Matematika IV - 4. přednáška Součiny a rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 3. 2010 □ S Obsah přednášky Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy □ s Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Predmetové záložky v IS MU □ s • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. a Předmětové záložky v IS MU • R. B. Ash, Abstract algebra, http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra.html. • Jiří Rosický, Algebra, PřF MU, 2002. • Peter J. Cameron. Introduction to algebra, Oxford University Press, 2001, 295 s. (Dostupné v knihovně PřF). Plán přednášky Přímý součin grup Rozklady podle po< upy □ s - = ■€. -o<\(y (Přímý) součin grup Definice Pro každé dvě grupy (G, •), (H,o) definujeme součin grup (G x /-/, *) takto: Jako množina je G x H skutečně (kartézský) součin, na kterém definujeme grupové násobení po složkách, tj. (a,x)*(b,y) = (a- b,xoy). Poznámka Rozmyslete si, že jde o grupu a že součin komutativních grup je zase komutativní! □ s (Přímý) součin grup Definice Pro každé dvě grupy (G, •), (H,o) definujeme součin grup (G x /-/, *) takto: Jako množina je G x H skutečně (kartézský) součin, na kterém definujeme grupové násobení po složkách, tj. (a,x)*(b,y) = (a- b,xoy). Poznámka Rozmyslete si, že jde o grupu a že součin komutativních grup je zase komutativní! Zobrazení Pg ■ G x H 3 (a, x) h-> a G G, pn : G x H 3 (a, x) i-> x G H jsou surjektivní homomorfismy (tzv. projekce) s jádry ker pG = {(ec,x); x e H} ker p h = {(a, en); a e G}. □ s - - Příklad (7) Grupa Z6 je izomorfní součinu Z2 x Z3. Toto lze nahlédnout buď geometrickou úvahou (prostřednictvím grup symetrií v rovině) nebo přímou konstrukcí izomorfismu. □ s Příklad * (7) Grupa Zß je izomorfní součinu Z2 x Z3. Toto lze nahlédnout buď geometrickou úvahou (prostřednictvím grup symetrií v rovině) nebo přímou konstrukc izomorfismu. V aditivní notaci vypadá izomorfismus takto: [0W([0]2,[0]3), [iW([i]2 [2]3) [2]6^([0]2,[1]3), [3]6^([1]2 [0]3) [4]6^([0]2,[2]3), [5]6^([1]2 [1]3) □ s Příklad (7) Grupa Zß je izomorfní součinu Z2 x Z3. Toto lze nahlédnout buď geometrickou úvahou (prostřednictvím grup symetrií v rovině) nebo přímou konstrukcí izomorfismu. V aditivní notaci vypadá izomorfismus takto: [0W([0]2,[0]3), [1W ([1]2> [2]3) [2W([0]2,[1]3), [3W ([1]2> [0]3) [4]6-([0]2,[2]3), [5]6 ~ ([1]2> [1]3) (8) Dihedrální grupa Ds (tj. grupa symetrií čtverce, (r, s\r = l,s2 = l,srs = r_1) ) není izomorfní součinu Z2 x Z4, přestože mají stejný počet prvků (Ds není komutativní). □ s Čínska zbytková věta (Chinese remainder theorem) Předchozí příklad je speciálním případem tzv. Čínské zbytkové věty. Jsou-li k, m nesoudělná, pak (Zkm,+)^(Zk,+)x(Zm,+). □ s - = ■€. -o<\(y Čínská zbytková věta (Chinese remainder theorem) Předchozí příklad je speciálním případem tzv. Čínské zbytkové věty. Jsou-li k, m nesoudělná, pak a obecněji Jsou-li mi, ítt2, • • • , m k po dvou nesoudělná, pak (ZUm., +) =* (Zmi, +) x (Zm2, +) x • • • x (Zmfc, +). Tenřo izomorfismus se často s výhodou využívá k reprezentaci velkých čísel při distribuovaných výpočtech pracujících s dělitelností, kdy na každém počítači stačí pracovat s jedním (relativně malým) modulem. Důkaz CRT: Sestrojíme požadovaný izomorfismus f . Označme m = Y[; m, a pro libovolné [a]m G Zm položme f([a]m) = ([a]mi,..., [a]mJ. Snadno se ověří, že jde o injektivní homomorfismus (co je jádrem?). 