Nápověda:
Xi,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2:
M = n ^n=i Xi    výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n)
S2 = n,', En=i(Xi - M )2    výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2
U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - )u)/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^, Ž + í)
je-li aj2 = a| = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2)
F = §f ~ F(m- 1,n- 1)-
Intervaly spolehlivosti:
// (známe a2)	
// (neznáme a2)	(M - --nti_a/2(n - 1),M + --nti_a/2(n - 1))
a2 (neznáme //)	í    (n-i)S2        (n-i)S2 A VXí_a/2(n-i) , X^/2(n-i) _
a2 (zname ^)	( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 \ ^ X1-a/2(n) '     x2„/2(n) j
^i - ^2 (známe a2)	Mi - M2 WŽ + Í ■ Ui-a/2
^i - ^2 (neznáme a2 = a2)	Mi - M2 ±       m + n ■ íi-a/2(m + n - 2)
podál rozptylu a2/a2	/      s2/S2            s2/s2 \ \F1_a/2(m-i,n-i) , Fa/2(m-l,n-l) J
Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I   U   I   01   I   0~2   I   0~3   I   0~I   I   0"5   I   0"6   I   07   I   0~8   I 0~9
u	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
$(u)	0,5398	0,5793	0,6179	0,6554	0,6915	0,7258	0,7580	0,7881	0,8159	0,8413
u	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
$(u)	0,8643	0,8849	0,9032	0,9192	0,9332	0,9452	0,9554	0,9641	0,9713	0,9773
Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2:
volnost	0,025	0,05	0,10	0,50	0,90	0,95	0,975
1	0,001	0,004	0,016	0,455	2,71	3,841	5,024
2	0,051	0,103	0,211	1,39	4,61	5,991	7,378
3	0,216	0,352	0,584	2,37	6,25	7,815	9,348
5	0,831	1,145	1,61	4,35	9,24	11,070	12,833
10	3,247	3,940	4,87	9,34	16,0	18,307	20,483
20	9,591	10,851	12,4	19,3	28,4	31,410	34,170
50	32,357	34,764	37,7	49,3	63,2	67,505	71,420
Kvantilý Stůděntova t-rozdělění (ŕa(v) = -íi-Q,(v)):
volnost v	0,95	0,975
1	6,3138	12,7062
2	2,9200	4,3027
3	2,3534	3,1824
4	2,1318	2,7764
5	2,0150	2,5706
10	1,8125	2,2281
20	1,7247	2,0860
30	1,6973	2,0423
00	1,6449	1,9600
Matematika 4 24. zaří 2010
B
(UCO:
Hodnocení:
Semestr	Teorie	1.	2.	3.	4.	E
						
Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
)
Teořie: (6křát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0)
Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patricnem rádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtete velmi pozorne!), ani zde nemůZete celkove získat zaporná poCet bodů:
(a) ano — ne Pro libovolne podgrupy H, K grupy G je i K U H podgrupou G.
(b) ano — ne Grupa symetrií pravidelneho petiuhelníka je komutativní.
(c) ano — ne Polynom stupne n je nad Q ireducibilní prave tehdy, kdyz v Q nema korén.
(d) ano — ne Pravdepodobnost, ze pri hodu dvema kostkami padly dve trojky, pokud je znamo, ze soucet je delitelní sesti, neprévysuje 1/6.
(e) ano — ne Hustotou libovolne spojite nahodne veliciny nemuze bít monotónní funkce.
(f) ano — ne Rozptyl souctu nezívislích nahodních velicin je roven souctu jejich rozptylu. Příklady:
1. (6 bodu) Ke kazdemu jogurtu bezne znacky je nahodne (rovnomerne) pribalen obrazek nektereho z 26 hokejovích mistru sveta. Kolik jogurtu si fanynka Verka musí koupit, aby s pravdepodobností 0,90 získala alespon 10 karticek Jaromíra Jagra?
2. (6 bodu) Uvazujte kvadratickí polynom x2 + ax + b, jehoz realne koeficienty splnují |a| <
4, |b| < 2 a vsechny prípustne hodnoty koeficientu jsou stejne pravdepodobne. Urcete pravdepodobnost, ze vsechny korény tohoto polynomu jsou realne.
3. (6 bodu) Uvazte multiplikativní grupu G invertibilních zbytkovích tríd modulo 81 a:
(a) urcete její rad,
(b) urcete (nebo dokazte, ze neexistují) prvek a radu 9 a prvek b rídu 10 v G,
(c) urcete rad podgrupy H generovane nekterym prvkem z b) a pocet prvku leveho rozkladu G/H,
(d) urcete strukturu faktorgrupy G/H (napr. uved'te znímou grupu, s níz je izomorfní).
