Regresní analýza Cíl regresní analýzy: vystižení závislosti hodnot znaku Y na hodnotách Při tom je nutné vyřešit dva problémy: jaký typ funkce použít k vystižení dané závislosti jak stanovit konkrétní parametry zvoleného typu funkce? Typ funkce určíme buď logickým rozborem zkoumané závislosti nebo se snažíme ho odhadnout pomocí dvourozměrného tečkového diagramu. Průběh závislosti 60 50 40 30 20 10 j_) přímka y = ßo + ßix Piťfcěh závislou 70 t------- 40-------------------U-------------------------------------------------------------------------------- 30---------------\---------------------------------i*----------- -10 J-----------,----------,-----------,— -----,-----------,----------,-----------, -64-2 02468 ) parabola y = ß0 + ß}x + ß2x2 «tf* .sty» /iß" »♦7 ♦ * w^ 5 10 15 20 25 30 Regresní přímka Zde se omezíme na lineární závislost y =ßo+ ßix. Odhady bo a bi neznámých regresních parametrů ßo, ßi získáme na základě datového souboru \ O yn metodou nejmenších čtverců. Požadujeme, aby výraz — z](yi~ßo~ßixi)2 nabýval svého minima vzhledem k ßo a ß i. Tento výraz je minimální, n i=i jsou-li jeho první derivace podle ßo a ßi nulové. Stačí tyto derivace spočítat, položit je rovny 0 a řešit systém dvou rovnic o dvou neznámých, tzv. systém normálních rovnic. Nechť je dán dvourozměrný datový soubor rx v ^ xl JI yn a přímka y = ßo + ßix. Výraz q(ß0, ßi) = — zl(y1 _ß0 ~ßixi)2 se nazývá rozptyl hodnot znaku Y kolem přímky y = ß0 + ßix, n i=i přímka y = b o + b ix, jejíž parametry minimalizují rozptyl q( ßo, ß i) v celém dvourozměrném prostom, se nazývá regresní přímka znaku Y na znak X, ý i = bo + biXi, i = 1, ..., n ... regresní odhad i-té hodnoty znaku Y, r122 = ID2... index determinace (Index determinace udává, jakou část variability hodnot znaku Y vystihuje regresní přímka. Nabývá hodnot z intervalu (o, l). Čím je bližší 1, tím lépe vystihuje regresní přímka závislost Y na X.) Odvození odhadu regresních parametrů Systém normálních rovnic získáme derivováním výrazu 1^ q(ß0,ß1) = -^(yI-ß0-ß1xI)2 parciálně podle ß0 a ß:: dg(ß0,ßl) _2^( _ n _ n v_i^ _ 0 Systém normálních rovnic: 5ß0 n i=1 %^^I(y,-ß„-ß,x,X-x,) = o dßi n i=1 Řešením tohoto systému získáme odhady ^ n n n n Zx. Zy."Zx.Zx.y. nZx.y.-Zx.Zy. & -A nŽx.2- Žx. nŽx.2- Žx. 1=1 1=1 y = m2 +-^-{x-rn^) Po jednoduchých úpravách dospějeme ke tvaru b1 kde s12 je kovariance znaků X, Y a s^je rozptyl znaku X. Dále dostáváme b0 = m2 -bjirij, tedy regresní přímku můžeme vyjádřit ve tvaru y = m2 + ^f-(x - m,). Sl Úsek b0 regresní přímky udává, jaký je regresní odhad hodnoty znaku Y, nabývá-li znak X hodnoty 0. Směrnice bi udává, o kolik jednotek se změní hodnota znaku Y, změní-li se hodnota znaku X o jednotku. Je-li bi > 0, dochází s růstem X k růstu Y a hovoříme o přímé závislosti hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Je-li bi < 0, dochází s růstem X k poklesu Y a hovoříme o nepřímé závislosti hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Príklad