Priesvitka 1
Neklasické logiky I
Trojhodnotová Łukasiewiczova logika
Priesvitka 2
Jan Łukasiewicz (1878-1956)
Priesvitka 3
Neklasických logikách
Klasická logika je charakterizovaná
• logickými spojkami špecifikovanými tabuľkami pravdivostných
hodnôt,
• systémom axióm a pravidlami odvodenia.
Existujú prípady, keď dichotomický pravdivostný charakter nepostihuje všetky
situácie nášho každodenného života.
„Na Marse existuje život“
„Ak na Marse existuje život, potom musí byť podobný životu na Zemi“
Priesvitka 4
Snaha dosiahnuť čo najväčšiu zhodu medzi bežným jazykom a logikou, viedli
k vytvoreniu celej rady nových netradičných logík, ktoré sú nazývané neklasické
logiky.
Neklasické logiky sú charakterizované
• nové logické spojky,
• skúmané sú výroky o ktorých nemôžeme s určitosťou povedať, či
sú pravdivé alebo nepravdivé a ktorým pripisujeme ďalšie
pravdivostné hodnoty.
Priesvitka 5
Trojhodnotová Łukasiewiczova logika
• Poľský filozof a logik Jan Łukasiewicz v r. 1920 poukázal na skutočnosť,
že v prirodzenom jazyku sa často stretávame so zmysluplnými výrokmi,
ktorých pravdivosť nevieme dobre vyhodnotiť
• Łukasiewicz navrhol túto situáciu riešiť tak, že množina pravdivostných
hodnôt {0,1} je rozšírená na trojhodnotovú množinu {0,½,1}, kde nová
pravdivostná hodnota ½ je interpretovaná ako „neviem“.
• V informatike takéto rozšírenie klasickej výrokovej logiky môže byť
významné v prípadoch, keď objekty sú popísané binárnymi údajmi,
v niektorých prípadoch nám buď chýbajú potrebné údaje alebo existujú
principiálne dôvody pre ich neexistenciu, takže chýbajúce údaje doplníme
neutrálnou pravdivostnou hodnotou ½.
Priesvitka 6
Funkčné vyjadrenie pravdivostných hodnôt logických spojok
logická spojka funkčné vyjadrenie pravdivostnej hodnoty
p¬ ( ) ( )1val p val p¬ = −
p q∧ ( ) ( ) ( ){ }val p q min val p ,val q∧ =
p q∨ ( ) ( ) ( ){ }val p q max val p ,val q∨ =
p q⇒ ( ) ( ) ( ){ }11val p q min , val p val q⇒ = − +
Priesvitka 7
Pravdivostné hodnoty logických spojok pre trojhodnotovú
Łukasiewiczovu logiku
A. Negácia
p ¬p Tp
0 1 ½
½ ½ ½
1 0 ½
D. Konjunkcia
p∧q 0 ½ 1
0 0 0 0
½ 0 ½ ½
1 0 ½ 1
B. Implikácia
p⇒q 0 ½ 1
0 1 1 1
½ ½ 1 1
1 0 ½ 1
D. Disjunkcia
p∨q 0 ½ 1
0 0 ½ 1
½ ½ ½ 1
1 1 1 1
Priesvitka 8
Tabuľka pravdivostných hodnôt formule ( ) ( )p q p p p q∧ ⇒ ∧ ⇒ ∨
# p q p∧q p∧q⇒p p∨q p⇒ p∨q (p∧q⇒p)∧( p⇒ p∨q)
1 0 0 0 1 0 1 1
2 0 ½ 0 1 ½ 1 1
3 0 1 0 1 1 1 1
4 ½ 0 0 1 ½ 1 1
5 ½ ½ ½ 1 ½ 1 1
6 ½ 1 ½ 1 1 1 1
7 1 0 0 1 1 1 1
8 1 ½ ½ 1 1 1 1
9 1 1 1 1 1 1 1
Priesvitka 18
Príklady zakonov trojhodnotovej Łukasiewiczovej logiky
(1) Zákon totožnosti ( )p p⇒ .
(2) Zákon dvojitej negácie ( )p p¬¬ ≡ .
(3) De Morganov zákon pre konjunkciu ( ) ( )( )p q p q¬ ∧ ≡ ¬ ∨ ¬ .
