Matematika IV, 20. května 2010	A	Jměno:
Max. 7,5 b.		UCO:
1. (1,5 b.) [Na každou otázku ±0,5 b., bez odpovedi 0b., celkem min. 0 b.]
ano — ne Je-li rozptyl D (X) náhodné veličiny X roven 1, pak je rozptyl veličiny X + 1 roven 2.
ano — ne Distribuční funkce libovolne náhodne veličiny je zprava spojitá nezáporná funkce.
ano — ne Pravdepodobnost, ze pri trech hodech bežnou kostkou padnou tri rUzná čísla, neprevyšuje 2.
2. (2 b.) Uvazujte kvadratická polynom x2 + ax + b, jehoz koeficienty splnují |a| < 1, |b| < 1a vsechny prípustne hodnoty koeficientu jsou stejne pravdepodobne. Určete pravdepodobnost, ze vsechny koreny tohoto polynomu jsou reálne.
3. (2 b.) Nezáporná náhodná veličina X má distribuční funkci danou vztahem F (x) = x2/4 pro 0 < x < 2 a F (x) = 1 pro x > 2. Overte, ze jde skutečne o distribučná funkci a určete E (X ),D(X).
4. (2 b.) Na FI je 10% studentu s prospechem do 1,2. Jak velkou skupinu je treba vybrat, aby s pravdepodobností 0,95 v ní bylo 8-12% studentu s prospechem do 1,2? Ulohu reste zvlást' pomocí Cebysevovy a zvlást' pomocí Moivre-Laplaceovy vety.
Distribuční funkce N(0,1):
$(-«) = 1 - $(«), $(0, 05) m 0, 52, $(1, 65) m 0, 95, $(1, 96)    0, 975.
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
$(«)	0,5398	0,5793	0,6179	0,6554	0,6915	0,7258	0,7580	0,7881	0,8159	0,8413
u	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
$(u)	0,8643	0,8849	0,9032	0,9192	0,9332	0,9452	0,9554	0,9641	0,9713	0,9773
Matematika IV, 20. května 2010	B	Jměno:
Max. 7,5 b.		UCO:
1. (1,5 b.) [Na každou otázku ±0,5 b., bez odpovedi 0b., celkem min. 0 b.]
ano — ne Je-li střední hodnota náhodné veličiny X rovna 0, pak je rovněž střední hodnota náhodné veličiny X2 rovna 0 (bež ohledu na rozdelení)
ano — ne Hustota libovolne spojite náhodne veličiny je monotónní funkce.
ano — ne Pravdepodobnost, že pri hodu dvema bežnými kostkami padne součet menší než 7 je stejna jako že součet bude vetsí než 7.
2. (2 b.) Turističká oddíl si predáva žprávy Morseovou abečedou s temito vlastnostmi: pokud je odvysílána tečka, pak ve 40% prípadu je prijata čarka (jinak tečka), pokud je odvysílana Čárka, je v 1/3 prípadu prijata tečka (jinak čarka). Zprava obsahuje tečky a čarky v pomeru 5 : 3. Určete pravdepodobnost,
• že byla vyslana tečka, pokud je prijata čarka,
• že byla vyslaná tečka, pokud je prijatá tečka.
3. (2 b.) Náhodná veličina X nm rovnomerne roždelení s nenulovou hustotou na intervalu (—2, f). Určete hustotu náhodne veličiny Y = sinX.
4. (2 b.) Serie se neprijme, pokud se v ní objeví alespon 10 vadnáčh součástek. Kolik nahodne vybranáčh součástek je treba žkontrolovat, abyčhom mohli s pravdepodobností 0,9 tvrdit, že sáerie, v náíž je 10% vadnyáčh součáastek, nebude prijatáa.
Distribuční funkce N(0,1):
$(—u) = 1 — $(u), $(0, 05) re 0, 52, $(1, 65) re 0, 95, $(1, 96) re 0, 975.
u	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
$(u)	0,5398	0,5793	0,6179	0,6554	0,6915	0,7258	0,7580	0,7881	0,8159	0,8413
u	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
$(u)	0,8643	0,8849	0,9032	0,9192	0,9332	0,9452	0,9554	0,9641	0,9713	0,9773
Matematika IV, 20. května 2010 | C | Jméno: Max. 7,5 b. UCO:
1. (1,5 b.) [Na každou otázku ±0,5 b., bez odpovedi 0b., celkem min. 0 b.]
ano — ne Je-li střední hodnota náhodné veličiny X i náhodné veličiny Y rovna 0, pak je (bez ohledu na rozdelení veličin X a Y) střední hodnota veličiny X + Y rovna 0.
ano — ne Koeficient korelace dvou nahodnách veličin nepřevyšuje jejich kovarianci.
ano — ne Pravdepodobnost, Ze ze trí hodu beznou kostkou padne alespon jedna šestka, neprevyšuje 2.
