2 1
Spočtěte limitu lim^co "/ní. (1) Nejprve si uved'me, ze jiste limn_).00 — lnn! G [0, oo], tj.
n2
je nezáporným číslem nebo nekonečno. (2) Z (1) vyplývá, ze limn_).00 n\fn\ = elimiwco ln ^ra! =
1
e        n       > e0 = 1. (3) Zrejme pro velke n platí n! < nn. (4) Počítejme jiz samotnou limitu:
1   n n
1 <(2) lim^ Vni <(3) lim^ "Vn^ = elimn—ln ^ = e n2       = e n2 =
1
n 1
|L'Hospital| = e 1=e        n = e0 = 1. Protoze na začátku i na konči nerovností jsou
1, jsou vsečhny nerovnosti rovnosti, a proto hledaná limita je rovna 1.
Podobný trik se dá udelat pozdeji, ne hned na začátku: 1 < limra^TO v n! = elim 11 1 n
lirmwco       ln n!        lirmwco       HÍLi ln i        limn->-oo       HÍLi ln n        lirmwco       ln n
e        n2      =e        n2 < e        n2 =e        n2    , dale uz stejne jak v (4).
(Pouzili jsme ln i < ln n pro vsečhna 1 < i < n a logaritmus součinu je součet logaritmu).
2 '   7      elimn^co ln n\fn! _
NELZE postupovat ani takto, jak jsem si nejprve myslel: lirm^oo v n! 1 1 1
lirmwco —T. ln n!        lirmwco ~T, 111= ln i limn->-oo —2 ln i TC n n
e        n2      =e        n2 =e n2    =    i=i0 = e0 = 1.
1