(4) De Morganov zákon pre disjunkciu ( ) ( )( )p q p q¬ ∨ ≡ ¬ ∧ ¬ .
(5) Zákon tranzitívnosti implikácie ( ) ( ) ( )( )p r r q p q⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
(6) Distribúcia konjunkcie ( )( ) ( ) ( )( )( )p q r p q p r∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨ .
(7) Distribúcia disjunkcie ( )( ) ( ) ( )( )( )p q r p q p r∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∧ .
(8) Zákon kontrapozície ( ) ( )( )p q q p⇒ ≡ ⇒
(9) Zákon modus ponens ( )( )p p q q⇒ ⇒ ⇒
(10) Zákon modus tollens ( )( )q p q p¬ ⇒ ⇒ ⇒ ¬
Priesvitka 19
Axiomatický systém 3-hodnotovej Łukasiewiczovej logiky
Systém axióm pre 3-hodnotovú výrokovú logiku navrhol Łukasiewiczov žiak M.
Wajsberg (1932)
Ax1. ( )p q p⇒ ⇒
Ax2. ( ) ( ) ( )( )p q q r p r⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Ax3. ( ) ( )p q q p¬ ⇒ ¬ ⇒ ⇒
Ax4. ( )( )p p p p⇒ ¬ ⇒ ⇒
Pravidlo odvodzovanie je modus ponens.
Priesvitka 20
Veta o korektnosti a úplnosti (Wajsberg).
Formula je odvoditeľná odvoditeľná pomocou axiomatického systému vtt, ak je
tautológia.
Veta o dedukcii v 3-hodnotovej logike neplatí.
Táto veta v klasickej výrokovej logike môže byť reprezentovaná formulou
( )( ) ( )( )ϕ ∧ α ⇒ β ⇒ ϕ ⇒ α ⇒ β , podľa ktorej, ak z ϕ∧α vyplýva β, potom z ϕ
vyplýva implikácia α⇒β. Ľahko sa presvedčíme pomocou metódy sémantických
tabiel, že táto formula nie je tautológia v 3-hodnotovej logike.
Priesvitka 21
Problém jej funkčnej úplnosti v 3-hodnotovej logike
Jednoduchými úvahami sa dá dokázať, že unárna logická spojka T nie je
vyjadriteľná pomocou implikácie a negácie.
Unárna logická spojka T.
p Tp
0 ½
½ ½
1 ½
Dá sa ukázať, že ak spojku T pripojíme k negácii a implikácii dostaneme funkčne
úplný systém, t.j. ľubovolná unárna alebo binárna funkcia je vyjadriteľná
pomocou symbolov {¬, T, ⇒}.
Priesvitka 22
Axiomatický systém je rozšírený o dve axiómy
Ax6. Tp Tp⇒ ¬
Ax7. Tp Tp¬ ⇒
Veta .
Modifikovaný systém axióm je korektný a úplný.
Priesvitka 1
Neklasické logiky II
Fuzzy logika a fuzzy množiny
Priesvitka 2
Lotfi A. Zadeh (∗1921), University of California Berkeley
Priesvitka 3
Úvodné poznámky
• Náš svet je plný nejasne ohraničených pojmov, s ktorými však
vieme pomerne dobre intuitívne narábať prostredníctvom nášho
prirodzeného jazyka.
• Špecifikácia pojmu „mladý“. Okamžite zistíme, že obsah tohto pojmu
je silne závislý od subjektívnej interpretácie a len veľmi ťažko by
sme našli úplnú zhodu v interpretácií tohto pojmi od dvoch rôznych
ľudí.
• Práve takéto a podobné problémy sú študované pomocou fuzzy
množín, ktorá ponúka teoretický aparát, ktorý umožňuje jednoduché
modelovanie týchto problémov a ich implementáciu na počítačoch.
Priesvitka 4
• Termín „fuzzy logika“ vznikol ako vedľajší produkt rozvoja teórie
fuzzy množín, ktoré boli zavedené americkým (narodeného
v azarbejdžanskom Baku) kybernetikom Lotfi A. Zadeh, keď v roku
1965 publikoval prácu Fuzzy sets v časopise Information and
Control.
• Fuzzy množiny tvoria neobyčajne efektívny teoretický rámec pre
modelovanie vágnosti pojmov, pomocou ktorého je možné
špecifikovať nejasne ohraničené pojmy.
