Matematika 4 4. června 2010 A (UCO: ) Hodnocení: Semestr Teorie 1. 2. 3. 4. E Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. Teorie: (6krát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0) Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na pátricnem radku), zdá jsou pravdivá následující tvrzení (čtete velmi pozorne!), áni zde nemůžete celkove získat zaporná počet bodů: (a) ano — ne Strední hodnotá soucinu libovolne dvojice nezávislých náhodných velicin X, Y je rovná soucinu stredních hodnot techto velicin. (b) ano — ne Hustotá libovolne spojite níhodne veliciny je spojití ná celekm R (č) ano — ne Pro víber z normálního rozdelení plátí, ze oboustranný intervál spolehlivosti pro strední hodnotu (i pokývá obá jednostránne intervály pri teze spolehlivosti. (d) ano — ne Mnoziná Q* s operací x o y = |x • y| tvorí grupu. (e) ano — ne Grupá symetrií právidelneho petiuhelníká má 10 prvku á je nekomutátivní. (f) ano — ne Libovolná grupá májící 9 prvku má práve dve podgrupy. Príklady: 1. (6 bodu) Pri 360 hodech kostkou pádlá sestká 75 krát. Rozhodnete, jestli je mozne tvrdit, ze jde o ideální kostku ná hládine a = 0,05. Vse zduvodnete á svuj zíver explicitne formulujte. 2. (6 bodu) Urcete distribucní funkci níhodneho vektoru (X, Y), jehoz hustotá je f(xy) =fi(4x — y) pro1 < x < 2, 2 < y < 4, 0 jinák. Urcete dále P (X > 2Y). 3. (6 bodu) Uvázte grupu S7 vsech permutácí ná sedmiprvkove mnozine. (á) Urcete vsechny prvky podgrupy generováne permutácí r = (1, 2, 3) o (4, 5, 6, 7). (b) Urcete pocet prvku leveho rozkládu S7 podle podgrupy gemerováne permutácí r. (c) Rozhodnete (á sve tvrzení zduvodnete), je-li (r) normální podgrupá E7. 4. (6 bodu) Nájdete vsechny koreny polynomu f = 2x5 + 9x4 + 10x3 + 10x2 + 29x + 10 G C [x] á urcete jejich násobnost, víte-li, ze jedním z koremí je . Urcete polynom, jehoz koreny jsou príve císlá opácná ke vsem korenum polynomu f (á stejne násobnosti). Nápověda: X\,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2: M = n ELi X výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n) S2 = n,', En=i(Xi - M )2 výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2 U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - )u)/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^2, Ž + í) je-li aj2 = a2 = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2) F = ff ~ F (m - 1,n - 1)-Intervaly spolehlivosti: // (zname a2) (M - ^U1-a/2,M + %U1-«/2) // (neznáme a2) (M - ^Í1_a/2(n - 1),M + ^*1-a/2(n - 1)) a2 (neznáme //) í (n-1)S2 (n-1)S2 \ Vxí_a/2(n-1), xa/2(n-1) - a2 (zname ^) ( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 A y^i-c/iW x^/2(n) y ^1 - ^2 (známe a2) ^1 - ^2 (nezname a2 = a2) M1 - M2 ± S*^m + n ■ *1-a/2(m + n - 2) podál rozptylu a2/a2 / s2/s2 s2/s2 \ VFi-c/2(m-1,n-1) , Fc/2(m-1,n-1); Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I U I 01 I 0~2 I 0~3 I 0~I I 0"5 I 0"6 I 07 I 0~8 I 0~9 u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 $(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 $(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773 Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2: volnost 0,025 0,05 0,95 0,975 1 0,001 0,004 3,841 5,024 2 0,051 0,103 5,991 7,378 3 0,216 0,352 7,815 9,348 5 0,831 1,145 11,070 12,833 10 3,247 3,940 18,307 20,483 20 9,591 10,851 31,410 34,710 50 32,357 34,764 67,505 71,420 100 74,222 77,929 124,342 129,561 Kvantilý Stůděntova t-rozdělění ) = -í1-Q,(v)): volnost v 0,95 0,975 1 6,3138 12,7062 2 2,9200 4,3027 3 2,3534 3,1824 4 2,1318 2,7764 5 2,0150 2,5706 10 1,8125 2,2281 20 1,7247 2,0860 30 1,6973 2,0423 oo 1,6449 1,9600 Matematika 4 4. června 2010 B (UCO: Hodnocení: Semestr Teorie 1. 2. 3. 