IB112 Základy matematiky
Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost
Jan StrejCek
Obsah
■ Výběry prvků bez opakování
m permutace a faktoriál
■ variace
■ kombinace a kombinaCní Čísla
■ Výběry prvků s opakováním
■ permutace
■ variace
■ kombinace
■ Obecné principy počítání složených výběrů
■ princip nezávislých výberu
■ princip dvojího pocítání
■ Kombinatorická pravděpodobnost
■ konecný pravdepodobnostní prostor
■ nezávislost jevu a podmíneená pravdeepodobnost
■ strední hodnota
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
2/57
Výbery prvků bez opakování
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
3/57
Permutace bez opakování
Definice (Permutace bez opakování)
Necht M je konečná množina o n prvcích. Permutace množiny M je uspořádaná posloupnost všech prvku z M.
Příklad
■ Vypište všechny permutace množiny {a, b, c, d}.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
4/57
Permutace bez opakování
Definice (Permutace bez opakování)
Necht M je konečná množina o n prvcích. Permutace množiny M je uspořádaná posloupnost všech prvku z M.
Příklad
■ Vypište všechny permutace množiny {a, b, c, d}.
(a, b, c, d) (a, b, d, c)
(a, c, b, d) (a, c, d, b) (a, d, b, c) (a, d, c, b)
(b, a, c, d) (b, a, d, c) (b, c, a, d) (b, c, d, a) (b, d, a, c) (b, d, c, a)
(c, a, b, d) (c, a, d, b) (c, b, a, d) (c, b, d, a) (c, d, a, b) (c, d, b, a)
(d, a, b, c) (d, a, c, b) (d, b, a, c) (d, b, c, a) (d, c, a, b) (d, c, b, a)
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost
5/57
Permutace bez opakování
Věta
Počet všech permutací n-prvkové množiny je
n! = n• (n- 1) • (n-2) •... • 2 • 1.
■ Funkce n! se nazývá faktoriál. Klademe 0! = 1. Příklad
■ Kolik zpUsoby lze v ruce uspořádat 7 karet?
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost 6/57
Permutace bez opakování
Věta
Počet všech permutací n-prvkové množiny je
n! = n• (n- 1) • (n-2) •... • 2 • 1.
■ Funkce n! se nazývá faktoriál. Klademe 0! = 1. Příklad
■ Kolik zpUsoby lze v ruce uspořádat 7 karet?
■ Odpoved' je 7! = 5 040.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost
7/57
Variace bez opakování
Definice (Variace bez opakování)
Necht M je konečná množina o n prvcích ak > 0 je přirozené číslo splňující k < n. k-prvkovou variací na množine M rozumíme uspořádanou k-tici sestavenou z prvkU z M tak, že se v ní každý prvek vyskytuje nejvýše jednou.
Příklad
■ Vypište všechny 2-prvkové variace na množine {a, b, c, d}.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
8/57
Variace bez opakování
Definice (Variace bez opakování)
Necht M je konečná množina o n prvcích ak > 0 je přirozené číslo splňující k < n. k-prvkovou variací na množine M rozumíme uspořádanou k-tici sestavenou z prvkU z M tak, že se v ní každý prvek vyskytuje nejvýše jednou.
Příklad
■ Vypište všechny 2-prvkové variace na množine {a, b, c, d}.
(a, b) (b, a) (c, a) (d, a) (a, c)      (b, c)      (c, b)      (d, b)
(a,d)   (b,d)   (c,d) (d,c)
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
9/57
Variace bez opakování
■ Permutace množiny s n prvky je totéž jako n-prvková variace.
■ Na množine s n prvky je vždy stejně n-prvkových variací jako (n - 1)-prvkových variací. (Proc?)
Příklad
■ Kolik trojciferných ccísel lze sestavit z císlic 1,2,..., 9, jestliže se žádné císlice neopakují?
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
10/57
Variace bez opakování
■ Permutace množiny s n prvky je totéž jako n-prvková variace.
■ Na množine s n prvky je vždy stejne n-prvkových variací jako (n - 1)-prvkových variací. (Proc?)
