Matematika 4 18. června 2010 A (UCO: ) Hodnocení: Semestr Teorie 1. 2. 3. 4. E Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. Teorie: (6krát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0) Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patricnem rádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtete velmi pozorne!), ani zde nemůžete celkove získat zaporná počet bodů: (a) ano — ne Každá polynom nad R licheho stupne má v R korén. (b) ano — ne Existuje homomorfismus (Z18, +) — (Z8, +), která je surjektivná a nená injektivná. (č) ano — ne Mnozina vsech invertibilnách matic typu 3 krát 3 nad celámi cásly tvorá grupu vzhledem k náasobená. (d) ano — ne Je-li stredná hodnota náhodne veliciny X rovna —1, pak je i stredná hodnota nahodne veliciny 2 • X — 1 rovna —1 (bez ohledu na rozdelená X). (e) ano — ne Pravdepodobnost, ze pri hodu dvema kostkami nepadly dve trojky, pokud je znamo, ze soucet je delitelná sesti, je mensá nez 5/6. (f) ano — ne Pro váber z normalnáho rozdelená platá, ze jednostranný interval spolehlivosti pro stredná hodnotu // je podmnozinou oboustranneho intervalu teze spolehlivosti pro Príklady: 1. (6 bodu) Nahodne vybrana konzerva v armadnám skladu je vadna s pravdepodobnosti' 0,1. Kolik konzerv musá zasobovatí' dustojnák ze skladu vzát, aby mezi nimi bylo s pravdepodobnostá 0,9 alespon 50 bezvadnách konzerv. (Predpokládejte, ze konzervy jsou vydavany nahodne). 2. (6 bodu) Na usecce OA delky 1 jsou náhodne zvolene body B a C tak, ze \OB\ < \OC|. Urcete pravdepodobnost, ze delka usecky BC je mensá nez delka ásecky OB. Predpokladejte, ze pravdepodobnost volby bodu na konkrétná ásecce je p rámo umerna delce teto usecky (tj. jde o rovnomerne spojité rozdelená). 3. (6 bodu) U nasledujKách predpisu rozhodnete, zda se jedna o zobrazená, homomorfismus, ci dokonce izomorfismus grup. V prípade homomorfismu urcete jejich jadro. Vse zduvodnujte (nejde o test!). (a) f :(Za, +) x (Z5, +) — (Z15, +); f ([a], [b]) = [a + b]. (b) g :(Z8, +) — (C*, •); g([a]) = za. (c) h : (£4, ◦) — (£5, h(s) = (2, 3) o s ◦ (2, 3). 4. (6 bodu) Urcete vsechny korény (vcetne nasobnosti) polynomu x7 — 10x6 + 81x5 — 210x4 + 420x3 + 2112x2 + 340x + 2312 G C [x], váte-li, ze ma alespoň dvojnasobná koren 3 + 5i. Polynom rozlozte na ireducibilná faktory nad Z, Q, R, C. Nápověda: Xi,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2: M = n ^n=i Xi výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n) S2 = n,', En=i(Xi - M )2 výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2 U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - ^/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^, Ž + í) je-li aj2 = a| = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2) F = §f ~ F(m- 1,n- 1)- Intervaly spolehlivosti: // (známe a2) // (neznáme a2) (M - -nti_a/2(n - 1),M + íi-a/2(n - 1)) a2 (neznáme //) í (n-i)S2 (n-i)S2 A a2 (zname ^) ( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 \ ^ X1-a/2(n) ' X£/2(n) j ^i - ^2 (známe a2) Mi - M2 WŽ + Í ■ Ui-a/2 ^i - ^2 (neznáme a2 = a2) Mi - M2 ± m + n ■ íi-a/2(m + n - 2) podál rozptylu a2/a2 / s2/S2 s2/s2 \ \F1_a/2(m-i,n-i) , Fa/2(m-i,n-l) J Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I U I 01 I 0~2 I 0~3 I 0~I I 0"5 I 0"6 I 07 I 0~8 I 0~9 u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 $(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 $(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773 Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2: volnost 0,025 0,05 0,10 0,50 0,90 0,95 0,975 1 0,001 0,004 0,016 0,455 2,71 3,841 5,024 2 0,051 0,103 0,211 1,39 4,61 5,991 7,378 3 0,216 0,352 0,584 2,37 6,25 7,815 9,348 5 0,831 1,145 1,61 4,35 9,24 11,070 12,833 10 3,247 3,940 4,87 9,34 16,0 18,307 20,483 20 9,591 10,851 12,4 19,3 28,4 31,410 34,170 50 32,357 34,764 37,7 49,3 63,2 67,505 71,420 Kvantilý Stůděntova t-rozdělění (ŕa(v) = -íi-Q,(v)): volnost v 0,95 0,975 1 6,3138 12,7062 2 2,9200 4,3027 3 2,3534 3,1824 4 2,1318 2,7764 5 2,0150 2,5706 10 1,8125 2,2281 20 1,7247 2,0860 30 1,6973 2,0423 00 1,6449 1,9600 Matematika 4 18. června 2010 B (UCO: ) Hodnocení: Semestr Teorie 1. 