Matematika IV - 3. přednáška Podgrupy, homomorfismy a rozklady Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 8. 3. 2010 □ S oooooooooooooo Obsah přednášky Podgrupy, homomorfismy a součiny Rozklady podle podgrup Normální podgrupy □ s oooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Předmětové záložky v IS MU □ s oooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. a Předmětové záložky v IS MU • Jiří Rosický, Algebra, PřF MU, 2002. • Peter J. Cameron. Introduction to algebra, Oxford University Press, 2001, 295 s. (Dostupné v knihovně PřF). oooooooooooooo Plán přednášky Podgrupy, homomorfismy a součiny Rozklady podle p< upy □ s - = ■€. -o<\(y 'odpologrupy a podgrupy Definice Je-li (A, •) grupa (případně pologrupa), pak její podmnožinu B c A, která je uzavřená vůči zúžení operace • a zároveň je spolu s touto operací grupou (resp. pologrupou) , nazýváme podgrupa (resp. podpologrupa) v (A, •). □ s 'odpologrupy a podgrupy Definice Je-li (A, •) grupa (případně pologrupa), pak její podmnožinu B c A, která je uzavřená vůči zúžení operace • a zároveň je spolu s touto operací grupou (resp. pologrupou) , nazýváme podgrupa (resp. podpologrupa) v (A, •). B Necht (G, o) grupa. Pak 9 + H C G je její podgrupa právě tehdy, když O y a, b G H : ao b- • Podobně Zg = = (1) = (3) = (5) = = (7). • m,-) = {3) = (5). □ s J Si □ s 1 Sá □ s Homomorfismus Definice Zobrazení f : (G, •) —>■ (H, o) mezi dvěmi grupami (G, •) a (H, o) se nazýva homomorfismus grup, jestliže respektuje násobení, tj. pro všechny prvky a, b G G platí f(ab) = f(a)of(b). Povšimněme si, že násobení vlevo je uvnitř grupy G předtím, než zobrazujeme, zatímco vpravo jde o násobení v H poté, co zobrazujeme. □ s Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti homomorfismů: Pro každý homomorfismus f : G —> H grup platí O obraz neutrálního prvku ec £ G je neutrální prvek v H □ g - = Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti homomorfismů: Pro každý homomorfismus f : G —> H grup platí O obraz neutrálního prvku ec £ G je neutrální prvek v H O obraz inverze k prvku je inverzí obrazu, tj. f (a-1) = f{a)~ □ s Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti homomorfismů: Pro každý homomorfismus f : G —> H grup platí O obraz neutrálního prvku ec £ G je neutrální prvek v H O obraz inverze k prvku je inverzí obrazu, tj. f (a-1) = f{a)~ O obraz podgrupy K < G je podgrupa f (K) < H. □ s Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti homomorfismů: Pro každý homomorfismus f : G —> H grup platí O obraz neutrálního prvku ec £ G Je neutrální prvek v H O obraz inverze k prvku Je inverzí obrazu, tj. f (a-1) = f{a)~ O obraz podgrupy K < G je podgrupa f (K) < H. Q vzorem f ~1(K) < G podgrupy K < H je podgrupa. □ s Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti homomorfismů: roffii Pro každý homomorfismus f : G —> H grup platí O obraz neutrálního prvku ec £ G je neutrální prvek v H Q obraz inverze k prvku je inverzí obrazu, tj. f (a-1) = - fia)-1- O obraz podgrupy K < G je podgrupa f (K) < H. Q vzorem f ~1(K) < G podgrupy K < H je podgrupa O je-li f zároveň bijekcí, pak i inverznízobrazení f"_1 \e homomorfismus. □ s Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti homomorfismů: Pro každý homomorfismus f : G —> H grup platí O obraz neutrálního prvku ec £ G je neutrální prvek v H Q obraz inverze k prvku je inverzí obrazu, tj. f (a-1) = f (a)-1 O obraz podgrupy K < G je podgrupa f (K) < H. Q vzorem f ~1(K) < G podgrupy K < H je podgrupa. O je-li f zároveň bijekcí, pak i inverznízobrazení f"_1 je homomorfismus. Q f je injektivní zobrazení právě tehdy, když