říklad: Pro datový soubor obsahující údaje o mezi plasticity (znak X) a mezi pevnosti oceli (znak Y) a) Určete regresní přímku meze pevnosti na mez plasticity. b) Zakreslete regresní přímku do dvourozměrného tečkového diagramu. c) Jak se změní mez pevnosti, vzroste-li mez plasticity o jednotku? d) Najděte regresní odhad meze pevnosti pro mez plasticity = 60. e) Vypočtěte index determinace a interpretujte ho. Přitom již víme, že mi = 95,5, m2 = 114,4, Si =32,4, s2 = 32,5, Si2 = 985,76, yu = 0,936 . v Řešení: ad a) bi adb) 985,76 1052,4 0,937, b0 = m2 - biím = 114,4 - 0,937 . 95,9 = 24,5, y = 24,5 + 0,937x. 190 170 ISO 130 N HO' /(I 50 I I i I i t kg ,| , ir^K" \, z?r i ......■ tr.'.......!...........í, „„ _,„;„..........;.._..... '----------:-------------i------------:■----------1------------■------------1 3Q 50 70 90 110 130 15Ď 170 mřij-. plasticity ad c) Mez pevnosti vzroste o 0,937 kpcm" - viz parametr bi vypočtený v bodě (a) ad d) ý = 24,5 + 0,937 x 60 = 80,72. ad e) ID2 = rn2 = 0,9362 = 0,876. Znamená to, že 87,6% variability hodnot meze pevnosti ie vysvětleno regresní přímkou. Príklad Xi Yi Xj*yi X;2 100 120 12 000 10 000 90 105 9 450 8 100 86 95 8 170 7 396 94 100 9 400 8 836 120 135 16 200 14 400 135 140 18 900 18 225 79 102 8 058 6 241 62 98 6 076 3 844 110 125 13 750 12 100 125 134 16 750 15 625 1 001^ --s—^ > 118 754 > 104 767 + b, y,*. ;Z*f+ŔiZ*'2 1154 = 10-60+1001-6i 118754 = 1001-fe0+104767-6, y = 44,41 + 0,709 -x Bodový graf 90 110 Loňský rok Príklad Index determinace lze vyjádřit ve tvaru: Xj Yi /v y1 Yi2 ~ 2 100 120 115 14 400 13 301 90 105 108 11 025 11 715 86 95 105 9 025 11 109 94 100 111 10 000 12 337 120 135 130 18 225 16 773 135 140 140 19 600 19 642 79 102 100 10 404 10 088 62 98 88 9 604 7811 110 125 122 15 625 14 987 125 134 133 17 956 17 704 1 001 1 154 1 154 135 864 135 468 IDZ = Tyf--n(Ty,í 135468- — -11542 ID2 =--------IS------= 0,853 135864- — -11542 10 Maticové vyjádření MNC b = (xT -x)' -XT -y b = x = 1 Xj • • • • • • 1 X _ n _ y = yx • • • yn_ sloupcový vektor 2 neznámých parametrů regresní funkce, matice rozměru n x 2 , tvořená konstantou 1 a hodnotami znaku X sloupcový vektor n hodnot znaku Y Príklad Nalezněte koeficienty regresní přímky: 120 105 95 100 135 140 102 98 125 134 X = XT = 1 100 1 90 1 86 1 94 1 1 120 135 100 90 86 94 120 135 79 62 110 125 1 79 Príklad g = XT*y= 1154 118754 - wT A = X'*X= 10 1001 1001 104767 A"1 = 2,2941 -0,0219 -0,0219 0,0002 -i b=A"'*g= 44,414 0,709 Sdružené regresní přímky V některých situacích má smysl zkoumat nejenom závislost znaku Y na znaku X, ale též závislost X na Y. V takovém případě hledáme druhou regresní přímku a souhrnně hovoříme o sdružených regresních přímkách. Regresní přímkou znaku X na znak Y nazveme tu přímku x = b0 + bjy, jejíž parametry minimalizují rozptyl q( ß0, ßi) = n __ __ 2(x; - ßo - ßjy,)2 v celé rovině. Nazývá se též druhá regresní přímka. Regresní přímka znaku