• Zadehove idey sa rýchlo ujali a stali sa štandardnou súčasťou nielen
informatiky ale aj kybernetiky (vedy o riadení a regulácii procesov)
ako efektívny inžiniersky prostriedok pre formalizáciu, modelovanie
a riadenie systémov, ktoré sú popísané pomocou vágnych pojmov.
Priesvitka 5
The American Heritage Dictionary
fuzz·y (f¾z“¶) adj. fuzz·i·er, fuzz·i·est. 1. Covered with fuzz. 2. Of or
resembling fuzz. 3. Not clear; indistinct: a fuzzy recollection of past events.
4. Not coherent; confused: a fuzzy plan of action. [Perhaps from Low German
fussig, spongy. See pü- below.] --fuzz“i·ly adv. --fuzz“i·ness n.
Priesvitka 6
Fuzzy girl
Priesvitka 7
Klasická teória (crisp) množín
Uvažujme univerzálnu množinu (univerzum) U. Potom ľubovolná (crisp)
podmnožina univerza U môže byť vyjadrená takt
( ){ }; 1AA x U x= ∈ µ =
kde ( )A xµ je charakteristická funkcia
{ }: 0 1A U ,µ →
ktorá ohodnocuje každý element x univerza U binárnym číslom ( ) { }0 1A x ,µ ∈ .
( ) 1A x x Aµ = ⇔ ∈
( ) 0A x x Aµ = ⇔ ∉
angl. crisp
znamená krehký,
chrumkavý
Priesvitka 8
Príklad
Vyjadrite množinu - polootvorený interval (0 1]A ,= pomocou charakteristickej
funkcie.
Univerzum U je totožné s množinou reálnych čísel R. Charakteristická funkcia
( )A xµ je v tomto prípade definovaná takto
( )
( )
( )
1 pre 0 1
0 ináč
A
x
x
⎧ < ≤⎪
µ = ⎨
⎪⎩
Grafické znázornenie tejto charakteristickej funkcie
x
µA( )x
1
1
Priesvitka 9
Operácie nad crisp množinami
Nech A a B sú dve množiny definované nad univerzom U
( ){ }; 1AA x U x= ∈ µ = a ( ){ }; 1BB x U x= ∈ µ =
(1) Rovnosť množín A a B
( ) ( ) ( )( )def A BA B x U x x= = ∀ ∈ µ = µ
(2) A je podmnožina B, A B⊆
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )
1 1
def
def A B
def A B
A B x U x A x B
x U x x
x U x x
⊆ = ∀ ∈ ∈ ⇒ ∈
= ∀ ∈ µ = ⇒ µ =
= ∀ ∈ µ ≤ µ
Priesvitka 10
(3) Zjednotenie množín A a B, A B∪
( ) ( ){ } ( ){ }1def A BA B x; x A x B x; x∪∪ = ∈ ∨ ∈ = µ =
( ) ( ) ( ){ }A B A Bx max x , x∪µ = µ µ
(4) Prienik množín A a B, A B∩
( ) ( ){ } ( ){ }1def A BA B x; x A x B x; x∩∩ = ∈ ∧ ∈ = µ =
( ) ( ) ( ){ }A B A Bx min x , x∩µ = µ µ
(5) Doplnok A množiny A (vzhľadom k univerzu U)
{ } ( ){ }1def A
A x; x A x; x= ¬ ∈ = µ =
( ) ( )1 AA
x xµ = −µ
Priesvitka 11
(6) Prázdna množina A = ∅ množiny A (vzhľadom k univerzu U),
charakteristická funkcia vyhovuje podmienke
( ) ( )( )0Ax U x∀ ∈ µ =
(7) Univerzálna množina A U= , charakteristická funkcia vyhovuje podmienke
( ) ( )( )1Ax U x∀ ∈ µ =
Priesvitka 12
Formuly klasickej (crisp) teórie množín
vlastnosť teória množín
A B B A∩ = ∩komutatívnosť
A B B A∪ = ∪
( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩
asociatívnosť
( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪
( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
distributívnosť
( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
A B A B∩ = ∪De Morganove
vzťahy A B A B∪ = ∩
A A A∩ =idempotentnosť
A A A∪ =
A U A∩ =identita
A A∪∅ =
Priesvitka 13
Všetky množinovo-teoretické vzťahy môžeme jednoducho dokázať použitím
charakteristických funkcií.
