Matematika 4 10. června 2010 A (UCO: Hodnocení: Semestr Teorie 1. 2. 3. 4. E Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. Teorie: (6krát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0) Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na pátričnem rádku), zdá jsou pravdivá následující tvrzení (čtete velmi pozorne!), ani zde nemůžete celkove získat zaporná počet bodů: (a) ano — ne Strední hodnota součinu libovolne dvojice nezívislích níhodních veličin X, Y je rovná soucinu stredních hodnot techto velicin. (b) ano — ne Pro kázdou náhodnou velicinu existuje její rozptyl á je jím nezíponré reálne císlo. (č) ano — ne Pro víber z normálního rozdelení plátí, ze sjednocení jednostránních intervalu spolehlivosti pro strední hodnotu (i obsahuje jáko svou podmnozinu oboustranní interval teze spolehlivosti pro (d) ano — ne Existuje nekomutativní grupa G á její vlastní normální podgrupá H ták, ze fáktorgrupá G/H je komutativní. (e) ano — ne Grupa symetrií pravidelneho petiuhelníká má 10 prvku á je izomorfní (Z10, +). (f) ano — ne Mnoziná invertibilních mátic 2 x 2 s prvky ze Z2 tvorí grupu vzhledem ke scítíní. Príklady: 1. (6 bodu) Ná jistem pracovisti bylo náhodne vybráno 6 muzu á 6 zen, jejichz rocní príjem (v tis. Kc) cinil u muzu: 320, 380, 240, 220, 440, 300, zatímco u zen: 180, 240, 160, 200, 320, 260. Predpokládejte, ze jde o realizace dvou nezívislích náhodných vyberu z normálních rozdelení se stejním rozptylem á na hladine víznamnosti 0,05 testujte nulovou hypotezu: střední hodnota platů mužů není vyšší než střední hodnota platů zen oproti jednostranne álternative. /(x,y,z) = {: 2. (6 bodu) Hustota náhodneho vektoru (X, Y, Z) je 'c(x + y + z) pro0 < x < 1, 0 < y < 2, 0 < z < 3 0 jinák. Urcete konstantu c, distribucní funkci á vypoctete P(0 < X < 2, 0 < Y < 1, 0 < Z < 1). 3. (6 bodu) Kterí z nísledujících zobrazení (Z, +) ^ (Z, +) jsou homomorfismy grup? Vse zduvodnujte. Vx G Z : a) x i—► 3x; b) x ^ 3 + x; c) x i—► x3; d) x ^ 1; e) x i—► 0. Dále nájdete vsechny grupove homomorfismy Z24 — Z15 á Z15 — Z24. 4. (6 bodu) Mezi vsemi normovanymi polynomy á) s komplexními b) s reíálnyími koeficienty, které mají jednoduchí korén —3 á dvojnísobní koren 1 — i, nájdete polynom nejmensího stupne. ) Nápověda: Xi,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2: M = n ^n=i Xi výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n) S2 = n,', En=i(Xi - M )2 výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2 U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - ^/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^, Ž + í) je-li aj2 = a| = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2) F = §f ~ F(m- 1,n- 1)- Intervaly spolehlivosti: // (známe a2) // (neznáme a2) (M - -nti_a/2(n - 1),M + íi-a/2(n - 1)) a2 (neznáme //) í (n-i)S2 (n-i)S2 A a2 (zname ^) ( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 \ ^ X1-a/2(n) ' X£/2(n) j ^i - ^2 (známe a2) Mi - M2 WŽ + Í ■ Ui-a/2 ^i - ^2 (neznáme a2 = a2) Mi - M2 ± m + n ■ íi-a/2(m + n - 2) podál rozptylu a2/a2 / s2/S2 s2/s2 \ \F1_a/2(m-i,n-i) , Fa/2(m-i,n-l) J Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I U I 01 I 0~2 I 0~3 I 0~I I 0"5 I 0"6 I 07 I 0~8 I 0~9 u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 $(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 $(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773 Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2: volnost 0,025 0,05 0,10 0,50 0,90 0,95 0,975 1 0,001 0,004 0,016 0,455 2,71 3,841 5,024 2 0,051 0,103 0,211 1,39 4,61 5,991 7,378 3 0,216 0,352 0,584 2,37 6,25 7,815 9,348 5 0,831 1,145 1,61 4,35 9,24 11,070 12,833 10 3,247 3,940 4,87 9,34 16,0 18,307 20,483 20 9,591 10,851 12,4 19,3 28,4 31,410 34,170 50 32,357 34,764 37,7 49,3 63,2 67,505 71,420 Kvantilý Stůděntova t-rozdělění (ŕa(v) = -íi-Q,(v)): volnost v 0,95 0,975 1 6,3138 12,7062 2 2,9200 4,3027 3 2,3534 3,1824 4 2,1318 2,7764 5 2,0150 2,5706 10 1,8125 2,2281 20 1,7247 2,0860 30 1,6973 2,0423 00 1,6449 1,9600 Matematika 4 10. června 2010 B (UCO: Hodnocení: Semestr Teorie 1. 