Y na znak X a regresní přímka 1=1 znaku X na znak Y se nazývají sdružené regresní přímky. Rovnice regresní přímky znaku X na znak Y má tvar: x = mx + '12 (x-m2) ^L Vlastnosti sdružených regresních přímek Sdružené regresní přímky se protínají v bodě (m!,m2). Pro regresní parametry b^bj platí: b^ =ľu2. Rovnice sdružených regresních přímek můžeme psát ve tvaru y= m2+r12^(x-m1),y= m2 +—^(x-m,) (je-li r12 ^ 0). S] r12 S] Regresní přímky svírají tím menší úhel, čím méně se od sebe liší r12 a —. ri2 Regresní přímky splynou, je-li rí2 = 1. K tomu dojde právě tehdy, existuje-li mezi X a Y úplná lineární závislost. Všechny body (x;, y;), i = 1, ..., n leží na jedné přímce, tedy ze znalosti x; můžeme přesně vypočítat y;, i = 1, ..., n. Jsou-li znaky X, Y nekorelované, pak mají sdružené regresní přímky rovnice y = m2, x = mi a jsou na sebe kolmé. Označíme-li a úhel, který svírají sdružené regresní přímky, pak platí: cos a = 0, právě když mezi X a Y neexistuje žádná lineární závislost, cos a = 1, právě když mezi X a Y existuje úplná přímá lineární závislost, cos a = -1, právě když mezi X a Y existuje úplná nepřímá lineární závislost. Príklad Příklad: Pro datový soubor obsahující údaje o mezi plasticity (znak X) a mezi pevnosti oceli (znak Y): a) Určete regresní přímku meze plasticity na mez pevnosti. b) Zakreslete tuto druhou regresní přímku do dvourozměrného tečkového diagramu. Přitom již víme, že mi = 95,5, m2 = 114,4, si =32,4, S2 = 32,5, S12 = 985,76, rn = 0,936 . v Řešení: ad a) b] = s 12_ 2 2 985,76 1057,21 0,932, b0 = ra, - b1m2 = 95,9 - 0,932 x 114,4 = -10,7 , tedy x = -10,7 + 0,932y. adb) SŮ 70 SO 110 130 15* 170 190 mez pevnosti Príklad Poptávka po vepřovém mase 154 164 123 181 193 105 143 167 158 62 Poptávka po hovězím mase 103 116 98 175 165 90 103 140 113 49 Sestrojte sdružené regresní přímky. Vypočtěte koeficient korelace Príklad Xj Yí xi*Yi Xi2 Yi2 154 103 15 862 23 716 10 609 164 116 19 024 26 896 13 456 123 98 12 054 15 129 9 604 181 175 31 675 32 761 30 625 193 165 31 845 37 249 27 225 105 90 9 450 11 025 8 100 143 103 14 729 20 449 10 609 167 140 23 380 27 889 19 600 158 113 17 854 24 964 12 769 LJJ5? ^^3"4 C^L^ G78 911 l 223 922 144 998 K = K = 1187,1 1367,2 1187,1 1228.76 m =-l-£T45(5>145 m, =—1152 = 115,2 iov—y io^ -^ s\ =— (223922)-1452 =1367,2 10v v si =— C144998M15.22 =1228.76 7891L = 0,868 = 0,966 -145-115,2 = 1187,1 bfí= 115,2 -0,868 -145 = -10,66 bn= 145 -0,966 -115,2 = 33,72 Príklad ------------------------------------------------------------------ x = 33.72 + 0.966 ■y 175 155 135 S 115 (O E n 95 I 75 55 35 15 Sdružené regresní přímky ÍŠ?? 45 65 85 105 125 145 165 185 205 Vepřové maso Príklad r/2 = I xiyi-nm1m2 2 2 T ľ\ ' 2 2 *i "^yJ'LLj7/ ~^2 r72 = ^72 S j ' s2 r12 = sgnCbi) ^ -Ŕ 7 Príklad 178911-10-145-115.2 ^^r = 0,916 V|223922-10-1452]|l 44998-10-115,22] 1187,1 r--------------------= 0,916 36,976-35,054 r = V0,868-0,966 = 0,916 v r Xi yi 154 103 164 116 123 