Charakteristiky náhodných veličir i Normální rozdělení a rozdělení odvezen; i Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo OOOOOOOO OOO Matematika IV - 11. přednáška Normální rozdělení, limitní vlastnosti, zákony velkých čísel Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 5. 2010 Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo ooo Obsah přednášky Q Charakteristiky náhodných veličin Q Normální rozdělení a rozdělení odvezená Q Limitní věty a odhady Q Popisná statistika Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo ooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. • Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Popisná statistika, Masarykova univerzita, 3. vydání, 2002, 48 stran, ISBN 80-210-1831-3. • Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo ooo Plán přednášky Q Charakteristiky náhodných veličin O Limitní věty a odhady Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odve oooooooo zená Limitní věty a odhady Popisná statistika OOOOOOOO ooo Charakteristiky náhodných veličin - připomenutí • střední hodnota E(X) , Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odví oooooooo izená Limitní věty a odhady Popisná statistika OOOOOOOO ooo Charakteristiky náhodných veličin - připomenutí • střední hodnota E(X) , • rozptyl D{X) = E([X - E(X)]2) , směrodatná odchylka Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo ooo Charakteristiky náhodných veličin - připomenutí » střední hodnota E(X) , • rozptyl D(X) = E([X - E(X)f) , směrodatná odchylka • kovariance C(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]), korelační koeficient R(X, Y) = C(X, Y)/{^X~)^D{Y)), Cauchyova nerovnost \R(X, Y)\ < 1, Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika OOOOOOOO OOOOOOOO OOO Charakteristiky náhodných veličin - připomenutí » střední hodnota E(X) , • rozptyl D{X) = E([X - E(X)]2) , směrodatná odchylka y/Ď(X) • kovariance C(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(V)]), korelační koeficient R(X. Y) = C(X. Y)/{^D{X)^D{Y)), Cauchyova nerovnost \R(X, Y)\ < 1, • kvantily, Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika OOOOOOOO oooooooo ooo Charakteristiky náhodných veličin - připomenutí • střední hodnota E{X) , • rozptyl D(X) = E([X - E(X)]2) , směrodatná odchylka • kovariance C(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]), korelační koeficient R(X, Y) = C(X, Y)/\^D(X). Cauchyova nerovnost \R(X, Y)\<1, 9 kvantily, • další momenty (obecné, centrální) - momentová vytvořující funkce Mx(t) = E(éx) Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo ooo Charakteristiky náhodných veličin - připomenutí • střední hodnota E{X) , • rozptyl D(X) = E([X - E(X)]2) , směrodatná odchylka • kovariance C(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]), korelační koeficient R(X, Y) = C(X, Y)/\^D(X). Cauchyova nerovnost \R(X, Y)\<1, 9 kvantily, • další momenty (obecné, centrální) - momentová vytvořující funkce Mx(t) = E(éx) Věta Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo ooo Charakteristiky náhodných veličin - připomenutí • střední hodnota E{X) , • rozptyl D(X) = E([X - E(X)]2) , směrodatná odchylka • kovariance C(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]), korelační koeficient R(X, Y) = C(X, Y)/\^D(X). Cauchyova nerovnost \R(X, Y)\<1, 9 kvantily, • další momenty (obecné, centrální) - momentová vytvořující funkce Mx(t) = E(éx) Věta • Pro nezávislé náhodné veličiny platí Mx+y(t) = Mx(t)My(t). Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo ooo Charakteristiky náhodných veličin - připomenutí • střední hodnota E{X) , • rozptyl D(X) = E([X - E(X)]2) , směrodatná odchylka • kovariance C(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]), korelační koeficient R(X, Y) = C(X, Y)/\^D(X). Cauchyova nerovnost \R(X, Y)\<1, 9 kvantily, • další momenty (obecné, centrální) - momentová vytvořující funkce Mx(t) = E(éx) Věta • Pro nezávislé náhodné veličiny platí Mx+y(t) = Mx(t)My(t). 