f~1{ej-i) = {ec}- □ s Definice Podgrupa, která je vzorem jednotkového prvku e E H (tj. f_1(e)) se nazývá jádro homomorfismu f a značíme ji ker f. Bijektivni homomorfismus grup G a H nazýváme izomorfismus (a značíme G^H). Poznámka Podobně jako v teorii grafů jsou i v algebře izomorfní objekty nerozlišitelné. □ s Definice Podgrupa, která je vzorem jednotkového prvku e E H (tj. f_1(e)) se nazývá jádro homomorfismu f a značíme ji ker f. Bijektivní homomorfismus grup G a H nazýváme izomorfismus (a značíme G^H). Poznámka Podobně jako v teorii grafů jsou i v algebře izomorfní objekty nerozlišitelné. Z předchozích tvrzení okamžitě vyplývá, že homomorfismus f : G —> H s triviálním jádrem je izomorfismem G na obraz f{G). □ s - Příklad (1) Pro každou grupu permutací G = Hn jsme definovali zobrazení sgn : (Tn,°) —*■ (^2,+) přiřazující permutaci její paritu (lichá=l, sudá=0). Jde o homomorfismus grup (£n,°) a (^2, +) ■ Jádrem tohoto homomorfismu jsou permutace se sudou paritou (tj. tzv. alterrnující grupa An). Příklad (1) Pro každou grupu permutací G = Hn jsme definovali zobrazení sgn : (Tn,°) —*■ (^2,+) přiřazující permutaci její paritu (lichá=l, sudá=0). Jde o homomorfismus grup (£n,°) a (^2, +) ■ Jádrem tohoto homomorfismu jsou permutace se sudou paritou (tj. tzv. alterrnující grupa An). (2) Grupa symetrií rovnostranného trojúhelníka Dq je izomorfní s grupou permutací Z3. Stačí zvolit realizaci Z 3 tak, že za množinu tří prvků pro permutace vezmeme vrcholy trojúhelníka a jednotlivým symetriím přiřadíme permutace těchto vrcholů, které vyvolají. Příklad (1) Pro každou grupu permutací G = Hn jsme definovali zobrazení sgn : (Tn,°) —*■ (^2,+) přiřazující permutaci její paritu (lichá=l, sudá=0). Jde o homomorfismus grup (£n,°) a (^2, +) ■ Jádrem tohoto homomorfismu jsou permutace se sudou paritou (tj. tzv. alterrnující grupa An). (2) Grupa symetrií rovnostranného trojúhelníka Dq je izomorfní s grupou permutací Z3. Stačí zvolit realizaci Z 3 tak, že za množinu tří prvků pro permutace vezmeme vrcholy trojúhelníka a jednotlivým symetriím přiřadíme permutace těchto vrcholů, které vyvolají. (3) Zobrazení exp : R -»■ R+ (nebo C ->■ C \ {0}) je homomorfismus aditivní grupy reálných nebo komplexních čísel na multiplikativní grupu kladných reálných čísel, resp. na multiplikativní grupu všech nenulových komplexních čísel. V případě reálných čísel jde o izomorfismus (co je jeho inverzí?). Pro komplexní čísla dostáváme netriviální jádro {2/on; k G Z}. Příklad (4) Determinant matice je zobrazením, které každé matici skalárů z K přiřazuje nějaký skalár z K (pracovali jsme s IK = Z, Q,R, C). Cauchyova věta o determinantu součinu čtvercových matic det(A ■ B) = (det A) • (det B) je tvrzením, že pro grupu G = GL(n,K) invertibilních matic je det : G —> K\ {0} multiplikativním homomorfismem grup. □ s Příklad (4) Determinant matice je zobrazením, které každé matici skalárů z K přiřazuje nějaký skalár z K (pracovali jsme s IK = Z, Q,R, C). Cauchyova věta o determinantu součinu čtvercových matic det(A ■ B) = (det A) • (det B) je tvrzením, že pro grupu G = GL(n,K) invertibilních matic je det : G —> K\ {0} multiplikativním homomorfismem grup. (5) Grupy zbytkových tříd (Z^, +) jsou izomorfní grupám komplexních /c-tých odmocnin z jedničky, což jsou zároveň izomorfní obrazy konečných grup otočení v rovině o celé násobky úhlu ^. (6) Multiplikativní grupa invertibilních zbytkových tříd (Zp,) je izomorfní aditivní grupě (Zp_i, +) (plyne z cykličnosti grupy -později snad dokážeme). □ s ooooooooo«oooo Rozklady podle pod. ooooo (Přímý) součin grup Definice Pro každé dvě grupy (G, •), (H,o) definujeme