Příklad
■ Kolik trojciferných ccísel lze sestavit z císlic 1, 2,..., 9, jestliže se
žádné císlice neopakují? 91
■ Odpoved' je — = 504.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost 11/57
Kombinace bez opakování
Definice (Kombinace bez opakování)
Necht M je koneCná množina o n prvcích a k > 0 je přirozené Číslo spinující k < n. k-prvkovou kombinací na množine M rozumíme k-prvkovou podmnožinu množiny M.
Příklad
■ Vypište všechny 2-prvkové kombinace na množine
{a, b, c, d, e}.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
12/57
Kombinace bez opakování
Necht M je konecná množina o n prvcích a k > 0 je přirozené císlo spinující k < n. k-prvkovou kombinací na množine M rozumíme k-prvkovou podmnožinu množiny M.
Příklad
■ Vypište všechny 2-prvkové kombinace na množine
{a, b, c, d, e}.
{a, b} {a c} {a, d}
{a,e}
{b,c} {b,d} {b,e}
{c, d}
{c, e}
{d,e}
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
13/57
Kombinace bez opakování
Pocet všech k-prvkových kombinací na množině s n prvky je
n\ =      n!      = n• (n- 1) • (n-2) •... • (n- k + 1) k) = (n - k)! • k! ~~ k! ~'
m (Císla     se nazývají kombinacnícísla nebo binomické koeficienty.
m k-prvková kombinace se nekdy popisuje jako neuspořádaný výber k prvku.
Příklad
■ Kolika způsoby muže dopadnout tah Sportky (6 císel z 49)?
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
14/57
Kombinace bez opakování
veta
Pocet všech k-prvkových kombinací na množine s n prvky je
n\ n! n• (n- 1) • (n-2) •... • (n- k + 1)
k      (n - k)! • k! k!
■ Čísla     se nazývají kombinacnícísla nebo binomické koeficienty.
m k-prvková kombinace se nekdy popisuje jako neuspořádaný výber k prvkU.
Příklad
■ Kolika zpUsoby může dopadnout tah Sportky (6 ccísel z 49)?
■ Odpoved'je        = 13 983816.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
15/57
Výběry prvků s opakováním
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
16/57
Permutace s opakováním
Definice (Permutace s opakováním)
Necht M je koneCná množina. Permutace s opakováním je uspořádaná posloupnost prvku z M, v níž se každý prvek i e M vyskytuje ki-krát, kde ki j předem dané.
Příklad
■ Vypište všechny permutace s opakováním množiny {a, b} pro ka = 2 a kb = 3.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
17/57
Permutace s opakováním
Definice (Permutace s opakováním)
Necht M je konečná množina. Permutace s opakováním je uspořádaná posloupnost prvku z M, v níž se každý prvek i e M vyskytuje ki-krát, kde ki j předem dané.
Příklad
■ Vypište všechny permutace s opakováním množiny {a, b} pro ka = 2 a kb = 3.
(a, a, b, b, b) (a, b, a, b, b)
(a, b, b, a, b) (a, b, b, b, a) (b, a, a, b, b)
(b, a, b, a, b) (b, a, b, b, a) (b, b, a, a, b) (b, b, a, b, a) (b, b, b, a, a)
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
18/57
Permutace s opakováním
veta
Pocčet permutací množiny{1 , 2, . . . , n} pro dané pocčtyopakování k1,k2,...,kn > 0 je
(k + k2 + ... + kn)\ k1! • k2! •... • kn! .
Příklad
■ Kolika zpusoby lze navléct na provázek 30 cervených, 10 modrých a 3 žluté korále?
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost 19/57
Permutace s opakováním
veta
Pocet permutací množiny {1, 2,..., n} pro dané pocty opakování ki,k2,...,kn > 0 je
(ki + k2 + ... + kn)\ k1! • k2\ •... • kn\ .
Příklad
■ Kolika zpUsoby lze navléct na provázek 30 cervených, 10 modrých a 3 žluté korále?
■ Odpoved'je (3° + 10 + 3}[ = 10460 978576 048.
K 30!- 10!- 3!
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
20/57
Variace s opakováním
Definice (Variace s opakováním)
Necht M je konečná množina o n prvcích a k > 0 je přirozené číslo. k-prvkovou variací s opakováním na množine M rozumíme uspořádanou k-tici sestavenou z prvkU z M tak, že se v ní každý prvek vyskytuje nejvýše k-krát.