2. 3. 4. E Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů. Na přáci máte cca 100 minut. Teorie: (6krát ±1 bod: tj. správně 1 bod, chybně —1 bod, bez odpovědi 0) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patričněm rádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!), ani zde nemůžete celkove získat záporná poCet bodů: (a) ano — ne Směrodatna odchylka součtu libovolně dvojice nezavislích nahodních veličin X, Y je rovna souctu jejich směrodatních odchylek. (b) ano — ne (č) ano — ne (d) ano — ne 1 po delení (e) ano — ne (f) ano — ne Pro libovolne pnrozene císlo a, které není násobkem 3, platí, ze a18 dává zbytek Príklady: 1. (6 bodu) Odběratel provadí kontrolu jakosti nami dodaných vírobku namítkovou kontrolou testovaněho rozměru u 21 nahodně vybraních výrobku. Dodavka bude prijata, pokud nebude víběroví směrodatna odchylka prékracovat hodnotu 0,2 mm. Víme, ze nase stroje produkují vírobky, u nichz mí sledovany rozměr normílní rozdělení N(10 mm; 0, 0737mm2). S využitím statistickych tabulek urcete pravděpodobnost, s níz bude dodavka prijata. Jak se změní odpověď, pokud odběratel kvuli nakladum na testy zacne testovat pouze 4 vyrobky? (V prípadě chybějících udaju v tabulce hodnoty, kterě mate k dispozici, linearně interpolujte). 2. (6 bodů) Určete konstantu c tak, aby funkce /(x,y) = c(x + y2) v oblasti ohraniceně parabolami y = x2, y2 = x 0 jinak byla hustotou nějakěho nahodněho vektoru a urcete jeho strední hodnotu. 3. (6 bodů) Ktera z nasledujících zobrazení (C*, •) — (R*, •) jsou homomorfismy grup? Vse zdůvodnujte. Vx G Z : a) x — 3|x|; b) x ^ 3+ c) x ^ |x|3; d) x ^ 1; e) x i—► Díle najdete všechny grupove homomorfismy Z21 — Z15 a Z15 — Z21. 4. (6 bodu) Urcete polynomy /, g G Q [x] stupne 3 tak, ze kazdy z nich má alespon jeden dvojnásobný koren a jejich nejvetsí spolecní delitel je polynom h = x2 + 2x — 35. Polynom h vyjadrete jako linearní kombinaci polynomu /, g (Bezoutova rovnost). ) Nápověda: Xi,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2: M = n ^n=i Xi výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n) S2 = n,', En=i(Xi - M )2 výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2 U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - ^/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^, Ž + í) je-li aj2 = a| = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2) F = §f ~ F(m- 1,n- 1)- Intervaly spolehlivosti: // (známe a2) // (neznáme a2) (M - -nti_a/2(n - 1),M + íi-a/2(n - 1)) a2 (neznáme //) í (n-i)S2 (n-i)S2 A a2 (zname ^) ( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 \ ^ X1-a/2(n) ' X£/2(n) j ^i - ^2 (známe a2) Mi - M2 WŽ + Í ■ Ui-a/2 ^i - ^2 (neznáme a2 = a2) Mi - M2 ± m + n ■ íi-a/2(m + n - 2) podál rozptylu a2/a2 / s2/S2 s2/s2 \ \F1_a/2(m-i,n-i) , Fa/2(m-i,n-l) J Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I U I 01 I 0~2 I 0~3 I 0~I I 0"5 I 0"6 I 07 I 0~8 I 0~9 u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 $(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 $(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773 Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2: volnost 0,025 0,05 0,10 0,50 0,90 0,95 0,975 1 0,001 0,004 0,016 0,455 2,71 3,841 5,024 2 0,051 0,103 0,211 1,39 4,61 5,991 7,378 3 0,216 0,352 0,584 2,37 6,25 7,815 9,348 5 0,831 1,145 1,61 4,35 9,24 11,070 12,833 10 3,247 3,940 4,87 9,34 16,0 18,307 20,483 20 9,591 10,851 12,4 19,3 28,4 31,410 34,170 50 32,357 34,764 37,7 49,3 63,2 67,505 71,420 Kvantilý Stůděntova t-rozdělění (ŕa(v) = -íi-Q,(v)): volnost v 0,95 0,975 1 6,3138 12,7062 2 2,9200 4,3027 3 2,3534 3,1824 4 2,1318 2,7764 5 2,0150 2,5706 10 1,8125 2,2281 20 1,7247 2,0860 30 1,6973 2,0423 00 1,6449 1,9600 Matematika 4 10. června 2010 C (UCO: Hodnocení: Semestr Teorie 1. 2. 