1A nešlo by to ještě šikovněji? Pokud nám stačí existence izomorfismu, tak stačí využít toho, že injektivní zobrazení mezi množinami o stejném počtu prvků je automaticky bijekcí. Důkaz CRT: Sestrojíme požadovaný izomorfismus f . Označme m = Y[; m, a pro libovolné [a]m G Zm položme f([a]m) = ([a]mi,..., [a]mJ. Snadno se ověří, že jde o injektivní homomorfismus (co je jádrem?). Zbývá dokázat, že jde i o surjekci, tedy, že libovolný prvek (M mu • [3k]mk) S (Zmi,+) (Zmk,+) je obrazem nějakého a G Zm. To je ale totéž jako najít a G Z takové, že a = a\ (mod mi),..., a = a k (mod m/t), což se udělá malým (ale šikovným) trikem:1 1A nešlo by to ještě šikovněji? Pokud nám stačí existence izomorfismu, tak stačí využít toho, že injektivní zobrazení mezi množinami o stejném počtu prvků je automaticky bijekcí. Sestrojíme požadovaný izomorfismus f . Označme m = Y[; m, a pro libovolné [a]m G Zm položme f([a]m) = ([a]mi,..., [a]mJ. Snadno se ověří, že jde o injektivní homomorfismus (co je jádrem?). Zbývá dokázat, že jde i o surjekci, tedy, že libovolný prvek ([ai]mi,..., [ak]mk) G (Zmi, +) x • • • x (Zmk, +) je obrazem nějakého a G Zm. To je ale totéž jako najít a G Z takové, že a = a\ (mod mi),..., a = a k (mod m/t), což se udělá malým (ale šikovným) trikem:1 Pro libovolné 1 < i < k položme n; = m/rrij a protože (m,-, n,-) = 1 (zde jsme využili nesoudělnost po dvou), najdeme podle Bezoutovy věty u\ a v, tak, že u,m\ + Vjrij = 1, tj. Vjrij = 1 (mod m,-). JA nešlo by to ještě šikovněji? Pokud nám stačí existence izomorfismu, tak stačí využít toho, že injektivní zobrazení mezi množinami o stejném počtu prvků je automaticky bijekcí. Sestrojíme požadovaný izomorfismus f . Označme m = Y[; m, a pro libovolné [a]m G Zm položme f([a]m) = ([a]mi,..., [a]mJ. Snadno se ověří, že jde o injektivní homomorfismus (co je jádrem?). Zbývá dokázat, že jde i o surjekci, tedy, že libovolný prvek ([ai]mi,..., [ak]mk) G (Zmi, +) x • • • x (Zmk, +) je obrazem nějakého a G Zm. To je ale totéž jako najít a G Z takové, že a = a\ (mod mi),..., a = a k (mod m/t), což se udělá malým (ale šikovným) trikem:1 Pro libovolné 1 < i < k položme n; = m/rrij a protože (m,-, n,-) = 1 (zde jsme využili nesoudělnost po dvou), najdeme podle Bezoutovy věty u\ a v, tak, že u,m\ + Vjrij = 1, tj. Vjrij = 1 (mod m,-). Hledané a pak najdeme jako a = Y,iaivini- 1A nešlo by to ještě šikovněji? Pokud nám stačí existence izomorfismu, tak stačí využít toho, že injektivní zobrazení mezi množinami o stejném počtu prvků je automaticky bijekcí. Cyklické grupy Pro libovolný prvek a v grupě G existuje minimální podgrupa {e = a°,a = a1, a2, a3,... }, která jej obsahuje2. Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e. 2Co znamenají ty mocniny? □ s Cyklické grupy Pro libovolný prvek a v grupě G existuje minimální podgrupa {e = a°,a = a1, a2, a3,... }, která jej obsahuje2. Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e. Nejmenší k s touto vlastností nazýváme řád prvku a v G. Grupa G je cyklická, je-li celé G generované nějakým svým prvkem a výše uvedeným způsobem. 2Co znamenají ty mocniny? □ s Pro libovolný prvek a v grupě G existuje minimální podgrupa {e = a°,a = a1, a2, a3,... }, která jej obsahuje2. Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e. Nejmenší k s touto vlastností nazýváme řád prvku a v G. Grupa G je cyklická, je-li celé G generované nějakým svým prvkem a výše uvedeným způsobem. Zjistit pro konkrétní cyklickou grupu generátor je obecně obtížný problém. I při znalosti generátoru g G G je ale obecně velkým problémem zjistit pro dané a e G číslo k, pro které gk = a (tzv. problém diskrétního logaritmu je základem mnoha kryptografických protokolů - EIGamal, Diffie-Hellman, DSA). 