součin grup (G x /-/, *) takto: Jako množina je G x H skutečně (kartézský) součin, na kterém definujeme grupové násobení po složkách, tj. (a,x)*(b,y) = (a- b,xoy). Poznámka Rozmyslete si, že jde o grupu a že součin komutativních grup je zase komutativní! □ s ooooooooo«oooo Rozklady podle pod. ooooo (Přímý) součin grup Definice Pro každé dvě grupy (G, •), (H,o) definujeme součin grup (G x /-/, *) takto: Jako množina je G x H skutečně (kartézský) součin, na kterém definujeme grupové násobení po složkách, tj. (a,x)*(b,y) = (a- b,xoy). Poznámka Rozmyslete si, že jde o grupu a že součin komutativních grup je zase komutativní! Zobrazení Pg ■ G x H 3 (a, x) h-> a G G, pn : G x H 3 (a, x) i-> x G H jsou surjektivní homomorfismy (tzv. projekce) s jádry ker pG = {(ec,x); x G H} ker p h = {(a, en); a e G}. □ s - - Příklad (7) Grupa Z6 je izomorfní součinu Z2 x Z3. Toto lze nahlédnout buď geometrickou úvahou (prostřednictvím grup symetrií v rovině) nebo přímou konstrukcí izomorfismu. □ s Příklad * (7) Grupa Zß je izomorfní součinu Z2 x Z3. Toto lze nahlédnout buď geometrickou úvahou (prostřednictvím grup symetrií v rovině) nebo přímou konstrukc izomorfismu. V aditivní notaci vypadá izomorfismus takto: [0W([0]2,[0]3), [iW([i]2 [2]3) [2]6^([0]2,[1]3), [3]6^([1]2 [0]3) [4]6^([0]2,[2]3), [5]6^([1]2 [1]3) □ s Příklad (7) Grupa Zß je izomorfní součinu Z2 x Z3. Toto lze nahlédnout buď geometrickou úvahou (prostřednictvím grup symetrií v rovině) nebo přímou konstrukcí izomorfismu. V aditivní notaci vypadá izomorfismus takto: [0W([0]2,[0]3), [1W ([1]2> [2]3) [2W([0]2,[1]3), [3W ([1]2> [0]3) [4]6-([0]2,[2]3), [5]6 ~ ([1]2> [1]3) (8) Dihedrální grupa Ds (tj. grupa symetrií čtverce, (r, s\r = l,s2 = l,srs = r_1) ) není izomorfní součinu Z2 x Z4, přestože mají stejný počet prvků (Ds není komutativní). □ s Čínska zbytková věta (Chinese remainder theorem) Předchozí příklad je speciálním případem tzv. Čínské zbytkové věty. Jsou-li k, m nesoudělná, pak (Zkm,+)^(Zk,+)x(Zm,+). □ s - = ■€. -o<\(y Čínská zbytková věta (Chinese remainder theorem) Předchozí příklad je speciálním případem tzv. Čínské zbytkové věty. Jsou-li k, m nesoudělná, pak a obecněji Jsou-li mi, ítt2, • • • , m k po dvou nesoudělná, pak (ZUm., +) =* (Zmi, +) x (Zm2, +) x • • • x (Zmfc, +). Tenřo izomorfismus se často s výhodou využívá k reprezentaci velkých čísel při distribuovaných výpočtech pracujících s dělitelností, kdy na každém počítači stačí pracovat s jedním (relativně malým) modulem. Důkaz CRT: Sestrojíme požadovaný izomorfismus f . Označme m = Y[; m, a pro libovolné [a]m G Zm položme f([a]m) = ([a]mi,..., [a]mJ. Snadno se ověří, že jde o injektivní homomorfismus (co je jádrem?). 1A nešlo by to ještě šikovněji? Pokud nám stačí existence izomorfismu, tak stačí využít toho, že injektivní zobrazení mezi množinami o stejném počtu prvků je automaticky bijekcí. Důkaz CRT: Sestrojíme požadovaný izomorfismus f . Označme m = Y[; m, a pro libovolné [a]m G Zm položme f([a]m) = ([a]mi,..., [a]mJ. Snadno se ověří, že jde o injektivní homomorfismus (co je jádrem?). Zbývá dokázat, že jde i o surjekci, tedy, že libovolný prvek (M mu • [3k]mk) S (Zmi,+) (Zmk,+) je obrazem nějakého a G Zm. To je ale totéž jako najít a G Z takové, že a = a\ (mod mi),..., a = a k (mod m/t), což se udělá malým (ale šikovným) trikem:1 1A nešlo by to ještě šikovněji? Pokud nám stačí existence izomorfismu, tak stačí využít toho, že injektivní zobrazení mezi množinami o stejném počtu prvků je automaticky bijekcí. Sestrojíme požadovaný izomorfismus f . Označme m = Y[; m, a pro libovolné [a]m G Zm položme f([a]m) = ([a]mi,..., [a]mJ. Snadno