Potřebné vzorce z goniometrie.
1. cos a cos // = 1 (cos(a — //) + cos(a + //))
2. sin a cos // = 1 (sin(a — //)+sin(a + //))
3. cos 2x = cos2 x — sin2 x     cos2 x = cos 2x + sin2 x = cos 2x + (1 — cos2 x)
2 cos2 x = cos 2x + 1     cos2 x =
(1+cos 2x) 2
Použití příslusného vzorce budeme znacit indexem u rovností.
Fourierova řada vzhledem k ortogonálnímu systemu {1, cos nx, sin nx}„eN má na intervalu (—n, n) tvar:
ao 2
+ 'y^(a" cos nx + bn sin nx)
n=1
kde
pro n G N U {0}.
1 r
an = — /    f (x) cos nxdx
n J-k
i r
bn = — /    f (x) sin nxdx
n J-n
pro n e N.
Cvičení 1 Rozvinuté do Fourierovy rady funkci cos2(x) na intervalu (—n, n).
1
ao =
cos2 x cos 0xdx =
1
r      2   ,     3 1   r 1 + cos 2x , /   cos2 xdx =3 — / -dx =
2
— ( /   dx + /   cos2xdx) = —(íxln +
2^ J-n J—k 2^  J—K _
Spocítame pro obecne n G N (n > 1).
sin 2x
)=1
1  fK     2            ,       1  fn 1 + cos2x an = — /    cos x cos nxdx = — / -z-cos nxdx =
2
1  r 1  r r
= —( /   cos nx+cos2x cos nxdx) = —( /   cos nxdx+ /   cos 2x cos nxdx) =
2n  J-k 2n  J-k J-k
—k
1 sin nx 2n  I n
' —k j —k
/K 1 K
cos 2x cos nxdx) = — / cos 2x cos nxdx =1 K 2n J-K
■
i
— K
2
1
1   ľ* 1    ľ* ľ*
=1 — /   (cos(n—2)x+cos(n+2)x)dx = —( /   cos(n—2)xdx+ /   cos(n+2)xdx) = 4W-* 4t J_* J_*
1 ( sin(n — 2)x = 4TT(      n - 2
+
sin(n + 2)x n + 2
)
Pro n = 2 výraz nedává smysl, dále počítáme pouze pro n = 2.
Tsin(n + 2)xl
1 sin(n — 2)x = 4TT(      n- 2
+
n+2
) = 0
Nyní musíme prozkoumat případ, kdy n = 2:
7T
7T
1   ľ*     2            ,       1  ľ 1 + cos2x a2 = — /   cos2 x cos 2xdx = — / -cos 2xdx =
" J-* t J-
1    f* 1 f*
= —M   cos2x + cos2 2xdx) = —( /   cos2 2xdx) ='
2
1
3 1 r cos4x + i      1  r r
=3 — / -dx = —( /   cos4xdx + /    1dx) =
= 1 ( sin 4x
4t ( 4
Vypocet bn by probíhal analogicky jen s pouZitím vztahu (2). Připadne si staci uvědomit, Ze cos2 x je sudá funkce a proto bn = 0 pro vsechna n G N.
Mame tedy a0 = 1, a2 = 2, an = 0 pro vsechna n G N — {2} a bm =0 pro vsechna m G N. Fourierova rada funkce cos2 x na intervalu x G (—tt, tt) je pak:
^ 11 2       ao v—^, , .11
cos x = — +      (an cos nx + bn sin nx) = 2 + 2 cos 2x
n=1
(...coZ je vlastne vzorec (3).)
2