Rozložení transformované diskrétní náhodné veličiny 11.1. Motivace: Máme náhodnou veličinu X s distribuční funkcí O(x) (resp. pravděpodobnostní funkcí 7i(x) v diskrétním případě resp. hustotou (p(x) ve spojitém případě) a borelovskou funkci g: R —> R. Zavedeme transformovanou náhodnou veličinu Y = g(X) a hledáme její distribuční funkci 0*(y) (resp. pravděpodobnostní funkcí 7i*(y) v diskrétním případě resp. hustotu (p*(y) ve spojitém případě). 11.2. Věta: Nechť X je diskrétní náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí 7i(x) a g je borelovská ryze monotónní funkce, tedy v oblasti C c R existuje inverzní funkce g"1 = x. Pak pravděpodobnostní funkce 7i*(y) transformované náhodné veli-činy Y = g(X) má tvar: 7i*(y) = Mx(y))proy e C Oj inak Důkaz: 7i.(y) = p(y = y) = P(g(x) = y) = p(x = g"1^ P(x = x(y)) = n(x(y)) pro yeC, ;r*(y) = 0 jinak. 11.3. Příklad: X ~ te(x), Y = a + bX, 7i*(y) = ? Řešení: a)b^0: 7tí(y)=P(Y = y)=P(a + bX = y)=P b)b = 0:Y = a^ Y~Dg(a) X = y-a = 71 'y-a^ Rozložení transformované spojité náhodné veličiny 11.4. Věta: Nechť X je spojitá náhodná veličina s hustotou q>(x) a g je borelovská ryze monotónní funkce se spojitou a nenulovou derivací v R, tedy v oblasti CcR existuje inverzní funkce g"1 = x se spojitou a nenulovou derivací. Pak hustota (P*(y) transformované náhodné veličiny Y = g(X) má tvar: / \ í (\ prv^ ^ p/ íyW ^ ÍP(Xx(y))=l-0(x(y))progklesající w = ^= WxW^gn^oud } = (p(T(y)F(yíproyeC,cp#(y) = Ojinak dy [-(p(T(yj)T (ľ)Pro S klesající J 11.5. Příklad: X Řešení: Rs 2'2 , Y = tg X, q>.(y) = ? (p(x) = 1 — pro x e 7T 0 jinak ' 71 7^ 2'2 / j O, (y) = P(Y < y) = P(tg(x) < y) = P(X < arctg(y)) = 0(arctg(y)) 9* (y) = * = 0, (p*(y) = 0 jinak Y má x rozložení s jedním stupněm volnosti, píšeme Y ~ % (1). cp(x,k) = 1 k/2 T(k/2) 0 . ^2-1.^/2 x>0 fi\ r = V7T jinak \^J Rozložení transformovaného náhodného vektoru 11.8. Věta (transformace náhodného vektoru X = (Xi, ..., Xn) na skalární náhodnou veličinu Y = g(Xi, ..., Xn)) a) Diskrétní případ: X = (Xi, ..., Xn) ~ 7i(xi, ..., xn), g: Rn —> R je borelovská funkce Y = g(xi, ...,Xn)~7t*(yi, ...,yn)= J] ...£7i(x1,...,xn),kde (x,,...xn)eS(y) s(y)=|(xlv..,x1)£R';g(xl,.,x1)=yl____________________ b) Spojitý případ: X = (Xt, ..., Xn) ~ cp (xt, ..., xn), g: Rn —> R je borelovská funkce Y = g(xi, ...,xn)~ 00 00 Y = Xi + X2 ~ (p*(y) = J^feiK^-x^^ J(p1(y-x2>2(x2>lx2 —00 —00 (p*(y) se nazývá konvoluce funkcí (pi(xi), (p2(x2). Príklad 11.10. Příklad: Xi, X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ Po(Ä,i), i = 1, 2, Y = Xi + X2, rc*(y) = ? Řešení: *í&í)= ^•Xl -1. ——e ' proXj =0,1. Xj! [O jinak 00 y n.