3. 4. E Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. Teorie: (6krát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0) Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patricnem rádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtete velmi pozorne!), ani zde nemůžete celkove získat zaporná počet bodů: (a) ano — ne Strední hodnotu nahodne veliciny X lze vypocítat jako derivaci momentove vytvorující funkce teto nahodne veliciny v bode 0. (b) ano — ne Distribucní funkce libovolne nahodne veliciny je spojita funkce. (č) ano — ne Je-li smerodatna odchylka nahodne veliciny X rovna 1, pak je smerodatna odchylka veliciny 2X — 1 rovna 2. (d) ano — ne Existuje komutativní grupa G a její vlastní normalní podgrupa H tak, ze faktor-grupa G/H je nekomutativní. (e) ano — ne Existuje homomorfismus (Z, +) — (Z, +), kterí je surjektivní a není injektivní. (f) ano — ne Kazdí polynom s reílními koeficienty nm v R aspoň jeden koren. Príklady: 1. (6 bodu) Na jistem pracovisti bylo nahodne vybríno 6 mužu a 6 zen, jejichž rocní príjem (v tis. Kc) činil u muzu: 320, 380, 240, 220, 440, 300 zatímco u zen: 180, 240, 160, 200, 320, 260. Predpokladejte, ze jde o realizace dvou nezavislích níhodnych vyberu z normalních rozdelení se stejním rozptylem a na hladine víznamnosti 0,05 testujte nulovou hypotezu: střední hodnota platů mužů a zen se neliší oproti oboustranne alternative. 2. (6 bodu) Hustota nahodneho vektoru (X, Y, Z) je 'c(x + y + z) pro0 < x < 3, 0 < y < 2, 0 < z < 1 0 jinak. /(x,y,z) = ! Určete konstantu c, příslušnou distribuční funkci a vypočtěte P(0 < X < |, 0 < Y < |, 0 < Z < 1). 3. (6 bodu) Která z následujících zobrazení (Z, +) —► (Z, +) jsou homomorfismy grup? Vše zduvodnujte. Vx G Z : a) x — 3x; b) x — 3 + x; c) x — x3; d) x — 1; e) x — 0. Dale najdete vsechny grupove homomorfismy Z24 — Z15 a Z15 — Z24. 4. (6 bodu) Mezi vsemi normovanými polynomy a) s komplexními b) s reíalnyími koeficienty, ktere mají jednoduchý koren —1a dvojnísobní koren 2 + 2i, najdete polynom nejmensího stupne. ) Nápověda: Xi,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2: M = n ^n=i Xi výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n) S2 = n,', En=i(Xi - M )2 výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2 U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - ^/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^, Ž + í) je-li aj2 = a| = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2) F = §f ~ F(m- 1,n- 1)- Intervaly spolehlivosti: // (známe a2) // (neznáme a2) (M - -nti_a/2(n - 1),M + íi-a/2(n - 1)) a2 (neznáme //) í (n-i)S2 (n-i)S2 A a2 (zname ^) ( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 \ ^ X1-a/2(n) ' X£/2(n) j ^i - ^2 (známe a2) Mi - M2 WŽ + Í ■ Ui-a/2 ^i - ^2 (neznáme a2 = a2) Mi - M2 ± m + n ■ íi-a/2(m + n - 2) podál rozptylu a2/a2 / s2/S2 s2/s2 \ \F1_a/2(m-i,n-i) , Fa/2(m-i,n-l) J Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I U I 01 I 0~2 I 0~3 I 0~I I 0"5 I 0"6 I 07 I 0~8 I 0~9 u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 $(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 $(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773 Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2: volnost 0,025 0,05 0,10 0,50 0,90 0,95 0,975 1 0,001 0,004 0,016 0,455 2,71 3,841 5,024 2 0,051 0,103 0,211 1,39 4,61 5,991 7,378 3 0,216 0,352 0,584 2,37 6,25 7,815 9,348 5 0,831 1,145 1,61 4,35 9,24 11,070 12,833 10 3,247 3,940 4,87 9,34 16,0 18,307 20,483 20 9,591 10,851 12,4 19,3 28,4 31,410 34,170 50 32,357 34,764 37,7 49,3 63,2 67,505 71,420 Kvantilý Stůděntova t-rozdělění (ŕa(v) = -íi-Q,(v)): volnost v 0,95 0,975 1 6,3138 12,7062 2 2,9200 4,3027 3 2,3534 3,1824 4 2,1318 2,7764 5 2,0150 2,5706 10 1,8125 2,2281 20 1,7247 2,0860 30 1,6973 2,0423 00 1,6449 1,9600 Matematika 4 10. června 2010 D (UCO: Hodnocení: Semestr Teorie 1. 2. 3. 