2Co znamenají ty mocniny? Pro libovolný prvek a v grupě G existuje minimální podgrupa {e = a°,a = a1, a2, a3,... }, která jej obsahuje2. Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e. Nejmenší k s touto vlastností nazýváme řád prvku a v G. Grupa G je cyklická, je-li celé G generované nějakým svým prvkem a výše uvedeným způsobem. Zjistit pro konkrétní cyklickou grupu generátor je obecně obtížný problém. I při znalosti generátoru g G G je ale obecně velkým problémem zjistit pro dané a e G číslo k, pro které gk = a (tzv. problém diskrétního logaritmu je základem mnoha kryptografických protokolů - EIGamal, Diffie-Hellman, DSA). Z definice přímo vyplývá, že každá cyklická grupa je izomorfní buď grupě celých čísel Z (pokud je nekonečná) nebo některé grupě zbytkových tříd Z^ (když je konečná). 2Co znamenají ty mocniny? Plán přednášky i my součin grup Rozklady podle podgrup upy □ s - = ■€. -o<\(y Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h £> jestliže b~x ■ a e H, tj. a-1 • b e H (tyto dvě podmínky jsou zřejmě ekvivalentní, není to ale totéž jako podmínky a ■ b~x nebo b ■ a-1). Je to relace ekvivalence: Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h £> jestliže b~x ■ a e H, tj. a-1 • b e H (tyto dvě podmínky jsou zřejmě ekvivalentní, není to ale totéž jako podmínky a ■ b~x nebo b ■ a-1). Je to relace ekvivalence: • a-1 • a = e G H, Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h £> jestliže b~x ■ a G H, tj. a-1 • b G H (tyto dvě podmínky jsou zřejmě ekvivalentní, není to ale totéž jako podmínky a ■ b~x nebo b ■ a-1). Je to relace ekvivalence: • a-1 • a = e G H, • je-li ŕr1 • a = h e H, potom a"1 • ŕ> = (b"1 • a)"1 = h"1 G W, Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h £> jestliže b~x ■ a G H, tj. a-1 • b G H (tyto dvě podmínky jsou zřejmě ekvivalentní, není to ale totéž jako podmínky a ■ b~x nebo b ■ a-1). Je to relace ekvivalence: • a-1 • a = e G H, • je-li ŕr1 • a = h e H, potom a"1 • ŕ> = (b"1 • a)"1 = h"1 G W, • je-li c-1 • b G H a zároveň je b-1 • a E H, potom c"1- a = c"1 -6 -ír1 a G H. Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. □ s Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Třídu příslušející prvku a značíme a ■ H (zřejmě a G a ■ H) a skutečně platí, že a- H = {ah; h e H}, neboť prvek oje ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto způsobem vyjádřit. □ s Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Třídu příslušející prvku a značíme a ■ H (zřejmě a G a ■ H) a skutečně platí, že a- H = {ah; h e H}, neboť prvek oje ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto způsobem vyjádřit. Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy H označujeme G/H. □ S Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Třídu příslušející prvku a značíme a ■ H (zřejmě a G a ■ H) a skutečně platí, že a- H = {ah; h e H}, neboť prvek oje ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto způsobem vyjádřit. Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy H označujeme G/H. Obdobně definujeme pravé třídy rozkladu H ■ a. Příslušná ekvivalence je: a ~ b, jestliže a ■ b-1 G H. Proto H\G = {H a; a H ■ a-1 zadává bijekci mezi levými a pravými třídami rozkladu G podle H. Poznámka Rozmyslete si, proč je v posledním tvrzení a 1 a nikoliv a. □ s Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom n S - = -E -00*0 Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ -\H\ □ S Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ -\H\ Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. □ g - = Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ -\H\ Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. □ g - = Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ -\H\ Q Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. Q Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. O pro každé a e G je a" = e. □ g - = Důsledek * Necht G je konečná grupa podgrupa. Potom s n prvky (tj. G je řádu n), H její O Mohutnost n = \G\ je G/H, tj. součinem mohutnosti H \G\ = \G/H\ -\H\ a mohutnosti Q Přirozené číslo \H \ je < dělitelem čísla n. O Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. Q pro každé a e G je a" = e. Q je-li mohutnost grupy cyklické grupě Zp. G prvočíslo p , pak je G izomorfní □ s Důsledek * Necht G je konečná grupa podgrupa. Potom s n prvky (tj. G je řádu n), H její O Mohutnost n = \G\ je G/H, tj. součinem mohutnosti H \G\ = \G/H\ -\H\ a mohutnosti Q Přirozené číslo \H \ je < dělitelem čísla n. O Je-li a G G prvek řádu k, pak k dělí n. Q pro každé a e G je a" = e. Q je-li mohutnost grupy cyklické grupě Zp. G prvočíslo p , pak je G izomorfní Druhému tvrzení se říkává Lagrangeova věta, předposlednímu malá Fermatova věta (častěji ovšem ve speciálním případě grupy (Z^, •)) □ s Snadnými důsledky předchozího jsou následující věty: Věta (Malá Fermatova) Pro libovolné prvočíslo p a číslo a G Z nedělitelné p platí ap_1 = 1 (mod p). □ s - = ■€. -o<\(y Snadnými důsledky předchozího jsou následující věty: Věta (Malá Fermatova) Pro libovolné prvočíslo p a číslo a G Z nedělitelné p platí ap_1 = 1 (mod p). Věta (Eulerova) Pro libovolné m G N a každé a G Z splňující {a, (mod ni). ni) = 1 platí Plán přednášky i my součin grup Rozklady podle pod Normální podgrupy n S - = -E -00*0 Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a G H pro všechna a e G, h G H, se nazývají normální podgrupy (značíme H <\ G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího Normální podgrupy Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a-1 G H pro všechna a e G, h G H, se nazývají normální podgrupy (značíme H <\ G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího Tvrzení Podgrupa H je normální právě tehdy když pro každé a G G platí a ■ H = H ■ a (jinými slovy: levý rozklad G podle podgrupy H je shodný s pravým rozkladem). □ s Normální podgrupy Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a-1 G H pro všechna a e G, h G H, se nazývají normální podgrupy (značíme H <\ G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího Tvrzení Podgrupa H je normální právě tehdy když pro každé a G G platí a ■ H = H ■ a (jinými slovy: levý rozklad G podle podgrupy H je shodný s pravým rozkladem). Důsledek * • 1 < G, G o G • V komutativní grupě je každá podgrupa normální. 9 Je-li H podgrupa konečné grupy G, kde \H\ = |G|/2, pak je H normální. Příklad • Dihedrální grupa Din má vždy normální podgrupu izomorfní Z„. Levý (i pravý) rozklad podle této podgrupy je dvojprvková množina {Zn,s-Z„}- • (f2) = {'d, r2} je normální podgrupa v D%. Levý rozklad podle této podgrupy je čtyřprvková množina {{id,r2},{r,r},{s,sr2},{sr,sr3}}. □ s Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H vztahem {aH){b-H) = {ab)H. Skutečně, volbou jiných reprezentantů a ■ h, b ■ h' dostaneme opět stejný výsledek (a • h- b-h')- H = ((a • b)- (b'1 hb)tí)H. Je-li H normálni podgrupou G, tvoří rozklad G j H s násobením definovaným prostřednictvím reprezentantů