Matematika 4 26. kvetna 2010 A (UCO: Semestr Teorie 1. 2. 3. 4. E Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. Teorie: (6krát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0) Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patricnem rádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtete velmi pozorne!), ani zde nemůžete celkove získat zaporná počet bodů: (a) ano — ne Kazda faktorgrupa dane komutativní grupy je nutne komutativní. (b) ano — ne Neexistuje zídní surjektivní homomorfismus (Z, +) — (Z6, +). (c) ano — ne Okruh polynomu nad telesem je oborem integrity. (d) ano — ne Pravdepodobnost, ze pri hodu dvema kostkami padl soucet deíitelní 4, víme-li, ze soucet byl delitelní 2, je mensí nez 1/2. (e) ano — ne Pro vyber z normílního rozdelení platí, ze se zvysovaním pozadovane spolehlivosti 1 — a se zvetsuje i interval spolehlivosti pro strední hodnotu (f) ano — ne Je-li strední hodnota níhodne veliciny X rovna 1, pak je i strední hodnota nahodne veliciny X2 rovna 1 (bez ohledu na rozdelení X). Príklady: 1. (6 bodu) [zbierka, s.179/14] Predpokladíme, ze pridaním specialních prípravku je mozne snízit tvrdost vody. Nahodním vyberem 40 vzorku vody byla zjistena prumerna tvrdost 4,0. Po pridaní prípravku pak byla zmerena na 50 vzorcích prumerna tvrdost 3,8. Na hladine víznamnosti 5% testujte nulovou hypotezu oproti prédpoklídane jednostranne alternative za predpokladu, ze oba víbery pochízejí z normílního rozdelení s rozptylem 0,25. Svuj zíver explicitne zformulujte. 2. (6 bodu) [zbierka, s.63/22] Diskrétní níhodny vektor mí pravdepodobnostní funkci uvedenou v tabulce: a) Urcete marginílní pravdepodobnostní funkce níhodních velicin X, Y a rozhodnete jsou-li nezívisle. Nacrtnete graf distribucní funkce X. b) Urcete strední hodnotu a rozptyl velicin X a Y. c) Urcete konstantu c tak, aby byly veliciny X + c • Y a Y nekorelovane. Y X 1 2 1 i 10 2 5 2 i 10 1 20 3 1 4 1 10 3. (6 bodu) Uvazte okruh (Z29, +, •) zbytkovích tríd modulo 29. a) Rozhodnete, zda jde o obor integrity. b) Urcete vsechny jednotky (=invertibilní prvky) tohoto okruhu a jejich pocet. c) Rozhodnete, zda je grupa jednotek tohoto okruhu cyklicka. Pokud ano, urcete nektery její generíator. Vse zduvodnete. 4. (6 bodu) Urcete vsechny korény (vcetne nasobnosti) polynomu 2x7 + 9x6 + 16x5 + 5x4 — 28x3 — 52x2 — 40x — 12 G C [x], víte-li, ze ma alespoň dvojnísobní koren i — 1. Polynom rozlozte na ireducibilní faktory nad Z, Q, R, C. ) Nápověda: X\,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2: M = n ^n=i x, výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n) S2 = n-^En=i(Xi - M)2 výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2 U = (M - ^)/(a/Vň) ~ N(0,1) T = (M - ^)/(S/^ň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(X - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ n- m+í) je-li aj2 = a2 = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2) F = Í/f ~ F (m - 1,n - 1). Intervaly spolehlivosti: // (známe a2) // (neznáme a2) (M - -nÍ1_a/2(n - 1),M + Í1-«/2(n - 1)) a2 (neznáme //) í (n-1)S2 (n-1)S2 A VXí_a/2(n-1) , >£/2(n-1) J a2 (zname ^) ( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 \ ^ X1-a/2(n) ' x2„/2(n) j ^1 - ^2 (známe a2) M1 - M2 WŽ + Í ■ u1-a/2 ^1 - ^2 (neznáme a2 = a2) M1 - M2 ± S*^/m + n ■ Í1-a/2(m + n - 2) podál rozptylu a2/a2 / s2/S2 s2/S2 \ \F1_a/2(m-1,n-1) , Fa/2(m-1,n-1) J Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u), $(0, 05) re 0, 52, $(1, 65) re 0, 95, $(1, 96) re 0, 975. 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 $(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 $(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773 Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2: volnost 0,025 0,05 0,95 0,975 1 0,001 0,004 3,841 5,024 2 0,051 0,103 5,991 7,378 3 0,216 0,352 7,815 9,348 5 0,831 1,145 11,070 12,833 10 3,247 3,940 18,307 20,483 20 9,591 10,851 31,410 34,710 50 32,357 34,764 67,505 71,420 100 74,222 77,929 124,342 129,561 Kvantilý Stůděntova t-rozdělění ) = -í1-Q,(v)): volnost v 0,95 0,975 1 6,3138 12,7062 2 2,9200 4,3027 3 2,3534 3,1824 4 2,1318 2,7764 5 2,0150 2,5706 10 1,8125 2,2281 20 1,7247 2,0860 30 1,6973 2,0423 40 1,6839 2,0211 00 1,6449 1,9600 Matematika 4 26. kvetna 2010 B (UCO: ) Semestr Teorie 1. 