4. (6 bodu) Naleznete polynomy f (x),g(x) G Q [x] stupne 4, které mají (kazdí) trojnasobní koren a jejichz nejvetsí spolecní delitel je h(x) = x2 + 2x — 3. Polynom h vyjadréte jako linearní kombinaci polynomu f, g (Bezoutova rovnost).
Nápověda:
Xi,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2:
M = n ^n=i Xi    výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n)
S2 = n,', En=i(Xi - M )2    výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2
U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - )u)/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^, Ž + í)
je-li aj2 = a| = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2)
F = §f ~ F(m- 1,n- 1)-
Intervaly spolehlivosti:
// (známe a2)	
// (neznáme a2)	(M - --nti_a/2(n - 1),M + --nti_a/2(n - 1))
a2 (neznáme //)	í    (n-i)S2        (n-i)S2 A VXí_a/2(n-i) , X^/2(n-i) _
a2 (zname ^)	( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 \ ^ X1-a/2(n) '     x2„/2(n) j
^i - ^2 (známe a2)	Mi - M2 WŽ + Í ■ Ui-a/2
^i - ^2 (neznáme a2 = a2)	Mi - M2 ±       m + n ■ íi-a/2(m + n - 2)
podál rozptylu a2/a2	/      s2/S2            s2/s2 \ \F1_a/2(m-i,n-i) , Fa/2(m-l,n-l) J
Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I   U   I   01   I   0~2   I   0~3   I   0~I   I   0"5   I   0"6   I   07   I   0~8   I 0~9
u	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
$(u)	0,5398	0,5793	0,6179	0,6554	0,6915	0,7258	0,7580	0,7881	0,8159	0,8413
u	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
$(u)	0,8643	0,8849	0,9032	0,9192	0,9332	0,9452	0,9554	0,9641	0,9713	0,9773
Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2:
volnost	0,025	0,05	0,10	0,50	0,90	0,95	0,975
1	0,001	0,004	0,016	0,455	2,71	3,841	5,024
2	0,051	0,103	0,211	1,39	4,61	5,991	7,378
3	0,216	0,352	0,584	2,37	6,25	7,815	9,348
5	0,831	1,145	1,61	4,35	9,24	11,070	12,833
10	3,247	3,940	4,87	9,34	16,0	18,307	20,483
20	9,591	10,851	12,4	19,3	28,4	31,410	34,170
50	32,357	34,764	37,7	49,3	63,2	67,505	71,420
Kvantilý Stůděntova t-rozdělění (ŕa(v) = -íi-Q,(v)):
volnost v	0,95	0,975
1	6,3138	12,7062
2	2,9200	4,3027
3	2,3534	3,1824
4	2,1318	2,7764
5	2,0150	2,5706
10	1,8125	2,2281
20	1,7247	2,0860
30	1,6973	2,0423
00	1,6449	1,9600
Matematika 4 24. zaří 2010
C
(UCO:
Hodnocení:
Semestr	Teorie	1.	2.	3.	4.	E
						
Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
Teořie: (6křát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0)
Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na pátričnem rádku), zdá jsou pravdivá následující
tvrzení (čtete velmi pozorne!), áni zde nemůZete celkove získat zaporná poCet bodů:
(a) ano — ne Pro libovolne grupy G, H existuje homomorfismus G do H.
(b) ano — ne Grupá S3 permutáčí ná tríprvkove mnozine je komutátivní.
(c) ano — ne Kvádrátický polynom (tj. polynom stupne 2) je nád racionálními čísly ireducibilní práve tehdy, kdyz má záporný diskriminánt.
(d) ano — ne Kováriáncní mátice náhodneho vektoru (X, Y) je symetrická.
(e) ano — ne Jsou-li X á Y stochásticky nezávisle, pák jsou i nekorelováne.
(f) ano — ne Je-li rozptyl D(X) náhodne veliciny X roven 1, pák je rozptyl veliciny X + 1 roven rovnez 1.
Příklady:
1. (6 bodu) Predpokládáme, ze pridáním speciálních prípravku je mozne snízit tvrdost vody. Níhodním vyberem 40 vzorku vody bylá zjistená prumerná tvrdost 4,0. Po pridím prípravku pák bylá zmerená ná 50 vzorcích prumerní tvrdost 3,8. Ná hládine víznámnosti 5% testujte nulovou hypotezu oproti predpokládáne jednostranne álternátive zá predpokládu, ze obá víbery pocházejí z normálního rozdelení s rozptylem 0,25. Svuj zíver explicitne zformulujte.
2. (6 bodu) Uvázujte kvádrátickí polynom x2 + ax + b, jehoz reálne koeficienty splnují |a| <
1, |b| < 2 á vsechny prípustne hodnoty koeficientu jsou stejne právdepodobne. Urcete právdepodobnost, ze vsechny koreny tohoto polynomu jsou reálne á kládne.
