PA 054-' Formálni modely v systémové biologii David Šafránek 19.3.2010 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Analýza Petriho sítí Konstrukce iniciálního označkovaní Problém Mějme Petriho sít M = {P, T, f, mo) v níž mo neznáme. Jak zkonstruovat mo, které vhodně reprezentuje netriviální chovaní Ml Řešení Hledáme mo splňující následující podmínky: • každý P-invariant obsahuje alespoň jeden token • každý netriviální T-invariant je realizovatelný • mo obsahuje minimální počet tokenů • pro každý P-invariant je označeno nejméně aktivní místo (nebo místo reprezentující monomer) Analýza Petriho sítí Konstrukce iniciálního označkovaní - Příklad indexace: S\...E, S2...S, S3...ES, S4...P, S5... EP P-invarianty: (1, 0,1, 0,1), (0,1,1,1,1) T-invarianty: (1,1, O, O, O, 0), (O, 0,1,1, O, 0), (O, O, O, 0,1, konstrukce mo: • token pro {E, ES, EP}, token pro {S, ES, P, EP} • do mo vybereme E[l] a S[l] (monomery) • netriviální T-invariant (1,1,1,1,1) je proveditelný v /Do: sekvence r^z^br*,^ Analýza Petriho sítí Konstrukce ínícíálního markíngu — Cvičení Zkonstruujte iniciální marking mo pro výše uvedenou sít. Marking by měl vhodně reprezentovat vstup-výstupní chování signální dráhy. Hint: Uvažujte T-invarianty pokrývající cesty z Raf do ERK-PP. Analýza Petriho sítí Statická analýza závislá na označkovaní Uvažujme Petriho sít TV = (P, T, f, mo). Sifon Neprázdná množina míst D C Pse nazývá sifon (deadlock) pokud platí: •D C Dm Past Množina míst QcPse nazývá past (trap) pokud platí: Qm C mQ Analýza Petriho sítí Pasti a sifony - příklad sifony: {P0,Pi} (min.), {P0,Pi,P2} pasti: {P3,P4} (min.), {P2, P3, P4} P-invarianty: {P0, Pi, P3, P4} Analýza Petriho sítí Statická analýza závislá na označkovaní Každé vstupní místo p G P, »p = 0 je (triviálním) sifonem: D = {p}, .D = 0 C D.. Každé výstupní místo q G P, q* = 0 je (triviální) pastí: Q = {q}, Q. = 0C.Q. Pro sít bez hraničních uzlů platí »P = P» = T. Analýza Petriho sítí Statická analýza závislá na označkovaní • Sifon (resp. past) X je minimální, pokud žádná vlastní neprázdná podmnožina X není sifonem (resp. pastí). • Past Q je maximální, pokud neexistuje past, jejíž je Q vlastní podmnožinou. Pozorováni • Každý sifon zahrnuje právě jednu past, která je v něm maximální (vzhledem k inkluzi, může být i 01). • Množina míst příslušných P-invariantu je vždy pastí i sifonem (obrácení obecně neplatí). Analýza Petriho sítí Statická analýza závislá na označkovaní Vlastnost sífon-past Petriho sít TV = (P, N, f, mo) splňuje vlastnost sifon-past (deadlock-trap property, DTP), pokud pro každý minimální sifon Q platí, že (neprázdná) past, která je v Q maximální, obsahuje místo označkované mo. Pozorováni Sít obsahující alespoň jedno vstupní místo nemá vlastnost sifon-past. Analýza Petriho sítí Statická analýza závislá na označkovaní Necht TV = {P, N, f, m0) je Petriho sít. Pak platí: 1. TV neobsahuje sifon => TV je živá [Commonerova věta] 2. TV má vlastnost ORD a sifon-past => TV je slabě živá 3. TV má vlastnost ORD, ES a sifon-past => TV je živá ^. TV má vlastnost 0/?D, EFC a sifon-past <^ TV je živá (1) Jancar P. A concise proof of Commoner's theorem. Petri Nets Newsletter No. 49, October 1995, p.43 (2-4) J. Desel and J. Esparza. Free Choice Petri Nets. Cambridge University Press, New York, NY, USA, 1995. Analýza Petriho sítí Statická, analýza závislá na označkovaní Sít je ORD a sifon-past vzhledem k danému mo, je tedy slabě živá. Silnou živost nelze statickou analýzou rozhodnout (sít leží mimo třídu ES). Analýza Petriho sítí Dynamická analýza Graf dosažitelností Necht TV = (P, N, f, mo) je Petriho sít. Graf dosažitelnosti reach{N) je difinován jako graf reach{N) = (V, E), kde: - V =[mo), - E = {(m, t, m')\m, m' e[m0), t G T. m[t)m'}. • k rozhodnutí behaviorálních vlastností, které nelze rozhodnout staticky, je nutné zkonstruovat graf dosažitelnosti • pro neohraničnou sít může být nekonečný • ohraničenost lze vždy rozhodnout konstrukcí stromu pokrytelnosti (viz IA023) Analýza Petriho sítí Dynamická analýza Necht TV = (P, N, f, mo) je Petriho sít t.ž. reach{N) je konečný. Pak platí: • TV je A-ohraničená, pokud Vm e VV,p € P. m(p) < /f • TV je reversibilní, pokud reach{N) je silně souvislý • TV je slabě živá, pokud Vm e VV, 3m' e VV- (m> m') S E/y Analýza Petriho sítí Dynamická analýza - živost sítě Necht TV = (P, N, f, mo) je Petriho sít t.