2. 3. 4. E Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. Teorie: (6krát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0) Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patricnem rádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtete velmi pozorne!), ani zde nemůžete celkove získat zaporná počet bodů: (a) ano — ne Polynom s celocíselními koeficienty je ireducibilní nad Q, prave když nemí zadne racionalní korény. (b) ano — ne Existuje nekonecne mnoho grup, které jsou po dvou neizomorfní a pritom ma kazdí prave 2 podgrupy. (c) ano — ne Neexistuje zídní surjektivní homomorfismus (Z32, +) — (Z6, +). (d) ano — ne Pravdepodobnost hodu alespon jedne sestky pri ctyréch hodech kostkou je vetsí nez 1/2. (e) ano — ne Pro víber z normalního rozdelení platí, ze zvetsovaním rozsahu víberu se zmensuje interval spolehlivosti pro strední hodnotu (f) ano — ne Je-li strední hodnota níhodne veliciny X rovna 1, pak je i strední hodnota nahodne veliciny 2 • X — 1 rovna 1 (bez ohledu na rozdelení X). Príklady: 1. (6 bodu) [zbierka, s.180/23] Na dvou soustruzích se vyrabejí tytez soucastky, u nichz se merí vnitrní prumer (predpoklída se normalní rozdelení). Byl porízen nahodní vyber rozsahu 16 z produkce prvního soustruhu a rozsahu 25 z produkce druheho soustruhu. Príslusne vyberove prumery jsou 37,5 mm, resp. 36,8 mm a vyberove rozptyly 1,21 mm2, resp. 1,44 mm2. Testujte hypotézu o rovnosti strední hodnoty kontrolovaných rozmeru v produkci obou stroju oproti oboustranne alternative pri a = 0,1. Svuj zaver explicitne zformulujte. 2. (6 bodu) [zbierka, s.63/22] Diskrétní níhodny vektor mí pravdepodobnostní funkci uvedenou v tabulce: a) Urcete marginalní pravdepodobnostní funkce nahodních velicin X, Y a rozhodnete jsou-li nezívisle. Nacrtnete graf distribucní funkce Y. b) Urcete strední hodnotu a rozptyl níhodne veliciny X • Y. c) Urcete konstantu c tak, aby byly veliciny X a X + c • Y nekorelovane. 3. (6 bodu) Uvazte okruh (Z25, +, •) zbytkovích tríd modulo 25. a) Rozhodnete, zda jde o obor integrity. b) Urcete vsechny jednotky (=invertibilní prvky) tohoto okruhu a jejich pocet. c) Rozhodnete, zda je grupa jednotek tohoto okruhu cyklicka. Pokud ano, urcete nektery její generíator. Vse zduvodnete. 4. (6 bodu) Urcete vsechny koreny polynomu 2x7 + 3x6 + 23x5 + 27x4 + 88x3 + 72x2 + 112x + 48 G C [x], víte-li, ze mí dvojnasobní koren 2i. Polynom rozlozte na ireducibilní faktory nad Z, Q, R, C. Y X 1 2 1 i 10 2 5 2 i 10 1 20 3 1 4 1 10 Nápověda: X\,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2: M = n ^n=i x, výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n) S2 = n-^En=i(Xi - M)2 výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2 U = (M - ^)/(a/Vň) ~ N(0,1) T = (M - ^)/(S/^ň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(X - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ n- m+í) je-li aj2 = a2 = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2) F = Í/f ~ F (m - 1,n - 1). Intervaly spolehlivosti: // (známe a2) // (neznáme a2) (M - -nÍ1_a/2(n - 1),M + Í1-«/2(n - 1)) a2 (neznáme //) í (n-1)S2 (n-1)S2 A VXí_a/2(n-1) , >£/2(n-1) J a2 (zname ^) ( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 \ ^ X1-a/2(n) ' x2„/2(n) j ^1 - ^2 (známe a2) M1 - M2 WŽ + Í ■ u1-a/2 ^1 - ^2 (neznáme a2 = a2) M1 - M2 ± S*^/m + n ■ Í1-a/2(m + n - 2) podál rozptylu a2/a2 / s2/S2 s2/S2 \ \F1_a/2(m-1,n-1) , Fa/2(m-1,n-1) J Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u), $(0, 05) re 0, 52, $(1, 65) re 0, 95, $(1, 96) re 0, 975. 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 $(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 $(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773 Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2: volnost 0,025 0,05 0,95 0,975 1 0,001 0,004 3,841 5,024 2 0,051 0,103 5,991 7,378 3 0,216 0,352 7,815 9,348 5 0,831 1,145 11,070 12,833 10 3,247 3,940 18,307 20,483 20 9,591 10,851 31,410 34,710 50 32,357 34,764 67,505 71,420 100 74,222 77,929 124,342 129,561 Kvantilý Stůděntova t-rozdělění ) = -í1-Q,(v)): volnost v 0,95 0,975 1 6,3138 12,7062 2 2,9200 4,3027 3 2,3534 3,1824 4 2,1318 2,7764 5 2,0150 2,5706 10 1,8125 2,2281 20 1,7247 2,0860 30 1,6973 2,0423 40 1,6839 2,0211 00 1,6449 1,9600