Neklasické logiky III
Fuzzy logika, logické spojky a Mamdaniho regulátor
Priesvitka 1
Logické spojky
Vzťah medzi klasickou dvojhodnotovou logikou a teóriou (crisp) množín je veľmi blízky, jednotlivé množinové operácie môžu byť vyjadrené pomocou logických spojok (pozri obr. 11.1):
(1) konjunkcia - A n B
(2) disjunkcia - A u B
(3) negácia - A = def {x;
(4) implikácia - A u B
=def { X; ( X g A )A( X g B )}
=def {X;(X g A)V(X g B)} -(X g A)}
=def ^(x g U)(X g A =^> X g B)
Priesvitka 2
Priradenie medzi množinovými operáciami a výrokovými spojkami konjunkcie, disjunkcie, implikácie a negácie.
		
(AaB)=J4 (AnB)		(AvB)=lr/(AuB)
		
(A^B)=A/(A^B)=A/ (AuB)		
Priesvitka 3
Predpoklad fuzzy logiky
Fuzzy logika je založená na predpoklade, že každému výroku p je priradená pravdivostná hodnta val (p) g [0,1] z uzavretého intervalu [0,1].
Fuzzy negácia.
Fuzzy negácia je unárna operácia — :[0,1] —[0,1], ktorá vyhovuje týmto podmienkam
——p = p
val (p) < val (q) => val (—p) > val (—q)
Priesvitka 4
	Fuzzy konjunkcia	
Fuzzy konjunkcia je binárna operácia a :[0,1]2 —»[0,1], ktorá vyhovuje týmto podmienkam (1) komutatívnosť p a q = q a p (2) asociatívnosť p a (q a r ) = (p a q)a r (3) okrajová podmienka - identita p a 1 = p (4) val (q) < val (r )    val (p a q) < val (p a r )		
	va/ (p a g) = min {val (p)val (q)}	
		Priesvitka 5
Fuzzy disjunkcia
Fuzzy disjunkcia je binárna operácia a :[0,1]2 [0,1], ktorá vyhovuje týmto podmienkam
(1) komutatívnosť p v q = q v p
(2) asociatívnosť p v(q v r ) = (p v q)v r
(3) okrajová podmienka - identita p v 0 = p
(4) val (q) < val (r ) => val (p v q) < val (p v r )
val (p v q) = max {val (p)val (q)}
Operácie konjunkcie a disjunkcie sú duálne vzhľadom k operácii štandardnej
negácie (De Morganove vzťahy).
Priesvitka 6
Fuzzy implikácia
Fuzzy implikácia je binárna operácia => :[0,1]2 —» [0,1], ktorá vyhovuje týmto okrajovým podmienkam
val (p =	>q ) = <	1 0	(pre (val (p ) = 0 ) alebo (val (q ) = 1)) (pre val (p) = 1a val (q) = 0)
val (p =		min	{1,1 - val (p) + val (q)}
	<	r 1	(val (p)< val (q))
		1 -v	val (p) + val (q)   (ináč)
Priesvitka 7
3D grafy logických spojok vo fuzzy logike
o
0.5
konjunkcia
0.5
implikácia
0.5
disjunkcia
ekvivalencia (p = q)=def (p => q)A(q => p)
Priesvitka 8
• Implikácia bola pôvodne Zadehom špecifikovaná pomocou negácie a disjunkcie, (p =^> q) = def (—p v q). Tento jednoduchý prístup je skoro
nepoužiteľný, pretože produkuje fuzzy logiku veľmi chudobnú, kde skoro neexistujú tautológie. Tento nedostatok je odstránený tým, že používane implikáciu zavedenú do logiky Lukasiewiczom v jeho 3-hodnotovej logike.
• Závažný problém fuzzy logiky je systematické a úplné určenie pravdivostných hodnôt formúl pre dve alebo viac výrokových premenných. Formula fuzzy logiky s n premmenými p1,p2,...,pn sa
môže chápať ako funkcia n   premenných definovaná na hyperkocke
[0,1]n.
• Funkcia - formula sa nazýva tautológia, ak sa rovná 1 pre ľubovolnú hodnotu argumentov, F(p,p2,...,pn) = 1, pre V(p,p2pn) g [0, 1]n.
Priesvitka 9
F(p,q)=((pAq)^(pvq)) G(p,q)=((pVq)^(pAq))
Povrchy výrokových funkcií F(p,q) a G(p,q) pre spojité argumenty p,q<=[0,1]. Z priebehov týchto funkcií vyplýva, že funkcia F(p,q) je tautológia, zatiaľ čo, funkcia G(p,q) nie je tautológia.