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }{ }
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }{ }
( ) ( ){ }
( ) ( ) ( )
A B C A B CA B C
A B A C
A B A C
A B A C
x max x , x max x ,min x , x
min max x , x ,max x , x
min x , x
x
∩∪ ∩
∪ ∪
∪ ∩ ∪
µ = µ µ = µ µ µ
= µ µ µ µ
= µ µ
= µ
Pri dôkaze tejto formuly sme použili identitu
{ }{ } { } { }{ }max a,min b,c min max a,b ,max a,c=
ktorá sa ľahko dokážeme pomocou verifikácie všetkých možných hodnôt a, b a c.
Priesvitka 14
Fuzzy množiny
Ilustratívny príklad kopy piesku
Nech U je univerzum tvorené zo zrniek piesku, { }1 2 nU z ,z ,...,z ...= , kde zi je i-té
zrnko piesku. Rekurentne budeme vytvárať podmnožinu { }1 2 pK z ,z ,...,z= tak, že
k nej budeme pridávať jedno zrnko piesku, { }1pK K z +← ∪ . Od určitého počtu
zrniek piesku (kardinality), množinu K môžeme nazývať kopa.
(1) Taxatívne kritérium kopy
je kopaK K≥ ϑ ⇒
(2) Taxatívne kritérium pre kopu piesku je silne zaťažené subjektívnym pohľadom
jej tvorcu na to čo, aké množstvo zrniek piesku sa považuje za kopu.
Priesvitka 15
Priebeh charakteristickej funkcie ( )A xµ fuzzy množiny A „mladý“.
1
roky
m ýlad
10 20 30 40 50 60 70 80
µA( )x
90 100
Priesvitka 16
Koncepcia fuzzy množín nám poskytuje možnosť ako formalizovať „fuzzy“
pojem mladosti. Nech U je univerzum tvorené prirodzenými číslami od 1 do 100,
{ }1 2 100U , ,...,= . Fuzzy množina A vyjadrujúca adjektívum „mladý“ je
špecifikovaná charakteristickou funkciou s oborom funkčných hodnôt
z uzavretého intervalu [ ]0 1,
[ ]: 0 1A U ,µ →
s kvalitatívnym priebehom znázorneným na obrázku Alternatívny názov
charakteristickej funkcie ( )A xµ je stupeň príslušnosti prvku - argumentu x do
fuzzy množiny „mladý“
Priesvitka 17
Definícia
Fuzzy množina A je definovaná
( )( ){ };AA x, x x U= µ ∈
kde U je univerzum a ( )A xµ je charakteristická funkcia (stupeň
príslušnosti x do A).
Poznámka. Pojem fuzzy množiny A splýva s pojmom jej charakteristickej funkcie
( )A xµ , ktorá ju spolu s univerzom U jednoznačne určuje. Zápis x A∈ (čítame
ako x je A) sa v teórii fuzzy množín interpretuje pomocou príslušnej
charakteristickej funkcie ( )A xµ tak, že stupeň príslušnosti elementu x do fuzzy
množiny A je učený hodnotou ( )A xµ .
Priesvitka 18
Operácia na fuzzy množinamy
( )( ){ };AA x, x x U= µ ∈ a ( )( ){ };BB x, x x U= µ ∈
(1) Zjednotenie fuzzy množín
( )( ){ }A BA B x, x ;x U∪∪ = µ ∈
( ) ( ) ( ){ }A B A Bx max x , x∪µ = µ µ
(2) Prienik fuzzy množín
( )( ){ }A BA B x, x ;x U∩∩ = µ ∈
( ) ( ) ( ){ }A B A Bx min x , x∩µ = µ µ
Priesvitka 19
(3) Doplnok fuzzy množíny
( )( ){ }A
A x, x ;x U= µ ∈
( ) ( )1 AA
x xµ = −µ
(4) Podmnožina fuzzy množín
( ) ( ) ( )( )def A BA B x U x x⊆ = ∀ ∈ µ ≤ µ
Priesvitka 20
Priebehy charakteristických funkcií fuzzy množín A a B, ich komplementov ,
prieniku a zjednotenia.