98 52 175 193 165 105 90 143 103 167 140 158 113 191 49 • Sestrojte sdružené regresní přímky. • Vypočtěte koeficient korelace. • Porovnejte výsledky z výsledky předchozího příkladu. Príklad Xj V\ Xi*Yi x2 Vi2 154 103 15 862 23 716 10 609 164 116 19 024 26 896 13 456 123 98 12 054 15 129 9 604 52 175 9 100 2 704 30 625 193 165 31 845 37 249 27 225 105 90 9 450 11 025 8 100 143 103 14 729 20 449 10 609 167 140 23 380 27 889 19 600 158 113 17 854 24 964 12 769 191 49 9 359 36 481 2 401 1 450 1 152 162 657 226 502 144 998 prumery rozptyly 145,0 115,2 1625,2 1228,76 směrodatné odchylky 40,3138 35,0537 x = 186,09-0,357- v iiiiHiiiiiiHiiiiiiHiiiiiihiiiiiihiiiiiihiiiiiihiiiiiihiiiiiihiiiiiihiiiiiihiiiiiiíÍiiiiiiHiiiiii^1iiiiiH Sdružené regresní přímky ■aj > o 175 155 135 115 95 75 55 35 15 ♦----------------------^ 45 65 85 105 125 145 165 185 205 Vepřové maso Příklad Rozhodněte zda následující dvojice přímek mohou být sdruženými regresními přímkami: A)y = \3-2x B)y = \3-2x C)y = \3-2x x = 2,5 x = 0,4y x = 8-y D)y = l3-2x E)y = l3-2x F)y = l3-2x x = 6,5-0,5y x = -2-0,4y x = -0,5 y Príklad Ä)y-- = 13- ■2x B)y = = 13-2* Q y- = 13 — 2x X- = 2,5 X- --OAy X = 8- -y D) y- = 13- -2x E)y-- = 13-2* F) y = 13-2JC x = = 6,5- -0,5^ x = -2 - 0,4y x = -0,5^ 1. &L i 6j mají stejná znaménka 2. je-li jeden roven nule, pak je 0-vý i druhý 3. r£[-U] ,tj. byb, g[0,1] 4. L b0 pro r=1/r=-1 platí v0 = . A) NE(2) D) ANO B) NE(1) E) ANO C) NE(3) F) NE(4) ^ Počet pravděpodobnosti -úvod Počet pravděpodobnosti se zabývá studiem zákonitostí v náhodných pokusech. Matematickými prostředky modeluje situace, v nichž hraje roli náhoda. Pod pojmem náhoda rozumíme působení faktorů, které se živelně mění při různých provedeních téhož pokusu a nepodléhají naší kontrole. Počet pravděpodobnosti jako vědecká disciplína se začal vytvářet v 17. století a jeho počátky jsou spjaty se jmény Blaise Pascala, Pierra de Fermata, Christiana Huygense (studovali hazardní hry, zformulovali takové pojmy, jako je pravděpodobnost a střední hodnota, odvodili jejich vlastnosti) a především Jakoba Bernoulliho (dokázal zákon velkých čísel). V 18. století: Abraham de Moivre a Pierre Simeon Laplace - formulace jedné z forem centrální limitní věty, Georges Buffon odvodil binomickou větu, zavedl diferenciální a integrální počet do teorie pravděpodobnosti, Thomas Bayes odvodil způsob výpočtu aposteriorních pravděpodobností pomocí apriorních pravděpodobností (Bayesův vzorec). V 19. století: Petrohradská matematická škola - dala teorii pravděpodobnosti pevný logický a matematický základ (Viktor Jakovlevič Buňakovskij, Pafnutij Lvovič Cebyšev, Andrej Andrej evič Markov, Alexandr Michailovič Ljapunov), Karl Fridirich Gauss (mj. vyvinul netodu zpracování experimentálních údajů známou pod názvem metoda nejmenších čtverců), Siméon Denis Poisson (zobecnil Bernoulliho zákon velkých čísel a odvodil speciální zákon rozložení pravděpodobností - Poissonův zákon