Příklad
■ Vypište všechny 4-prvkové variace s opakováním na množine
{a, b}.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
21/57
Variace s opakováním
Definice (Variace s opakováním)
Necht M je konecná množina o n prvcích ak > O je přirozené císlo. k-prvkovou variací s opakováním na množine M rozumíme uspořádanou k-tici sestavenou z prvku z M tak, že se v ní každý prvek vyskytuje nejvýše k-krát.
Příklad
■ Vypište všechny 4-prvkové variace s opakováním na množine
{a, b}.
(a, a, a, a) (a, a, a, b) (a, a, b, a) (a, a, b, b)
(a, b, a, a) (a, b, a, b) (a, b, b, a) (a, b, b, b)
(b, a, a, a) (b, a, a, b) (b, a, b, a) (b, a, b, b)
(b, b, a, a) (b, b, a, b) (b, b, b, a)
{b, b, b, b)
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
22/5ľ
Variace s opakováním
Pocet všech k-prvkových variací s opakováním na množine s n prvky je
Příklad
■ Kolik podmnožin má množina {1, 2,3,..., 10}?
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
23/57
Variace s opakováním
PoCet všech k-prvkových variací s opakováním na množine s n prvky je
nk.
Příklad
■ Kolik podmnožin má množina {1, 2,3,..., 10}?
■ Odpoved'je210 = 1 024.
■ Podmnožinu lze kódovat jako uspořádanou 10-tici nul a jednicek (jednicky znací, které prvky jsou v podmnožine):
{2,5,6} odpovídá (0,1, 0,0,1, 1, 0,0,0,0)
■ Hledáme tedy všechny 10-prvkové variace s opakováním na množineř {0, 1 }.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
24/57
Kombinace s opakováním
Definice (Kombinace s opakováním)
Necht M je konecná množina o n prvcích ak > 0 je pcirozené císlo. k-prvkovou kombinací s opakováním na množine M rozumíme neusporádanou k-tici prvku z M, kde se každý prvek vyskytuje libovolneckrát.
Příklad
■ Vypište všechny 2-prvkové kombinace s opakováním na množine {a, b, c, d, e}.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
25/57
Kombinace s opakováním
Definice (Kombinace s opakováním)
Necht M je konecná množina o n prvcích a k > 0 je přirozené císlo. k-prvkovou kombinací s opakováním na množine M rozumíme neuspořádanou k-tici prvku z M, kde se každý prvek vyskytuje libovolnekrát.
Příklad
■ Vypište všechny 2-prvkové kombinace s opakováním na množine {a, b, c, d, e}.
{a, a}      {b, b}      {c, c}      {d, d}      {e, e} {a, b}      {b, c}      {c, d}      {d, e}
{a, c}     {b,d} {c,e}
{a, d} {b,e} {a, e}
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
26/57
Kombinace s opakováním
■ k-prvkovou kombinaci na množine {1, 2,..., n} lze zakódovat do posloupnosti délky n + k tak, že prvky množiny napíšeme do řady a za každý prvek vložíme tolik znaku □, kolikrát je prvek obsažen v kombinaci. Např. kombinace {2,2,3} na množine
{1, 2,3,4} odpovídá posloupnosti 12 □ □ 3 □ 4.
■ Posloupnost je přesne urcená umístením znaku □.
■ Znak □ se nesmí vyskytnout na prvním míste.
■ k znaku □ se tedy vyskytuje na nekterých z n + k - 1 míst.
■ Posloupností (a tedy i kombinací) je celkem (n+k
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost 27/57
Kombinace s opakováním
Prříklad
■ Kolika zpusoby muže dopadnout hod třemi hracími kostkami? (Zajímá nás, co kolikrát padne: např. dve trojky a jedna petka).
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
28/57
Kombinace s opakováním
Příklad
■ Kolika zpUsoby mUže dopadnout hod třemi hracími kostkami? (Zajímá nás, c o kolikrát padne: napr. dve trojky a jedna petka).
■ Odpoved' je    + 3 - 1 ^ = 56.