grupu. Je-li G komutativní, je i G/H komutativní. □ s Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H vztahem {aH){b-H) = {ab)H. Skutečně, volbou jiných reprezentantů a ■ h, b ■ h' dostaneme opět stejný výsledek (a • h- b-h')- H = ((a • b)- (b'1 hb)tí)H. Je-li H normálni podgrupou G, tvoří rozklad G j H s násobením definovaným prostřednictvím reprezentantů grupu. Je-li G komutativní, je i G/H komutativní. Příklad ríL = {na; a G Z} C Z zadává pro libovolné n G N podgrupu Z a její faktorgrupou (až na izomorfismus) je aditivní grupa zbytkových tříd Z„ (přitom pro n = 1 jde o triviální grupu) . Jednoduché (prosté) grupy Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. 3255 stran "tvrdé" matematiky □ s Jednoduché (prosté) grupy Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální3). 3255 stran "tvrdé" matematiky □ s Jednoduché (prosté) grupy Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální3). V nekomutativním případě je situace výrazně složitější - až v roce 1982 (samozřejmě s pomocí počítačů) se podařilo završit úsilí o úplnou klasifikaci jednoduchých grup. 3255 stran "tvrdé" matematiky □ s Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální3). V nekomutativním případě je situace výrazně složitější - až v roce 1982 (samozřejmě s pomocí počítačů) se podařilo završit úsilí o úplnou klasifikaci jednoduchých grup. Například alternující grupa An (tj. podgrupa sudých permutací grupy Z„) je jednoduchá pro n > 5 , z čehož (s pomocí tzv. Galoisovy teorie) plyne nemožnost existence obecných vzorců pro kořeny polynomů stupně 5 a vyššího. 3255 stran "tvrdé" matematiky Vztah normálních podgrup a homomorfismu Všechna jádra homomorfismu jsou normální podgrupy. Naopak, jestliže je podgrupa H c G normální, pak zobrazení (projekce na faktorgrupu) p : G —>■ G j H, a i—> a ■ H je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, p je dobře definované, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to musí být homomorfismus, který je zjevně na. Je tedy vidět, že normální podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismu. Vztah normálních podgrup a homomorfismu Všechna jádra homomorfismu jsou normální podgrupy. Naopak, jestliže je podgrupa H c G normální, pak zobrazení (projekce na faktorgrupu) p : G —>■ G j H, a i—> a ■ H je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, p je dobře definované, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to musí být homomorfismus, který je zjevně na. Je tedy vidět, že normální podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismu. Duální pojmy • Homomorfismus f => normální podgrupa ker f • Normální podgrupa H =3- homomorfismus G —> G/H Věta (první, základní) Pro libovolný homomorfismus grup f : G -► K je dobře definován také homomorfismus f : Gj ker f - » K, f (a ■H) = f(a), který je injektivní. Zejména dostáváme G/ ker f = f(G)- Předchozí věta je nejčastěji používanou větou z vět o izomorf ismech. Používá se zejména pro určení struktury faktorgrupy (resp. často spise pro potvrzení, tj. důkaz, intuitivně zřejmé struktury). Příklad Čemu je izomorfní faktrogrupa regulárních matic řádu n nad podle podgrupy matic determinantu 1 (tj., čemu se rovná GLn(M)/SLn(M))? □ S Řešení Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že zmíněná podgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových reálných čísel Rx s operací násobení (díky Cauchyově větě o determinantu součinu matic). □ s Řešení Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že zmíněná podgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových reálných čísel Rx s operací násobení (díky Cauchyově větě o determinantu součinu matic). To, zeje to skutečně ono, dokážeme pomocí konstrukce surjektivního homomorfismu z (GL„(R), •) do (Kx, •), jehož jádrem bude právě SL„(R). □ s Řešení Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že zmíněná podgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových reálných čísel Rx s operací násobení (díky Cauchyově větě o determinantu součinu matic). To, zeje to skutečně ono, dokážeme pomocí konstrukce surjektivního homomorfismu z (GL„(R), •) do (Kx, •), jehož jádrem bude právě SL„(R). Nyní už by mělo být vidět, že přirozenou volbou pro takový homomorfismus je A i—> det(A). □ s Příklad * Nechť (G,o) je grupa nekonstantních lineárních z obražení reá ných 1 čísel s operac í skládání zobrazení, tj. G = {f : R- ► M| f (x) = ax + ŕ>,aeRx be R}. Určete, která z podgru P T = {f: R ->M|ŕ(x) = ax, a G R" } S = {f: R ->M|ŕ(x) = x + b, b G R} je normální a v případě normality určete strukturu přís ušné faktorgrupy. Příklad * Nechť (G,o) je grupa nekonstantních lineárních z obražení reá ných 1 čísel s operac í skládání zobrazení, tj. G = {f : R- ► M| f (x) = ax + ŕ>,aeRx be R}. Určete, která z podgru P T = {f: R ->M|ŕ(x) = ax, a G R" } S = {f: R ->M|ŕ(x) = x + b, b G R} je normální a v případě normality určete strukturu přís ušné faktorgrupy. Normálni je S, hledaný homomorfismus na faktorgrupu (Rx,) pak f i—> a (pro f (x) = ax + b). □ Oľ i ^ ► •« Součinem podgrup A, B < G rozumíme podgrupu AB = {ab\a e A, b e ß}. Normalizátorem podgrupy B v G rozumíme množinu Nc(B) = {g G G; gB = Bg} (tj. množinu těch prvků G, pro něž splývají příslušné levé a pravé třídy rozkladu; ß je tedy normální podgrupou G, právě když Nc(B) = G). Další věty o izomorfismu Součinem podgrup A, B < G rozumíme podgrupu AB = {ab\a e A, b e ß}. Normalizátorem podgrupy ß v G rozumíme množinu Nc(B) = {g G G; gB = Bg} (tj. množinu těch prvků G, pro něž splývají příslušné levé a pravé třídy rozkladu; ß je tedy normální podgrupou G, právě když Nc(B) = G). Věta (druhá, diamantová^ Necht A, B < G jsou podgrupy splňující A < Nc(B). Pak (A n ß) o A a platí AB/B^A/(AnB). □ S Věta (třetí) Jsou-li A, B <\G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí (G/A)/(B/A) - G/B. □ S Věta (třetí) Jsou-li A, B <\G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí (G/A)/(B/A) - G/B. Věta (čtvrtá, svazový izomorfismus) Nechi je N <\ G. Pak existuje bijekce mezi množinou podgrup A obsahujících N a množinou podgrup A/N faktorgrupy G/N. Navíc normálním podgrupám odpovídají normální podgrupy. □ s Věta (třetí) Jsou-li A, B <\G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí (G/A)/(B/A) - G/B. Věta (čtvrtá, svazový izomorfismus) Nechi je N <\ G. Pak existuje bijekce mezi množinou podgrup A obsahujících N a množinou podgrup A/N faktorgrupy G/N. Navíc normálním podgrupám odpovídají normální podgrupy. Příklad Určete svaz podgrup Ds grupy symetrií čtverce a odvodte z něj svaz podgrup Dg/ < r2 >. □ s Příklad Zdánlivě paradoxní je příklad homomorfismu C* —> C* definovaný na nenulových komplexních číslech vztahem zwz^s přirozeným k. Zjevně jde o surjektivní homomorfismus a jeho jádro je množina k-tých odmocnin z jedničky, tj. cyklická podgrupa Z^. První věta o izomorfismu tedy dává pro všechna přirozená k izomorfismus f:C*/Zk->C*- Tento příklad ukazuje, že u nekonečných grup nejsou počty s mohutnostmi tak přehledné jako u konečných grup □ s