4. E Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. ) Teorie: (6krát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0) Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patričnem rádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtete velmi pozorne!), ani zde nemůžete celkove získat záporná počet bodů: (a) ano — ne Rozptyl součinu libovolne dvojice nezávislách náhodnách veličin X, Y je roven součinu rozptylu techto veličin. (b) ano — ne Hustota libovolne spojite náhodne veličiny nemuze bát monotónní' funkce. (č) ano — ne Pro váber z normálnáho rozdelená platá, ze zvetsovanám rozsahu váberu se zmensuje i interval spolehlivosti pro stredná hodnotu (d) ano — ne Pro libovolne prirozene čáslo a, které nená nasobkem 28, platá, ze a27 dava zbytek 1 po delená 28. (e) ano — ne Okruh polynomu nad konečnám telesem tvon teleso. (f) ano — ne Grupa permutacá na n-prvkove mnozine je pro n < 3 komutativná. Príklady: 1. (6 bodu) Pri 360 hodech kostkou padla sestka 70 krat. Testujte hypotézu, ze jde o ideálná kostku oproti alternative, ze byla kostka zamerne upravena, aby padalo váce sestek, na hladine a = 0,05. Vse zduvodnete a svuj zaver explicitne formulujte. 2. (6 bodu) V urne je 14 kuliček - 4 červene, 5 bílách a 5 modrách. Nahodne bez vracení vybereme 6 kuliček. Určete rozlozená nahodneho vektoru (X, Y), označuje-li X počet tazenych červenách kuliček a Y počet tazenych bálách kuliček. Určete rovnez marginalná rozlozená veličin X a Y. Dale vypočtete P(X < 3), P(1 < Y < 4). 3. (6 bodu) Uvazte multiplikativní grupu G invertibilních zbytkových tríd modulo 81 a: (a) určete jejá rad, (b) určete (nebo dokazte, ze neexistujá) prvek a radu 9 a prvek b rádu 10 v G, (c) určete rad podgrupy H generovane nekterym prvkem z b) a počet prvku leveho rozkladu G/H, (d) určete strukturu faktorgrupy G/H (napr. uved'te známou grupu, s níz je izomorfní). 4. (6 bodu) Najdete vsechny korény polynomu 5x5 + x4 + 5x3 + x2 + 5x +1 G C [x] a určete jejich násobnost, váte-li, ze jednám z korémů je . Určete polynom, jehoz korény jsou práve čásla opačna ke vsem korénum polynomu f (a stejne nasobnosti). Nápověda: X\,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2: M = n ELi X výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n) S2 = n,', En=i(Xi - M )2 výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2 U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - )u)/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^2, Ž + í) je-li aj2 = a2 = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2) F = ff ~ F (m - 1,n - 1)-Intervaly spolehlivosti: // (zname a2) (M - ^U1-a/2,M + %U1-«/2) // (neznáme a2) (M - ^Í1_a/2(n - 1),M + ^*1-a/2(n - 1)) a2 (neznáme //) í (n-1)S2 (n-1)S2 \ Vxí_a/2(n-1), xa/2(n-1) - a2 (zname ^) ( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 A y^i-c/iW x^/2(n) y ^1 - ^2 (známe a2) ^1 - ^2 (nezname a2 = a2) M1 - M2 ± S*^m + n ■ *1-a/2(m + n - 2) podál rozptylu a2/a2 / s2/s2 s2/s2 \ VFi-c/2(m-1,n-1) , Fc/2(m-1,n-1); Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I U I 01 I 0~2 I 0~3 I 0~I I 0"5 I 0"6 I 07 I 0~8 I 0~9 u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 $(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 $(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773 Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2: volnost 0,025 0,05 0,95 0,975 1 0,001 0,004 3,841 5,024 2 0,051 0,103 5,991 7,378 3 0,216 0,352 7,815 9,348 5 0,831 1,145 11,070 12,833 10 3,247 3,940 18,307 20,483 20 9,591 10,851 31,410 34,710 50 32,357 34,764 67,505 71,420 100 74,222 77,929 124,342 129,561 Kvantilý Stůděntova t-rozdělění ) = -í1-Q,(v)): volnost v 0,95 0,975 1 6,3138 12,7062 2 2,9200 4,3027 3 2,3534 3,1824 4 2,1318 2,7764 5 2,0150 2,5706 10 1,8125 2,2281 20 1,7247 2,0860 30 1,6973 2,0423 oo 1,6449 1,9600 Matematika 4 4. června 2010 C (UCO: ) Hodnocení: Semestr Teorie 1. 