■ Jedná se o 3-prvkové kombinace s opakováním nad množinou
{1,2,3,4,5,6}.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
29/57
Obecné principy počítání složených výberu
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
30/57
Princip nezávislých výberu
Princip nezávislých výberu neboli princip soucinu
Pokud se výbeřr skládá z dvou cři více vzájemneř nezávislých podvýberu, pak je celkový pocet výberu roven soucinu poctu jednotlivých podvýberu.
Prříklad
■ Hokejový trenér má k dispozici 13 útocníku, 9 obráncu a 2 brankáře. Kolik kombinací hokejistu se muže objevit na lede, aby tam byli 3 útocřníci, 2 obránci a jeden brankářr?
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
31/57
Princip nezávislých výberU
Princip nezávislých výberU neboli princip soucinu
Pokud se výber skládá z dvou ci více vzájemne nezávislých podvýberu, pak je celkový pocet výberu roven soucinu poctu jednotlivých podvýberu.
Prříklad
■ Hokejový trenér má k dispozici 13 útocníku, 9 obráncu a 2 brankáre. Kolik kombinací hokejistu se muže objevit na lede, aby tam byli 3 útocníci, 2 obránci a jeden brankár?
■ Výber útocníku: (133) = 286
■ Výber obráncu: (2) = 36
■ Výber brankářů (1) = 2
■ Odpoved' je 286 • 36 • 2 = 20 592.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
32/57
Princip dvojího pocítání
Princip dvojího pocítání
Nechť lze každý výber dále zjemnit na stejný pocet i zjemnených výberu. Dále necht existuje celkem m njzných zjemnených výberu.
Potom pocet všech puvodních výberu je —. Příklad
■ Výber šestic hokejistu na lede z minulého príkladu chceme zjemnit tím, že budeme uvažovat i pořadí útocníku a obráncu.
■ Každou kombinaci na lede lze tedy zjemnit v 3! • 2! = 12 nuzných výberu.
■ Celkem techto uspořádaných výberu existuje (13 • 12 • 11) • (9 • 8) • 2 = 247104.
247104
■ Puvodních výberu je ——— = 20592 (totéž vyšlo i minule).
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost 33/57
Poznámky
■ Pri řešení příkladu lze nekdy použít i princip inkluze a exkluze.
■ Obecne je třeba používat selský rozum.
Příklad
■ Máme k dispozici celkem 12 hrácu, z toho 5 dobrých útocníku. Kolik lze sestavit 4-clenných týmu, které obsahují alespon jednoho dobrého útocřníka?
■ Celkem lze sestavit (142) = 495 týmu.
■ Týmu bez dobrého útocníka je (12-5) = 35.
■ Tý m u s alesp on jedním dobrým útocníkem tedy je
C2) - (124-5) = 460.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
34/57
Kombinatorická pravdepodobnost
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
35/57
Kombinatoricá pravdepodobnost
■ Teorie pravdepodobnosti zkoumá tzv. náhodné pokusy. Náhodným pokusem rozumíme opakovatelnou cinnost provádenou za stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhode (zejména není urcen pocátecními podmínkami).
■ Kombinatorická (nebo také klasická) pravdepodobnost zkoumá situace, kdy náhodný pokus má jen konecne mnoho možných výsledku.
■ Pravdepodobnost daného výsledku pak udává míru jeho ocekávatelnosti.
■ Motivace je napr. v hazardních hrách.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
36/57
Konecný pravdepodobnostní prostor
Definice (Konecný pravdepodobnostní prostor)
Konecný pravdepodobnostníprostor je dvojice (Q, P),kde Q je konecná množina elementárních jevu a P : P (Q) —[0,1] je funkce pravdepodobnosti, která podmnožinám Q přiřazuje reálné hodnoty z intervalu [0, 1 ] a splnCuje
■ P(9) = 0, P (Q) = 1 a
■ P (A u B) = P (A) + P (B) kdykoliv A, B c Q jsou disjunktní.
Libovolná podmnožina A c Q se nazývá jev a P (A) je pravděpodobnost tohoto jevu.