3. (6 bodu) Uvázte multiplikátivní grupu G invertibilních zbytkovách tríd modulo 121 á:
(á) urcete její rád,
(b) urcete (nebo dokázte, ze neexistují) prvek a rádu 9 á prvek b radu 10 v G,
(c) urcete rad podgrupy H generováne nekterím prvkem z b) á pocet prvku leveho rozkládu G/H,
(d) urcete strukturu fáktorgrupy G/H (nápr. uved'te znímou grupu, s níz je izomorfní).
4. (6 bodu) Náleznete polynomy f (x),g(x) G Q [x] stupne 4, které májí (kázdí) trojnásobní koren á jejichz nejvetsí spolecní delitel je h(x) = x2 — x — 2. Polynom h vyjádréte jáko lineární kombináci polynomu f, g (Bezoutová rovnost).
)
Nápověda:
Xi,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2:
M = n ^n=i Xi    výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n)
S2 = n,', En=i(Xi - M )2    výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2
U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - )u)/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^, Ž + í)
je-li aj2 = a| = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2)
F = §f ~ F(m- 1,n- 1)-
Intervaly spolehlivosti:
// (známe a2)	
// (neznáme a2)	(M - --nti_a/2(n - 1),M + --nti_a/2(n - 1))
a2 (neznáme //)	í    (n-i)S2        (n-i)S2 A VXí_a/2(n-i) , X^/2(n-i) _
a2 (zname ^)	( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 \ ^ X1-a/2(n) '     x2„/2(n) j
^i - ^2 (známe a2)	Mi - M2 WŽ + Í ■ Ui-a/2
^i - ^2 (neznáme a2 = a2)	Mi - M2 ±       m + n ■ íi-a/2(m + n - 2)
podál rozptylu a2/a2	/      s2/S2            s2/s2 \ \F1_a/2(m-i,n-i) , Fa/2(m-l,n-l) J
Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I   U   I   01   I   0~2   I   0~3   I   0~I   I   0"5   I   0"6   I   07   I   0~8   I 0~9
u	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
$(u)	0,5398	0,5793	0,6179	0,6554	0,6915	0,7258	0,7580	0,7881	0,8159	0,8413
u	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
$(u)	0,8643	0,8849	0,9032	0,9192	0,9332	0,9452	0,9554	0,9641	0,9713	0,9773
Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2:
volnost	0,025	0,05	0,10	0,50	0,90	0,95	0,975
1	0,001	0,004	0,016	0,455	2,71	3,841	5,024
2	0,051	0,103	0,211	1,39	4,61	5,991	7,378
3	0,216	0,352	0,584	2,37	6,25	7,815	9,348
5	0,831	1,145	1,61	4,35	9,24	11,070	12,833
10	3,247	3,940	4,87	9,34	16,0	18,307	20,483
20	9,591	10,851	12,4	19,3	28,4	31,410	34,170
50	32,357	34,764	37,7	49,3	63,2	67,505	71,420
Kvantilý Stůděntova t-rozdělění (ŕa(v) = -íi-Q,(v)):
volnost v	0,95	0,975
1	6,3138	12,7062
2	2,9200	4,3027
3	2,3534	3,1824
4	2,1318	2,7764
5	2,0150	2,5706
10	1,8125	2,2281
20	1,7247	2,0860
30	1,6973	2,0423
00	1,6449	1,9600
Matematika 4 24. zaří 2010
D
(UCO:
Hodnocení:
Semestr	Teorie	1.	2.	3.	4.	E
						
Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
)
Teořie: (6křát ±1 bod: tj. správne 1 bod, chybne —1 bod, bez odpovedi 0)
Odpovezte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na pátričnem rádku), zdá jsou pravdivá následující
tvrzení (čtete velmi pozorne!), áni zde nemůZete celkove získat zaporná poCet bodů:
(a) ano — ne Jádro kázdeho homomorfismu obsáhuje neutrální prvek.
(b) ano — ne Zídní polynom nád C stupne vetsího nez 1 není ireducibilní (tj. Vf G C : st(f) > 1 ==>- f je reducibilní).
(c) ano — ne Grupá symetrií ctverce je komutátivní.
(d) ano — ne Distribucní funkce libovolne náhodne veliciny je neklesájící funkce.
(e) ano — ne Právdepodobnost, ze pri hodu dvemá kostkámi pádl soucet delitelní 4, víme-li, ze soucet byl delitelní 2, je áspon 1/2.
(f) ano — ne Rozptyl souctu náhodných velicin je roven souctu jejich rozptylu. Příklady:
1. (6 bodu) Ná dvou soustruzích se vyrábejí tytez soucístky, u nichz se merí vnitrní prumer (predpokládá se normální rozdelení). Byl porízen níhodní vyber rozsáhu 16 z produkce prvního soustruhu á rozsáhu 25 z produkce druheho soustruhu. Príslusne vyberove prumery jsou 37,5 mm, resp. 36,8 mm á víberove rozptyly 1,21 mm2, resp. 1,44 mm2. Testujte hy-potezu o rovnosti strední hodnoty kontrolováních rozmeru v produkci obou stroju oproti oboustránne álternátive pri a = 0,1. Svuj záver explicitne zformulujte.
