Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D{X) = E(X2) - E{Xf, Q D(a + bX) = b2D(X), O ^D{a + bX) = \b\^/Ď(X). Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooooooo»ooooooooooo Základní vlastnosti rozptylu ' Věta * Pro náhodnou veličinu X a reálná čísla a, b platí: O D{X) = E(X2) - E{Xf, O D(a + bX) = b2D(X), O ^D{a + bX) = \b\y/D{X). Důkaz. Důkaz je přímočarý - nejprve se dokáže 2. tvrzení, pak tvrzení první. Poznamenejme, že tvrzení 1 se často používá k výpočtům D(X). □ Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooo«oooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooo«oooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Věta Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooo«oooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Věta Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooo«oooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Věta Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooo«oooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Věta Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo oooooooo«oooooooooo Kovariance O závislosti dvou náhodných veličin do jisté míry vypovídá tzv. kovariance, definovaná předpisem C(X, Y) = cov(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]). Veličinám X, Y, pro něž je C(X, Y) = 0, říkáme nekorelované . Pro náhodné veličiny s existujícími rozptyly platí: O C(X,Y) = C(Y,X), @ C(X,X) = D(X), O C(X, Y) = E{XY) - E{X)E{Y), O C(a + bX,c + dY) = bdC(X, Y), Q D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2C(X, Y), speciálně, jsou-li X, Y nezávislé, je D(X + Y) = D(X) + D{Y), tj. C(X, Y) = 0 a X, Y jsou nekorelované. •O O. o- Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooooooooo»ooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace (též korelační koeficient) je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooooooooo»ooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace (též korelační koeficient) je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: R(X, Y) = px>Y = C X-E(X) Y-E(Y) 9 R(X,X) = 1, Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooooooooo»ooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace (též korelační koeficient) je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: Věta O R(X,X) = 1, O R{a + bX,c + dY) = sgn(bd)R(X, Y), Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooooooooo»ooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace (též korelační koeficient) je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: Věta O R(X,X) = 1, O R{a + bX,c + dY) = sgn(bd)R(X, Y), O jsou-li X, Y nezávislé, je R{X, Y) = 0, Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooooooooo»ooooooooo Koeficient korelace Koeficient korelace (též korelační koeficient) je jen speciální název pro kovarianci dvou normovaných náhodných veličin: Věta O R(X,X) = 1, O R{a + bX,c + dY) = sgn(bd)R(X, Y), O jsou-li X, Y nezávislé, je R{X, Y) = 0, O \R(X,Y)\ < 1. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo oooooooooo«oooooooo Příklad Spočtěme rozptyl binomického rozdělení. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo oooooooooo«oooooooo Příklad Spočtěme rozptyl binomického rozdělení. Řešení Stejně jako dříve lze psát X = J2k=i ^k, kde Y\,... ,Yn jsou nezávislé náhodné veličiny vyjadřující úspěch v k-tém pokusu. Snadno vypočteme E(Y%) = l2 • p + O2 • (1 — p) = p, proto D{Yk) = E(V2) - E{Ykf = p - p2 = p(l - p). Protože pro nezávislé Yk platí D(£ Yk) = £ D(Yk), je D(X) = np(l-p). Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo oooooooooo«oooooooo Příklad Spočtěme rozptyl binomického rozdělení. Řešení Stejně jako dříve lze psát X = J2k=i Yk, kde Y\,... ,Yn jsou nezávislé náhodné veličiny vyjadřující úspěch v k-tém pokusu. Snadno vypočteme E(Y%) = l2 • p + O2 • (1 — p) = p, proto D{Yk) = E(V2) - E{Ykf = p - p2 = p(l - p). Protože pro nezávislé Yk platí D(£ Yk) = £ D(Yk), je _D(X) = np(l-p)._ Všimněme si, že výraz Xn — np/\Jnp(l — p) vystupující v Moivre-Laplaceově větě je totéž, co Xn — E(Xn)/\JD(x) a jde tedy o tzv. normovanou náhodnou veličinu (tj. veličinu lineárně transforomovanou tak, aby měla střední hodnotu 0 a rozptyl 1). Moivre-Laplaceova věta pak říká, že pro n —> oo se rozložení této náhodné veličiny blíží normovanému normálnímu rozdělení A/(0,1). Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOOOOOOOO0OOOOOOO Další momenty Někdy je užitečné studovat řadu dalších charakteristik rozdělení náhodných veličin. Za rozumných předpokladů jsou definovány k-té obecné momenty A = E(Xk) a k-té centrální momenty /xk = E([X-E(X)]k). Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOOOOOOOO0OOOOOOO Další momenty Někdy je užitečné studovat řadu dalších charakteristik rozdělení náhodných veličin. Za rozumných předpokladů jsou definovány k-té obecné momenty A = E(Xk) a k-té centrální momenty /xk = E([X-E(X)]k). Pomocí momentů pak definujeme např. šikmost (asymetrii) náhodné veličiny X jako £t3 nebo špičatost (exces) jako Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo oooooooooooo«oooooo 30 4 20 4 10 4 Q |..........| Kladná šikmost distribuce (více vysokých kladných hodnot než odpovídá normálnímu rozdělení s nulovou šikmostí). Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOOOOOOOOOO0OOOOO Momentová vytvořující funkce Definice Reálnou funkci proměnné t G M Mx(t) = E(e ) nazveme momentovou vytvořující funkcí náhodné veličiny X. Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOOOOOOOOOO0OOOOO Momentová vytvořující funkce Definice Reálnou funkci proměnné t G M Mx(t) = E(etX) nazveme momentovou vytvořující funkcí náhodné veličiny X. Poznámka Je-li X např. spojitá, platí /oo -oo f°° t2X2 = / (1 + tx+i—+ ...)f(x)dx = 1 + ř/Xi + -^p H---- a jde vlastně o exponenciální vytvořující funkci posloupnosti k-tých obecných momentů jd!k. Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooo«oooo Věta Pro momentovou vytvořující funkci platí: • A = ŮMx{t) |t=0. Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooo«oooo Věta Pro momentovou vytvořující funkci platí: • A = ŮMx{t) |t=0. • Platí-li Mx{t) = MY{ť) pro všechna t e (- b, b), mají náhodné veličiny stejné rozdělení, tj. fx(x) = FY{x). Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooo«oooo ' Věta * Pro momentovou vytvořující funkci platí: • A = ŮMx{t) |t=0. • Platí-li Mx{t) = MY{ť) pro všechna t e (- b, b), mají náhodné veličiny stejné rozdělení, tj. Fx{x) = FY{x). • Ma+bX(t) = eatMx{bt). Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooo«oooo Věta Pro momentovou vytvořující funkci platí: • A = ŮMx{t) |t=0. 9 Platí-li Mx{t) = MY{ť) pro všechna t e (-b, b), mají náhodné veličiny stejné rozdělení, tj. Fx(x) = Fy (x). • Ma+bX(t) = eatMx{bt). • Jsou-li X, Y nezávislé, je Mx+Y(t) = Mx(t)MY(t). Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooooooooooooooo»ooo Příklad Určete momentovou vytvořující funkci binomického rozdělení. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooo ooooooooooooooo»ooo Příklad Určete momentovou vytvořující funkci binomického rozdělení. M(t) = E(eíX) = £ etk (") pk{l - Py~k = k=0 ^ ' = £ (ľW)k(l " P)""* = k=0 ^ ' = (peí + (l-p))" = (p(eí-l) + ir. Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooo»ooo Příklad Určete momentovou vytvořující funkci binomického rozdělení. M(í) = E(eíX) = £ etk (") pk{l - Py~k = k=0 ^ ' k=0 ^ ' = (peí + (l-p))" = (p(eí-l) + ir. Snáze jsme mohli funkci určit s využitím předchozích vět a momentové vytvořující funkce alternativního rozdělení, neboť E(eíX) = eM • p + eí0(l - p) = p(eř - 1) + 1. Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooooo«oo Příklad Naposled spočtěme střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení, tentokrát s využitím vytvořující funkce. Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin oooooooooooooooo«oo Příklad Naposled spočtěme střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení, tentokrát s využitím vytvořující funkce. Řešení M(t) = {p{é - 1) + 1)", proto je ±M{t) = n{p{et - -i) + iy-Vp, což pro ř = 0 dá E{X) = //j = np Podobně spočítáme i D{x) = jjl'2 — 04)2- Transformace náhodných veličin ooooooooo Číselné charakteristiky náhodných veličin ooooooooooooooooo«o Momenty normálního rozdělení Přímý výpočet střední hodnoty a rozptylu normovaného normálního rozdělení není triviální. S využitím momentové vytvořující funkce je ale poměrně jednoduchý. Nechť Z ~ N(0,1). Pak Poslední integrál je roven 1 díky tomu, že na místě integrované funkce je funkce s vlastnostmi hustoty. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOO* Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení S využitím předchozího výpočtu Mz(t) = exp( y ) snadno spočítáme, že M'z(t) = ŕ exp M'^(t) = t2exp - +exp t2^ tt2 Dosazením t = O pak dostaneme E(Z) = 0,D(Z) = 1. Transformace náhodných veličin Číselné charakteristiky náhodných veličin OOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOO* Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení S využitím předchozího výpočtu Mz(t) = exp^yj snadno spočítáme, že Mz(ŕ) = ŕexp(|), 2 2 /Wz(ŕ) = ŕ2exp(^)+exp(^). Dosazením t = O pak dostaneme E(Z) = 0,D(Z) = 1. Pro transformovanou náhodnou veličinu Y = /j, + aZ ~ A/(/x, a2) pak snadno odvodíme z vlastností střední hodnoty, resp. rozptylu, že E(Y) = fj,, D{Y) = a2 (což zpětně zdůvodňuje zápis A/(/x,