rozložení). Ve 20. století: Andrej Nikolajevič Kolmogorov (axiomatická teorie pravděpodobnosti), Norbert Wiener, William Feller (rozvoj reorie stochastických procesů). Odkaz na zajímavou webovou stránku: http: //www- groups. des. st-and. ac. uk/~history http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Statistics.html Základní prostor 1.1. Definice (definice pokusu): Pokusem rozumíme jednorázové uskutečnění konstantně vymezeného souboru definičních podmínek. Předpokládáme, že pokus můžeme mnohonásobně nezávisle opakovat za dodržení definičních podmínek (ostatní podmínky se mohou měnit, proto různá opakování pokusu mohou vést k různým výsledkům). Dále předpokládáme, že opakováním pokusu vzniká opět pokus. Deterministickým pokusem nazýváme takový pokus, jehož každé opakování vede k jedinému možnému výsledku. Náhodným pokusem nazýváme takový pokus, jehož každé opakování vede k právě jednomu z více možných výsledků, které jsou vzájemně neslučitelné. Příklad deterministického pokusu: při tlaku 1015 hPa zahříváme vodu na 100 °C. Jediným možným výsledkem je var vody. Příklady náhodných pokusů: hod hrací kostkou, hod mincí, vylosování čísla z osudí apod. 1.2. Definice (definice základního prostoru): Neprázdnou množinu možných výsledků náhodného pokusu značíme Q a nazýváme ji základní prostor. Možné výsledky značíme &t, kde t g t , t je indexová množina. - Príklad 1.3. Příklad a) Náhodný pokus spočívá v hodu kostkou. Možný výsledek qi znamená polohu kostky číslem i nahoru, i 1, ..., 6. Základní prostor Q = {co j,..., co 6}, počet možných výsledků m(Q) = 6. b) Náhodný pokus spočívá v hodu dvěma kostkami. Možný výsledek je uspořádaná dvojice [co^coj, i, j = 1. ..., 6. Základní prostor q = {[q1,qJJq1,q2],...,[co1,co6],...,[co6,co6]}, počet možných výsledků m(Q)=62 =36. c) Náhodný pokus spočívá v opakovaném házení mincí tak dlouho, dokud nepadne první líc. Potom základní prostor q = {co1,co2,co3...}, kde ©j znamená, že hned v prvním hodu padl líc, co2 znamená, že až ve druhém hodu padl líc, co3 znamená, že až ve třetím hodu padl líc atd. Sybmolicky lze zapsat ®1 = [l], [r,l], cd 3 = [r,r,l], ... Tedy základní prostor q má nekonečně spočetně mnoho možných výsledků. co Jevové pole 1.4. Definice (definice jevového pole): Systém podmnožin A základního prostoru q, který splňuje následující tři axiómy: J5: Aj,A2 e A => Aj -A2 e A , J6: q e A , CO J8: A„A2)...e A ^UA. e A 1=1 se nazývá jevové pole. Jestliže A e A , pak řekneme, že A je jev. Dvojice (q, A ) se nazývá měřitelný prostor. (Axióm J5 nám říká, že jevové pole obsahuje s každými dvěma množinami i jejich množinový rozdíl. Axióm J6 říká, že jevové pole obsahuje celý základní prostor a konečně axióm J8 říká, že když jevové pole obsahuje každou ze spočetné posloupnosti množin, obsahuje i jejich spočetné sjednocení. Znamená to, že systém A je uzavřený vzhledem k množinovým operacím. Protože jevy jsou množiny, pro operace s nimi platí stejné