se ověří, že jde o injektivní homomorfismus (co je jádrem?). Zbývá dokázat, že jde i o surjekci, tedy, že libovolný prvek ([ai]mi,..., [ak]mk) G (Zmi, +) x • • • x (Zmk, +) je obrazem nějakého a G Zm. To je ale totéž jako najít a G Z takové, že a = a\ (mod mi),..., a = a k (mod m/t), což se udělá malým (ale šikovným) trikem:1 Pro libovolné 1 < i < k položme n; = m/rrij a protože (m,-, n,-) = 1 (zde jsme využili nesoudělnost po dvou), najdeme podle Bezoutovy věty u\ a v, tak, že u,m\ + Vjrij = 1, tj. Vjrij = 1 (mod m,-). JA nešlo by to ještě šikovněji? Pokud nám stačí existence izomorfismu, tak stačí využít toho, že injektivní zobrazení mezi množinami o stejném počtu prvků je automaticky bijekcí. Sestrojíme požadovaný izomorfismus f . Označme m = Y[; m, a pro libovolné [a]m G Zm položme f([a]m) = ([a]mi,..., [a]mJ. Snadno se ověří, že jde o injektivní homomorfismus (co je jádrem?). Zbývá dokázat, že jde i o surjekci, tedy, že libovolný prvek ([ai]mi,..., [ak]mk) G (Zmi, +) x • • • x (Zmk, +) je obrazem nějakého a G Zm. To je ale totéž jako najít a G Z takové, že a = a\ (mod mi),..., a = a k (mod m/t), což se udělá malým (ale šikovným) trikem:1 Pro libovolné 1 < i < k položme n; = m/rrij a protože (m,-, n,-) = 1 (zde jsme využili nesoudělnost po dvou), najdeme podle Bezoutovy věty u\ a v, tak, že u,m\ + Vjrij = 1, tj. Vjrij = 1 (mod m,-). Hledané a pak najdeme jako a = Y,iaivini- 1A nešlo by to ještě šikovněji? Pokud nám stačí existence izomorfismu, tak stačí využít toho, že injektivní zobrazení mezi množinami o stejném počtu prvků je automaticky bijekcí. ooooooooooooo- Cyklické grupy Pro libovolný prvek a v grupě G existuje minimální podgrupa {e = a°,a = a1, a2, a3,... }, která jej obsahuje2. Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e. 2Co znamenají ty mocniny? □ s ooooooooooooo- Cyklické grupy Pro libovolný prvek a v grupě G existuje minimální podgrupa {e = a°,a = a1, a2, a3,... }, která jej obsahuje2. Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e. Nejmenší k s touto vlastností nazýváme řád prvku a v G. Grupa G je cyklická, je-li celé G generované nějakým svým prvkem a výše uvedeným způsobem. 2Co znamenají ty mocniny? □ s Pro libovolný prvek a v grupě G existuje minimální podgrupa {e = a°,a = a1, a2, a3,... }, která jej obsahuje2. Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e. Nejmenší k s touto vlastností nazýváme řád prvku a v G. Grupa G je cyklická, je-li celé G generované nějakým svým prvkem a výše uvedeným způsobem. Zjistit pro konkrétní cyklickou grupu generátor je obecně obtížný problém. I při znalosti generátoru g G G je ale obecně velkým problémem zjistit pro dané a e G číslo k, pro které gk = a (tzv. problém diskrétního logaritmu je základem mnoha kryptografických protokolů - EIGamal, Diffie-Hellman, DSA). 2Co znamenají ty mocniny? Pro libovolný prvek a v grupě G existuje minimální podgrupa {e = a°,a = a1, a2, a3,... }, která jej obsahuje2. Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e. Nejmenší k s touto vlastností nazýváme řád prvku a v G. Grupa G je cyklická, je-li celé G generované nějakým svým prvkem a výše uvedeným způsobem. Zjistit pro konkrétní cyklickou grupu generátor je obecně obtížný problém. I při znalosti generátoru g G G je ale obecně velkým problémem zjistit pro dané a e G číslo k, pro které gk = a (tzv. problém diskrétního logaritmu je základem mnoha kryptografických protokolů - EIGamal, Diffie-Hellman, DSA). Z definice přímo vyplývá, že každá cyklická grupa je izomorfní buď grupě celých čísel Z (pokud je nekonečná) nebo některé grupě zbytkových tříd Z^ (když je konečná). 