(y)= X7Ii(xi)I2^-x1)=|x1 >0,y-X! >0^0 0). Pak pro rozložení pravděpodobností transformovaného náhodného vektoru Y = a + BX platí: a) Diskrétní případ: pr*(y) = 7i(B~ (y - a))| b) Spojitý případ: (p*(y) = det(B)-l(p(B-l(y-a)) 11.12. Věta: Nechť náhodný vektor X = (Xi, ..., Xn)' má n-rozměrné normální rozložení Nn(n, S). Položme Y = a + BX. Pak Y ~ Nn(a + Bji, BLB). Číselné charakteristiky náhodných veličin 12.1. Motivace: Doposud jsme pracovali s funkcionálními charakteristikami náhodných veličin (např. distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, hustota pravděpodobnosti), které plně popisují pravděpodobnostní chování náhodné veličiny. Číselné charakteristiky vystihují pouze některé rysy tohoto chování, např. popisují polohu realizací náhodné veličiny na číselné ose či jejich proměnlivost (variabilitu). Jsou jednodušší než číselné charakteristiky, ale nesou jen částečnou informaci. Podobně jako v popisné statistice volíme vhodnou číselnou charakteristiku podle toho, jakého typuje daná náhodná veličina - zda je ordinální nebo intervalová či poměrová. Číselné charakteristiky znaků mají své teoretické protějšky v číselných charakteristikách náhodných veličin. 12.2. Definice: Nechť X je náhodná veličina aspoň ordinálního charakteru a a g (o,l). Číslo Ka(x) se nazývá a-kvantil náhodné veličiny X, jestliže splňuje nerovnosti:___________ P(XaAP(X>Ka(X))>l-g | Kvantil K0?5o(X) se nazývá medián, K0?25(X) dolní kvartu, K0?75(X) horní kvartu, kvantily K0?i0(X), ..., K0?9o(X) jsou decily, K0?oi(X), ..., K0?99(X) jsoupercentily. Kterýkoliv a-kvantil je charakteristikou polohy číselných realizací náhodné veličiny na číselné ose. Jako charakteristika variability slouží kvartilová odchylka q = K0?75(X) - K0?25(X). Jiné možné označení kvantilu: X, Kvantil spojité N V 12.3. Důsledek: (pro spojitou náhodnou veličinu) K„(X) Je-li X spojitá náhodná veličina, pak Ka(x) je takové číslo, pro které platí: a = ®(Ka(x)) = fq>(x)dx — 00 Ilustrace: *ítíX) Príklad 12.4. Příklad: Nechť X - Ex(l). Určete medián a kvartilovou odchylku. ^ v r í \ e"xprox>0 _/ x l-e"xprox>0 Reseni: cp(x) = ^ , ^WH [Oj inak [Oj inak a = o(Ka(x)) = l-e-K«(x)^Ka(x)=-ln(l-a) K 0 50 (X) = - ln(l - 0,5) = - ln - = ln 2 = 0,693 K025(x) = -ln(l-0,25)=-ln- = ln4-ln3 = 0,288 K075(X)= -ln(l-0,75)= -ln- = ln4 = 1,386 q = K0 75 (X)- K0 25 (X) = 1,386 - 0,288 = 1,098 Dolní kvartil Medián Horní kvartil 3.8 4,2 4.6 Príklad Řešení pTomocí systému STATISTICA: První možnost: Použijeme Pravděpodobnostní kalkulátor. Vybereme Rozdělení Exponenciální. Do okénka lambda napíšeme 1, do okénka p napíšeme pro medián 0,5, pro dolní kvartil 0,25 a pro horní kvartil 0,75. V okénku exp se objeví 0,693147 pro medián, 0,287682 pro dolní kvartil a 1,386294 pro horní kvartil. Ilustrace pro horní kvartil: ^B KdlkuUitor pruvriepod, rozděleni ? -|x| FíľľC^Mi Beta Dauchy Chi 2 [^ IrtvWíft T (1-MxJ.p] V D^protcMu Extrém hodnot F (Fisheruvo) Gam* Lflplawowo Log-noimfllní Logistické Paretevo Rayfeighovgi t (Studentovo) W Ptwné měřftko v Sedá plocha pod grafem hustoty má velikost 0,5 a hodnota distribuční funkce v bodě 0,693147 je 0,5 (značeno šrafovaně). Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o třech proměnné a jednom případu. Do dlouhého jména první proměnné napíšeme =VExpon(0,5;l). Dostaneme 0,693147. Do dlouhého jména druhé proměnné napíšeme = VExpon(0,25;l). Dostaneme 0,287682. Do dlouhého jména třetí proměnné napíšeme = VExpon(0,75;l). Dostaneme 1,386294. Kvantily vybraných rozložení NV 12.5. Označení: X~N(0, l)=>Ka(X) = ua, X - jftn) =* Ka(X) = 5c2a(n), X ~ t(n) => Ka(X) = ta(n), X ~ F(m, n2) => Ka(X) = Fa(n,, n2). Tyto kvantily najdeme ve statistických tabulkách. Při jejich hledání používáme vztahy: ua = - Ul-a> t„(n) = - ti.„(n), Fa(ni,n2)=—----------. Fl-a(n2»ni) Kvantily lze také vypočítat pomocí statistického software. 12.6. Příklad: a) Nechť U ~ N(0, 1). Najděte medián a horní a dolní kvartil. b) Určete x2o,o25(25). c) Určete t0,99(30) a t0,05(14). d) Určete F0,975(5, 20) a F0,05(2, 10). Řešení: ad a) u0,5o = 0, u0,25 = -0,67449, u0,75 = 0,67449 ad b)5c2o,o25(25)= 13,12 ad c) toj99(30) = 2,4573, t0,05(24) = -1,7613 ad d) Fo,975(5, 20) = 3,2891, Fo,o5(2, 10) = 0,05156 Příklad Řešení pomocí systému STATISTICA: ad a) První možnost: Spustíme Pravděpodobnostní kalkulátor, vybereme Rozdělení Normální. Do okénka průměr napíšeme 0, do okénka Sm. Odch. napíšeme 1, do okénka p napíšeme 0,5 pro medián, 0,75 pro horní kvartil a 0,25 pro dolní kvartil. V okénku X se objeví 0 resp. 0,67449 resp. -0,67449. Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o třech proměnných a jednom případu. Do dlouhého jména první resp. druhé resp. třetí proměnné napíšeme =VNormal(0,5;0;l) resp. =VNormal(0,75;0;l) resp. =VNormal(0,25;0;l). Dostaneme 0 resp. 0,67449 resp. -0,67449. ad b) První možnost: Spustíme Pravděpodobnostní kalkulátor, vybereme Rozdělení Chi 2. Do okénka sv. napíšeme 25 a do okénka p napíšeme 0,025. V okénku Chi 2 se objeví 13,11972. Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu. Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =VChi2(0,025;25). Dostaneme 13,1197. adc) První možnost: Spustíme Pravděpodobnostní kalkulátor, vybereme Rozdělení t (Studentovo). Do okénka sv. napíšeme 25 (resp. 14) a do okénka p napíšeme 0,99 (resp. 0,05). V okénku t se objeví 2,457262 (resp. -1,761310). Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu. Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =VStudent(0,99;30) (resp. VStudent(0,05;14)). Dostaneme 13,1197 (resp.-1,76131). add) První možnost: Spustíme Pravděpodobnostní kalkulátor, vybereme Rozdělení F (Fisherovo). Do okénka svl napíšeme 5 (resp. 2), do okénka sv2 napíšeme 20 (resp. 10) a do okénka p napíšeme 0,975 (resp. 0,05). V okénku F se objeví 3,289056 (resp. 0,05156). Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a dvou případech Do dlouhého jména první proměnné napíšeme =VF(0,975;5;20), do dlouhého jména druhé proměnné napíšeme =VF(0,05;2;10).Dostaneme 3,2891 (resp. 0,05156). Kvantily transformované NV 12.7. Věta: Nechť X je spojitá náhodná veličina s distribuční funkcí ®(x), a e (o,l) a g: R ->• R ryze monotónní borelovská funkce. Pak pro a-kvantil transformované náhodné veličiny Y = g(X) platí: a) Je-li g všude rostoucí funkce, pakl Ka(Y) = g(Ka(X)). Ka(Y) = g(KlHX(X))J b) Je-li g všude klesající funkce, pak| Důkaz: ad