2. (6 bodu) Uvázujte kvádrátickí polynom x2 + ax + b, jehoz reálne koeficienty splnují |a| <
4, |b| < 2 á vsechny prípustne hodnoty koeficientu jsou stejne právdepodobne. Urcete právdepodobnost, ze vsechny korény tohoto polynomu jsou reálne á zíporne.
3. (6 bodu) Uvázte grupu £8 vsech permutácí ná osmiprvkove mnozine.
(á) Urcete vsechny prvky podgrupy generováne permutácí s = (1, 2) o (3,4, 5) o (7, 8).
(b) Urcete pocet prvku leveho rozkládu S8 podle podgrupy generováne permutácí s.
(c) Rozhodnete (á sve tvrzení zduvodnete), je-li (s) normílní podgrupá E8.
4. (6 bodu) Náleznete polynomy f (x),g(x) G Q [x] stupne 4, které máj í (káždí) trojnásobní koren á jejichz nejvetsí spolecní delitel je h(x) = x2 — 2x — 3. Polynom h vyjídréte jáko lineární kombináci polynomu f, g (Bezoutová rovnost).
Nápověda:
Xi,... , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2:
M = n ^n=i Xi    výběrový průměr...............E(M) = ^ D(M) = a2/n, M ~ N(u, a2/n)
S2 = n,', En=i(Xi - M )2    výběrový rozptyl......................................E(S2) = a2
U = (M - ^)/(a/Vn) ~ N(0,1) T = (M - )u)/(S/Vň) ~ t(n - 1) K = (n - 1)S2/a2 ~ x2(n - 1) E(Xi - ^)2/a2 ~ x2(n) Mi - M2 ~ N- ^, Ž + í)
je-li aj2 = a| = a2, pak K = (m + n - 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , kde S,2 = ((m - 1)S2 + (n - 1)S22)/(m + n - 2)
F = §f ~ F(m- 1,n- 1)-
Intervaly spolehlivosti:
// (známe a2)	
// (neznáme a2)	(M - --nti_a/2(n - 1),M + --nti_a/2(n - 1))
a2 (neznáme //)	í    (n-i)S2        (n-i)S2 A VXí_a/2(n-i) , X^/2(n-i) _
a2 (zname ^)	( E(Xí-m)2 E(Xí-m)2 \ ^ X1-a/2(n) '     x2„/2(n) j
^i - ^2 (známe a2)	Mi - M2 WŽ + Í ■ Ui-a/2
^i - ^2 (neznáme a2 = a2)	Mi - M2 ±       m + n ■ íi-a/2(m + n - 2)
podál rozptylu a2/a2	/      s2/S2            s2/s2 \ \F1_a/2(m-i,n-i) , Fa/2(m-l,n-l) J
Distribuční fůnkcě normovaněho normálního rozdělení: $(-u) = 1 - $(u) $(0,05) « 0,52, $(1,65) « 0,95, $(1,96) « 0,975, $(2,33) « 0,99, $(2,58) « 0,995. I   U   I   01   I   0~2   I   0~3   I   0~I   I   0"5   I   0"6   I   07   I   0~8   I 0~9
u	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
$(u)	0,5398	0,5793	0,6179	0,6554	0,6915	0,7258	0,7580	0,7881	0,8159	0,8413
u	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
$(u)	0,8643	0,8849	0,9032	0,9192	0,9332	0,9452	0,9554	0,9641	0,9713	0,9773
Kvantilý Pěarsonova rozdělění x2:
volnost	0,025	0,05	0,10	0,50	0,90	0,95	0,975
1	0,001	0,004	0,016	0,455	2,71	3,841	5,024
2	0,051	0,103	0,211	1,39	4,61	5,991	7,378
3	0,216	0,352	0,584	2,37	6,25	7,815	9,348
5	0,831	1,145	1,61	4,35	9,24	11,070	12,833
10	3,247	3,940	4,87	9,34	16,0	18,307	20,483
20	9,591	10,851	12,4	19,3	28,4	31,410	34,170
50	32,357	34,764	37,7	49,3	63,2	67,505	71,420
Kvantilý Stůděntova t-rozdělění (ŕa(v) = -íi-Q,(v)):
volnost v	0,95	0,975
1	6,3138	12,7062
2	2,9200	4,3027
3	2,3534	3,1824
4	2,1318	2,7764
5	2,0150	2,5706
10	1,8125	2,2281
20	1,7247	2,0860
30	1,6973	2,0423
00	1,6449	1,9600