zákony jako pro operace s množinami - komutativní zákon, asociativní zákon, de Morganova pravidla.) Množinové a pravděpodobnostní pojmy 1.5. Poznámka (slovník množinových a pravděpodobnostních pojmů) Q se nazývá j istý jev, 0 se nazývá nemožný jev co e A znamená, že možný výsledek co je příznivý nastoupení jevu A AcB znamená, že jev A má za důsledek jev B AuB znamená nastoupení aspoň jednoho zjevů A, B AnB znamená společné nastoupení jevů A, B A - b znamená nastoupení jevu A za nenastoupení jevu B Ä = Q - a znamená j ev opačný k j e vu A a n b = 0 znamená, že jevy A, B jsou neslučitelné. Príklad 1.6. Příklad: Je dán systém složený ze dvou bloků, který jednorázově použijeme. Nechť jev a, znamená bezporuchovou funkci i-tého bloku, i = 1, 2. Pomocí jevů a15a2 vyjádřete jevy: a) bezporuchová funkce aspoň jednoho bloku: a, u a2 b) bezporuchová funkce obou bloků: a, nA2 c) porucha aspoň jednoho bloku: a, u a2 d) porucha obou bloků: a, nA2 e) porucha právě jednoho bloku: v^aJ^! nA2) Jevové pole - poznámky 1.7. Poznámka: Systém axiómů jevového poleje bezesporný (tj. na každém základním prostoru lze sestrojit aspoň jedno jevové pole) a neúplný (tzn., že na každém aspoň dvouprvkovém základním prostoru lze vytvořit jevových polí více). Neúplnost systému axiómů jevového poleje výhodná, protože umožňuje rozlišovat výsledky náhodného pokusu s různým stupněm podrobnosti. Např. jevové pole A min = ^,0} se nazývá minimální jevové pole a charakterizuje krajně „tupozrakého" pozorovatele, který rozliší pouze jev jistý a jev nemožný. Jevové pole A f= {o 0, a, a} již dovolí rozeznat, zda nastal jev a nebo jev opačný a . Tak můžeme konstruovat stále bohatší jevová pole, až dostaneme maximální jevové pole A max = {a;AcQ}. To charakterizuje krajně „bystrozrakého" pozorovatele, který rozliší jevy do všech podrobností. Pro libovolné jevové pole A ovšem platí: A min c A c A max- J Příklad 1.8. Příklad: Sestrojte všechna možná jevová pole na základním prostoru Q = {co1,co2,co3}. Řešení: A != {Q,0}(=Amin) A 2= {Q,0,K},{co2,co3}} A 3 = {q,0,{co2},{co1,co3}} A 4= {Q,0,{co3},{co1,co2}} A 5= {Q^^coJ^co,},}©!,©,}^©,}^©!,©,}^©,,©,}^ A max) Jevové pole - vlastnosti 1.9. Věta (vlastnosti jevového pole): Nechť (o., A) je měřitelný prostor. Pak jevové pole A má následujících 9 vlastností: J1:A *0, J2: 0e A, J3: A!,A2e A ^A^AjE A , J4: A!,A2e A ^A^AjE A , J5: Al5A2 eA ^a, -a2 e A (axióm), J6: Qee A (axióm), J7; ag A ^ae A, .eA J8: a19a J9: a,,a 1 j-í^2j- A ■NA, EE A (axióm), CO CO Pak U A, =A,uA2 Důkaz: JI plyne z J6. J2 plyne z J5 a J6, protože n- n = 0. J3 plyne z J2 J8 speciální volbou a3 = 0 a4 = 0 1=1 J7 plyne J5 a J6, protože a = n- a . CO CO J9 odvodíme zJ7 a J8 užitím de Morganových pravidel Da, =Ua1 g A Ai, A2 Ai, A2,. g A ^U^e A ^LlA.e A, ovšem U A = D A 1=1 J4 plyne zJ9 speciální volbou a3 = O, a4 =0,. Pravděpodobnostní prostor 2.1. Motivace: Provádíme opakovaně nezávisle týž náhodný pokus a v každém pokusu