a) a = 0(Ka (x)) = P(X < Ka (x)) = P(g(x) < g(Ka (x))) = p(Y < g(Ka (x))) = O* (g(Ka (x))) => g(Ka (x)) = Ka (y) ad b) 1 - a = o(K^ (X)) = P(X < K^ (x)) = P(g(x) > g(K^ (x))) = 1 - P(Y < g(K^ (x))) = 1 - Ot (g(K^ (x))) ^> g(K^ (x)) = Ka (y) 12.8. Příklad: Nechť U ~ N(0, 1). Najděte 9. decil transformované náhodné veličiny Y = 3 + 2U. Řešení: Funkce y = 3 + 2u je všude rostoucí funkce, tedy K0,9o(Y) = 3+2 uo,9o = 3 + 2x 1,28155 = 5,5631. Střední hodnota NV 12.9. Definice: Nechť (Q, A , P) je pravděpodobnostní prostor, X náhodná veličina aspoň intervalového typu definovaná na měřitelném prostoru (íí, A ). a) Je-li X diskrétní náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí rc(x), pak její střední hodnota (vzhledem k P) je čís1(Je(x)= Xx7I(x) pokud suma vpravo je konečná nebo absolutně konverguje. Jinak řekneme, že střední hodnota neexistuje. b) Je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou pravděpodobnosti 7i(x) = 7(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)= ^ = 3,5. 6 2 x=l 12.10. Příklad b): Rozložení náhodné veličiny X je dáno hustotou (p(x) Vypočtěte její střední hodnotu. = 2x+2 na (—1, 0) a nulovou jinde. Řešení u E\X) = \x(p(x)dx= \x\2x + 2)dx = 2— + X2 3 j-i = 2_1 = _I 3 3 Střední hodnota transformované NV 12.11. Věta: a) Diskrétní případ: Nechť X je diskrétní náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí n(x) (resp. (Xi.. ...Xn) je diskrétní náhodný vektor s pravde podobnostní funkcí n(x\,... .xn) ). Nechť g : B. i-> iř je borelovská funkce. Y = g(X) je transformovaná náhodná veličina (resp. g : B.71 i—> Jí je bore lovská fiinkce. Y = g(X-\..... Xn) je transformovaná náhodná veličina). Pak , pokud součet vpravo je konečný nebo absolutné konver- E(Y)= £ Bix)*{xt gentní (resp. E(Y) = £ £ g(xi.... .x^ttÍx^. ....xn). pokud součet vpravo je konečný nebo absolutně konvergentní). a) Spojitý případ: Nechť X je spojitá náhodná veličina s hustotou {-p(x) (resp. (X]..... Xn) je spojitý náhodný vektor s hustotou tp{x\..... xn) ). Nechť g : B. i—> B. je borelovská funkce, Y = g (X) je transformovaná náhodná veličina (resp. g : fí.n \-> fí. je borelovská funkce. Y = g [X i..... Xn) je transformovaná náhodná veličina). l*ak \E(Y) = j g(x)ip(x)dx.. nečný nebo absolútne konvergentní (resp. oc- oo E(Y)= j ... J g(xu...,xn)ip(xu...,xn)dx1 — oo —oc je konečný nebo absolútne konvergentní). pokud integrál vpravo je kn- dxn. pokud integrál vpravo Príklad 12.12. Příklad: Nechť X ~ Ex(X), Y = éyX, kde y > O je konstanta. Vypočtěte E(Y). Řešení: _KXxprox>0 , . % . X ^í;ij .*>-j^*-x+t- Rozptyl NV D(X) = E([X-E(X)]2), 12.13. Definice: Nechť (ß, A , P) je pravděpodobnostní prostor, X náhodná veličina aspoň intervalového typu definovaná na měřitelném prostoru (^, A ), která má střední hodnotu E(X).Rozptylem náhodné veličiny X rozumíme číslo| pokud střední hodnota vpravo existuje. ČísloVD(X) se nazývá směrodatná odchylka. (Rozptyl je číslo, které charakterizuje proměnlivost realizací náhodné veličiny kolem její střední hodnoty s přihlédnutím k jejich pravděpodobnostem. Je teoretickým protějškem váženého rozptylu. Je vhodnější počítat rozptyl podle vzorce d(x)= e(x2)- [e(x)J , jak bude ukázáno později.) 