2. (2 b.) Uvazujte kvadratická polynom x2 + ax + b, jehoz koeficienty splnují |a| < 1, |b| < 1a vsechny prípustne hodnoty koeficientu jsou stejne pravdepodobne. Určete pravdepodobnost, ze vsechny koreny tohoto polynomu jsou kladne.
3. (2 b.) Nezaporna nahodna veličina X má hustotu danou vztahem f (x) = cos x pro 0 < x < n/2 a f (x) = 0 pro x > n/2. Overte, ze jde skutečne o hustotu a určete E (X), D(X).
4. (2 b.) V urne je 10 míčku s čísly 0 az 9. Postupne s vracením vytahneme n míčku. Kolik míčku je treba vytahnout, aby s pravdepodobností 0,95 byla relativní četnost tazení čísla 5 mezi 0,09 a 0,11? Vásledek určete nejprve pomocí Cebysevovy nerovnosti a pote pomocí Moivre-Laplaceovy vety.
Distribuční funkce N(0,1):
$(-u) = 1 - $(u), $(0, 05) re 0, 52, $(1, 65) re 0, 95, $(1, 96) re 0, 975.
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
$(«)	0,5398	0,5793	0,6179	0,6554	0,6915	0,7258	0,7580	0,7881	0,8159	0,8413
u	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
$(u)	0,8643	0,8849	0,9032	0,9192	0,9332	0,9452	0,9554	0,9641	0,9713	0,9773
Matematika IV, 20. května 2010	D	Jměno:
Max. 7,5 b.		UCO:
1. (1,5 b.) [Na každou otázku ±0,5 b., bez odpovedi 0b., celkem min. 0 b.]
ano — ne Je-li střední hodnota náhodné veličiny X rovna 0, pak je (bez ohledu na rozdělení veličin X a Y) střední hodnota veličiny X • Y rovna 0.
ano — ne Pro libovolne jevy A, B platí P (A U B) = P (A) + P (B).
ano — ne Pravdepodobnost, Ze pri hodu dvema kostkami padla na nektere z nich 5, víme-li, Ze součet ok na obou kostkách je 8, je vetší neZ 1/3.
2. (2 b.) Turistická oddíl si predava zpravy Morseovou abecedou s temito vlastnostmi: pokud je odvysílána tečka, pak ve 40% prípadu je prijata carka (jinak tecka), pokud je odvysílana carka, je v 1/3 prípadů prijata tecka (jinak carka). Zpráva obsahuje tecky a carky v pomeru 5 : 3. Urcete pravdepodobnost,
• Ze byla vyslana carka, pokud je prijata carka,
• Ze byla vyslana carka, pokud je prijata tecka.
3. (2 b.) Nahodná velicina X ma rovnomerne roZdelení s nenulovou hustotou na intervalu (—2, |). Urcete hustotu nahodne veliciny Y = tgX.
4. (2 b.) Prumerna rychlost vetru je na urcitem míste 20 km/hod.
• BeZ ohledu na roZdelení rychlosti vetru jako nahodne veliciny urcete pravdepodobnost, Ze pri jednom poZorování rychlost vetru nepresahne 60 km/h.
• Urcete interval, v nemZ se bude rychlost vetru nachaZet s pravdepodobností alespon 0,9, víte-li navíc, Ze smerodatná odchylka a =1 km/hod.
Distribuční funkce N(0,1):
$(—u) = 1 — $(«), $(0, 05) re 0, 52, $(1, 65) re 0, 95, $(1, 96) re 0, 975.
u	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
$(u)	0,5398	0,5793	0,6179	0,6554	0,6915	0,7258	0,7580	0,7881	0,8159	0,8413
u	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
$(u)	0,8643	0,8849	0,9032	0,9192	0,9332	0,9452	0,9554	0,9641	0,9713	0,9773