sledujeme nastoupení jevu A, kterému říkáme úspěch. Označme n celkový počet pokusů aN(A) počet těch pokusů, kdy nastal úspěch. S rostoucím n pozorujeme, že relativní četnost úspěchu —— se blíží číslu P(A), které považujeme za pravděpodobnost úspěchu. (Tento poznatek je znám j ako empirický zákon velkých čísel). Ilustrace empirického zákona velkých čísel Provádíme n nezávislých hodů mincí. Padnutí líce považujeme za úspěch. Budeme sledovat závislost relativní četnosti úspěchu na počtu pokusů. (Počet pkusů volíme 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500,1000, 2000.) n 2 5 ío : 20 50 100 200 500 1000 2000 J. 0,5 0,2 0,4 0,6 0,54 0,58 0,5 0,488 0,49 0,4975 * --- 4 • » • * ■D 0.15 ^L Axiomatická teorie pravděpodobnosti Vzniká otázka, jak zavést pravděpodobnost, aby byla „zidealizovaným" protějškem relativní četnosti. Zdálo by se vhodné zavést pravděpodobnost takto: pOO=h.Ä n~>c0 n Jde o tzv. statistickou definici pravděpodobnosti Z matematického hlediska tato definice není v pořádku, protože počet pokusuje vždy konečný a nelze se přesvědčit o exštenci uvedené limity. Proto ve 30. letech 20. století ruský matematik A. A. Kolmogorov (1903- 1987) vybudoval axiomatickou teorii pravděpodobnosti. Axiomatická teorie pravděpodobnosti zavádí pravděpodobnost jako funkci, která každému jevu přiřazuje číslo mezi 0 a 1 a přitom je zidealizovaným protějškem relativní četnosti. Má tedy všechny vlastnosti relativní četnosti a kromě toho některé další vlastnosti, které vyplývají z vnitřních potřeb matematické teorie. Pravděpodobnost - definice 2.2. Definice: Nechť (o; A ) je měřitelný prostor. Reálná množinová funkce P: A —► R se nazývá pravděpodobnost, když splňuje následující 3 axiómy: P2: VAe A : p(a)>o (nezápornost) P10: p(n)=i (normovanost) [CO A CO UAi = Zp(A) (spočetnáaditivita) Trojice (íí, A , P) se nazývá pravděpodobnostní prostor. (Je to matematický model jednorázového provedení náhodného pokusu.) Ilustrace pravděpodobnostního prostoru «41 2.3. Poznámka: Systém axiómů pravděpodobnosti je bezesporný (tj. na každém měřitelném prostoru lze sestrojit pravděpodobnost) a neúplný (tj. na každém měřitelném prostoru, jehož jevové pole není minimální, lze sestrojit pravděpodobností více). Pravděpodobnost - vlastnosti 2.4. Věta (vlastnosti pravděpodobnosti): Nechť (q, A , P) je pravděpodobnostní prostor, a,a1;a2 libovolné jevy. Pak pravděpodobnost P má následujících 17 vlastností: P1:P(0) =0 P2: P(A) > 0 (nezápornost - axióm) P3: P(Ai u A2) + P(Ai n A2) = P(Aj) + P(A2) P4: 1 + P(Ai n A2) > P(A0 + P(A2) P5: P(Ai u A2) < P(Ai) + P(A2) (subaditivita) P6: A! n A2= 0 => P(Ai u A2) = P(Ai) + P(A2) (aditivita) P7: P(A2 - A0 = P(A2) - P(Ai n A2) P8: Ai £ A2 ^ P(A2 - Aj) = P(A2) - P(Aj) (subtraktivita) P9: Aj e A2 => P(A2) < P(Aj) (monotonie) P10: P(Í2) = 1 (normovanost - axióm) Pil: P(A) + P(I) = 1 (komplementarita) P12: P(A) < 1 /co \ CO P13: pMjA1 <^p(ai) (spočetná subaditivita) CO P14: a1;a2,...e A jsou neslučitelné ^>^]p(ai)p(Jai =^]p(ai) (spočetná aditivita - axióm) P16: Aj c a2 c... e A => p (Ja, = limp(Ai) (spojitost pravděpodobnosti zdola) P17: a,dA2d...