12.14. Důsledek: V diskrétním případě je rozptyl dán vzorcem a ve spojitém případě vzorcem D(X)= E[x-E(x)] n(x)= £xMx)-[E(x)] 2 z d(x)= {[x-E(X)] (p(x)dx ={x>(x) dx -[e(x)] (pokud suma či integrál vpravo absolutně konvergují). Centrovaná a standardizovaná NV 12.15. Definice: Transformovaná náhodná veličina X- E(X) se nazývá centrovaná náhodná veličina "X" — FOO Transformovaná náhodná veličina—, se nazývá standardizovaná náhodná veliäna. VD(X) 12.16. Příklad: Náhodná veličina X udává počet ok při hodu kostkou. Vypočtěte její rozptyl. -prox = l,...,65E(X) = 3,5(vizpř.12.10.), d(x)=1>2--3,52 =... = -= 2,92. [0 jinak x=1 6 12 Řešení: 7i(x)= Kovariance a korelace NV 12,17, Definice: Kovariancí náhodných veličin Xi, X2, které mají střední hodnoty E(Xi), E(X2), rozumíme číslo C(Xi, X2) = E([Xi - E(Xi)] [X2 - E(X2)])|(pokud střední hodnoty vpravo existují). Kovariance je číslo, které charakterizuje proměnlivost realizací náhodných veličin Xi, X2 kolem jejich středních hodnot s přihlédnutím k jejich pravděpodobnostem. Je-li kovariance kladná (záporná), pak to svědčí o existenci jistého stupně přímé (nepřímé) lineární závislosti mezi realizacemi náhodných veličin Xi, X2. Je-li kovariance nulová, pak říkáme, že náhodné veličiny Xi, X2 jsou nekorelované a znamená to, že mezi jejich realizacemi není žádný lineární vztah. Pozor -z nekorelovanosti nevyplývá stochastická nezávislost, zatímco ze stochastické nezávislosti plyne nekorelovanost. Kovariance je teoretickým protějškem vážené kovariance. Je vhodnější počítat kovarianci podle vzorce cCx^x.^eC^x^-eCx^eCx,). Koeficientem korelace náhodných veličin Xi, X2 rozumíme číslo 'x^ECXO X2-E(X2)^ R(Xi, X2) r----- !—---- ,proA/D(X1)VD(X2)>0 VD(X1) VD(X2) J , pokud strední hodnoty vpravo existuji. [0 jinak Koeficient korelace je číslo, které charakterizuje těsnost lineární závislosti realizací náhodných veličin Xi, X2. Cím bližší je 1, tím těsnější je přímá lineární závislost čím bližší je -1, tím těsnější je nepřímá lineární závislost. Je vhodnější počítat koeficient korelace podle vzorce Kovariance NV 12.18. Důsledek: V diskrétním případě je kovariance dána vzorcem 00 co _____ _____ C(X1;X2)= X Xk-E(xi)}[x2-E(X2)]7i(x1,x2)=X I^x^x^-E^MX,) CO CO x1=-°ox,=-°o x1=-°ox,=-°o a ve spojitém případě vzorcem 00 00 00 00 C(X„X2)= J j[x1-E(xi)]-[x2-E(xi)](p(x1,x2)dx1dx2 = j Jx1x29(x1,x2)dx1dx2 -E0Í,) e(X2) Příklad 12.19. Příklad: Náhodná veličina X udává příjem manžela (v tisících dolarů) a náhodná veličina Y příjem manželky (v tisících dolarů. Je známa simultánní pravděpodobnostní funkce ?r(x,y) diskrétního náhodného vektoru (X,Y): 71(10,10) = 0,2,7i( 10,20) = 0,04, 71(10,30) = 0,01,71(10,40) = 0,71(20,10) = 0,1, ti(20,20) = 0,36, ti(20,30) = 0,09, ti(20,40) = 0, ti(30,10) = 0, te(30,20) = 0,05, 7i(30,30) = 0,1,71(30,40) = 