Příklad
■ Definujte pravdepodobnostní prostor hodu (poctivou) kostkou.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
37/57
Příklady konecných pravdepodobnostní prostoru
Příklad
■ Pravdepodobnostní prostor hodu kostkou je (Q, P), kde
■ elementární jevy jsou "co padne", tedy Q = {1,2,3,4,5,6},
■ funkce pravdeépodobnostiP(A) =    pro každou A c Q.
■ Co je jev "padne sudé císlo"? Množina {2,4,6}.
■ Pravdepodobnost tohoto jevu je P({2,4,6}) = 6 = 2.
Příklad
■ Pravdepodobnostní prostor hodu mincí je ({orel, panna}, P),
kde
P(0) = 0 P ({orel}) = 2
P({orel, panna}) = 1       P ({panna}) = 2
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
38/57
Poznámky
■ Pravdepodobnost elementárního jevu a e Q obvykle zapisujeme jako P (a) namísto P({a}).
■ Pravdepodobnostní prostor je plne urcený množinou Q a pravdepodobnostmi elementárních jevu. Pro neelementární jev A = {a1,a2,...,an} totiž podle definice musí platit
P (A) = P (a1) + P (a2) + ... + P (an).
■ Jevy A, B jsou disjunktní, pokud nemohou nastat zároven, tj. pokud A n B = 0.
■ Ruzné elementární jevy jsou vždy disjunktní.
■ Udejte príklady dvou nuzných jevu, které nejsou disjunktní.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
39/57
Uniformní pravdepodobnostní prostor
Definice
Konecný pravdepodobnostní prostor (Q, P) je uniformní, je-li každý elementární jev a e Q stejne pravdepodobný, tj. P (a) = py.
\A\
■ Pro každý jev A v uniformním prostoru platí P (A) = |q| .
■ Uvedené prostory hodu kostkou a hodu mincí jsou uniformní.
Příklad
■ Namíchání 32 karet je také uniformní pravdepodobnostní prostor, kde elementární jevy jsou permutace karet (tech je 32!).
■ Pravdepodobnost každého elementárního jevu je ^.
■ Jaká je pravdepodobnost jevu, že první karta je eso?
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
40/57
Príklad
Definujte pravdepodobnostní prostor hodu dvemi kostkami, kde zjišťujeme soucet bodu. Jaká je pravdepodobnost, že padne 8?
Řešení 1
■ Elementární jevy jsou soucty, tedy Q = {2,3,4,..., 12}.
■ Pravdepodobnost elementárních jevu se ale liší:
■ soucet 2 lze získat pouze jako 1+1, proto P(2) = 36,
■ soucet 3 lze získat jako 1+2 nebo 2+1, proto P(2) = 36 = TL,
■ ostatní pravdepodobnostispocítáme analogicky.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
41/57
Příklad
Definujte pravděpodobnostní přostoř hodů dvemi kostkami, kde zjišťujeme součet bodů. Jaká je přavdepodobnost, že padne 8?
Řešení 1
■ Elementární jevy jsou součty, tedy Q = {2,3,4,..., 12}.
■ Přavdepodobnost elementárních jevu se ale liší:
■ součet 2 lze získat pouze jako 1+1, proto P(2) = 36,
■ součet 3 lze získat jako 1+2 nebo 2+1, proto P(2) = 36 = T8,
■ ostatní přavdepodobnostispočítáme analogicky.
p (2) =	1 36	p (5) =	1 9	p(8) = 36	p (11)= 118
p (3) =	1 18	p(6) =	5 36	p(9) = 9	p (12) = 36
p(4) =	1 12	p (7) =	1 6	p (10) = t2	
■ Jev "padne 8" je tedy elementární s pravdepodobností
p(8) = 36.
■ Přavdepodobnostní přostoř není uniformní.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatořičká přavdepodobnost
42/57
Príklad
Definujte pravdepodobnostní prostor hodu dvemi kostkami, kde zjišťujeme soucet bodu. Jaká je pravdepodobnost, že padne 8?
Rěšění 2
■ Elementární jevy jsou dvojice hodnot na jednotlivých kostkách, tedy Q = {1, 2,3,4,5,6} x {1, 2,3,4,5,6}.
■ Pravdepodobnost každého elementárního jevu je 36.