4. E Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. Teorie: (6krát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0) Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patricnem rádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtete velmi pozorne!), ani zde nemůžete celkove získat zaporná počet bodů: (a) ano — ne Je-li strední hodnota nahodne veliciny X rovna 0, pak je rovnez strední hodnota níhodne veliciny X2 rovna 0 (bez ohledu na rozdelení) (b) ano — ne Jsou-li X a Y nezavisle nahodne veliciny, pak i X2 a Y2 jsou nezavisle. (č) ano — ne Rozptyl souctu nahodnych velicin je roven souctu jejich rozptylu. (d) ano — ne Mnozina vsech invertibilních matic typu 2 krat 2 nad racionílními císly tvorí grupu vzhledem k nasobení. (e) ano — ne Kazdí nekonstantní polynom z C[x] mí v C korén. (f) ano — ne Existuje homomorfismus (Z, +) — (Z, +), kterí je injektivní a není surjektivní. Príklady: 1. (6 bodu) Odberatel provídí kontrolu jakosti nami dodaných vírobku namítkovou kontrolou testovaneho rozmeru u 21 nahodne vybraních vyrobku Dodavka bude prijata, pokud nebude víberoví smerodatna odchylka prekracovat hodnotu 0,2 mm. Víme, ze nase stroje produkují vírobky, u nichz mí sledovany rozmer normílní rozdelení N(10 mm; 0, 0255 mm2). S vyuzitím statistickích tabulek urcete pravdepodobnost, s níz bude dodavka prijata. Jak se zmení odpoveď, pokud odberatel kvuli nakladum na testy zacne testovat pouze 4 vyrobky? (V prípade chybejících udaju v tabulce hodnoty, které mate k dispozici, linearne interpolujte). 2. (6 bodu) Urcete konstantu c tak, aby funkce /(x,y) = c(x2 + y) v oblasti ohranicene parabolami y = x2, y2 = x 0 jinak byla hustotou nejakeho nahodneho vektoru a urcete jeho strední hodnotu. 3. (6 bodu) Ktera z nasledujících zobrazení (C*, •) — (R*, •) jsou homomorfismy grup? Vse zduvodnujte. Vx G Z : a) x — 3|x|; b) x — 3+ |x|; c) x — |x|3; d) x — 1; e) x — 1/|x|. Díle najdete vsechny grupove homomorfismy Z28 — Z16 a Z16 — Z28. 4. (6 bodu) Urcete polynomy /, g G Q [x] stupne 3 tak, ze kazdí z nich mí alespon jeden dvojnasobní koren a jejich nejvetsí spolecní delitel je polynom h = x2 — 2x — 8. Polynom h vyjadrete jako linearní kombinaci polynomu /, g (Bezoutova rovnost). ) Nápověda: Xi,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2: M = n ^n=i Xi výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n) S2 = n,', En=i(Xi - M )2 výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2 U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - ^/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^, Ž + í) je-li aj2 = a| = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2) F = §f ~ F(m- 1,n- 1)- Intervaly spolehlivosti: // (známe a2) // (neznáme a2) (M - -nti_a/2(n - 1),M + íi-a/2(n - 1)) a2 (neznáme //) í (n-i)S2 (n-i)S2 A a2 (zname ^) ( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 \ ^ X1-a/2(n) ' X£/2(n) j ^i - ^2 (známe a2) Mi - M2 WŽ + Í ■ Ui-a/2 ^i - ^2 (neznáme a2 = a2) Mi - M2 ± m + n ■ íi-a/2(m + n - 2) podál rozptylu a2/a2 / s2/S2 s2/s2 \ \F1_a/2(m-i,n-i) , Fa/2(m-i,n-l) J Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I U I 01 I 0~2 I 0~3 I 0~I I 0"5 I 0"6 I 07 I 0~8 I 0~9 u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 $(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 $(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773 Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2: volnost 0,025 0,05 0,10 0,50 0,90 0,95 0,975 1 0,001 0,004 0,016 0,455 2,71 3,841 5,024 2 0,051 0,103 0,211 1,39 4,61 5,991 7,378 3 0,216 0,352 0,584 2,37 6,25 7,815 9,348 5 0,831 1,145 1,61 4,35 9,24 11,070 12,833 10 3,247 3,940 4,87 9,34 16,0 18,307 20,483 20 9,591 10,851 12,4 19,3 28,4 31,410 34,170 50 32,357 34,764 37,7 49,3 63,2 67,505 71,420 Kvantilý Stůděntova t-rozdělění (ŕa(v) = -íi-Q,(v)): volnost v 0,95 0,975 1 6,3138 12,7062 2 2,9200 4,3027 3 2,3534 3,1824 4 2,1318 2,7764 5 2,0150 2,5706 10 1,8125 2,2281 20 1,7247 2,0860 30 1,6973 2,0423 00 1,6449 1,9600