2Co znamenají ty mocniny? oooooooooooooo Plán přednášky Q Podgrupy, homomorfismy a součiny Rozklady podle podgrup upy □ S oooooooooooooo Rozklady podle podgrup Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h £> jestliže b Je to relace ekvivalence: a G H, tj. a~L- be H □ S oooooooooooooo Rozklady podle podgrup Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h £> jestliže b~x ■ a e H, tj. a-1 • b e H . Je to relace ekvivalence: • a-1 • a = e G H, □ s oooooooooooooo Rozklady podle podgrup Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h £> jestliže b~x ■ a e H, tj. a-1 • b e H . Je to relace ekvivalence: • a-1 • a = e G H, 9 je-li b'1 ■ a = h e H, potom a"1 • b = (b'1 ■ a)"1 = h'1 e H, □ S oooooooooooooo Rozklady podle podgrup Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h £> jestliže b~x ■ a G H, tj. a-1 • b G H . Je to relace ekvivalence: • a-1 • a = e G H, • je-li b'1 ■ a = h e H, potom a"1 • b = (b'1 • a)"1 = h'1 e H • je-li c-1 ■ b H ■ a-1 zadává bijekci mezi levými a pravými třídami rozkladu G podle H. Poznámka Rozmyslete si, proč je v posledním tvrzení a 1 a nikoliv a. □ s Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom n S - = -E -00*0 Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ -\H\ □ S Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ -\H\ Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. □ g - = Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ -\H\ Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. □ g - = Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ -\H\ Q Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. Q Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. O pro každé a e G je a" = e. □ g - = Důsledek * Necht G je konečná grupa podgrupa. Potom s n prvky (tj. G je řádu n), H její O Mohutnost n = \G\ je G/H, tj. součinem mohutnosti H \G\ = \G/H\ -\H\ a mohutnosti Q Přirozené číslo \H \ je < dělitelem čísla n. O Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. Q pro každé a e G je a" = e. Q je-li mohutnost grupy cyklické grupě Zp. G prvočíslo p , pak je G izomorfní □ s Důsledek * Necht G je konečná grupa podgrupa. Potom s n prvky (tj. G je řádu n), H její O Mohutnost n = \G\ je G/H, tj. součinem mohutnosti H \G\ = \G/H\ -\H\ a mohutnosti Q Přirozené číslo \H \ je < dělitelem čísla n. O Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. Q pro každé a e G je a" = e. Q je-li mohutnost grupy cyklické grupě Zp. G prvočíslo p , pak je G izomorfní Druhému tvrzení se říkává Lagrangeova věta, předposlednímu malá Fermatova věta (častěji ovšem ve speciálním případě grupy (Z^, •)) □ s Snadnými důsledky předchozího jsou následující věty: Věta (Malá Fermatova) Pro libovolné prvočíslo p a číslo a G Z nedělitelné p platí ap_1 = 1 (mod p). □ s - = ■€. -o<\(y Snadnými důsledky předchozího jsou následující věty: Věta (Malá Fermatova) Pro libovolné prvočíslo p a číslo a G Z nedělitelné p platí ap_1 = 1 (mod p). Věta (Eulerova) Pro libovolné m G N a každé a G Z splňující {a, (mod ni). ni) = 1 platí □ s - = ■€. -o<\(y oooooooooooooo Plán přednášky Q Podgrupy, homomorfismy a součiny Rozklady podle p< Normální podgrupy n S - = -E -00*0 Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a G H pro všechna a e G, h G H, se nazývají normální podgrupy (značíme H <\ G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího oooooooooooooo Normální podgrupy Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a-1 G H pro všechna a G G, h G ŕ/, se nazývají normální podgrupy (značíme H <\ G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího Tvrzení Podgrupa H je normální právě tehdy