Priesvitka 10
Sémantické tablá pre formuly fuzzy logiky
{pAq)^> (pvq)=1
(pAq)<(pvq)
min {p, q} <max {p,q}
A
F (p,q ) = (p A q )=>(p v q)
(pvq)^(pAq)=1
(pvq)<(pAq)
q<p p<q
0
B
G (p,q ) = (p v q )=>(p A q)
F ( p,q) = 1 y p,q e[ 0 ,l]
G (p, q) = 1 (len pre p = q)
Priesvitka 11
Príklad
pA(p^>q)<q
min{p,p^>q} <q
min{p, 1 }<q     min{p, 1-p+q}<q
1-p+q<q
0.5
1 <p
p<q
0
(p=>(p=>q)=>q))=l
p<(p^>q)^>q
p<1
0.5
p<1-(p^>q)+q p+q<0 q=0
p=0 q=0
Priesvitka 12
0
0
Usudzovanie vo fuzzy logike
V klasickej logike je jedným zo základných modov usudzovania pravidlo modus ponens
p
p == q q
Táto schéma môže byť verbálne formulovaná takto
ak p je pravdivý výrok a
ak p => q je pravdivá implikácia,
potom q je pravdivý výrok
Modus ponens môže byť alternatívne vyjadrený pomocou výrokovej formuly -tautológie
p ==((p == q )=> q )
Priesvitka 13
Pri fuzzy odvodzovaní dôležitým pojmom je jazyková premenná, ktorý bol zavedený Zadehom [xx]. Jazyková premenná je taký typ premennej, ktorej hodnoty sú slová z prirodzeného jazyka. Ako ilustračný príklad jazykovej premennej uvedieme vek, ktorej hodnoty sú špecifikované slovnými hodnotami mladý, stredný a starý.		
	Definícia. Jazyková (lingvistická) premenná je určená usporiadanou štvoricou (X,T (X ) ,U,M ) kde X je meno jazykovej premennej, T (X ) = { A,B,...} je množina slovných hodnôt jazykovej premennej, U je univerzum jazykovej premennej,   pričom   každá   slovná   premenná   A g T(X) je špecifikovaná fuzzy množinou A = {(x,]iA (x)); x g U}, súbor týchto fuzzy množín tvorí množinu M.	
	Priesvitka 14	
Príklad
Študujme jazykovú premennú X=vek, definovanú nad univerzom rokov reprezentovaným množinou - uzavretým intervalom U =[0,100]. Množina slovných hodnôt obsahuje tri slovné hodnoty, T (vek ) = {mladý,stredný,starý}.
Každá slovná hodnota je špecifikovaná fuzzy množinou s charakteristickou funkciou, tieto fuzzy množiny tvoria množinu M
Priesvitka 15
Znázornenie zovšeobecneného modus ponens, ktorý na základe analógie s reláciou x e A    x e B vytvára zo vstupnej slovnej premennej Ar výstupnú
slovnú premennú B', pričom sa predpokladá, že slovné premenné A a Ar resp. B a Br sú si podobné.
x
A'
y
B'
Priesvitka 16
• Uvažujme dve slovné premenné AeT(X) a BeT(Y) reprezentované príslušnými       fuzzy       množinami       A = {(x, \xA (x)); x e u} a
B = {(y,\ib (Y)); x e U}.
• Stupeň pravdivosti fuzzy výroku ,x je A", formálne vyjadrený vzťahom „xeA", je popísaný charakteristickou funkciou \xA (x); podobne stupeň
pravdivosti výroku „yeB" („y je B") je charakterizovaný charakteristickou funkciou \x B (x ).
• Tieto dva fuzzy výroky ,xeA" a „yeB" sú vo vzájomnej (môžeme povedať príčinnej alebo asociačnej) relácii x e A    x e B, podľa ktorej vlastnosť
„xeA" je doprevádzaná výskytom vlastnosti „yeB" .
Priesvitka 17
Zovšeobecnený modusponens v relačnom tvare je
x e Ä
x e A    x e B
x e B'
kde A e T(X) a B'' e T( Y) sú nové slovné premenné, Budeme predpokladať, že nová slovná premenná Ar (fuzzy množina) je podobná pôvodnej slovnej premennej A, čo   môžeme   vyjadriť   pomocou   charakteristických   funkcií   napr. takto
max
ma (x) - mA' (x) < 5, kde 5 je dané malé kladné číslo.
Tento predpoklad je veľmi dôležitý k odôvodneniu používania zovšeobecneného modus ponens ako nástroja pre odvodenie výstupnej novej slovnej premennej Br zo vstupnej slovnej premennej Ar pomocou relácii x e A    x e B (analógie).