2. 3. 4. E Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. Teorie: (6krát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0) Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na pátričnem rádku), zdá jsou pravdivá následující tvrzení (čtete velmi pozorne!), áni zde nemůžete celkove získat zaporná počet bodů: (a) ano — ne Kováriánční mátice náhodneho vektoru (X, Y) je symetrická. (b) ano — ne Jsou-li X á Y nezávisle, pák jsou i nekorelováne. (č) ano — ne Pro vyber z normálního rozdelení plátí, ze se zvysováním pozádováne spolehlivosti 1 — a se zmensuje intervál spolehlivosti pro strední hodnotu (d) ano — ne Uvázte mnozinu I = {(a, b)\a,b E R, a < 0 < b} U {0} otevrenych interválu pod R. Pák je (I, U) komutátivní grupá. (e) ano — ne Kvádrátickí polynom (tj. polynom stupne 2) je nád celymi císly ireducibilní práve tehdy, kdyz má záporny diskriminánt. (f) ano — ne Pro zádná k,m E N,k,m > 1 není soucin áditivních grup Zk x Zm cyklická grupá. Príklady: 1. (6 bodu) Pri 360 hodech kostkou pádlá jednická pouze 45 krát. Rozhodnete, jestli je mozne tvrdit, ze jde o ideílní kostku ná hládine a = 0,01. Vse zduvodnete á svuj záver explicitne formulujte. 2. (6 bodu) Urcete hustotu pravdepodobnosti náhodneho vektoru (X, Y), jehoz distribucní funkce je {0 pro x < — 1 n2(árcsinx + |)(árctgy + |) pro \x\ < 1 n (árctg y + |) pro x > 1. Urcete rovnez márginální hustoty á rozhodnete, jsou-li veliciny X á Y nezávisle. 3. (6 bodu) Uvázte multiplikátivní grupu G invertibilních zbytkovych tríd modulo 121 á: (á) urcete její rád, (b) urcete (nebo dokázte, ze neexistují) prvek a rádu 9 á prvek b radu 10 v G, (c) urcete rád podgrupy H generováne nekterym prvkem z b) á pocet prvku leveho rozkládu G/H, (d) urcete strukturu fáktorgrupy G/H (nápr. uveďte znímou grupu, s níz je izomorfní). 4. (6 bodu) Nájdete vsechny koreny polynomu 10x5 + 29x4 + 10x3 + 10x2 + 9x + 2 E C [x] á urcete jejich nísobnost, víte-li, ze jedním z koremi je . Urcete polynom, jehoz koreny jsou práve císlá opácná ke vsem korenum polynomu f (á stejne násobnosti). Nápověda: X\,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2: M = n ELi X výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n) S2 = n,', En=i(Xi - M )2 výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2 U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - )u)/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^2, Ž + í) je-li aj2 = a2 = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2) F = ff ~ F (m - 1,n - 1)-Intervaly spolehlivosti: // (zname a2) (M - ^U1-a/2,M + %U1-«/2) // (neznáme a2) (M - ^Í1_a/2(n - 1),M + ^*1-a/2(n - 1)) a2 (neznáme //) í (n-1)S2 (n-1)S2 \ Vxí_a/2(n-1), xa/2(n-1) - a2 (zname ^) ( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 A y^i-c/iW x^/2(n) y ^1 - ^2 (známe a2) ^1 - ^2 (nezname a2 = a2) M1 - M2 ± S*^m + n ■ *1-a/2(m + n - 2) podál rozptylu a2/a2 / s2/s2 s2/s2 \ VFi-c/2(m-1,n-1) , Fc/2(m-1,n-1); Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I U I 01 I 0~2 I 0~3 I 0~I I 0"5 I 0"6 I 07 I 0~8 I 0~9 u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 $(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 $(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773 Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2: volnost 0,025 0,05 0,95 0,975 1 0,001 0,004 3,841 5,024 2 0,051 0,103 5,991 7,378 3 0,216 0,352 7,815 9,348 5 0,831 1,145 11,070 12,833 10 3,247 3,940 18,307 20,483 20 9,591 10,851 31,410 34,710 50 32,357 34,764 67,505 71,420 100 74,222 77,929 124,342 129,561 Kvantilý Stůděntova t-rozdělění ) = -í1-Q,(v)): volnost v 0,95 0,975 1 6,3138 12,7062 2 2,9200 4,3027 3 2,3534 3,1824 4 2,1318 2,7764 5 2,0150 2,5706 10 1,8125 2,2281 20 1,7247 2,0860 30 1,6973 2,0423 oo 1,6449 1,9600 Matematika 4 4. června 2010 D (UCO: ) Hodnocení: Semestr Teorie 1. 