1
x
1
x
µB( )xµA( )x
1
x
µA B∪ ( )x
1
x
1
x
µA( )x
A B
C
E F
µA B∩ ( )x
1
x
µB( )x
D
Priesvitka 21
Ktoré vzťahy platné pre klasické „crisp“ množiny
platia aj pre fuzzy množiny?
(1) Zákon vylúčenia tretieho A A U∪ = pre fuzzy množiny je neplatný.
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1 1A A AA A A
x max x , x max x , x∪
µ = µ µ = µ −µ =
Táto podmienka evidentne nie je splnená pre fuzzy množiny, kde môže nastať
prípad ( )0 1A x< µ < , potom napr. pre ( ) 0 9A x .µ = dostaneme 0 9 1. = , čo je spor.
Priesvitka 22
(2) Zákon sporu A A∩ = ∅ je pre fuzzy množiny neplatný
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1 0A A AA A A
x min x , x min x , x∩
µ = µ µ = µ −µ =
Podobne ako v predchádzajúcom príklade tento vzťah neplatí pre fuzzy množiny,
kde ( )0 1A x< µ < .
(3) Distributívny zákon ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ je platný pre fuzzy množiny.
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }{ }
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }{ }
( ) ( ){ }
( ) ( ) ( )
A B C A B CA B C
A B A C
A B A C
A B A C
x max x , x max x ,min x , x
min max x , x ,max x , x
min x , x
x
∩∪ ∩
∪ ∪
∪ ∩ ∪
µ = µ µ = µ µ µ
= µ µ µ µ
= µ µ
= µ
Priesvitka 23
Fuzzy relácie
Binárna relácia v klasickej (crisp) teórie množín je definovaná ako ľubovolná
podmnožina karteziánskeho súčinu dvoch množín
( ){ };R x,z x A y B A B= ∈ ∧ ∈ ⊆ ×
„Crisp“ relácia R je definovaná pomocou charakteristickej funkcie takto
( ) ( ){ }1RR x,y ;x A y B x,y= ∈ ∧ ∈ ∧ µ =
Príklad
{ } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3 1 2 3 1 2 3
BA
, , p,q , p , , p , , p , ,q , ,q , ,q× =
Relácia R je ľubovolná podmnožina tejto množiny , napr.
( ) ( ) ( ) ( ){ }1 3 1 3R , p , , p , ,q , ,q A B= ⊆ ×
Priesvitka 24
Inverzná relácia R-1
(k relácii R) je definovaná pomocou usporiadaných dvojíc
( ) 1
y,x R−
∈ , ktorých inverzia patrí do relácie ( )x,y R∈
( ) ( ){ }1
R y,x ; x,y R B A−
= ∈ ⊆ ×
Diagramatická reprezentácia inverznej relácie sa zostrojí jednoduchým spôsobom
z diagramatickej reprezentácie pôvodnej R tak, že jednotlivé hrany (zobrazenia)
zmenia svoju orientáciu.
1
2
3
p
q
A
B
1
2
3
p
q
A
B
R R-1
Priesvitka 25
Zložená relácia
Majme tri množiny A, B a C, pre tieto množiny nech sú definované dve relácie
P A B⊆ × a Q B C⊆ × ,
Zložená relácia (kompozícia) R P Q= je definovaná ako nový relácia
R A C⊆ × takto
( ) ( )( ) ( )( ){ }; :R P Q x,z x A z C y B x,y P y,z Q= = ∈ ∧ ∈ ∧ ∃ ∈ ∈ ∧ ∈
1
2
3
p
q
A
B
A
α
β
γ
C
1
2
3
A
α
β
γ
C
B
P Q R
Priesvitka 26
Charakteristická funkcia kompozície R P Q= je určená vzťahom
( ) ( ) ( ){ }P Q P Q
y B
x,z maxmin x,y , y,z
∈
µ = µ µ
Význam tohto vzťahu priamo vyplýva z definície kompozície dvoch relácií P a Q.