ž. reach{N) je konečný. 1. najdi všechny silně souvislé komponenty (SCC) grafu reach(AÍ) (maximální silně souvislé podgrafy) 2. označ všechny terminálni SCC (t.ž. nelze dosáhnout další SCC) 3. if 3t G T t.ž. není zahrnut v nějaké terminálni SCC then AT není živá else AT je živá Analýza Petriho sítí Dynamická analýza - specifické vlastnosti dynamiky • místo E nikdy nezůstane trvale vyprázdněno enzym E je nevyčerpatelný • iniciální obsah místa S je trvale přesunut do P všechny molekuly substrátu S jsou přeměněny v produkt P Analýza Petriho sítí Dynamická analýza - specifické vlastnosti dynamiky • místo E nikdy nezůstane trvale vyprázdněno enzym E je nevyčerpatelný GF(E > 0) • iniciální obsah místa S je trvale přesunut do P všechny molekuly substrátu S jsou přeměněny v produkt P S ==5 => F(P== 5) Kripkeho struktura Necht AP je množina atomických propozic (obecně boolovské výrazy nad proměnnými, konstantami a predikátovými symboly). Kripkeho strukturou nazýváme čtveřici K = (S, So, T, L) kde: • S je konečná množina stavů • So C S je množina počátečních stavů • 7 C S x S t.ž. Vs G S, 3s' G S : (s, s') G T • Z. je prirazení propozic (tzv. interpretační funkce) L : S —> 2 Kripkeho struktura - vlastnosti • stav s je cfeadlockovaný pokud z něj existuje pouze přechod s —> s • pro daný stav s G S je L(s) množina všech atomických propozic platných v s • rozbalením Kripkeho struktury z množiny iniciálních stavů je vždy nekonečný strom • cesty v tomto stromu představují individuální simulace (běhy) modelovaného systému Lineárni temporální logika - syntax Necht AP je množina atomických propozic. Formule ip je formulí lineární temporální logiky (LTL) pokud splňuje následující: • tf = p pro libovolné p G AP • Jsou-li ipi a íf2 formule LTL, pak: • -upi, ipi A íf2 a ipi V íf2 jsou formule LTL • Xyi, Fyi a Gyi jsou formule LTL • y>iUy>2 a fi^f2 Jsou formule LTL Lineárni temporální logika - sémantika Necht 7T = so,s\, ...,Sj,... je nekonečná posloupnost stavů (běh) v Kripkeho struktuře K. Pro j > 0 označme 7r-/ sufix Sj, s/+i,Sj,.... Definujeme induktivně relaci splnitelnosti |=: • 7T • 7T • 7T • 7T • 7T • 7T • 7T • 7T • 7T p, pokud p G /.(so) pokud tt \/= tp Lpi A(f2, pokud 7T |= Lp\ a 7T |= t£>2 ¥>i V 0.7r' |= tp Gtp, pokud V/ > 0.7r' |= tp tpilitp2, pokud 3/ < 0. tt-Í |= 0,V0 < / < J.7TS(/) ^ 7TS(j) |= Lineárni temporální logika - sémantika Xa Lineárni temporální logika - sémantika Pro libovolné formule ipi, 1^2 plstí: -iFip = G-iip -.(^iU^2) = K plné expresivite LTL stačí operátory a, X, F, U. Lineárni temporální logika - sémantika Pro libovolné formule ipi, 1^2 plstí: -iFip = G-iip -.(^iU^2) = K plné expresivite LTL stačí operátory a, X, F, U. Formule LTL logiky jsou typicky univerzálně interpretovány na Kripkeho struktuře: Lineárni temporální logika - sémantika Pro libovolné formule ipi, P2 plstí: -iFip = G-iip -.(^iU^2) = K plné expresivite LTL stačí operátory a, X, F, U. Formule LTL logiky jsou typicky univerzálně interpretovány na Kripkeho struktuře: Necht K Kripkeho struktura. Řekneme, že formule ip je splněna v K, K \= p, pokud pro každý běh tt = sn,... t.ž. sn G So platí 7T |= (f. Model checking Algoritmus, který pro danou Kripkeho strukturu K a temporální vlastnost rozhodne zda-li K |= . V negativním případě vrátí příklad běhu 7r t.ž. 7r ^ í>. Logika větvícího se času - CTL temporální operátory nahrazeny kvantifikacemi přes nekonečné podstromy z hlediska expresivity nesrovnatelná s LTL umožňuje zachytit vlastnosti nedeterminismu neumožňuje vyjádřit některé temporální vlastnosti Logika větvícího se času - syntax Necht AP je množina atomických propozic. Formule y je formulí logiky větvícího se času (CTL) pokud splňuje následující: • (f = p pro libovolné p G AP • Jsou-li tfi a 2) a E(yiUy>2) Jsou formule CTL Pozn.: K plné expresivite CTL stačí operátory a, AX, AU, EU. Logika větvícího se času - sémantika EG 0 E 0i U 02 Logika větvícího se času - sémantika LTL vs. CTL • oscilace energie mezi volnou a vázanou formou enzymu LTL : G(((EA--ES) => F(-EaES))A((-EaES) => F(EA--ES))) • existence dvou různých stabilních stavů proměnné X a jejich dosažení z iniciálního stavu CTL : EFAG(X > 2) a EFAG(X < 2) Clarke,E.M. and DraghicescuJ.A. (1988) Expressibility results for linear-time and branching-time logics. In Proceedings of REX Workshop, Lecture Notes in Computer Science Vol. 354, Springer, pp. 428-437.