Okrajová podmienka: A = A' =^ B = B'
Priesvitka 18
Znázornenie zobrazenia fuzzy slovnej premennej A' na slovnú premennú Br
pomocou fuzzy relácie R(x,y).
y
B' \	-«	□	(xeA^yeB) =def Rc XxY
		1	x
A'
Priesvitka 19
Rezultujúca charakteristická funkcia jLiB(y )je určená ako kompozícia charakteristickej funkcie \xA,( x) a charakteristickej funkcie jll R (x,y) fuzzy relácie
R, ktorá reprezentuje vzťah x g A ^ x g B (kde symbol ^ znázorňuje fuzzy reláciu R)
jll B, (y ) = max min {\iA, (x ) ,\xR (x,y )}
alebo v zjednodušenom tvare B' = A' o R. Požadujeme, aby táto kompozícia vyhovovala „okrajovejpodmienke", ktorá požaduje, že ak A'=A , potom Br=B, t.j.
L b (y ) = max min {jll a (x ) ,\i R (x, y
Priesvitka 20
Realizácia relácie R	
(1) Lukasiewiczova implikácia R = iI (va (x),Vb (y)) = min j1,1 - va (x) + Vb (y)} Nevyhovuje podmienke A = Ä =^> B = B'	
(2) Štandardná konjunkcia (Mamdani, operácia min) R = va (x ) A vb (y ) = min {va (x) ,vb (y )}	
(3) Súčinová konjunkcia (Larsen, operácia súčin) R = Va (x) A Vb (y) = va (x) •Vb (y)	Priesvitka 21
Kompozície B' = Ä o R pre tri rôzne špecifikácie relácie R
A B
C
(A) Lukasiewics, (B) Mamdani a (C) Larsen
Priesvitka 22
Konštrukcia relácie R pomocou Mamdaniho štandardnej konjunkcie
Dokážeme, že pre tento typ relácie je okrajová podmienka kompozície splnená.
juB (y) = maxmin{\iA, (x),min{juA (x),jlib (y)}}
Táto formula môže byť jednoducho upravená použitím asociatívnosti operácie min
UB' (y) = min^ maxmin{jlla, (x),jua (xB (y)
w
= min{w,ub (y)}
kde w sa nazýva váha pravidla alebo stupeň zapálenia pravidla. Potom rezultujúca charakteristická funkcia jlib, (y) vyhovuje podmienke jlxb , (y) <jlxb (y),
pre A=A' dokonca platí uB, (y) = jlxb (y).
A A
2 4 6
Priesvitka 23
B
Dôkaz asociatívnosti operácie min		
max min \\x Ä (x ),min [\i A (x    B (y )}} = min<	max min [ jlla (x), juA (x)}, juB (y ) v-v-'	>
min[]iA, (xx),min[\xA (x),\xB (y)}} = min	{min [ľ*A' (x)>VA (x)} >VB (y)}	
min {a ' ,min [a,b}} = min {min {a ' ,a} ,b} <^> asociativnosť operácie min		
min [a,b} = [ a,b ], potom [ a,[b,c]] = [[ a,b] ,c~J		
	Priesvitka 24	
(1) a' < a < b
min <
ď,min{a,b} l = min<! min{a' ,a} ,b
a
a
a
a
(6) b < a < a'
min <
a min
{a,b}l =
min <
b
min
v,_
{a ,a},b
a
-v- -V"
bb
Priesvitka 25
Priesvitka 26
Jazykové fuzzy regulátory sú znalostné systémy, ktoré sú založené na skúsenostiach operátora - „experta" a sú formulované prostredníctvom prirodzeného jazyka pomocou pravidiel. V mnohých situáciách operátor je schopný na základe svojich skúseností naformulovať fuzzy pravidlá typu
ak <predpoklad>, potom <dôsledok>
ktoré používajú jazykové výrazy prirodzeného jazyka, pomocou ktorých špecifikujú vágnymi pojmami typické situácie vyskytujúce sa pri riadení daného zariadenia a ktoré vedú ku špecifickým aktom jeho riadenia.