a
b
c
p
q
A
B α
β
γ
C
µP( )a,p µ αQ( )p,
min{ ( ),µP a,p µ αQ( , )}p
a
b
c
p
q
A
B α
β
γ
C
µP( )a,p µ αQ( )p,
A B
µP( )a,q µ αQ( )q,
max min{ ( ),µP a,x µ αQ( , )}x
x B∈
Priesvitka 27
Diagonálna relácia
Nech P⊆A×A je diagonálna relácia, ktorej charakteristická funkcia pre
nediagonálne elementy je nulová, ( ) 0P x,yµ = , pre x y≠ . Tento typ relácie je
formálne určený vzťahom ( ) ( ) ( ){ }; 1P PP x,x x A x,x x= ∈ ∧ µ = µ = . Potom
kompozícia diagonálnej relácie P ⊆ A×A s reláciou Q ⊆ A×B je určená takto
( ) ( ) ( ){ }P Q P Q
x A
y maxmin x , x,y
∈
µ = µ µ
x
A B
µQ( )x,y
min{ ( ),µP x µQ( )}x,y
A
x
y
relácia Qrelácia P
Priesvitka 28
Definícia
Fuzzy relácia R je definovaná
( ) ( )( ) ( ){ };RR x,y , x,y x,y A B= µ ∈ ×
kde A, B sú dané množiny a ( )R x,yµ je charakteristická funkcia (stupeň
príslušnosti dvojice (x,y) do relácie R).
Kompozícia dvoch fuzzy relácií P A B⊆ × a Q B C⊆ × je určená analogickými
vzťahmi, ktoré boli pôvodne definované pre „crisp“ relácie
( ) ( ) ( ){ }P Q P Q
y B
x,z maxmin x,y , y,z
∈
µ = µ µ
Priesvitka 29
Príklad
Nech fuzzy relácie P a Q sú definované nad dvojicami množín A,B resp. B,C,
pričom tieto množiny majú tvar { }1 2 3A x ,x ,x= , { }1 2B y ,y= , { }1 2 3C z ,z ,z=
a príslušné charakteristické funkcie sú určené tab. 10.2 (pozri taktiež obr. 10.8)
Špecifikácia charakteristických funkcií relácií P a Q
( )P x,yµ y1 y2
x1 0.4 0.5
x2 0.9 0.2
x3 0.7 0.5
( )Q x,yµ z1 z2 z3
y1 0.7 0.3 0.9
y2 1.0 0.8 0.4
Priesvitka 30
x1
A
B
C
P Q
x2
x3
y1
y2
z1
z2
z3
0.4
0.5
0.9
0.50.7
0.2
0.7
0.3 1.0
0.9
0.8
0.4
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }{ }
{ } { }{ } { }
1 1 1 1 1 1 1 2 2 1
0 4 0 7 0 5 1 0 0 4 0 5 0 5
P Q P Q P Qx ,z max min x ,y , y ,z ,min x ,y , y ,z
max min . , . ,min . , . max . , . .
µ = µ µ µ µ
= = =
Výsledná charakteristická funkcia relácie R P Q=
( )R x,yµ z1 z2 z3
x1 0.5 0.5 0.4
x2 0.7 0.3 0.9
x3 0.7 0.5 0.7
Priesvitka 31
Pretože fuzzy relácia bola definovaná ako fuzzy množina, môžeme nad množinou
fuzzy relácií, ktoré sú špecifikované nad rovnakou dvojicou množín A a B
definovať operácie zjednotenia a prieniku fuzzy relácií. Nech P,Q A B⊆ × sú dve
fuzzy relácie s charakteristickými funkciami ( )P x,yµ resp. a ( )Q x,yµ , potom ich
prienik a zjednotenie sú definované v súhlase s definíciami týchto operácii pre
fuzzy množiny
( ) ( ) ( ){ }P Q P Qx,y min x,y , x,y∩µ = µ µ
( ) ( ) ( ){ }P Q P Qx,y max x,y , x,y∪µ = µ µ
pre každé ( )x,y A B∈ × .
Priesvitka 32
Veta.
Nech P, Q a R sú fuzzy relácie definované nad takými množinami, aby
nasledujúce operácie boli prípustné, potom platí
( )
1 1 1
P Q P Q
− − −
=
( ) ( )P Q R P Q R=
( ) ( ) ( )P Q R P Q P R∪ = ∪
( ) ( ) ( )Q R P Q P R P∪ = ∪
( ) ( ) ( )P Q R P Q P R∩ = ∩
( ) ( ) ( )Q R P Q P R P∩ = ∩