PA054: Formální modely v systémové biologii
David Šafránek
16.4.2010
Pravděpodobnostní model checking CTMC
Uvažme množinu AP atomických propozic.
Budeme uvažovat CTMC definovaný jako trojici M = S, Q, L
kde:
• S je konečná množina stavů
• Q : S × S → R+
0 je generující matice
• L : S → 2AP je interpretační funkce
Pravděpodobnostní model checking CTMC
• pro každý stav s ∈ S značíme E(s) = s ∈S Qss
⇒ průměrná čekací doba v s je 1
E(s)
• stav s ∈ S je absorbující pokud E(s) = 0
• pravděpodobnost přechodu s → s značíme Pss :
Pss =
Qss
E(s) , E(s) > 0
0, jinak
Pravděpodobnostní model checking CTMC
Metrický prostor
• běh π v CTMC M budeme uvažovat jako konečnou nebo
nekonečnou sekvenci s0, t0, s1, t1, ..., kde si ∈ S a ti ∈ R+ t.ž.
∀i. Qsi si+1 > 0; zapisujeme:
π = s0
t0
→ s1
t1
→ · · ·
• pro konečné běhy π = s0
t0
→ s1
t1
→ · · ·
tl−1
→ sl navíc
předpokládáme sl absorbující
Pravděpodobnostní model checking CTMC
• pro běh π v CTMC M (π ∈ M) značíme:
• π(i) ... itý stav běhu, π(i) = si pro i ≥ 0
• δ(π, i) = ti ... čekací dobu ve stavu si
• π(t) ... stav v čase t:
π(t) =
s0 pokud t < t0,
π(i) pokud t ≥ t0 a i nejmenší index t.ž. t ≤ 0≤j≤i tj
• pro π = s0, ..., sl uvažujeme δ(π, l) = ∞ a π(t) = sl pro
všechna t > t1 + · · · + tl−1
• Path(s) = {π ∈ M|π(0) = s} (metrický prostor)
Pravděpodobnostní model checking CTMC
Borelovské pole
• uvažujme s0, ..., sk ∈ S t.ž. Qsi si+1
> 0, (0 ≤ i < k)
• I0, ..., Ik−1 neprázdné (otevřené) intervaly v R+
0
• C(s0, I0, ..., Ik−1, sk ) značíme množinu jevů zahrnující všechny běhy
π ∈ Path(s0) t.ž. π(i) = si (pro i ≤ k) a δ(π, i) ∈ Ii (pro i < k)
• F(Path(s)) značíme nejmenší σ-algebru na množině Path(s)
zahrnující:
• každou sekvenci s0, s1, ..., sk t.ž. s = s0 a Qsi si+1
> 0 (pro
0 ≤ i < k)
• každou sekvenci I0, I1, ..., Ik−1 neprázdných intervalů v R+
0
• pro F(Path(s)) definujeme pravděpodobnostní metriku induktivně:
k = 0 : Pr(C(s0)) = 1
k > 0 : Pr(C(s0, I0, ..., Ik−1, sk , I , s ) =
= Pr(C(s0, I0, ..., Ik−1, sk )) · P(sk , s ) · (e−E(sk )·a − e−E(sk )·b)
kde a = inf I , b = sup I , pro b = ∞ uvažujeme e−λ·∞
= 0
Pravděpodobnostní model checking CTMC
Logika CSL – syntax
Předpokládejme AP množ. atom. propozic, p ∈ 0, 1 ,
∈ {≤, ≥, <, >}.
Formule φ je stavovovou formulí CSL pokud:
• φ = a, pro lib. a ∈ AP
• jsou-li φ1 a φ2 stavové formule CSL, pak:
• ¬φ1, φ1 ∧ φ2, φ1 ∨ φ2 jsou stavové formule CSL
• S p(φ1) je stavová formule CSL
• je-li ϕ běhová formule CSL, pak:
• P p(ϕ) je stavovou formulí CSL
Formule ϕ je pro lib. t ∈ R+
0 běhovou formulí CSL pokud:
• jsou-li φ1 a φ2 stavové formule CSL, pak:
• Xφ1, φ1Uφ2, φ1U≤t
φ2 jsou běhové formule CSL
Pravděpodobnostní model checking CTMC
Logika CSL – sémantika
Uvažujme CTMC M = S, Q, L nad množinou atomických
propozic AP.
Pro S ⊆ S označme:
πS (s) = lim
t→∞
Pr{π ∈ Path(s)|π(t) ∈ S }
Platí πS (s) = s ∈S π{s }(s), definitoricky nechť π∅ = 0.
Dále označme Prob(s, ϕ) = Pr{π ∈ Path(s)|π |= ϕ}.
Pravděpodobnostní model checking CTMC
Logika CSL – sémantika
Relace splnitelnosti |= pro stavové formule:
• s |= a, pokud a ∈ L(s)
• s |= ¬φ, pokud s |= φ
• s |= φ1 ∧ φ2, pokud s |= φ1 a s |= φ2
• s |= S p(φ), pokud πSat(φ)(s) ∈ I p
• s |= P p(ϕ), pokud Prob(s, ϕ) ∈ I p
Značení:
• I p = {q ∈ 0, 1 |q p}
• Sat(φ) = {s ∈ S|s |= φ}
Pravděpodobnostní model checking CTMC
Logika CSL – sémantika
Relace splnitelnosti |= pro běhové formule:
• π |= Xφ, pokud π(1) |= φ
• φ1Uφ2, pokud ∃k ≥ 0. π(k) |= φ2 ∧ ∀0 ≤ i < k. π(i) |= φ1
• φ1U≤tφ2, pokud
∃x ∈ 0, t . π(x) |= φ2 ∧ ∀y ∈ 0, x). π(y) |= φ1
Pravděpodobnostní model checking CTMC
Logika CSL – další temporální operátory
• P p(F≤tφ) = P p(ttU≤tφ)
• P≥p(Gφ) = P≤1−p(F¬φ)
Pravděpodobnostní model checking CTMC
Logika CSL – nástroj PRISM
• http://www.prismmodelchecker.org/
• pravděpodobnostní model checking pro DTMC, CTMC
• podporuje logiky LTL, PCTL a CSL
• transientní a stabilní analýza:
• formule tvaru P=?(ϕ) a S=?(φ)
• formule tvaru Pmin=?(ϕ) a Pmax=?(ϕ)
• enumerace pravděpodobnosti
• symbolické algoritmy (vychází z BDD)
• výpočetně náročné (zejména pro CTMC)
Pravděpodobnostní model checking CTMC
Nástroj PRISM - zápis CTMC
• jazyk Reactive Modules
• podpora datových typů (int, double, ...)
• lokální, globální proměnné
• paralelní moduly
• pojmenované a strážené příkazy (přechody):
[label] condition -> rate:(assignement);
• (binární) synchronizace shodně pojmenovaných příkazů
⇒ typicky se uvažuje rate jen pro jednu ze synchronizovaných
akcí, druhá 1
• podpora výrazů (expressions)
⇒ lze definovat rate závislý na daném stavu
Pravděpodobnostní model checking CTMC
Nástroj PRISM - zápis CTMC