2. 3. 4. E Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů. Na práci máte cca 100 minut. Teorie: (6krát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0) Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patricnem rádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtete velmi pozorne!), ani zde nemůžete celkove získat zaporná počet bodů: (a) ano — ne (b) ano — ne (č) ano — ne scítaní. (d) ano — ne (e) ano — ne (d) ano — ne Pokud existuje rozptyl nahodne veliciny, je vždy nezáporná. ano — ne Pravdepodobnost, ze pri hodu dvema kostkami padl soucet mensí nez 6, víme-li, ze soucet byl sudá, je mensí nez 1/3. (f) ano — ne Pro libovolne realne císlo r existuje diskrétne rozdelená náhodná velicina se strední hodnotou r. Príklady: 1. (6 bodu) Ke kazdemu jogurtu bezne znacky je nahodne (rovnomerne) pribalen obrazek nekterého z 26 hokejovách mistru sveta. Kolik jogurtu si fanynka Verka musí koupit, aby s pravdepodobností 0,95 získala alespon 5 karticek Jaromíra Jagra? 2. (6 bodu) Tyc delky 1 je nahodne rozlomena na 3 cásti. Urcete pravdepodobnost, ze z techto castí pujde sestrojit trojuhelník. 3. (6 bodu) U nasledujících predpisu rozhodnete, zda se jedna o zobrazení, homomorfismus, ci dokonce izomorfismus grup. V prípade homomorfismu urcete jejich jadro. Vse zduvodnujte (nejde o test!). (a) f : (Z3, +) x (Z5, +) - (Z15, +); (b) g :(Za, +) - (C*, •); (c) h : (£4, o) — ^ 0); 4. (6 bodu) Urcete vsechny korény (vcetne nasobnosti) polynomu x7 — 3x6 — 12x5 + 18x4 + 90x3 — 243x — 243 G C [x], víte-li, ze ma alespon dvojnásobná korén —3 + i. Polynom rozlozte na ireducibilní faktory nad Z, Q, R, C. f ([a], [6]) = [10a + 6b]. g([a]) = wa, kde u = | + ^3i. h(s) = s2. Nápověda: Xi,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2: M = n ^n=i Xi výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n) S2 = n,', En=i(Xi - M )2 výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2 U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - ^/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^, Ž + í) je-li aj2 = a| = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2) F = §f ~ F(m- 1,n- 1)- Intervaly spolehlivosti: // (známe a2) // (neznáme a2) (M - -nti_a/2(n - 1),M + íi-a/2(n - 1)) a2 (neznáme //) í (n-i)S2 (n-i)S2 A a2 (zname ^) ( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 \ ^ X1-a/2(n) ' X£/2(n) j ^i - ^2 (známe a2) Mi - M2 WŽ + Í ■ Ui-a/2 ^i - ^2 (neznáme a2 = a2) Mi - M2 ± m + n ■ íi-a/2(m + n - 2) podál rozptylu a2/a2 / s2/S2 s2/s2 \ \F1_a/2(m-i,n-i) , Fa/2(m-i,n-l) J Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I U I 01 I 0~2 I 0~3 I 0~I I 0"5 I 0"6 I 07 I 0~8 I 0~9 u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 $(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 $(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773 Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2: volnost 0,025 0,05 0,10 0,50 0,90 0,95 0,975 1 0,001 0,004 0,016 0,455 2,71 3,841 5,024 2 0,051 0,103 0,211 1,39 4,61 5,991 7,378 3 0,216 0,352 0,584 2,37 6,25 7,815 9,348 5 0,831 1,145 1,61 4,35 9,24 11,070 12,833 10 3,247 3,940 4,87 9,34 16,0 18,307 20,483 20 9,591 10,851 12,4 19,3 28,4 31,410 34,170 50 32,357 34,764 37,7 49,3 63,2 67,505 71,420 Kvantilý Stůděntova t-rozdělění (ŕa(v) = -íi-Q,(v)): volnost v 0,95 0,975 1 6,3138 12,7062 2 2,9200 4,3027 3 2,3534 3,1824 4 2,1318 2,7764 5 2,0150 2,5706 10 1,8125 2,2281 20 1,7247 2,0860 30 1,6973 2,0423 00 1,6449 1,9600