■ Pravdepodobnostní prostor je uniformní.
■ Jakspocítáme pravdepodobnost, že padne 8?
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
43/57
Príklad
Definujte pravdepodobnostní prostor hodu dvemi kostkami, kde zjištujeme soucet bodu. Jaká je pravdepodobnost, že padne 8?
Řešení 2
■ Elementární jevy jsou dvojice hodnot na jednotlivých kostkách, tedy Q = {1, 2,3,4,5,6} x {1, 2,3,4,5,6}.
■ Pravdepodobnost každého elementárního jevu je 36.
■ Pravdepodobnostní prostor je uniformní.
■ Jakspocítáme pravdepodobnost, že padne 8?
■ Jev "padne 8" je A = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} a jeho pravdepodobnost je P (A) =    = 36.
■ Toto rešení umožnuje odpovedet napríklad na otázku, zda jsou disjunktní jevy "soucřet je 6" a "soucřin je 8". Jsou disjunktní?
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
44/57
Nezávislé jevy
■ Nezávislost jevu intuitívne znamená, že pravdepodobnost toho, že nastane druhý z jevu není nijak ovlivnena tím, zda nastal ci nenastal první jev.
■ Kupříkladu pokud hážeme dvema kostkami, jsou jevy "na první kostce padne 6" a "na druhé kostce padne liché cříslo" nezávislé.
■ Oproti tomu jevy "na první kostce padne 5" a "soucet bude 8" nezávislé nejsou.
Definice (Nezávislé jevy)
Jevy A, B v prostoru (Q, P) jsou nezávislé, pokud platí P (A n B) = P (A) • P (B).
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
45/57
Príklad
Ukážeme, že jevy "na první kostce padne 5" a "soucet bude 8" jsou závislé.
■ Pravdepodobnostní prostor (Q, P) je tvaru
Q = {1,2,3,4,5,6} x {1,2,3,4,5,6} a P(a) = 36 pro každý elementární jev a e Q (prostor je uniformní).
■ Jev "na první kostce padne 5" je
A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} a P (A) = 1.
■ Jev "soucet bude 8" je B = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} a
P(B) = 36.
■ Jevy A, B jsou závislé, nebot' P (A n B) = P ({5,3}) = 36 a tedy
216
5
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
46/57
Poznámky
■ Dva ruzné elementární jevy s nenulovou pravdepodobností jsou závislé, protože P ({a} n {b}) = P(0) = 0 = P (a) • P (b). Navíc je jasné, že pokud nastane jeden elementární jev, nemuže nastat druhý.
■ Z analogickéhu duvodu platí, že dva ruzné disjunktní jevy s nenulovými pravdeřpodobnostmi jsou také závislé.
Dotazy
■ Ze zamíchaných karet rozdáme dvema hrácum po peeti kartách. Jsou výbeřry karet, které dostanou, nezávislé?
■ Hodíme dvema kostkami. Je jev "na obou padne totéž" nezávislý s jevem "na první kostce padne 2"?
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
47/57
Podmíněná pravděpodobnost
Definice (Podmíněná pravděpodobnost)
Podmíněná pravděpodobnost P (B\A) je pravděpodobnost jevu B za předpokladu, že nastal jev A a vypočítá se jako
P (An B) P(B\A) ■
m Jevy A, B jsou nezávislé práve když P (B|A) = P (B). Příklad
■ Kolik je podmínená pravdepodobnost jevu "při hodu dvema kostkami padne soucřet asponř 10" za prředpokladu, že "na první kostce padlo 5"?
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
48/57
Podmínená pravdepodobnost
Definice (Podmínená pravdepodobnost)
Podmínená pravdepodobnost P (B\A) je pravdepodobnost jevu B za předpokladu, že nastal jev A a vypocítá se jako
P(A B) P(B\A) .
■ Jevy A, B jsou nezávislé práve když P (B\A) = P (B). Příklad
■ Kolik je podmínená pravdepodobnost jevu "pri hodu dvema kostkami padne soucet aspon 10" za předpokladu, že "na první kostce padlo 5"?
■ Odpoved' je |.
■ Pravdepodobnost "padne soucet aspon 10" je g (závislost jevu).