9 r-tý obecný moment i^'r náhodné veličiny X je koeficient u ^ v rozvoji Mx do exponenciální mocninné řady (tedy např. EX = DX = ú - (Mi)2;. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo ooo Charakteristiky náhodných veličin - připomenutí • střední hodnota E{X) , • rozptyl D(X) = E([X - E(X)]2) , směrodatná odchylka • kovariance C(X, Y) = E([X - E(X)][Y - E(Y)]), korelační koeficient R(X, Y) = C(X, Y)/\^D(X). Cauchyova nerovnost |/?(X, Y)\<1, 9 kvantily, • další momenty (obecné, centrální) - momentová vytvořující funkce Mx(t) = E(éx) Věta • Pro nezávislé náhodné veličiny platí Mx+y(t) = Mx(t)My(t). 9 r-tý obecný moment i^'r náhodné veličiny X je koeficient u ^ v rozvoji Mx do exponenciální mocninné řady (tedy např. EX = DX = ú - (Mi)2;. • Je-li Y=a+bX, pak MY{t) = eat Mx{bt). Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo ooo Plán přednášky Q Normální rozdělení a rozdělení odvezená O Limitní věty a odhady Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika •ooooooo oooooooo ooo Momenty normálního rozdělení Přímý výpočet střední hodnoty a rozptylu normovaného normálního rozdělení není triviální. S využitím momentové vytvořující funkce je ale poměrně jednoduchý. Nechť Z ~ N(0,1). Pak Poslední integrál je roven 1 díky tomu, že na místě integrované funkce je funkce s vlastnostmi hustoty. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika O0OOOOOO oooooooo ooo Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení S využitím předchozího výpočtu Mz(t) = exp( y ) snad spočítáme, že (I M'z(t) = ŕ exp Mz(t) = t2exp{-) +exp Dosazením t = 0 pak dostaneme E(Z) = 0,D(Z) = 1. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika O0OOOOOO oooooooo ooo Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení S využitím předchozího výpočtu Mz(t) = exp^yj snadno spočítáme, že MKr) = řexp(|), 2 2 A^(ŕ) = ŕ2exp(^)+exp(^). Dosazením t = 0 pak dostaneme E(Z) = 0,D(Z) = 1. Pro transformovanou náhodnou veličinu Y = /j, + aZ ~ A/(/x, a2) pak snadno odvodíme z vlastností střední hodnoty, resp. rozptylu, že E(Y) = fj,, D{Y) = a2 (což zpětně zdůvodňuje zápis A/(/x, 0 a nulová jinde (a, b > 0 jsou parametry) byla hustotou náhodné veličiny. Charakteristiky náhodných veliči Normální rozdělení a rozdělení odve ;ená Limitní věty a odhady Popisná statistika OOO0OOOO oooooooo ooo ľ (gamma) rozdělení r rozdělení se často používá u modelů čekání (např. v pojistné matematice je čas dožití často modelován pomocí gamma rozdělení). Příklad Určete konstantu c tak, aby funkce cxa 1e pro x > 0 a nulová jinde (a, b > 0 jsou parametry) byla hustotou náhodné veličiny. Řešení Hustota musí splňovat 1 = / cxa-1e-bxdx = Jo ľ°° /t\3-l I r ľ°° r = T- / ŕa"1e-ídŕ = ^r(a). ba Vn ba v ; Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooo«ooo oooooooo ooo Poznámka Funkce ľ je zobecnění faktoriálu = (n — 1)! pro n G N), definované předpisem T(a) = J*0°°xa_1e_xdx. Často počítáme hodnoty této funkce s využitím vlastností r(l/2) = V{a + 1) = a-V{a). Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooo«ooo oooooooo ooo Poznámka Funkce ľ je zobecnění faktoriálu = (n — 1)! pro n G N), definované předpisem T(a) = J*0°°xa_1e_xdx. Často počítáme hodnoty této funkce s využitím vlastností r(l/2) = V{a + 1) = a-V{a). Definice Rozdělení náhodné veličiny s hustotou f(x) T(a) spočítanou v předchozím příkladu nazýváme gamma rozdělení s parametry a, b a značíme T(a, b). □ s - ■ M Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooo«ooo oooooooo ooo Poznámka Funkce ľ je zobecnění faktoriálu definované předpisem l~(a) = /0°oxa_16 hodnoty této funkce s využitím vlastností r(l/2) = V{a + 1) = a-V{a). = (n-"xdx. 1)! pro n G N), Často počítáme Definice Rozdělení náhodné veličiny s hustotou f(x) T(a) spočítanou v předchozím příkladu nazýváme gamma rozdělení s parametry a, b a značíme T(a, b). Momentová vytvořující funkce je pak M{ť) = (bjb - t)a, střední hodnota E{X) = a/b a rozptyl D(X) = a/b2. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika ooooo»oo oooooooo ooo Příklad (rozdělení x2 podruhé) Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu transformované náhodné veličiny X = Z2. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika ooooo»oo oooooooo ooo Příklad (rozdělení x2 podruhé) Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu transformované náhodné veličiny X = Z2. Již dříve jsme vypočetli přímým výpočtem přes distribuční funkci, že hustota 6fW = 1 _1 _x x 2 e 2 2vr a řekli jsme si, že jde o (Pearsonovo) %2 rozdělení s jedním stupněm volnosti, které značíme X ~ X2(l). Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika ooooo»oo oooooooo ooo Příklad (rozdělení x2 podruhé) Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu transformované náhodné veličiny X = Z2. Již dříve jsme vypočetli přímým výpočtem přes distribuční funkci, že hustota 6fW = 2vr i "2 e a řekli jsme si, že jde o (Pearsonovo) %2 rozdělení s jedním stupněm volnosti, které značíme X ~ X2(l). Nyní vidíme, že jde o speciální případ T-rozdělení, totiž l~(l/2,1/2). Obecně pro součet Y čtverců n nezávislých náhodných veličin s rozdělením A/(0,1) obdobně odvodíme, že má rozdělení r(n/2,1/2) a říkáme, že Y má rozdělení x2(n) (chí kvadrát s n stupni volnosti). Toto rozdělení se ve statistice používá velmi často. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooo«o oooooooo ooo Další důležitá rozdělení F-rozdělení Jsou-li X, Y nezávislé náhodné veličiny s rozděleními X ~ X2(^), Y ~ X2(m)< Pak má transformovaná náhodná veličina U X/k Y/m takzvané Fisher-Snedecorovo F-rozdělení F(k, tri) s k a m stupni volnosti. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooo«o oooooooo ooo Další důležitá rozdělení F-rozdělení Jsou-li X, Y nezávislé náhodné veličiny s rozděleními X ~ X2(^), Y ~ X2(m)< Pak má transformovaná náhodná veličina U X/k Y/m takzvané Fisher-Snedecorovo F-rozdělení F(k, m) s k a m stupni volnosti. Studentovo t-rozdělení Jsou-li Z ~ A/(0, l)aX~ X2{n) nezávislé náhodné veličiny, pak má veličina 7 T ^Xfn tzv. Studentovo t-rozdělení ŕ(n) s n stupni volnosti. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika 0000000« oooooooo ooo Přehled rozdělení odvozených od normálního Zi,..., Zfc ~ A/(0,1) .....nezávislá normovaná normální X% = Yl^=i ~ X2(^) ■ ■ ■ ■ chĺ-kvadrát o k stupních volnosti X2 / k Fk m = v2 / ~ F(k, m) ■ ■ F-rozdělení s k a m stupni volnosti Tk = r^Yi- ~ ......t-rozdělení s k stupni volnosti Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika 0000000« oooooooo ooo Přehled rozdělení odvozených od normálního Zi,..., Zfc ~ A/(0,1) .....nezávislá normovaná normální X% = Yl^=i ~ X2(^) ■ ■ ■ ■ chĺ-kvadrát o k stupních volnosti X2 / k Fk m = v2 / ~ F(k, m) ■ ■ F-rozdělení s k a m stupni volnosti Tk = r^Yi- ~ ......t-rozdělení s k stupni volnosti Zřejmě Z2 - x2(l) a T£ - F(l, /c). Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika 0000000« oooooooo ooo Přehled rozdělení odvozených od normálního Zi,..., Zfc ~ A/(0,1) .....nezávislá normovaná normální X% = Yl^=i ~ X2(^) ■ ■ ■ ■ chĺ-kvadrát o k stupních volnosti X2 / k Fk m = v2 / ~ F(k, m) ■ ■ F-rozdělení s k a m stupni volnosti Tk = r^Yi- ~ t(k)......t-rozdělení s k stupni volnosti Zřejmě Z2 - x2(l) a "T2 ~ F(l, /c). rozdělení střední hodnota rozptyl A/(/x,a2) t(fc) (i k 0 m/(m-2) - 2) 2m2(/c + m - 2)//f(m - 2)2(m - 4) Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo ooo Plán přednášky Q Limitní věty a odhady Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika OOOOOOOO «0000000 ooo Motivace S jedním případem limitní věty jsme se již setkali -de Moivre-Laplaceova věta říká, že binomické rozdělení Bi(n,p) lze za určitých podmínek aproximovat normovaným normálním rozdělením. Obvykle se k aproximaci přistupuje při splnění podmínky np(l — p) > 9. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika OOOOOOOO «0000000 ooo Motivace S jedním případem limitní věty jsme se již setkali -de Moivre-Laplaceova věta říká, že binomické rozdělení Bi(n,p) lze za určitých podmínek aproximovat normovaným normálním rozdělením. Obvykle se k aproximaci přistupuje při splnění podmínky np(l — p) > 9. V této kapitole zformulujeme zobecnění této věty a rovněž další tvrzení umožňující odhadovat chování náhodných veličin při velkém počtu nezávislých opakování náhodného pokusu. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo o»oooooo ooo Čebyševova nerovnost Věta Pro libovolné e > 0 platí , DX P(\X-EX\ >e)<^. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo o»oooooo ooo Čebyševova nerovnost Věta Pro libovolné e > 0 platí , DX P(\X-EX\ >e)<^. Důkaz. Budeme odhadovat rozptyl DX ve spojitém případě (diskrétní analogicky): (X - EX)2f(x)dx > / (X - EX)2f(x)dx > -oo J\x-EX\>e > í e2f(x) dx = e2P(|X - EX\ > e). J\x-EX\>e □ •O O. o- Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oo«ooooo ooo Pomocí Čebyševovy nerovnosti můžeme odhadovat pravděpodobnost, s jakou se náhodná veličina s neznámým rozdělením odchýlí od své střední hodnoty o více než /(-násobek směrodatné odchylky (zřejmě je totiž P(\X — E(X)\ > ka) < A). Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oo«ooooo ooo Pomocí Čebyševovy nerovnosti můžeme odhadovat pravděpodobnost, s jakou se náhodná veličina s neznámým rozdělením odchýlí od své střední hodnoty o více než /(-násobek směrodatné odchylky (zřejmě je totiž P(\X — E(X)\ > ka) < A). Příklad Nechť je E{X) = fi, D{X) = a2. O Odhadněte P(\X > 3a). Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oo«ooooo ooo Pomocí Čebyševovy nerovnosti můžeme odhadovat pravděpodobnost, s jakou se náhodná veličina s neznámým rozdělením odchýlí od své střední hodnoty o více než /(-násobek směrodatné odchylky (zřejmě je totiž P(\X — E(X)\ > ka) < A). ' Příklad * Nechť je E{X) = fi, D{X) = a2. O Odhadněte P(\X - fx > 3(i). Q Vypočtěte P{\X - /i\ > 3a), jestliže navíc víte, že X ~ A/(0,1). Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oo«ooooo ooo Pomocí Čebyševovy nerovnosti můžeme odhadovat pravděpodobnost, s jakou se náhodná veličina s neznámým rozdělením odchýlí od své střední hodnoty o více než /(-násobek směrodatné odchylky (zřejmě je totiž P(\X — E(X)\ > ka) < A). ' Příklad * Nechť je E{X) = fi, D{X) = a2. O Odhadněte P(\X - fx > 3(i). Q Vypočtěte P{\X - /i\ > 3a), jestliže navíc víte, že X ~ A/(0,1). Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oo«ooooo ooo Pomocí Čebyševovy nerovnosti můžeme odhadovat pravděpodobnost, s jakou se náhodná veličina s neznámým rozdělením odchýlí od své střední hodnoty o více než /(-násobek směrodatné odchylky (zřejmě je totiž P(\X — E(X)\ > ka) < A). ' Příklad * Nechť je E{X) = fi, D{X) = a2. O Odhadněte P(\X - fx > 3(i). Q Vypočtěte P{\X - /i\ > 3a), jestliže navíc víte, že X ~ A/(0,1). Řešení O 1/9, 0 0,0027. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo ooo»oooo ooo Zákon velkých čísel Věta (Čebyševova) Necht jsou Xi,X2,... po dvou nezávislé náhodné veličiny, které mají všechny stejnou střední hodnotu [i a stejný rozptyl a2. Pak pro libovolné e > 0 platí lim P n—>oo 1 " n ^—' 11 ;=i < e Říkáme, že posloupnost aritmetických průměrů konverguje podle pravděpodobnosti ke střední hodnotě jjl. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo ooo»oooo ooo Zákon velkých čísel Věta (Čebyševova) Necht jsou Xi,X2,... po dvou nezávislé náhodné veličiny, které mají všechny stejnou střední hodnotu [i a stejný rozptyl a2. Pak pro libovolné e > 0 platí lim P n—>oo 1 " n ^—' 11 ;=i < e Říkáme, že posloupnost aritmetických průměrů konverguje podle pravděpodobnosti ke střední hodnotě [i. Speciálním případem této věty je Bernoulliova věta, která říká, že je-li Yn ~ Bi(n, p), pak posloupnost relativních četností Yn/n konverguje podle pravděpodobnosti k p. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooo«ooo ooo Věta (Bernoulliova) Pro náhodnou veličím pro libovolné e > 0 pl '( i s binon 3tí Yn --P n niekým rozdělením Yn ~ Bi(n,p) a / nez Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooo«ooo ooo Věta (Bernoulliova) Pro náhodnou veličím pro libovolné e > 0 pl i s binon 3tí Yn --P n niekým rozdělením Yn ~ Bi(n,p) a >e)<"(17». / nez Důkaz. Plyne snadno z Čebyševovy nerovnosti, neboť E(Yn/n) = np/n = p a D(Yn/n) = np(l - p)/n2 = p(l - p)/n. □ Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo ooooo»oo ooo Příklad Při zkoušce bylo zjištěno, že mezi 600 kontrolovanými studenty je 5 studentů, kteří neumí ani malou násobilku. Odhadněte pravděpodobnost, že relativní četnost takových studentů se od jejich pravděpodobnosti výskytu liší o více než 0,01? (Můžete předpokládat, že pravděpodobnost výskytu studenta bez znalosti násobilky je menší než 0,02). Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooo«o ooo Centrální limitní věta Centrální limitní věta dá odpověď na otázku, proč je normální rozdělení nejdůležitějším rozdělením. Ukazuje totiž, že rozdělení součtu dostatečně velkého počtu nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin lze aproximovat normálním rozdělením. Necht je Y\, Y2,... posloupnost nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin se střední hodnotou /j, a rozptylem a2. Pak pro normované náhodné veličiny platí lim P{Sn < x) = oo kde je distribuční funkce rozdělení A/(0,1). 'O0.o- Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika OOOOOOOO 0000000» ooo Příklad Mezi matematiky v ČR je jich 10% s příjmem přesahujícím celostátní průměr. Kolik matematiků je třeba pozvat na konferenci, aby s pravděpodobností aspoň 0,95 mezi nimi bylo 8 až 12 procent s nadprůměrným příjmem? Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika OOOOOOOO 0000000» ooo Příklad Mezi matematiky v ČR je jich 10% s příjmem přesahujícím celostátní průměr. Kolik matematiků je třeba pozvat na konferenci, aby s pravděpodobností aspoň 0,95 mezi nimi bylo 8 až 12 procent s nadprůměrným příjmem? V„ - Bi(n; 0,1), E(Y„) = 0,1 • n, D(Y„) = 0,1 • 0,9 • n. Pak O, 95 < P(0, 08n < Yn < 0,12n) = p ,'0,08-0,ln < Yn - O, ln < 0,12-0,1^ V0,09n V07Ď9ň ~ y070~9ň -y/ň < Vn - O, ln < 15 ~ ^/Ô^9ň ~ 15 15 j > O, 975, což je ekvivalentní y/n/lb > 1,96, tj. n > 865. foq.o- Charakteristiky náhodných veliči Normální rozdělení a rozdělení odve :ená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo OOOOOOOO ooo Řešení (Pomocí Bernoulliovy nerovnosti) Nyní využijme Bernoulliovu nerovnost - ta dává Yn 0,1 < 0,02 > 1 0,1 0,9 n ■ 0, 022 ' což má být alespoň 0,95. Odtud 0,09 n > 0, 05 • 0, 022 4500. Charakteristiky náhodných veliči Normální rozdělení a rozdělení odve :ená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo OOOOOOOO OOO Řešení (Pomocí Bernoulliovy nerovnosti) Nyní využijme Bernoulliovu nerovnost - ta dává Yn 0,1 < 0,02 > 1 0,1 0,9 n ■ 0, 022 ' což má být alespoň 0,95. Odtud 0,09 n > 0, 05 • 0, 022 4500. Vidíme, že odhad prostřednictvím Bernoulliovy nerovnosti je podstatně slabší než odhad s využitím centrálni limitní věty (resp. de Moivre-Laplaceovy věty). Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo ooo Plán přednášky Q Limitní věty a odhady Q Popisná statistika Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika OOOOOOOO OOOOOOOO «00 Statistika zkoumá jevy na rozsáhlých souborech případů a zkoumá statistické znaky jednotlivých statistických jednotek. Obvykle nelze testovat všechny jednotky základního souboru, proto se omezujeme na prozkoumání některého výběrového souboru rozsahu n. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika OOOOOOOO OOOOOOOO «00 Statistika zkoumá jevy na rozsáhlých souborech případů a zkoumá statistické znaky jednotlivých statistických jednotek. Obvykle nelze testovat všechny jednotky základního souboru, proto se omezujeme na prozkoumání některého výběrového souboru rozsahu n. Předpokládejme, že jsme na n statistických jednotkách naměřili soubor hodnot X\,..., xn daného znaku. Znaky obvykle dělíme na kvalitativní (nominální, ordinální) a kvantitativní (intervalové, poměrové). Počtu prvků souboru říkáme rozsah. Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo 0«0 Základní pojmy popisné statistiky • absolutní (relativní) četnosti, četnostní tabulka Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika OOOOOOOO oooooooo 0«0 Základní pojmy popisné statistiky • absolutní (relativní) četnosti, četnostní tabulka • histogram Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo 0«0 Základní pojmy popisné statistiky • absolutní (relativní) četnosti, četnostní tabulka • histogram • (výběrový) průměr, geometrický, harmonický průměr Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika OOOOOOOO oooooooo 0«0 Základní pojmy popisné statistiky • absolutní (relativní) četnosti, četnostní tabulka • histogram • (výběrový) průměr, geometrický, harmonický průměr » medián, p-tý kvantil, percentil, kvartil Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo 0«0 Základní pojmy popisné statistiky • absolutní (relativní) četnosti, četnostní tabulka • histogram • (výběrový) průměr, geometrický, harmonický průměr » medián, p-tý kvantil, percentil, kvartil • modus Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo 0«0 Základní pojmy popisné statistiky • absolutní (relativní) četnosti, četnostní tabulka • histogram • (výběrový) průměr, geometrický, harmonický průměr » medián, p-tý kvantil, percentil, kvartil • modus • rozptyl s%, resp. n/(n — l)s^ Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo 0«0 Základní pojmy popisné statistiky • absolutní (relativní) četnosti, četnostní tabulka • histogram • (výběrový) průměr, geometrický, harmonický průměr » medián, p-tý kvantil, percentil, kvartil • modus • rozptyl s2, resp. n/(n — l)s2 • rozpětí, kvartilové rozpětí, průměrná odchylka (od mediánu) Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo 0«0 Základní pojmy popisné statistiky • absolutní (relativní) četnosti, četnostní tabulka • histogram • (výběrový) průměr, geometrický, harmonický průměr » medián, p-tý kvantil, percentil, kvartil • modus • rozptyl s2, resp. n/(n — l)s2 • rozpětí, kvartilové rozpětí, průměrná odchylka (od mediánu) • koeficient šikmosti, špičatosti Charakteristiky náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení odvezená Limitní věty a odhady Popisná statistika oooooooo oooooooo oom Diagramy Krabicový diagram, box plot I Value > eOlh Percentile íóth PercanlilB 7ílh PercenlilB - Mecian T - lílft Peraanlila ■ lůth Peroanlila . Value ^iIDth Percentile □ s - ■ M