0, ti(40,10) = 0, ti(40,20) = 0, ti(40,30) = 0, ti(40,40) = 0,05,7i(x,y) = 0 jinak. Vypočtěte koeficient korelace příjmů manžela a manželky. Řešení: Náhodná veličina X i náhodná veličina Y nabývají hodnot 10, 20, 30, 40. Sestavíme kontingenční tabulku: X Y 10 [2Ö] |~3Ö] |~4Ö] hi(x)J 10 $M ^04] ^ö^ |ö^öö| 0,25 20 |ö7Tö| |Ö^36] \ö$9\ |ö^öö| 0,55 30 [Ö7ÖÖ1 |öiös] |ö7Tö| |ö^öö| 0,15 40 [Ö7ÖÖ1 ^öb] [ö7öö| [Ö~Ö5] 0,05 1^2 (y)| 0,30 0,45 0,20 0,05 1,00 Spočteme E(X) = 10.0,25+20.0,55+30.0,15+40.0,05 = 20, E(Y) = 10.0,30+20.0,45+30.0,20+40.0,05 = 20, D(X) = 102.0,25+202.0,55+302.0,15+402.0,05 - 202 = 60, D(Y) = 102.0,30+202.0,45+302.0,20+402.0,05 - 202 = 70, C(X,Y) = 10.10.0,20 + 10.20.0,04 + ... 40.40.0,05 -20.20 = 49, R(X,Y) = 49/V60V70 = 0,76. Príklad Postup ve STATISTICE: Vytvoříme nový datový soubor o třech proměnných X, Y, četnost a 16 případech. Do proměnné X napíšeme 10, 10, 10, 10, 20, 20, 20, 20, 30, 30, 30, 30, 40 ,40 40, 40 , do proměnné Y 4x pod sebe 10, 20, 30, 40 a do proměnné četnost 20, 4, 1, 0, 10,36,9,0,0,5, 10,0,0,0,0,5. Statistiky - Základní statistiky/tabulky - zavedeme proměnnou vah četnost - OK - Korelační matice - OK - 1 seznam proměnných - X, Y - OK. Proměnná Korelace (Tabulka6) Označ, korelace jsou významné na hlad. p < ,05000 N=100 (Celé případy vynechány u ChD) | Průměry Sm.odch. X Y X 20,00000 7,784989 1,000000 0,756086 |y 20,00000 8,408750 0,756086 1,000000 Střední hodnota a rozptyl vybraných typů rozložení NV 12.20. Poznámka: Uvedeme střední hodnoty a rozptyly vybraných typů diskrétních a spojitých rozložení: a) X ~ DgQi) => E(X) = m D(X) = 0 b) X~A(0) =>E(X)= d,D(X)=d (1-9) c) X~Bi(n, S) =^E(X) = n3,D(X) = n3 (1-d) d) X~Ge(a)=>E(X)=—, D(X)- l~S B S' M Mn ŕ e) X ~ Hg(N,M,n) => E(X) = ^n, D(X) = i-M v N. N-n N-l n-1 n2-l 12 f) X ~ Rd(G) => E(X) = ^—^, D(X) = g) X ~ Po(A,) => E(X) = X, D(X) = X h) X ~ Rs(a, b) => E(X) = i±*, D(X) = í^£ i) X~E4)^E(X)=i,D(X)=i j) X ~ N(li, a2) => E(X) = li, D(X) = a2 k) X ~ x2(n) => E(X) = n, D(X) = 2n 1) X ~ t(n) => E(X) = 0 pro n > 2, pro n = 1 E(X) neexistuje, D(X) n n-2 pro n > 3, pro n = 1, 2 D(X) neexistuje m) X ~ F(ni, n2) => E(X) = Ul pro n2 > 3, pro n2 = 1, 2 E(X) neexistuje, D(X) = ^ ^ + Ul ^ n2 -2 ni(n2-2)2(n2-4) pro n2> 5, pro n2 = 1, 2, 3, 4 D(X) neexistuje. Príklad 12.21. Příklad: V sadě 15 výrobku je 5 zmetků. Náhodně vybereme 4 výrobky. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné vekičiny X, která udává počet zmetků, jestliže výběr provádíme a) bez vracení, b) s vracením. Řešení: ad a) X ~ Hg(N, M, n), N = 15, M = 5, n = 4 M Mn E(x) = -n = -4 = - = l,3,D(x) = V ' N 15 3 V ' N adb)X~Bi(n, 9),n = 4, ô = —= - ' v 7 15 3 E(X) = nô = 4- = 1,3, D(X) = nô(l - d) = - 1- M N N-n 4 N-l 8 ( 1- — l 15 \ 11 _44_ 14~63 = 0,6984 = - = 0,8 9 Príklad Najděte medián rozložení určeného hustotou (p(x) = 1 - x/2, 0 < x < 2. Řešení: Distribuční funkce: F(x) = 0 pro x < 0, F(x) = 1 pro x > 2 a x , 2 F {x)— íl—dt = x o ^ Medián x0 5 je řešením rovnice F (x) = 0,5 , tedy