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
49/57
Strední hodnota
■ X je náhodná promenná (nebo náhodná velidna), pokud je její hodnota jednoznacne urcena výsledkem náhodného pokusu.
■ Formálne je náhodná promenná libovolná funkce přiřazující elementárním jevum prostoru (Q, P) reálná ccísla.
Definice (Střední hodnota)
Nechť náhodná promenná X muže nabýt hodnot h1, h2,..., hn s pravdepodobností porade p1, p2,..., pn, kde p1 + p2 + ... + pn = 1. Střední hodnotou promenné X je císlo
EX = p • h + P • h2 + ... + pn • hn.
■ Střední hodnota udává prumer získaných hodnot náhodné promenné X při mnoha opakováních náhodného pokusu.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost 50/57
Príklady
Prříklad
■ Jaká je strední hodnota císel padlých na hrací kostce?
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost 51/57
Príklady
Prříklad
■ Jaká je strední hodnota císel padlých na hrací kostce?
■ Odpoved' je
1
1
1
1
1
1
6 ^1 + 6 ^2 + 63 + 6 ^4 + 65 + 6 ^6 = 6 ^21 = 35
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
52/57
Príklady
Příklad
■ Kolik je prumerne třeba hodu mincí, aby padlo 3x totéž?
■ 3x totéž padne nejdříve třetím a nejpozdeji pátým hodem.
■ Pravdepodobnostní postor je
(o, o, o) (P, P, P)
(o, o, p, o)
(o, P, o, o) (o, P, P, P) (P, o, o, o) (P, o, P, P) (P, P, o, P)
(o, o, P, P, o) (o, P, o, P, o) (o, P, P, o, o) (P, o, o, P, o) (P, o, P, o, o) (P, P, o, o, o)
(o, o, P, P, P) (o, P, o, P, P) (o, P, P, o, P) (P, o, o, P, P) (P, o, P, o, P) (P, P, o, o, P)
Náhodná promenná X je vždy rovna délce n-tice.
Pravdepodobnost každé n-tice je 2n.
Celkem dostáváme, že prumerný pocet potřebných hodu je
EX = 3 • (2 • 1) + 4 • (6 • 1
16
)+5(1232 )=3+2+15=^125.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
53/57
Výpocet stredních hodnot
veta
■ Střední hodnota konstanty c je Ec = c.
■ Střední hodnota souCinu náhodné promenné X a konstanty c je
E (cX) = c • EX.
■ Střední hodnota souctu náhodných proměnných X, Y je
E (X + Y) = EX + EY.
Příklad
■ Jaká je strední hodnota souctu ccísel padlých na dvou kostkách?
■ Odpoved' je E(X + Y) = EX + EY = 3,5 + 3,5 = 7.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdeepodobnost
54/57
Výpocet stredních hodnot
Veřta
Střední hodnota součinu nezávislých náhodných proměnných X, Y je
E(X • Y) = EX^ EY.
Příklad
■ Jaká je strední hodnota soucinu císel padlých na dvou kostkách?
■ Odpoved'je E(X- Y) = EX • EY = 3,5 3,5 = 12,25.
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost 55/57
Poznámka
■ Vztah pro střední hodnotu soucinu pro závislé náhodné promeřnné neplatí.
Příklad
■ Jaká je střední hodnota soucinu císel horní a spodní steny hozené kostky?
■ Protože náhodné promenné jsou závislé (soucet protilehlých sten kostky je vždy 7), nelze použít vztah E(X • Y) = EX • EY (tento vztah by nám dal hodnotu 12, 25).
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravdepodobnost
56/57
Poznámka
■ Vztah pro střední hodnotu součinu pro závislé náhodné proměnné neplatí.
Příklad
■ Jaká je střední hodnota součinu čísel horní a spodní stěny hozené kostky?
■ Protože náhodné promenné jsou závislé (součet protilehlých sten kostky je vždy 7), nelze použít vztah E(X • Y) = EX - EY (tento vztah by nám dal hodnotu 12,25).
■ Z definice spočítáme strední hodnotu součinu jako
1-6-1+2-5-6+3-4-6+4-34+5-24+6-i4=9+1-
IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatoričká pravdeepodobnost 57/57