Priesvitka 27
Mamdaniho fuzzy regulátor patrí vo fuzzy logike medzi najjednoduchšie typy regulátorov, ktoré sú založené na zovšeobecnenom pravidle modus ponens. Uvažujme n pravidiel
P :   x g Ax ^y g Bx
Pn:   x g An      g Bn
nn       y n
Každé pravidlo môže byť alternatívne reprezentované príslušnou reláciou určenou podľa Mamdaniho vzťahu
p :  R1 = vr (x,y) = min{vA (x).Mb, (y)}
Priesvitka 28
Potom celková relácia R vytvorená z parciálnych relácií Ri je formálne určená pomocou ich zjednotenia R = R u R2 u... u Rn, ktorej výsledná charakteristická
funkcia je určená vzťahom
Vr (x,y) = Mru...urn (x,y)= maxVr (x,y)= maxmin(x),\lbk (y)}
Výstupná výroková premenná B(k) je určená ako odozva na vstupnú výrokovú premennú A v k-tom pravidle
V B(k) (y ) = maxmin {v a , (x ) ,v Rk (x, y )} = maxmin {v a, (x ) ,min {v Ak (x ) ,v Bk (y )}
maxmin {\xä (x),vAk (x)},V Bk (y) r = min (wk-v Bk (y)}
= min <
alebo formálne B(k) = A' o Rk.
Priesvitka 29
Zjednotením (agregáciou) týchto parciálnych výstupných								
slovných premenných dostaneme výslednú výstupnú premennú								
		U B'  = U Ä o k=1 (k)   k=1			Rk--	Ä	k=1k	
Pomocou charakteristických funkcií tento vzťah prepíšeme do								
			tvaru					
n b' (y) =	= max {juB^ (y)} = max {					min		bk (y)}}
	i—►	w(1)	-►	B(1)	-*			
Ä -►	—►	W(2)	-►	B(2)	-►			
						—►	VB<k.	
	—►		-►	B(n)	-►			
	1. krok		2. krok				3. krok	
								Priesvitka 30
Aplikácia Mamdaniho regulátora obsahujúceho 3 pravidlá Pl5 P2 a P3.,
vstup je charakterizovaný „crisp" hodnotou x0.
M*) t
P '
1 ľ
t
P '
t
P •
B3
B'
y0
Priesvitka 31
Aj
x
B2
A2
w2
x
B3
A3
x
Alternatívna interpretácia Mamdaniho regulátora
• Mamdaniho regulátor je možné alternatívne interpretovať ako aproximátor fuzzy funkcie, ktorá je zadaná tréningovou množinou
A = {(Ak,Bk); k = 1,2,...,n} (analógia tabuľke z regresnej analýzy funkcií).
• Mamdaniho regulátor je možné chápať ako metódu konštrukcie
„fuzzy funkcie", ktorá „indukuje" funkcionálnu závislosť B' = f (A'
ohraničenú podmienkami Bk
Priesvitka 32
v
Špeciálny prípad Mamdaniho regulátora
Pravidlá zadané expertom sú špecifikované pomocou fuzzy množín, avšak vstupná fuzzy veličina Ar do Mandaniho regulátora je „crisp" veličina x0
()   *(     )   I1   ((= xo)
la(x ) = 5(x,xo ) = 1A     , v
0   (x ^ x0)
Potom váhy wk jednotlivých pravidiel sú v tomto prípade určené takto
Priesvitka 33
Výstup z Mamdaniho regulátora je
\i b > (y ) = max {min [wk,\x Bk (y )}} = max jw/w      (x0) ,|i Bk (y )}}
Toto je charakteristická funkcia fuzzy výstupnej slovnej veličiny B', ktorá je odozvou Mamdaniho regulátora na vstupnú fuzzy veličinu A'.
Môžeme určiť aj „crisp" výstupnú veličinu pomocou stredu oblasti ohraničenej charakteristickou funkciou m x)
jy\x b' (y ) dy
Y
Priesvitka 34
Mamdaniho regulátor môžeme formálne chápať ako zobrazenie
G (w): R — R
ktoré vstupnej „crisp" veličine x0 e R priradí výstupnú „crisp" veličinu y0 e R.
Z konštrukcie tohto zobrazenia G priamo vyplýva, že „okrajové podmienky", typu ak Ar=Ak, potom Br=Bk , sú splnené.
Grafická interpretácia Mamdaniho regulátora ako zobrazenia
Veta.
Mamdaniho regulátor je univerzálny aproximátor, ľubovolná funkcia zadaná nekonfliktnou regresnou tabuľkou je aproximovaná s požadovanou presnosťou.
i
Priesvitka 35
Ilustračný príklad Mamdaniho regulátora
-►v
A1 A2
Auto A1 pohybuje sa v kolóne iných aut, pričom rýchlosť kolóny je v a vzdialenosť od predchádzajúceho auta je d, rýchlosť auta A2 je premenlivá v určitom rozsahu.
Cieľ: Riadiť auto A1 tak, aby sme nenarazili do auta A2.