x -4x + 2 = 0 2 4 ;e F(x) = i 4 + V16-8 proxe(0,2) x12 — = 2 + V2 = 3,4142 2 [0,5857 Protože 3,4142 > 2, je hledaným řešením x0 5 = 0,5857. Príklad Náhodná veličina má hustotu 0. Tj. střední doba životnosti je 5 let. Tvar distribuční funkce znamená, že k poruše výrobku dojde s velkou pravděpodobností velmi brzy po jeho prodeji. Jakou záruční dobu stanoví výrobce, nemá-li počet reklamovaných výrobků překročit 10%? Řešení: Náhodná veličina X udává životnost výrobku. Hledáme takové x, aby platilo P(X 0,1 = 1 - e~xß 0.08 0.06 ^> x = -51n(0,9) = -5 -(-0,10536) = 0,5268 Pro splnění požadované podmínky je třeba stanovit záruční dobu na cca Ví roku. Příklad Nechť životnost (v letech) výrobků se řídí Weibullovým rozložením s distribuční funkcí F(x) = l-e-(x/4^5 , x > 0. Tj. střední doba životnosti je cca 3.67 let. Tvar distribuční funkce znamená, že k poruše výrobku pravděpodobně nedojde hned po jeho prodeji, ale až po nějaké době. Jakou záruční dobu stanoví výrobce, nemá-li počet reklamovaných výrobků překročit 10%? Řešení: Náhodná veličina X udává životnost výrobku. Hledáme takové x, aby platilo P(X o,\ = \-e-(x/4ý : 0.2 -► x = 4-V-ln(0,9)=2,55 : 0 ( Pro splnění požadované podmínky je třeba stanovit záruční dobu na cca 2,5 roku. Momenty, šikmost a špičatost NV 12.22. Definice: Xediť X. Xi,X<2 jsou náhodné veličiny, fc, &i +k+2 € R, r, s e JV, a) Číslo J?([.Y — £]r) *e nazývá r-ty moment náhodné veličiny X kolem konstanty fc. .le li A" = 0. jde o r-ty počáteční moment, je li k = F [X ). jedná se o r-tý retitrální moment. b) Číslo E([Xi - fci]r[-X2 — k-j]*) se nazývá r x ,s-ťý ttiotn^nt náhodných veličin Xij-Xa kolem konstant iiT/c2- Je-li k\ = k-2 = 0. jde o r x,s-1 ý počáteční iiiotiittut.je li k\ = F.(X\).k's = F(AV) jedná se o r X#-tý centrální inoni«nt. Číslo Číslo w_Etx-E(Xff) se nazývá šikmost náhodné veličiny X. se nazývá špičatost náhodné veličiny X. ké rozložení. Je-li A3(X) > 0, jde o kladně sešikmené rozložení a je-li A3(X) < 0, jde o záporně Je-li A3(X) = 0 j de o symetrie sešikmené rozložení. Je-li A4(X) = 0 j de o rozložení s normálni špičatostí. Je-li A4(X) > 0 jde o špičaté rozložení a je-li A4(X) < 0 jde o ploché rozložení. Vektor středních hodnot, variační a korelační matice náhodného vektoru 12.23. Definice: Nechť X = (X\ j.... Xn)f je náhodný vektor. Heálný vektor E(X) = (E(Xt)?...?E(Xn)y Ke nazývá v^ktnr stfcrhiírli htidutit. Heálná čtvercová symetrická matice / D{Xi) C(XlfX2) ... C(Xl7Xn) \ var{X) = ... ......... V C(Xn,Xl) C(Xn,X2) ... D(Xn) J Ke nazývá v^ri^nrni thhHcp nahořklého vektoru X a reálná Čtvercová Symetrií *ká matice / 1 R(Xl7X2) ... R(Xl}Xn) cor(X) =1 V B.(Xn,X,) R(Xn.X2) ... 1 Ke nazývá ktn-elařuí umrite náhodného vektoru X. Príklad 12.24. Příklad: Pro náhodný vektor (X, Y) z příkladu 12.19. najděte vektor středních hodnot, varianční a korelační matici. Řešení: Bylo spočteno, že E(X) = 20, E(Y) = 20, D(X) = 60, D(Y) = 70, C(X,Y) = 49, R(X,Y) = 0,76. E(X)= v20y ,var (x)= r60 49A 49 70 ,cor (X)= 0,76 0,76