2. 3. 4. E Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. Teorie: (6krát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0) Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na pátricnem rádku), zdá jsou pravdivá následující tvrzení (čtete velmi pozorne!), áni zde nemůžete celkove získat zaporná počet bodů: Nejsou-li X á Y nezávisle, pák áni X2 á Y2 nemohou byt nezávisle. (a) ano — ne (b) ano — ne (č) ano — ne (d) ano — ne ke scítání. (e) ano — ne Grupá (R, +) nemá zádnou netriviální konecnou podgrupu. (f) ano — ne Pro libovolná m, n E N plátí (p(mn) = t/?(m) • <^(n) oznácuje Eulerovu funkci). Príklady: 1. (6 bodu) Pri 360 hodech kostkou pádlá sestká 80 krát. Testujte hypotezu, ze jde o ideílní kostku oproti álternátive, ze bylá kostká zámerne uprávená, áby pádálo více sestek, ná hládine a = 0,01. Vse zduvodnete á svuj záver explicitne formulujte. 2. (6 bodu) V urne je 13 kulicek - 5 cervenych, 4 bíle á 4 modre. Níhodne bez vrácení vybereme 6 kulicek. Urcete rozlození náhodneho vektoru (X, Y), oznácuje-li X pocet tázeních cervenych kulicek á Y pocet tázeních bílích kulicek. Urcete rovnez márginální rozlození velicin X á Y. Díle vypoctete P (1 < X < 4), P (Y < 3). 3. (6 bodu) Uvázte grupu S8 vsech permutácí ná osmiprvkove mnozine. (á) Urcete vsechny prvky podgrupy generováne permutácí s = (1, 2) o (3,4, 5) o (7, 8). (b) Urcete pocet prvku leveho rozkládu S8 podle podgrupy gemerováne permutácí s. (c) Rozhodnete (á sve tvrzení zduvodnete), je-li (s) normílní podgrupá E8. 4. (6 bodu) Nájdete vsechny koreny polynomu x5 + 5x4 + x3 + 5x2 + x + 5 E C [x] á urcete jejich nísobnost, víte-li, ze jedním z korenu je ~1+^^3. Urcete polynom, jehoz koreny jsou príve císlá opácná ke vsem korenum polynomu f (á stejne násobnosti). Nápověda: X\,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2: M = n ELi X výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n) S2 = n,', En=i(Xi - M )2 výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2 U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - )u)/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^2, Ž + í) je-li aj2 = a2 = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2) F = ff ~ F (m - 1,n - 1)-Intervaly spolehlivosti: // (zname a2) (M - ^U1-a/2,M + %U1-«/2) // (neznáme a2) (M - ^Í1_a/2(n - 1),M + ^*1-a/2(n - 1)) a2 (neznáme //) í (n-1)S2 (n-1)S2 \ Vxí_a/2(n-1), xa/2(n-1) - a2 (zname ^) ( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 A y^i-c/iW x^/2(n) y ^1 - ^2 (známe a2) ^1 - ^2 (nezname a2 = a2) M1 - M2 ± S*^m + n ■ *1-a/2(m + n - 2) podál rozptylu a2/a2 / s2/s2 s2/s2 \ VFi-c/2(m-1,n-1) , Fc/2(m-1,n-1); Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I U I 01 I 0~2 I 0~3 I 0~I I 0"5 I 0"6 I 07 I 0~8 I 0~9 u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 $(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 $(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773 Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2: volnost 0,025 0,05 0,95 0,975 1 0,001 0,004 3,841 5,024 2 0,051 0,103 5,991 7,378 3 0,216 0,352 7,815 9,348 5 0,831 1,145 11,070 12,833 10 3,247 3,940 18,307 20,483 20 9,591 10,851 31,410 34,710 50 32,357 34,764 67,505 71,420 100 74,222 77,929 124,342 129,561 Kvantilý Stůděntova t-rozdělění ) = -í1-Q,(v)): volnost v 0,95 0,975 1 6,3138 12,7062 2 2,9200 4,3027 3 2,3534 3,1824 4 2,1318 2,7764 5 2,0150 2,5706 10 1,8125 2,2281 20 1,7247 2,0860 30 1,6973 2,0423 oo 1,6449 1,9600