když pro každé a G G platí a ■ H = H ■ a (jinými slovy: levý rozklad G podle podgrupy H je shodný s pravým rozkladem). oooooooooooooo Normální podgrupy Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a-1 G H pro všechna a G G, h G ŕ/, se nazývají normální podgrupy (značíme H <\ G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího Tvrzení Podgrupa H je normální právě tehdy když pro každé a G G platí a ■ H = H ■ a (jinými slovy: levý rozklad G podle podgrupy H je shodný s pravým rozkladem). Důsledek * • 1 < G, G o G • V komutativní grupě je každá podgrupa normální. 9 Je-li H podgrupa konečné grupy G, kde \H\ = |G|/2, pak je H normální. Příklad • Dihedrální grupa Din má vždy normální podgrupu izomorfní Z„. Levý (i pravý) rozklad podle této podgrupy je dvojprvková množina {Zn,s-Z„}- • (f2) = {'d, r2} je normální podgrupa v D%. Levý rozklad podle této podgrupy je čtyřprvková množina {{id,r2},{r,r},{s,sr2},{sr,sr3}}. □ s oooooooooooooo Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H vztahem {aH){b-H) = {ab)H. Skutečně, volbou jiných reprezentantů a ■ h, b ■ h' dostaneme opět stejný výsledek (a • h- b-h')- H = ((a • b)- (b'1 hb)tí)H. Je-li H normálni podgrupou G, tvoří rozklad G j H s násobením definovaným prostřednictvím reprezentantů grupu. Je-li G komutativní, je i G/H komutativní. □ s oooooooooooooo Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H vztahem {aH){b-H) = {ab)H. Skutečně, volbou jiných reprezentantů a ■ h, b ■ h' dostaneme opět stejný výsledek (a • h- b-h')- H = ((a • b)- (b'1 hb)tí)H. Je-li H normálni podgrupou G, tvoří rozklad G j H s násobením definovaným prostřednictvím reprezentantů grupu. Je-li G komutativní, je i G/H komutativní. Příklad ríL = {na; a G Z} C Z zadává pro libovolné n G N podgrupu Z a její faktorgrupou (až na izomorfismus) je aditivní grupa zbytkových tříd Z„ (přitom pro n = 1 jde o triviální grupu) . oooooooooooooo Jednoduché (prosté) grupy Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. 3255 stran "tvrdé" matematiky □ s oooooooooooooo Jednoduché (prosté) grupy Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální3). 3255 stran "tvrdé" matematiky □ s oooooooooooooo Jednoduché (prosté) grupy Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální3). V nekomutativním případě je situace výrazně složitější - až v roce 1982 (samozřejmě s pomocí počítačů) se podařilo završit úsilí o úplnou klasifikaci jednoduchých grup. 3255 stran "tvrdé" matematiky □ s oooooooooooooo Jednoduché (prosté) grupy Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální3). V nekomutativním případě je situace výrazně složitější - až v roce 1982 (samozřejmě s pomocí počítačů) se podařilo završit úsilí o úplnou klasifikaci jednoduchých grup. Například alternující grupa An (tj. podgrupa sudých permutací grupy Z„) je jednoduchá pro n > 5 , z čehož (s pomocí tzv. Galoisovy teorie) plyne nemožnost existence obecných vzorců pro kořeny polynomů stupně 5 a vyššího. 3255 stran "tvrdé" matematiky □ s Všechna jádra homomorfismu jsou normální podgrupy. Naopak, jestliže je podgrupa H c G normální, pak zobrazení (projekce na faktorgrupu) p : G —>■ G j H, a i—> a ■ H je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, p je dobře definované, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to musí být homomorfismus, který je zjevně na. Je tedy vidět, že normální podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismu. Věta (první, základní) Pro libovolný homomorfismus grup f : G -► K je dobře definován také homomorfismus f : Gj ker f - » K, f (a ■H) = f(a), který je injektivní. Zejména dostáváme G/ ker f = f(G)-