Priesvitka 36
Ako budeme reagovať, ak auto A2 začne brzdiť. Budeme brzdiť aj my, algoritmicky situáciu popíšeme takto
Ovládame dynamický systém, ktorý je tvorený autami A1 a A2. Naše riadenie tohto zložitého systému bude založené na dvoch vstupných veličinách: rýchlosti (v) a vzdialenosti (d), výstupom bude sila (F), ktorá keď je kladná reprezentujú akceleráciu (zmačknutie plynu), ak je záporná reprezentuje dekaceleráciu (zmakčnutie brzdy).
ak
Priesvitka 37
Rýchlosť v je popísaná jazykovou premennou, ktorej slovné premenné sú
KW-skoro nulová, KM-malá, KS-stredná KK-veľká}
Univerzum je interval [0,120], ktorý špecifikuje rýchlosť v km/hod
Vzdialenosť d je popísaná jazykovou premennou obsahujúcej štyri jazykové hodnoty
DW-skoro nulová DM-malá DS-stredná DK-veľká
Univerzum je [0,100], ktorý špecifikuje vzdialenosť metroch
Priesvitka 38
Sila F je popísaná jazykovou premennou so siedmimi jazykovými hodnotami
NB-záporne veľká
NM- záporne stredná
NS- záporne malá
ZO-nulová
PS-kladne malá
PM- kladne stredná
PB- kladne veľká Univerzum je [-2000,2000], ktorý špecifikuje silu v Newtonoch.
Priesvitka 39
Jazyková premenná rýchlosť v, jednotlivé jazykové hodnoty sú popísané 4-bodovými trapeizodami
Uvn (v ) = trap (,0, 20,30)
Ukm (v ) = trap (20,30,50,60)
Uvs (v ) = trap (50, 60, 80,90)
Uvv (v ) = trap (80,90,120,)
Priesvitka 40
Jazyková premenná vzdialenosť d, jednotlivé jazykové hodnoty sú popísané 4-bodovými trapeizodami
l DN (d ) = trap (,0,10,20)
jl DM (d ) = trap (10, 20, 40,50)
jll DS (d ) = trap (40, 50,60,70)
|ll   (d ) = trap (60, 70, 100,)
1-H-^
100
Priesvitka 41
Jazyková premenná sila F, jednotlivé jazykové hodnoty sú popísané 4-bodovými trapeizodami
H NB (F ) = trap (, -2000,-1500,-1000)
HNM (F) = trap (-1500, -1000, -1000, -500)
H NS (F ) = trap (-1000, 500,500, 0)
H zo (f ) = trap (-500, 0, 0,500,)
H ps (F ) = trap (0,500,500, 1000)
H pB (f ) = trap (1000, 1500, 2000,)
h(f)
Priesvitka 42
Súbor pravidiel obsahuje 16 položiek	
Pi : ak (ve VN) a (deDN), potom ((FeZO)	
P2 : ak (veVM) a (deDN), potom ((FeNS)	
P 3 : ak (veVS) a (deDN), potom ((F e NM)	
P4 : ak (ve VV) a (de DN), potom ((Fe NB)	
P5 : ak (v e VN) a (de DM), potom ((FeNB)	
P6 : ak (v e VM) a (d e DM), potom ((FeZO)	
P7 : ak (veVS) a (d e DM), potom ((FeNS)	
P8 : ak (v e VV) a (de DM), potom ((Fe NM)	
P9 : ak (ve VN) a (deDN), potom ((FePM)	
P10 : ak (ve VMM) a (deDN), potom ((F e PS)	
Pn : ak (ve VS) a (deDN), potom ((FeZO)	
P12 : ak (ve VV) a (deDN), potom ((FeNS)	
P13 : ak (ve VN) a (deDV), potom ((FePB)	
P14 : ak (ve VM) a (deDV), potom ((FePM)	
P15 : ak (ve VS) a (deDV), potom ((F e PS)	
P16 : ak (veVV) a (deDV), potom ((FeZO)	
	Priesvitka 43
	Množina pravidiel				
	VN	VM	VS	VV	
DN	i ZO	2 NS	3 NM	4 NB	
	5	6	7	8	
DM	PS	ZO	NS	NM	
	9	10	11	12	
DS	PM	PS	ZO	NS	
DV	13 PB	14 PM	15 PS	16 ZO	
					Priesvitka 44
Graf znázorňujúci výsledky regulátora pomocou
povrchu funkcie sily
Príklad: rýchlosť v=40 a vzdialenosť d=50, z obrázku ľahko odvodíme, že je zapálené pravidlo P10, t.j. potom akcelerácia je určená slovnou hodnotou PS, čiže je kladne malá.
Priesvitka 45
MEMENTO
Priesvitka 46