Matematika IV, 15. dubna 2010
A
Jméno:
Max. 7,5 b.____________________________________UCO:______________________
1.   (1,5 b.) [Na každou otázku ±0,5 b., bez odpovědi Ob., celkem min. 0 b.]
ano — ne    Grupa symetrií pravidelného pětiúhelníka má 10 prvků a obsahuje podgrupu izomorfní s grupou (Z2,+).
ano — ne  Každý konečný obor integrity je těleso.
ano — ne   Množina všech matic typu 2 krát 2 nad racionálními čísly tvoří aditivní grupu.
2.   (2 b.) Jsou dány permutace f,g,h E E>g předpisem
A 2345678 9\      A 2345678 9\ /_ ^6 4523719 8y' 9~  ^2 6519783 4y'   _ * °9'
(a)  Napište permutace /, g a h jako součin (tj. složení) navzájem nezávislých cyklů.
(b)   Určete paritu permutací f,g a h.
(c)   Spočtěte permutaci f2011 o g2011 a napište ji jako součin navzájem nezávislých cyklů.
(d)   Určete počet inverzí permutace /.
3.   (2,5 b.) Určete všechny racionální kořeny polynomu 2x5 + llx4 + 25x3 + 28x2 + lbx + 3 a rozložte jej na ireducibilní faktory nad Z,
„, ^ j ji.^j
4.   (1 b.) Určete počet jednotek okruhu (Z2010, +, •) a inverzi prvku [1003]2oio-
5.   (0,5 b.) Určete jádro homomorfismu grup ip : (Z15, +) —► (Z3, +) x (Z5, +),        í/?([a]15) = ([2a]3, [2a]5)
Matematika IV, 15. dubna 2010
B
Jméno:
Max. 7,5 b.____________________________________UCO:______________________
1.   (1,5 b.) [Na každou otázku ±0,5 b., bez odpovědi 0b., celkem min. 0 b] ano — ne  Grupa (1RX, •) nemá žádnou netriviální konečnou podgrupu. ano — ne   Každý injektivní homomorfismus okruhů má jednoprvkové jádro.
ano — ne  Dávají-li 2 čísla stejný zbytek modulo 100, dávají stejný zbytek i modulo 25.
2.   (2 b.) Jsou dány permutace f,g,h E §9 předpisem
A    2345678   9\         _ A    2345678   9\
/_V1   5263749   8y '    9~ ^3   78   1   4265   9/'     h~Jog-
(a)  Napište permutace /, g a h jako součin (tj. složení) navzájem nezávislých cyklů.
(b)   Určete paritu permutací /, g a h.
(c)   Spočtěte permutaci /~" o g~" a napište ji jako součin navzájem nezávislých cyklů.
(d)   Určete počet inverzí permutace /.
3.   (2,5 b.) Určete všechny racionální kořeny polynomu 5x5 + 12x4 + llx3 + 3x2 — Ax — 3 a rozložte jej na ireducibilní faktory nad Z,
„, ^ j ji.^j
4.   (1 b.) Určete počet generátorů v grupě (Z60, +) a počet podgrup této grupy.
5.   (0,5 b.) Určete jádro homomorfismu grup a : (Zg , •) —► (Zg , •),        «(Ms) = M]s
Matematika IV, 15. dubna 2010
C
Jméno:
Max. 7,5 b.____________________________________UCO:______________________
1.   (1,5 b.) [Na každou otázku ±0,5 b., bez odpovědi Ob., celkem min. 0 b.] ano — ne Množina Q* = Q \ {0} s operací x o y = \x ■ y\ tvoří grupu. ano — ne   Faktorgrupa komutativní grupy je vždy komutativní.
ano — ne  Každý obor integrity je těleso.
2.   (2 b.) Jsou dány permutace f, g, h E E>g předpisem
A    2345678   9\         _ A   2345678   9\
/_ ^3   7814265   9y'    9~ ^15263749   8y'        _ ' °9'
(a)  Napište permutace /, g a h jako součin (tj. složení) navzájem nezávislých cyklů.
(b)   Určete paritu permutací f,g a h.
(c)   Spočtěte permutaci y*1999 o g1999 a napište ji jako součin navzájem nezávislých cyklů.
(d)   Určete počet inverzí permutace /.
3.   (2,5 b.) Určete všechny racionální kořeny polynomu 2x4 + 5x3 + 10x2 + 10x + 3 a rozložte jej na ireducibilní faktory nad Z, Q,E,C.
4.   (1 b.) Určete počet jednotek okruhu (Zioio, +, •) a najděte v tomto okruhu multiplikativní inverzi prvku [93]ioio.
5.   (0,5 b.) Rozhodněte, zda 7 : (Z2,+) x (Z5,+) —► (Zi0,+) dané předpisem 7(([aJ2, [%)) = [a + b]w, je homomorfismem grup a v kladném případě určete jeho jádro. Zdůvodněte.
Matematika IV, 15. dubna 2010
D
Jméno:
Max. 7,5 b.____________________________________UCO:______________________
1.   (1,5 b.) [Na každou otázku ±0,5 b., bez odpovědi 0b., celkem min. 0 b]
ano — ne   Neexistuje žádný surjektivní homomorfismus (Z30, +) —► (Z8, +).
ano — ne  Každá lichá permutace je transpozicí.
ano — ne  Pro polynomy nad libovolným okruhem platí, že stupeň součinu dvou polynomů je součtem stupňů těchto polynomů.
2.   (2 b.) Jsou dány permutace f,g,h E §9 předpisem
/l 2345678 9\    _ A 2345678 9\ I~ \8   1596472 3y ' J_\13 4 2 8 5 9 6 íj' h - J ° 9-
(a)  Napište permutace /, g a h jako součin (tj. složení) navzájem nezávislých cyklů.
(b)   Určete paritu permutací /, g a h.
(c)   Spočtěte permutaci y*2004 o g200A a napište ji jako součin navzájem nezávislých cyklů.
(d)   Určete počet inverzí permutace /.
3.   (2,5 b.) Určete všechny racionální kořeny polynomu 3x4 + 4x3 — lAx2 — \\x — 2 a rozložte jej na ireducibilní faktory nad Z,
„,     ^£,   Ji.^j
4.   (1 b.) Určete počet invertibilních prvků v pologrupě (Z2oi6,-) a určete inverzi prvku [401]2oi6 (nebo dokažte, že neexistuje).
5.   (0,5 b.) Uveďte příklad netriviálního homomorfismu (Cx, •) —► (Z^2, •).