£ A => p p|A1 = limp(Ai) (spojitost pravděpodobnosti shora) V 1 = 1 J í-™ Pravděpodobnost - vlastnosti GO P14 Položme Aa = |^J A>. Pak jevy Ad.Ai.A^.... jsou neslučitelné a je-jich sjednocením je celý základní prostor, tedy podle axiómu PK) dostáváme: OO oo 1 — P(íí) — P( (J Aj) — ^ P(Aj), přičemž poslední rovnost vyplývá z axi- i=Ú i = ú oo ómu P15. ^2 P(Aj) tedy absolutně konverguje, tudíž bude konvergovat také i=0 ^ P(Ai). kde jsme vynechali první Clen. 7=1 OO PÍ Položme Ax -. 0,A2 ■ = 0,... Pak \J Ai ■■ ■■ 0, tedy podle axiómu P15 oo 0 = P(0) =P(\J0)=Y, P(0): C0Ž -íe m0Žllé -íerl trlk- Že P(0) = O" 7=1 7=1 OO PG V axiómu Pln položíme .43 = 0, A4 = 0,..., tedy P( LMi) = P04i u ^) = 7=1 00 E^(^) = ^4i)+P(A,). 7=1 JP11 Plyne z vlastnosti Pfi a axiómu PK): P(AUÄ) = P(íí) = 1 = P(A) + P(Ä). P12 Plvne okamžitě z axiómu P2 a vlastnosti Pil. Pravděpodobnost - vlastnosti Pro důkaz vlastností P3. P4 a P5 jevy Ai UA2. Ai a A? rozložíme na součet disjunktních sčítanců: .4] U A-2 = (Ai \ A2) U (Ai n A2) U (A2 \ Ai) Ai = (Ai \ A2) U (Ai n A,) A2 = (A2\A1)U(A1nA2) P3 Podle P6 dostáváme: P(AiUA2)+P(AinA2) = P(Ai\A2)+P(Ai n A2)+ P(A2 \ Ai) 4- P(Ai n A2) = P(Ai) 4- P(A2). Protože podle P12 je P(Ai U A2) < 1 a podle P2 je P(A1 n A2) > 0: dostáváme z P 3 okamžitě P4 a P5. P7 Opět vyjádříme A2 jako sjednocení neslučitelných jevů: A2 = (A2\Ai)U (Ai HA2). Podle P3 pak dostaneme: P(A2) = P(A2"\a'i) + P(Aľ DA2), tedy P(A2\Ai) =P(A2)-P(A1DA2). P8 Jelikož AI C A2, platí Ai n A2 = Ai a P8 plyne z P7. Pí) Plyne z P85 protože podle P2 je P(A-,\Ai) > 0, tudíž P(A2)-P(Ai) > 0, tj. P(Ai)0O 7—»OO Pravděpodobnost - vlastnosti 2.5.Věta (další vlastnosti pravděpodobnosti): Nechť (í2, A , P) je pravděpodobnostní prostor, Ai,A2,...,An e A libovolné jevy. Pak platí: a) P(LM ) = Žp(Ai)"£ Žp(Ai nAj) + S S ŽP(Ai ^Aj nAO-.-. + C-ir'PCA! n...nAn) í=l i=l i=l j=i+l i=l j=i+lk=j+l n n (Pro neslučitelné jevy Ai,..., An dostáváme P(UAi) = Zp(Ai).) (Věta o sčítání pravděpodobností) b)maxpCO*pÍŮA'Vžp í~rz} 1=1 j n Pravá strana: Plyne z monotonie P9. Pro ví g •§,...,n} je a; 3 [)ai , tedy pro ví g i...,n} platí í n } f n 1 p(ai)> p pi Aj . Tvrzení musí platit i pro ten index i, pro který je pCa,) minimální. VJ=i J Príklad 2.6. Příklad: Je dán systém složený ze dvou bloků. Jev Ai značí bezporuchovou funkci i-tého bloku, i Je známo, že p(ai) = si9 i = 1, 2. a) Odhadněte pravděpodobnost správné funkce celého systému, jsou-li bloky zapojeny a) sériově, ß) paralelně. b) Předpokládejme navíc, že p(Aj n a2) = -a12. Vypočtěte nyní pravděpodobnost správné funkce celého systému, j sou-li bloky zapojeny a) sériově, ß) paralelně. v Řešení: ad a) Případ sériového zapojení = 1,2. p(Aj n a2) lze shora i zdola odhadnout pomocí věty 2.5. (c), kde n = 2: l_2 + p(A1)+P(A2)